高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置巩固练习

2.5.2 圆与圆的位置关系

一．知识梳理

.圆与圆的位置关系

设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1＞0)，

圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2＞0)．

两圆相交时公共弦所在直线的方程

设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①

圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②

若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①－②所得，即：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.

二．每日一练

一、单选题

1．已知圆关于直线对称，圆的标准方程是，则圆与圆的位置关系是（    ）

A．相离 B．相切 C．相交 D．内含

2．已知两圆相交于两点，，两圆圆心都在直线上，则的值为（    ）

A． B． C． D．

3．垂直平分两圆，的公共弦的直线方程为（    ）

A．  B．  C．  D．

4．圆与圆的位置关系为（    ）

A．内切 B．相切 C．相交 D．外高

5．若圆与圆相交，则正实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

6．圆与圆的位置关系为（    ）

A．内切 B．相切 C．相交 D．外离

7．已知圆，圆，若圆平分圆的圆周，则正数的值为（    ）

A．3 B．2 C．4 D．1

8．设圆：和圆：交于，两点，则线段所在直线的方程为（    ）

A． B．

C． D．

二、多选题

9．已知圆，则下列四个命题中正确的命题有（    ）

A．若圆与轴相切，则

B．圆的圆心到原点的距离的最小值为

C．若直线平分圆的周长，则

D．圆与圆可能外切

10．已知圆与圆有且仅有两条公共切线，则实数的取值可以是（    ）

A． B． C． D．

11．集合M＝{(x，y)|x2＋y2≤4}，N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤r2，r＞0}，且M∩N＝N，则r可能的取值是（    ）

A． B． C．1 D．

12．已知圆和圆的交点为，，则（    ）

A．圆和圆有两条公切线

B．直线的方程为

C．圆上存在两点和使得

D．圆上的点到直线的最大距离为

三、填空题

13．已知圆，点，若上存在两点满足，则实数的取值范围___________

14．已知P是圆上一点，动点，的坐标为，，其中.若恰好存在一个点，使得，则______.

15．若圆上存在两个点到点的距离都是2，则实数a的取值范围是_________．

16．已知圆，圆，若圆平分圆的圆周，则正数m的值为___________.

四、解答题

17．已知圆C过点，且与圆相切于点.

（1）求圆C的标准方程；

（2）已知点M在直线上且位于第一象限，若过点M且在两坐标轴上截距相等的直线l与圆C相切，求切线l的方程.

18．已知圆：，直线：是圆与圆的公共弦所在直线方程， 且圆的圆心在直线上.

（1）求公共弦的长度；

（2）求圆的方程；

（3）过点分别作直线，，交圆于，，，四点，且，求四边形面积的最大值与最小值.

19．已知圆.

（1）若直线过定点，且与圆相切，求直线 的方程；

（2）若圆的半径为4，圆心在直线上，且与圆外切，求圆的方程.

20．设圆的半径为，圆心是直线与直线的交点．

（1）若圆过原点，求圆的方程；

（2）已知点，若圆上存在点，使，求的取值范围．

21．已知圆，其中

（1）如果圆C与圆外切，求m的值；

（2）如果直线与圆C相交所得的弦长为，求m的值．

22．已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0.

（1）求两圆公共弦所在直线的方程；

（2）求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程.

参考答案

1．B，圆心，因为圆关于直线对称，所以圆心在直线上，即，解得，，圆心，半径为，，圆心，半径为，圆心间距离为，因为圆心间距离等于两圆半径之和，所以圆与圆的位置关系是相切，

2．A根据题意，由相交弦的性质，相交两圆的连心线垂直平分相交弦，可得与直线垂直，且的中点在这条直线上；由与直线垂直，可得，解可得，则，故中点为，且其在直线上，代入直线方程可得，1，可得；

故；

3．B根据题意，圆，其圆心为，则，

圆，其圆心为，则，垂直平分两圆的公共弦的直线为两圆的连心线，则直线的方程为，变形可得；

4．C解：圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，所以，所以两圆相交，

5．A，因为圆与圆相交，所以，解得．

6．C解：圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，

所以，所以两圆相交，

7．A圆的标准方程为，圆心为点，作差可得两圆的相交弦所在的直线为，代入点，有，解得．

8．A由题意知：①，②，∴由①- ②得，直线的方程为.

