数学必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）教学设计及反思

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1．φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响
如图所示，对于函数y＝sin(x＋φ)(φ≠0)的图象，可以看作是把y＝sinx的图象上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|1个单位长度得到的．
[知识点拨]将函数y＝f(x)的图象沿x轴方向平移|a|个单位长度后，得到函数y＝f(x＋a)(a≠0)的图象．当a>0时，向左平移，当a<0时，向右平移，简记为“左加右减”．
2．ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)，x∈R的图象的影响
如图所示，函数y＝sin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin(x＋φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的 eq \f(1,ω) 倍(纵坐标不变)而得到．
[知识点拨]函数y＝f(ωx)(ω>0)的图象，可以看作是把函数y＝f(x)的图象上的点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的eq \f(1,ω)倍(纵坐标不变)而得到的．
3．A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象的影响
如图所示，函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)的图象上的所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0[知识点拨]函数y＝Af(x)(A>0，且A≠1)的图象，可以看作是把函数y＝f(x)的图象上的点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(04．函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象常见画法
(1)五点法：①列表(ωx＋φ通常取0，eq \f(π,2)，π，eq \f(3π,2)，2π这五个值)；②描点；③连线．
(2)变换法：
①先平移后伸缩
eq \x(\a\al(函数y＝sinx,的图象))eq \(――→,\s\up7(向左右平移),\s\d5(|φ|个单位))eq \x(\a\al(函数y＝sinx,＋φ的图象))eq \f(横坐标变为原来的\f(1,ω)倍,纵坐标不变\(\s\up7( ),\s\d5( )))eq \x(\a\al(函数y＝Asinωx,＋φ的图象))eq \(――→,\s\up7(纵坐标变为原来的A倍),\s\d5(横坐标不变))eq \x(\a\al(函数y＝sinωx,＋φ的图象))
②先伸缩后平移
特别提醒：在进行图象变换时，先平移后伸缩与先伸缩后平移是两种不同的变换，且这两种变换中，平移的单位长度不同，前者平移了|φ|个单位长度，而后者平移了|eq \f(φ,ω)|个单位长度，这是因为由y＝sinωx的图象变换为y＝sin(ωx＋φ)的图象的过程中，各点的横坐标增加或减少了|eq \f(φ,ω)|个单位长度，即x→x＋eq \f(φ,ω)，ωx→ωx＋φ．
1．将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的图象的对称轴方程为x＝
2．设函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，φ∈（0，））的部分图象如图所示，则f（x）的表达式 ．
3．函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中）的图象如图所示，则函数f（x）的解析式为 ，方程f（x）＝m（其中）在[0，2π]内所有解的和为 ．
4．已知函数f（x）＝sin（2x）的图象C1向右平移个单位得到函数g（x）的图象C2，则函数g（x）在[0，]上的单调区间是 ．
5．若将函数的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为偶函数，则ω的最小值是 ．
重要考点一：用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)
【典型例题】（1）利用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间的简图．
（2）并说明该函数图象可由y＝sinx（x∈R）的图象经过怎样平移和伸缩变换得到的．
【题型强化】已知函数f（x）＝2sin（）．
（1）用“五点法”画出函数在一个周期内的图象；
（2）完整叙述函数f（x）＝2sin（）的图象可以由函数f（x）＝2sinx的图象经过两步怎样的变换得到；
（3）求使f（x）≥0成立的取值集合．
解：（1）
【收官验收】已知f（x）＝2sin（2x），
（Ⅰ）求f（x）图象的对称轴方程；
（Ⅱ）若将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，请写出函数g（x）的解析式；
（Ⅲ）请通过列表、描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出函数g（x）在[0，π]上的简图．
重要考点二：用图象变换作函数图象
【典型例题】已知．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）函数f（x）的图象可以由函数y＝sin3x，x∈R的图象经过怎样的变换得到？
【题型强化】已知函数，且f（x）的最大值为1．
（I）求实数α的值；
（II）请说明函数f（x）的图象是由函数y＝sinx的图象经过怎样的变化得到．
【收官验收】小李同学要画函数f（x）＝Acs（ωx+φ）的图象，其中ω＞0，|φ|，小李同学用“五点法”列表，并填写了一些数据，如下表：
（1）请将表格填写完整，并求出函数f（x）的解析式；
