数学九年级上册1 菱形的性质与判定一课一练

这是一份数学九年级上册1 菱形的性质与判定一课一练，共17页。

菱形的性质与判定
一．选择题（共10小题）
1．（2021春•崇川区期末）已知菱形ABCD中，∠D＝150°，连接AC，则∠BAC等于（　　）
A．10° B．15° C．20° D．25°
2．（2021春•长沙县期末）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的平行四边形ABCD是（　　）

A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．无法确定
3．（2021春•綦江区期末）下列说法中不正确的是（　　）
A．平行四边形的对角相等
B．菱形的邻边相等
C．菱形的对角线互相垂直且相等
D．平行四边形的对角线互相平分
4．（2021春•延庆区期末）若菱形ABCD的对角线AC＝4，BD＝6，则该菱形的面积为（　　）
A．24 B．6 C．12 D．5
5．（2021春•邵阳期末）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，则∠EAF等于（　　）

A．75° B．30° C．45° D．60°
6．（2021春•平谷区期末）如图，四边形ABCD是菱形，其中A，B两点的坐标为A（0，3），B（4，0），则点D的坐标为（　　）

A．（0，1） B．（0，﹣1） C．（0，2） D．（0，﹣2）
7．（2021春•江干区期末）如图，四边形ABCD是菱形，点E、F分别在边BC、CD上，且BE＝DF，AB＝AE，若∠EAF＝75°，则∠C的度数为（　　）

A．85° B．90° C．95° D．105°
8．（2021春•香坊区期末）如图，E，F分别是菱形ABCD的边AB，AD的中点，且AB＝5，AC＝6．则EF的长为（　　）

A．4 B．5 C．5.5 D．6
9．（2021•烟台）如图，在直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点B的坐标为（﹣1，0），∠BCD＝120°，则点D的坐标为（　　）

A．（2，2） B．（，2） C．（3，） D．（2，）
10．（2021春•两江新区期末）如图，O是菱形ABCD的对角线AC，BD的交点，E，F分别是OA，OC的中点．下列结论中正确是（　　）
①S△ABE＝S△OBF；
②四边形EBFD是菱形；
③四边形ABCD的面积为OC×OD；
④∠ABE＝∠OBE．

A．①② B．②④ C．②③ D．③④
二．填空题（共6小题）
11．（2021春•道县期末）若菱形ABCD的周长是20，对角线BD＝8，则菱形ABCD的面积是 　 　．

12．（2021春•江北区期末）如图，四边形ABCD是周长为24的菱形，点A的坐标是（4，0），则点D的坐标为 　 　．

13．（2021春•祁阳县期末）如图，菱形ABCD中，∠ABC＝120°，对角线BD＝3，则菱形ABCD的周长等于 　 　．

14．（2021春•邵阳期末）如图，菱形对角线AC、BD交于点O，且AC＝8，BD＝6，过O作OH⊥AB与点H，则OH＝　 　．

15．（2021春•栾城区期末）已知菱形ABCD的周长为20cm，且相邻两内角之比是1：2，则菱形的面积是 　 　．
16．（2021春•泰兴市校级期末）如图，在菱形ABCD中，点O是对角线的交点，AC＝6，BD＝8，在BC上取一点F，使得BF＝3CF，取OA的中点E，点G为BD上的一动点，连接GE、GF，则GF﹣GE的最大值为 　 　．

三．解答题（共7小题）
17．（2021春•武侯区期末）如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点E，若BD＝，菱形ABCD的周长为20，求菱形ABCD的面积．

18．（2021春•隆回县期末）如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为AB的中点，DE⊥AB．
（1）求∠ABC的度数．
（2）如果AC＝6，求DE的长．

19．（2021春•石景山区期末）如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，过点B作BF⊥AE于点H，交AD于点F，连接EF．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）连接CF，若CE＝1，CF＝2，，求菱形ABEF的面积．

20．（2021春•茶陵县期末）如图，在等腰△ABC中，∠CAB＝∠B＝30°，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接CD、EF和AF．
（1）求证：DE＝CF；
（2）求证：四边形CDEF为菱形．
（3）若BC＝2，求AF．

21．（2021春•延庆区期末）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别是
E，F，且BE＝DF．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）求证：四边形ABCD是菱形．

22．（2021春•番禺区期末）如图，E，F分别是菱形ABCD的边AD，CD的中点，且AB＝5，BD＝6．
（1）求线段EF的长；
（2）探究四边形DEOF是什么特殊四边形？并对结论给予证明．

