数学1.4 空间向量的应用课后复习题

这是一份数学1.4 空间向量的应用课后复习题，共15页。试卷主要包含了点到直线的距离，两条平行直线之间的距离，两个平行平面之间距离等内容，欢迎下载使用。
1.4.2用空间向量研究距离.夹角问题一．知识梳理1.点到直线的距离已知直线l的单位方向向量为μ，A是直线l上的定点，P是直线l外一点.设=a，则向量在直线l上的投影向量=(a·μ)μ.点P到直线l的距离为PQ=.2.两条平行直线之间的距离求两条平行直线l，m之间的距离，可在其中一条直线l上任取一点P，则两条平行直线间的距离就等于点P到直线m的距离.(二)､点到平面的距离､两个平行平面之间的距离点到平面的距离已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则点P到平面α的距离为PQ=.2.如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P到平面α的距离求解.3.两个平行平面之间距离如果两个平面α，β互相平行，在其中一个平面α内任取一点P，可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解.二．每日一练一、单选题1．已知直线过定点，且方向向量为，则点到的距离为（    ）A． B． C． D．2．已知△ABC的顶点A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则BC边上的中线长为（     ）A．          B．            C．           D．3．四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，AA1＝3，底面是边长为4且∠DAB＝60°的菱形，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，E是O1A的中点，则点E到平面O1BC的距离为（    ）A．2             B．1                C．              D．34．已知Rt△EFG的直角顶点E在平面α内，斜边FG∥α，且FG＝6cm，EF，EG与平面α分别成30°和45°角，则FG到平面α的距离是（     ）A．cm       B．cm           C．2cm            D．2cm5．已知四边形ABCD为正方形，P为平面ABCD外一点，PD⊥AD，PD＝AD＝2，二面角P-AD-C为60°，则P到AB的距离是（    ）A．2        B．             C．2                 D． 6．如图所示，正方体中，点分别在上，，，则与所成角的余弦值为（    ）A．                         B．C．                            D．7．在直三棱柱中，，则直线与直线夹角的余弦值为（    ）A． B． C． D．8．在正方体中，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ）A． B． C． D．二、多选题9．如图，为正方体，下列结论中正确的是（　　）A．平面        B．平面C．与底面所成角的正切值是D．过点与异面直线与成角的直线有条10．如图，在正方体中，、、分别为、、的中点，则（    ）A． B．平面C． D．向量与向量的夹角是11．在长方体中，，，，以为原点，以，，分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（    ）A．            B．异面直线与所成角的余弦值为C．平面的一个法向量为     D．二面角的余弦值为12．三棱锥中，平面与平面的法向量分别为，若，则二面角的大小可能为（    ）A．                B．         C．              D．三、填空题13．如图，在正三棱柱中，分别是的中点．设D是线段上的（包括两个端点）动点，当直线与所成角的余弦值为，则线段的长为_______．14．已知在棱长为a的正方体ABCD-A′B′C′D′中，E是BC的中点，则直线A′C与DE所成角的余弦值为________．15．如图所示，ABCD-EFGH为边长等于1的正方体，若P点在正方体的内部且满足，则P点到直线AB的距离为________．16．已知长方体的棱，则异面直线与所成角的大小是________________.（结果用反三角函数值表示）四、解答题17．如图，在三棱柱中，底面，，.（1）证明：；（2）求二面角的余弦值.18．如图所示，在直三棱柱中，侧面为长方形，，，，.（1）求证：平面平面；（2）求直线和平面所成角的正弦值.19．如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，.且Q为线段的中点（1）求直线与平面所成角的大小；（2）求直线与平面所成角的大小20．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，.直线与平面所成的角为.（1）求证：；（2）求二面角的正弦值.21．在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，，.（1）求证：平面平面；（2）若，求直线与所成角的余弦值；（3）若二面角大小为，求的长.22．如图所示，在几何体中，四边形为菱形，.（1）证明：平面；（2）若平面，求二面角的余弦值.参考答案1．A因为，，所以，则，，由点到直线的距离公式得，2．B易得BC的中点D坐标为，＝，故BC边上的中线长为|AD|＝||＝＝＝.3．C因为OO1⊥平面ABCD，所以OO1⊥OA，OO1⊥OB.又OA⊥OB，所以可建立如图所示的空间直角坐标系．因为底面ABCD是边长为4，∠DAB＝60°的菱形，所以OA＝2，OB＝2.则A(2，0，0)，B(0，2，0)，C(－2，0，0)，O1(0，0，3)．设平面O1BC的法向量为n＝(x，y，z)，则⊥，⊥，，所以，若z＝2，则x＝－，y＝3，所以＝(－，3，2)是平面O1BC的一个法向量．设点E到平面O1BC的距离为d，因为E是O1A的中点，所以，则d＝＝，所以点E到平面O1BC的距离等于.4．B5．解析：如图所示，过F，G分别作FA⊥α，GB⊥α，A，B分别为垂足，连接AE，EB，在Rt△FAE中，FE＝2FA；在Rt△GBE中，EG＝BG.