人教A版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念当堂达标检测题

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高一数学必修第一册同步练习（人教A版（2019））第一章1.1集合的概念一、单选题1．下列各组对象中：①高一个子高的学生；②《高中数学》（必修）中的所有难题；③所有偶数；④全体著名的数学家.其中能构成集合的有（    ）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组2．已知集合A={1，2，3}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，则B中所含元素的个数为（ ）A．2 B．3 C．4 D．63．已知, ，则A． B．C． D．4．下列五个写法：①；②；③；④；⑤，其中错误写法的个数为A．1 B．2 C．3 D．45．已知，，若集合，则的值为（    ）A．2 B．1 C．-2 D．-16．已知集合，设，则（    ）A． B． C． D．7．已知命题“非空集合中的元素都是集合中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为①中的元素都不是中的元素 ②中有不属于的元素③中有属于的元素 ④中的元素不都是中的元素A． B． C． D．二、填空题8．满足，且的集合M为______．（只需要写出一个满足条件的集合即可）9．集合，则中元素的个数为______10．已知集合且，则用列举法表示集合__________．11．已知集合，则中元素的个数为_____12．定义一个集合的所有子集组成的集合叫做集合的幂集，记为，用表示有限集的元素个数.给出下列命题：①对于任意集合，都有；②存在集合，使得；③若，则；④若，则；⑤若，则.其中所有正确命题的序号为______.13．已知集合 ，集合 满足①每个集合都恰有5个元素;② ．集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为（），则 的最大值与最小值的和为_______.三、解答题14．试分别用描述法和列举法表示下列集合：（1）方程的所有实数根组成的集合A；（2）由大于10且小于20的所有整数组成的集合B.   15．试说明下列集合各表示什么？；；；；.   16．已知集合A是集合Pn＝{1，2，3， ，n} (n≥3，n∈N*)的子集，且A中恰有3个元素，同时这3个元素的和是3的倍数．记符合上述条件的集合A的个数为f(n)．（1）求f(3)，f(4)；（2）求f(n)（用含n的式子表示）．17．已知集合A中的元素x均满足x＝m2－n2(m，n∈Z)，求证：(1)3∈A.(2)偶数4k－2(k∈Z)不属于集合A.   18．设数集由实数构成，且满足：若（且），则．（1）若，则中至少还有几个元素？（2）集合是否为双元素集合？请说明理由．（3）若中元素个数不超过，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合．                             参考答案1．A【解析】①因为个子高没有明确的定义，故“高一个子高的学生”不能构成集合；②因为难题没有明确的定义，故“《高中数学》（必修）中的所有难题”不能构成集合；③所有的偶数是确定的，且都不一样，故“所有偶数”可构成集合；④著名的数学家没有明确的定义，故“全体著名的数学家”不能构成集合.即能构成集合的只有③.故选：A.2．B【解析】分析可得，可以取1，2；可以取1，2；又因为B={（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，所以B中所含的元素有：，，；故选B.3．C【解析】因为，所以；因为，所以，故选C.4．C【解析】对①：是集合，也是集合，所以不能用这个符号，故①错误.对②：是空集，也是集合，由于空集是任何集合的子集，故②正确.对③：是集合，也是集合，由于一个集合的本身也是该集合的子集，故③正确.