23．（2021春•南岗区期末）如图，点A，F，C，D在同一直线上，点B，E分别在直线AD两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝CD．
（1）求证：四边形BFEC是平行四边形；
（2）若∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，当AF＝　 　时，四边形BFEC是菱形．


菱形的性质与判定
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．解：∵菱形ABCD中，∠D＝150°，
∴∠DAB＝30°，∠BAC＝∠DAC，
∴∠BAC＝15°，
故选：B．
2．（解：过A作AF⊥DC于F，过B作BE⊥AD，交DA的延长线于E，

∵两张等宽的纸条交叉叠放在一起，
∴AF＝BE，
∵平行四边形ABCD的面积S＝DC×AF＝AD×BE，
∴DC＝AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形，
故选：C．
3．解：∵平行四边形的性质有对角相等，对角线互相平分，菱形的性质有四边相等，对角线互相垂直平分，
∴选项C符合题意，
故选：C．
4．解：菱形ABCD的面积＝＝＝12，
故选：C．
5．解：如图，连接AC，

∵AE⊥BC，AF⊥CD，E、F分别为BC、CD的中点，
∴AB＝AC，AC＝AD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝BC＝CD，
∴AB＝AC＝BC＝CD＝AD，
∴△ABC是等边三角形，△ACD是等边三角形，
∴∠BAC＝∠DAC＝60°，
又∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠EAC＝∠BAC＝30°，∠FAC＝∠DAC＝30°，
∴∠EAF＝60°，
故选：D．
6．解：∵A（0，3），B（4，0），
∴OA＝3，OB＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝AB＝5，
∴OD＝2，
∴点D（0，﹣2），
故选：D．
7．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D，∠C＝∠BAD，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴∠DAF＝∠BAE，
设∠BAE＝∠DAF＝x，
∴∠DAE＝75°+x，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝75°+x，
∵AB＝AE，
∴∠B＝∠AEB＝75°+x，
∵∠BAE+∠ABE+∠AEB＝180°，
∴x+75°+x+75°+x＝180°，
∴x＝10°，
∴∠BAD＝95°，
∴∠C＝95°，
故选：C．
8．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝AC＝3，AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∴OB＝＝＝4，
∴BD＝2OB＝8，
∵E、F分别是AB、AD的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF＝BD＝4．
故选：A．

9．解：∵菱形ABCD，∠BCD＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∵B（﹣1，0），
∴OB＝1，OA＝，AB＝2，
∴A（0，），
∴BC＝AD＝2，
∴OC＝BC﹣OB＝2﹣1＝1，
∴C（1，0），D（2，），
故选：D．
10．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，
∵E、F分别是OA、OC的中点，
∴AE＝EO＝FO＝CF，
∴S△ABE＝S△OBF，故①正确；
∵EO＝OF，BO＝DO，
∴四边形EBFD是平行四边形，
又∵AC⊥BD
∴四边形EBFD是菱形，故②正确；
∵菱形ABCD的面积＝AC×BD＝2OC•OD，故③错误；
∵四边形EBFD是菱形，
∴∠OBF＝∠OBE，∠ABE≠∠OBE，故④错误；
故选：A．
二．填空题（共6小题）
11．解：∵菱形ABCD的周长为20，∴AB＝BC＝CD＝AD＝5，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，且OA＝OC，OB＝OD＝4，
在直角三角形ABO中，由勾股定理得，AO＝3，
∴AC＝6，
∴S菱形ABCD＝6×8÷2＝24，
故答案为：24．
12．解：∵四边形ABCD是周长为24的菱形，
∴AD＝6，AC⊥BD，
∵点A的坐标是（4，0），
∴AO＝4，
∴DO＝＝＝2，
故点D坐标为（0，﹣2），
故答案为：（0，﹣2）．
13．解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，
∴AB＝AD＝CD＝AD，∠ABD＝∠ABC＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB＝AD＝BD＝3，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝4×3＝12，
故答案为：12．
14．解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，
∴BO＝3，AO＝4，AO⊥BO，
∴AB＝＝＝5．
∵OH⊥AB，
∴AO•BO＝AB•OH，
∴OH＝，
故答案为：．
15．解：如图，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，OA＝AC，OB＝BD，AD∥BC，
∴∠AOB＝90°，∠BAD+∠ABC＝180°，
∵∠ABC：∠BAD＝1：2，
∴∠ABC＝60°，
∴∠ABO＝∠ABC＝30°，
∴OA＝AB，
∵菱形ABCD的周长为20cm，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝5cm，
∴OA＝cm，
∴AC＝2OA＝5cm，OB＝OA＝cm，
∴BD＝2OB＝5cm，
∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝×5×5＝（cm2）．
故答案为：cm2．
16．解：