设FG到平面α的距离为d，则d＝FA＝GB.在Rt△FEG中，EF2＋EG2＝36，即4d2＋2d2＝36，d2＝6，所以d＝ cm.5．D因为ABCD为正方形，所以AD⊥DC.由⇒∠PDC为二面角P-AD-C的平面角，即∠PDC＝60°.如图所示，过P作PH⊥DC于H. ∵,∴AD⊥面PDC.,∴AD⊥面PH.又PH⊥DC, ,∴PH⊥面ABCD,在平面AC内过H作HE⊥AB于E，连接PE，则PE⊥AB，所以线段PE即为所求．以H为坐标原点建立空间直角坐标系，则所以,∴6．C以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体边长为3，则，设EF与所成的角为，则7．A由题意，以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，不妨令，则，，，，因此，，所，故直线与直线夹角的余弦值为.8．B解：以为坐标原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则，，，，，设平面的法向量为，，，，令，则，，设直线与平面所成角为，则，．9．ABD对于A选项，如图，在正方体中，平面，平面，则，由于四边形为正方形，则，，因此，平面，故A正确；对于B选项，在正方体中，平面，平面，，因为四边形为正方形，所以，，，平面，平面，，同理可得，，平面，故B正确；对于C选项，由平面，得为与平面所成角，且，故C错误；对于D选项，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为， 则、、、，，，设过点且与直线、所成角的直线的方向向量为，则，，整理可得，消去并整理得，解得或，由已知可得，所以，，可得，因此，过点与异面直线与成角的直线有条，D选项正确.10．BC以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则、、、、、、、、、、.对于A选项，，，则，故A选项错误；对于B选项，设平面的法向量为，，，由，可得，取，可得，，，，平面，平面，故B选项正确；对于C选项，，，，故C选项正确；对于D选项，，，，所以，向量与向量的夹角是，故D选项错误.11．ACD解：在长方体中，，，，以为原点，以，，分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，对于A，∵，，∴，故A正确；对于B，，，，，设异面直线与所成角为，则异面直线与所成角的余弦值为：，故B错误；对于C，，，，设平面的一个法向量为，则，取，得平面的一个法向量为，故C正确；对于D，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，∴二面角的余弦值为：，故D正确.12．BC二面角的大小与法向量的夹角相等或互补，二面角的大小可能为或.13．．以E为原点，EA，EC为x，y轴建立空间直角坐标系，如下图．设，解得t=1，所以，14．如图所示，建立空间直角坐标系，则A′(0，0，a)，C(a，a，0)，D(0，a，0)，E，＝(a，a，－a)，＝，所以.所以直线A′C与DE所成角的余弦值为.15．解析：过P作PM⊥平面ABCD于M，过M作MN⊥AB于N，连接PN，则PN即为所求，如图所示． 因为，所以，所以.即P点到直线AB的距离为.16．解：建立如图所示的空间直角坐标系：在长方体中，，，，，，，，，，异面直线与所成角的大小是．．17．（1）证明见解析；（2）.（1）因为三棱柱中，底面所以底面，所以，因为，所以，因为面，面，，所以面，因为面，所以.（2）由（1）可知：底面，所以，，， 两两垂直，以为坐标原点，分别以，，为轴建立空间直角坐标系，如图所示,，，，，设面法向量为  由，得令，则，则.又因为平面的法向量为，所以. 由题可知，二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为.18．（1）证明见解析；（2）.（1）在直三棱柱中，平面，平面，，，为的中点，则，，则平面，平面，因此，平面平面；（2）由（1）可知，平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，，设平面的法向量为，，，由，取，可得，.因此，直线和平面所成角的正弦值为.19．（1）；（2）.以为x轴，为y轴，为z轴，建立坐标系.，，，，则，，，设异面直线与所成的角为，则，即异面直线与所成角的大小为.（2）设平面的法向量为，设直线与平面所成的角为，则即直线与平面所成角的大小为．20．（1）证明见解析；（2）.（1）取的中点，连结，，.在中，因为，为的中点，所以.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.因为平面，所以.在四边形中，，，且，，，所以，，，所以在中，有，所以，即.因为，平面，，因为平面.因为平面，所以.（2）由（1）知，平面，所以为在平面内的射影，即为直线与平面所成的角，所以.所以在中，.如图，分别以，所在直线为轴和轴，以平面内过点且与垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，.设平面的一个法向量，则即取，可得.设平面的一个法向量，则即取，可得.设二面角的大小为，则，所以，即二面角的正弦值为.21．（1）证明见解析；（2）；（3）.（1）为的中点，且，则，又因为，则，故四边形为平行四边形，因为，故四边形为矩形，所以，，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，因此，平面平面；（2）连接，由（1）可知，平面，，为的中点，则，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，则、、、、，设，，因为，则，解得，，，则.因此，直线与所成角的余弦值为；（3）易知平面的一个法向量是，设，，设平面的法向量为，由，取，可得，由题意可得，解得，所以，，因此，.22．（1）证明见解析；（2）.因为平面，平面所以平面因为四边形为菱形，所以同理可得平面又因为所以平面平面又因为平面所以平面 连接相交于点，以为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为，所以所以，，所以.设平面的一个法向量，所以.所以令，得，所以.设平面的一个法向量，所以所以令，得所以所以所以二面角的余弦值为．