2020高考数学二轮仿真模拟专练三理试题

这是一份2020高考数学二轮仿真模拟专练三理试题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020高考数学二轮仿真模拟专练（三）理
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．[2019·北京海淀一模]已知集合P＝{x|0≤x≤2} ，且M⊆P，则M可以是(　　)
A．{0，1} B．{1，3}
C．{－1，1} D．{0，5}
答案：A
解析：∵0∈{x|0≤x≤2}，1∈{x|0≤x≤2}，∴{0，1}⊆{x|0≤x≤2}，故选A.
2．[2019·安徽皖南八校联考]i为虚数单位，a∈R，若z＝＋i为实数，则a＝(　　)
A．－1 B．－
C．1 D．2
答案：C
解析：z＝＋i＝＋i＝＋i＝＋i＝＋i，由题意可得a＝1，故选C.

3．[2019·山东烟台模拟]已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是(　　)
A．a>1，c>1
B．a>1，0 C．01
D．0 答案：D
解析：由对数函数的性质及题图，得00，所以函数y＝loga(x＋c)的图象是由函数y＝logax的图象向左平移c个单位长度得到的，所以根据题中图象可知0 4．[2019·江西九江重点学校联考]在扇形AOB中，∠AOB＝θ，扇形AOB的半径为，C是弧AB上一点，若＝＋，则θ＝(　　)
A. B.
C. D.
答案：D
解析：∵＝＋，||＝||＝||＝，∠AOB＝θ，∴2＝2＋·＋2＝3，即4cos θ＝－2，∴cos θ＝－，∵0<θ<π，∴θ＝，故选D.
5．[2019·湖南岳阳三检]观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，…，归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝(　　)
A．－g(x) B．f(x)
C．－f(x) D．g(x)
答案：A
解析：(x2)′＝2x中，函数y＝x2为偶函数，其导函数y′＝2x为奇函数；
(x4)′＝4x3中，函数y＝x4为偶函数，其导函数y′＝4x3为奇函数；
(cos x)′＝－sin x中，函数y＝cos x为偶函数，其导函数y′＝－sin x为奇函数；….
我们可以归纳，偶函数的导函数为奇函数．事实上，
若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，则函数f(x)为偶函数，
又g(x)为f(x)的导函数，则g(x)为奇函数，
故g(－x)＋g(x)＝0，即g(－x)＝－g(x)，故选A.

6．[2019·安徽池州期末]已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则函数y＝f＋1的一个对称中心是(　　)
A. B.
C. D.
答案：C
解析：由函数图象可知A＝2，函数f(x)的最小正周期T＝4＝π，所以ω＝＝2，易得2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，又|φ|<，所以φ＝，所以f(x)＝2sin.则y＝f＋1＝2sin＋1，令2x－＝kπ，k∈Z，则x＝＋，k∈Z，当k＝1时，x＝，所以函数y＝f＋1的一个对称中心为.故选C.
7．[2019·河南洛阳尖子生第二次联考]已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝(　　)
A．2n－1 B.n－1
C.n－1 D.n－1
答案：B
解析：解法一　当n＝1时，S1＝a1＝2a2＝1，则a2＝；当n≥2时，Sn－Sn－1＝an＝2an＋1－2an，则＝.所以当n≥2时，数列{an}是公比为的等比数列．所以an＝于是Sn＝1＋＋×＋…＋×n－2＝1＋＝n－1.故选B.
解法二　当n＝1时，S1＝a1＝2a2＝1，则a2＝，所以S2＝1＋＝，结合选项可得只有B选项满足．故选B.
8．[2019·鄂东南省级示范高中联考]《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也．以等数约之”．翻译成现代语言如下：第一步，任意给定两个正整数，判断他们是否都是偶数，若是，用2约简，若不是，执行第二步；第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．现给出“更相减损术”的程序框图如图所示，如果输入的a＝114，b＝30，则输出的n为(　　)