∵在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，
∴AO＝CO＝3，BO＝DO＝4，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝5，
在BC上取一点F，使得BF＝3CF，取OA的中点E，点G为BD上的一动点，
作E点关于BD的对称点E'，连接GE'，
∴GE＝GE'，
在△GFE'中，
GF﹣GE＝GF﹣GE'＜FE'，
则当点G、F、E'三点共线时，GF﹣GE取最大值，
∴GF﹣GE＝GF﹣GE'＝FE'，
取BC的中点H，连接HO，
∵BF＝3CF，OA的中点E，
∴点F是HC的中点，E'是OC的中点，
∴FE'＝HO，
∵HO＝BC，
∴FE'＝HO＝BC＝．
故答案为：．
三．解答题（共7小题）
17．解：∵菱形ABCD的周长为20，BD＝，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝5，AC⊥BD，EB＝ED＝BD＝2，EA＝EC，
∴EA＝＝＝，
∴AC＝2EA＝2，
∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝×2×4＝20．
18．解：（1）∵E为AB中点，DE⊥AB，
∴AD＝BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AD＝AB，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，AD＝BD＝AB，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠DAB＝60°，
∴∠ABC＝120°；
（2）∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，AO＝AC＝3，
在等边△ABD中，
∵AO⊥BD，DE⊥AB，
∴DE＝AO＝3．

19．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵∠EAF＝∠EAB，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴BA＝BE，
∵BF⊥AE，
∴∠ABF＝∠FBE，∠AFB＝∠FBE，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AB＝AF，
∴AF＝BE，
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF，
∴四边形ABEF是菱形．
（2）连接CF，
CE＝1，CF＝2，AB＝，
∵AB＝EF＝，
CE2+CF2＝EF2，
∴CF⊥BC，
∴菱形ABEF的面积＝×2＝．
20．（1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∵CF＝BC，
∴DE＝CF；
（2）证明：∵DE∥BC，DE＝CF，
∴四边形CDEF是平行四边形，
∵∠CAB＝∠B＝30°，
∴∠ACF＝60°，
∴∠CED＝60°，
∵DE＝BC，CE＝AC，BC＝AC，
∴DE＝CE，
∴△DEC是等边三角形，
∴DE＝DC，
∴平行四边形CDEF为菱形．
（3）解：∵平行四边形CDEF为菱形，
∴DE＝EF＝FC＝CD，
∵△DEC是等边三角形，
∴DE＝EC＝CD，
∴EF＝FC＝EC，
∵AE＝EC，
∴AE＝EF＝EC，
∵∠CEF＝60°，
∴∠EAF＝∠EFA＝30°，
∴∠AFC＝90°，
∵CF＝BC＝1，
∴AF＝CF＝．
21．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（ASA）；
（2）由（1）得：△ABE≌△ADF，
∴AB＝AD，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是菱形．
22．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝AC，OB＝OD＝BD＝3，AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∴OA＝＝＝4，
∴AC＝2OA＝8，
∵E、F分别是AB、AD的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF＝BD＝4，
（2）四边形DEOF是菱形．理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝DC，OA＝OC，OB＝OD，
∴O是AC，BD的中点，
∵E，F分别是菱形ABCD的边AD，CD的中点，
∴DE＝DA，DF＝DC，OE，OF分别是△ACD和△CDA的中位线，
∴DE＝DF，OE∥FD，OF∥DE，
∴四边形DEOF平行四边形，
∵DE＝DF，
∴四边形DEOF是菱形．
23．（1）证明：在△ABF和△DEC中，
，
∴△ABF≌△DEC（SAS），
∴BF＝CE，∠AFB＝∠DCE
又∵∠AFB+∠BFC＝180°，∠DCE+∠ECF＝180°，
∴∠BFC＝∠ECF，
∴BF∥CE，
∴四边形BFEC是平行四边形；
（2）解：当AF＝时，四边形BFEC是菱形，理由如下：
过B作BG⊥CF于G，如图所示：
∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，
∴AC＝＝＝5，
∵BG⊥AC，
∴△ABC的面积＝AC×BG＝AB×BC，
∴BG＝＝＝，
∴AG＝＝＝，
∴CG＝AC﹣AG＝5﹣＝，
∵AF＝，
∴FG＝AG﹣AF＝﹣＝，
∴CG＝FG，
又∵BG⊥CF，
∴BF＝BC，
由（1）得：四边形BFEC是平行四边形，
∴平行四边形BFEC是菱形，
故答案为：．