对④：是元素，是不含任何元素的空集，所以，故④错误.对⑤：是元素，是不含任何元素的空集，所以两者不能进行取交集运算，故⑤错误.故选：C.5．A【解析】由题意，集合，可得，即，所以，可得，解得，所以,即的值.故选：A.6．D【解析】由题意得集合，则，故选：D.7．B【解析】因为命题“非空集合中的元素都是集合中的元素”是假命题，所以中有不属于的元素，也可能有属于的元素，故②④为真命题，故选B.8．.【解析】由题意知：，又，∴当时，；当时，.∴集合M为可以为或.故答案为：.9．4【解析】，,集合中的元素的个数为4个.故答案为：4.10．【解析】当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，当且时，    故答案为11．6【解析】由题意，集合，利用列举法，经验证可得都是集合元素，即集合，所以A中元素的个数为6.故答案为6.12．①④⑤【解析】由的定义可知①正确，④正确，设，则，∴②错误，若，则，③不正确；，即中元素比中元素多1个，则.⑤正确，故答案为：①④⑤.13．96【解析】易知，当 的最大值为57.当 的最小值为39.故答案为9614．（1）；（2）.【解析】（1）设，则x是一个实数，且.因此，用描述法表示为.方程有两个实数根，，因此，用列举法表示为.（2）设，则x是一个整数，即，且.因此，用描述法表示为.大于10且小于20的整数有11，12，13，14，15，16，17，18，19，因此，用列举法表示为.15．答案见解析【解析】表示的取值集合，由知：，；表示的取值集合，由知：或，或；的代表元素为，表示反比例函数上的点构成的点集；的代表元素为，由知：，表示直线上除了以外的点构成的点集；表示以方程“”和“”为元素的一个二元集.表示以方程“”和“”为元素的一个二元集.16．（1）f(3)＝1，f(4)＝2；（2）见解析.【解析】（1）根据题意，易得P3＝{1，2，3}，∴f（3）＝1，P4＝{1，2，3，4}，满足条件的子集有：{1，2，3}、{2，3，4}，∴f（4）＝2；（2）设A0＝{m|m＝3p，p∈N*，p≤}，A1＝{m|m＝3p﹣1，p∈N*，p≤}，A2＝{m|m＝3p﹣2，p∈N*，p≤}，它们所含元素的个数分别记为|A0|，|A1|，|A2|．①当n＝3k时，则|A0|＝|A1|＝|A2|＝k．k＝1，2时，f（n）＝（）3＝k3；k≥3时，f（n）＝3+（）3＝k3﹣k2+k，从而f（n）＝n3﹣n2+n，n＝3k，k∈N*．②当n＝3k﹣1时，则|A0|＝k﹣1，|A1|＝|A2|＝k．k＝2时，f（n）＝f（5）＝2×2×1＝4；k＝3时，f（n）＝f（8）＝1+1+3×3×2＝20；k＞3时，f（n）＝+2+＝k3﹣3k2+k﹣1；从而f（n）＝n3﹣n2+n﹣，n＝3k﹣1，k∈N*．③当n＝3k﹣2时，|A0|＝k﹣1，|A1|＝k﹣1，|A2|＝k．k＝2时，f（n）＝f（4）＝2×1×1＝2；k＝3时，f（n）＝f（7）＝1+3×2×2＝13；k＞3时，f（n）＝2++＝k3﹣k2+5k﹣2；从而f（n）＝n3﹣n2+n﹣，n＝3k﹣2，k∈N*．所以f（n）＝．17．(1)见解析（2）见解析【解析】（1）根据集合中元素的特性，判断3是否满足即可；（2）用反证法，假设属于，再根据两偶数的积为4的倍数；两奇数的积仍为奇数得出矛盾，从而证明要证的结论．证明：(1)令，，则，所以.(2)假设，则存在，，使成立．①当，同奇或同偶时，，均为偶数，所以为4的倍数与不是4的倍数矛盾．②当，一奇一偶时，，均为奇数，所以为奇数，与是偶数矛盾．所以假设不成立．综上，.18．（1）中至少还有两个元素；（2）不是双元素集合，答案见解析；（3）．【解析】（1），．，．，．中至少还有两个元素为，；（2）不是双元素集合．理由如下：，，，由于且，，则，则，可得，由，即，可得，故集合中至少有个元素，所以，集合不是双元素集合．（3）由（2）知中有三个元素为、、（且），且，设中有一个元素为，则，，且，所以，，且集合中所有元素之积为.由于中有一个元素的平方等于所有元素的积，设或，解得（舍去）或或．此时，，，，由题意得，整理得，即，解得或或，所以，．