A．3 B．6
C．7 D．30
答案：C
解析：根据框图可列表如下．

a
114
57
42
27
12
15
3
12
9
6
3
b
30
15
15
15
15
12
12
3
3
3
3
n
0
0
1
2
3
3
4
4
5
6
7
k
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
由表可知，最后输出的k＝2，b＝3，n＝7，故选C.
9．[2019·吉林省实验中学测试]已知实数x，y满足则2x＋y的取值范围是(　　)
A．[1，2] B．[1，＋∞)
C．(0，] D．[1，]
答案：D
解析：设z＝2x＋y，作出表示的平面区域，如图中阴影部分所示，作出直线y＝－2x，平移该直线，数形结合可知当平移后的直线过点(0，1)时，z取得最小值1，当平移后的直线与圆相切于第一象限时，z取得最大值，最大值为，所以2x＋y的取值范围是[1，]．故选D.


10．[2019·江西五校协作体联考]如图，圆锥的底面直径AB＝4，高OC＝2，D为底面圆周上的一点，且∠AOD＝，则直线AD与BC所成的角为(　　)
A. B.
C. D.
答案：B

解析：如图，过点O作OE⊥AB交底面圆于点E，分别以OE，OB，OC所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系O­xyz，因为∠AOD＝π，所以∠BOD＝，则D(，1，0)，A(0，－2，0)，B(0，2，0)，C(0，0，2)，＝(，3，0)，＝(0，－2，2)，所以cos〈，〉＝＝－，则直线AD与BC所成的角为，故选B.
11．[2019·四川成都一诊]过曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的左焦点F1作曲线C2：x2＋y2＝a2的切线，设切点为M，延长F1M交曲线C3：y2＝2px(p>0)于点N，其中C1，C3有一个共同的焦点，若＋＝0，则曲线C1的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
答案：A
解析：易知曲线C1为双曲线．
设曲线C1的右焦点为F，则F的坐标为(c，0)．
因为曲线C1与C3有一个共同的焦点，所以y2＝4cx.
因为＋＝0，所以＝－＝，则M为线段F1N的中点．
连接OM，NF(O为坐标原点)．因为O为线段F1F的中点，M为线段F1N的中点，所以OM为△NF1F的中位线，所以OM∥NF.
因为|OM|＝a，所以|NF|＝2a.
易知NF⊥NF1，|F1F|＝2c，所以|NF1|＝2b.
设N(x，y)，则由抛物线的定义可得x＋c＝2a，
所以x＝2a－c.
过点F1作x轴的垂线，点N到该垂线的距离为2a.
由勾股定理得y2＋4a2＝4b2，即4c(2a－c)＋4a2＝4(c2－a2)，得e2－e－1＝0(e>0)，所以e＝.故选A.
12．[2019·重庆西南大附中月考]已知奇函数f(x)是定义在R上的单调函数，若函数g(x)＝f(x2)＋f(a－2|x|)恰有4个零点，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(0，1] D．(0，1)
答案：D
解析：∵g(－x)＝f(x2)＋f(a－2|x|)＝g(x)，∴g(x)是偶函数．若g(x)＝f(x2)＋f(a－2|x|)恰有4个零点，等价于当x>0时，g(x)有2个不同的零点．∵f(x)是奇函数，∴由g(x)＝f(x2)＋f(a－2|x|)＝0，得f(x2)＝－f(a－2|x|)＝f(2|x|－a)．∵f(x)是单调函数，∴x2＝2|x|－a，即－a＝x2－2|x|，当x>0时，－a＝x2－2|x|＝x2－2x有两个根即可．设h(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，要使当x>0时，－a＝x2－2|x|有两个根，则－1<－a<0，即0 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上．)
13．[2019·河北九校联考]已知两条不同的直线m，n，两个不重合的平面α，β，给出下列命题：
①m∥n，m⊥α⇒n⊥α；
②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n；
③m∥n，m∥α⇒n∥α；
④m⊥α，m∥β⇒α⊥β；
⑤α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β.
其中正确命题的序号是________．
答案：①④⑤
解析：命题①，显然正确；命题②，m，n可能异面，故②为假命题；命题③，可能n⊂α，故③为假命题；命题④，显然正确；命题⑤，由m∥n，m⊥α，得n⊥α，又α∥β，所以n⊥β，故⑤为真命题．综上，正确的命题为①④⑤.
14．[2019·山东潍坊重点学校摸底]若(x＋1)6的展开式中常数项为60，则实数a的值是________．
答案：±2
解析：6的展开式的通项Tr＋1＝C·6－r·r＝(－a)r·6－r·C·x6－.由6－r＝－1，得r＝(舍去)，由6－r＝0，得r＝4.所以(x＋1)6的展开式中常数项为(－a)4·2·C＝＝60，得a＝±2.
15．[2019·湖北八校联考]已知数列{an}满足an＝2an－1＋2n－1(n∈N*，n≥2)，若a4＝65，则a1＝________.
答案：3
解析：∵an＝2an－1＋2n－1(n∈N*，n≥2)，a4＝65，∴2a3＋24－1＝65，得a3＝25，∴2a2＋23－1＝25，得a2＝9，∴2a1＋22－1＝9，得a1＝3.
16．[2019·江苏张家港一模]已知函数f(x)＝设a>b≥0，若f(a)＝f(b)，则b·f(a)的取值范围是________．
答案：