（2）将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数y＝g（x），求g（x）的图象中离y轴最近的对称轴．
【名师点睛】
1.法一是先平移后伸缩；法二是先伸缩后平移．
2．两种变换中平移的单位长度是不同的，在应用中一定要区分清楚，以免混乱而失误．弄清平移对象是减少失误的好方法．
重要考点三：由图象求解析式
【典型例题】函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为 ．
【题型强化】已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）一部分图象如图所示，则ω＝ ，函数f（x）的图象可以由g（x）＝2sinωx的图象向左平移至少 个单位得到．
【收官验收】已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象如图所示，则下列说法正确的是 ．
①函数f（x）的周期为π
②函数y＝f（x﹣π）为奇函数
③函数f（x）在[﹣π，]上单调递增
④函数f（x）的图象关于点（，0）对称
【名师点睛】
由图象确立三角函数的解析式时，若设所求解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，则在观察图象的基础上可按以下规律来确定A，ω，φ．
(1)A：一般可由图象上的最大值、最小值来确定．
(2)ω：因为T＝eq \f(2π,ω)，故往往通过求周期T来确定ω.可通过已知曲线与x轴的交点来确定T，即相邻的最高点与最低点之间的距离为eq \f(T,2)；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T．
(3)φ：从“五点法”中的第一个点(－eq \f(φ,ω)，0)(也叫初始点)作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个点的位置．
依据五点列表法原理，点的序号与式子的关系如下：
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；
“第二点”(即图象曲线的“峰点”)为ωx＋φ＝eq \f(π,2)；
“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；
“第四点”(即图象曲线的“谷点”)为ωx＋φ＝eq \f(3π,2)；
“第五点”(即图象第二次上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝2π．
在用以上方法确定φ的值时，还要注意题目中给出的φ的范围，不在要求范围内的要通过周期性转化到要求范围内．
(4)A，ω，φ三个量中初相φ的确定是一个难点，除使用初始点(－eq \f(φ,ω)，0)外，还可在五点中找两个特殊点列方程组来求解φ．
重要考点四：函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称性
【典型例题】函数f（x）＝sin2ωx（ω＞0）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式f（x）＝ ；将函数f（x）图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到函数g（x）的图象，则g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2021）＝ ．
【题型强化】函数f（x）＝Acs（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象如图所示，则关于函数g（x）＝Asin（ωx﹣φ）的下列说法正确的是 ．
（1）图象关于点中心对称；
（2）图象关于直线对称；
（3）图象可由y＝2cs2x的图象向友平移个单位长度得到；
（4）在区间上单调递减．
【收官验收】函数y＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为π，且函数图象关于点对称，则函数的解析式为 ．
【名师点睛】
1.函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴方程由ωx＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z求得，即x＝eq \f(kπ＋\f(π,2)－φ,ω)，k∈Z；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z求得，即得(eq \f(kπ－φ,ω)，0)，k∈Z．
2．函数y＝Acs(ωx＋φ)的对称轴方程由ωx＋φ＝kπ，k∈Z求得，即x＝eq \f(kπ－φ,ω)，k∈Z，对称中心由ωx＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z求得，即为(eq \f(kπ＋\f(π,2)－φ,ω)，0)，k∈Z．
重要考点五：函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的综合应用
【典型例题】已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|）的图象过点B（0，﹣1），又f（x）的图象向左平移π个单位之后与原图象重合，且在（，）上单调．
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x1，x2∈（π，）且x1≠x2时，若有f（x1）＝f（x2），求f（x1+x2）．
【题型强化】已知函数f（x）cs2x．
（Ⅰ）若，0＜A＜π，求A的值．
（Ⅱ）先将函数y＝f（x）的图象上所有点向左平移个单位，再把所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，求函数y＝g（x）的单调递增区间．
【收官验收】已知函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为g（x）．
（1）求函数g（x）的表达式及其周期；
（2）求函数g（x）在上的单调区间及最值．
知识点课前预习与精讲精析
典型题型与解题方法
x
0

π

2
x





y





ωx+φ
0

π

2π
X


f（x）
3
0
3