9．ABD圆的圆心坐标为：，半径为.若圆与轴相切，则，解得，所以A为真命题．

因为，所以，所以B为真命题．若直线平分圆的周长，则，即，所以C为假命题．

若圆与圆外切，则，

设函数，因为，，

所以在内必有零点，则方程有解，所以D为真命题．

10．CD圆方程可化为：，则圆心，半径；由圆方程知：圆心，半径；圆与圆有且仅有两条公切线，两圆相交，又两圆圆心距，，即，解得：或，

可知CD中的的取值满足题意.

11．AB集合M表示圆x2＋y2＝4上以及圆内的点，集合N表示圆(x－1)2＋(y－1)2＝r2上以及圆内的点，由已知，知，所以小圆(x－1)2＋(y－1)2＝r2内切或内含于大圆x2＋y2＝4，所以圆心距，所以，而，

12．ABD解：对于A，因为两个圆相交，所以有两条公切线，故正确；对于B，将两圆方程作差可得，即得公共弦的方程为，故B正确；

对于C，直线经过圆的圆心，所以线段是圆的直径，故圆中不存在比长的弦，故C错误；对于D，圆的圆心坐标为，半径为2，圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线的最大距离为，D正确.

13．由题意，可得如下示意图，

令，由知：，又在上，∴，整理得，即两圆有公共点，∴两圆的圆心距离为，半径分别为、，故当时符合题意，∴，即.

.14．或设以为直径的圆为圆，∵，∴，∵圆上恰好有一个点满足，∴圆与圆相切.

①当两圆外切时，，解得；②当两圆内切时，，解得.

15．由题意知：将问题转化为圆与圆心为，半径为2的圆有两个交点，两圆圆心距， ，,

故答案为：

16．3由与两式作差，可得两圆的相交弦所在的直线为，又圆的标准方程为，记圆心为；因为圆平分圆的圆周，所以公共弦所在直线过点，因此，解得（负值舍去）.

17．（1）；（2）或.

解：（1）设圆C的标准方程为，圆，可化为.因为圆C过点，，所以，，又圆C与圆D相切于点，所以C，D，E三点共线，则，解得，半径.

所以圆C的标准方程为.

（2）设，当直线l过原点时，切线方程为，则，因为，所以；当直线l不过原点时，切线方程为，则，因为，所以.所以切线l的方程为或.

18．（1）；（2）；（3）最大值14，最小值.

（1）圆：，圆心，半径，圆心到直线：的距离，所以公共弦；

（2）圆的圆心在直线上，设圆心，由题意得，所以，解得，即，到的距离，所以的半径，所以圆的方程：；

（3）假设点到的距离为，到的距离为，则，因为，所以，

所以，

所以，所以四边形面积的最大值14，最小值.

19．（1）或；（2）或.

（1）由题意可知，，且在圆外，由分析知，所求直线的斜率存在，故可设直线的方程为，所以圆心到直线的距离为.所以，解得，

故所求直线的方程为：或

（2）由题意，可设圆心的坐标为，，则由圆与圆外切，得圆心距为，所以，即，解得：或，则圆心或.故所求圆的方程为或.

20．（1）；（2）.

（1）由，得，所以圆心.又圆过原点，，圆的方程为：；

（2）设，由，得：，化简得.点在以为圆心，半径为的圆上.

又点在圆上，，

即，.

21．（1）；（2）

解：（1）圆C的圆心为，半径因为圆C与圆外切，所以两圆的圆心距等于其半径和，即，解得

（2）圆C的圆心到直线的距离因为直线与圆C相交所得的弦长为，所以，解得

22．（1）x－y＋4＝0；（2）x2＋y2－x＋7y－32＝0.

解：（1）设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标是方程组的解，两式相减得x－y＋4＝0，A，B两点坐标都满足此方程，x－y＋4＝0即为两圆公共弦所在直线的方程；

(2)解方程组得两圆的交点A(－1，3)，B(－6，－2)，

设所求圆的圆心为(a，b)，因为圆心在直线x－y－4＝0上，所以b＝a－4，

则＝，解得a＝，

所以圆心为，半径为，

所以圆的方程为＋＝，即x2＋y2－x＋7y－32＝0.