解析：画出函数f(x)的大致图象，如图所示．由图象可知要使a>b≥0，f(a)＝f(b)成立，则≤b<1.b·f(a)＝b·f(b)＝b(b＋1)＝b2＋b＝2－，所以≤b·f(a)<2.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(12分)[2019·广东省六校联考]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋c2－b2＝abcos A＋a2cos B.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝2，tan C＝，求△ABC的面积．
解析：(1)依题意知a2＋c2－b2＝abcos A＋a2cos B，
由余弦定理，得2accos B＝abcos A＋a2cos B，
因为a≠0，所以2ccos B＝bcos A＋acos B.
由正弦定理，得2sin Ccos B＝sin Bcos A＋sin Acos B＝sin(A＋B)＝sin C，
又C∈(0，π)，sin C>0，所以cos B＝，
因为B∈(0，π)，所以B＝.
(2)已知tan C＝，C∈(0，π)，易得sin C＝，cos C＝，
由(1)知B＝，
所以sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝×＋×＝.
由正弦定理＝，得a＝＝＝6，
所以△ABC的面积为S＝absin C＝×6×2×＝6.
18．(12分)[2019·江西南昌重点中学段考]如图，四边形ABCD是矩形，沿对角线AC将△ACD折起，使得点D在平面ABC内的射影恰好落在边AB上．

(1)求证：平面ACD⊥平面BCD；
(2)当＝2时，求二面角D－AC－B的余弦值．
解析：(1)证明：如图，设点D在平面ABC内的射影为点E，连接DE，
则DE⊥平面ABC，所以DE⊥BC.

因为四边形ABCD是矩形，所以AB⊥BC，所以BC⊥平面ABD，
所以BC⊥AD.
又AD⊥CD，所以AD⊥平面BCD，而AD⊂平面ACD，
所以平面ACD⊥平面BCD.
(2)解法一　在矩形ABCD中，过点D作AC的垂线，垂足为M，连接ME.
因为DE⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，所以DE⊥AC，
又DM∩DE＝D，
所以AC⊥平面DME，EM⊂平面DME，所以EM⊥AC，
所以∠DME为二面角D－AC－B的平面角．
设AD＝a，则AB＝2a.
在Rt△ADC中，易求得AM＝，DM＝.
在Rt△AEM中，＝tan∠BAC＝，得EM＝，
所以cos∠DME＝＝.

解法二　以点B为原点，线段BC所在的直线为x轴，线段AB所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系B­xyz，如图所示．
设AD＝a，则AB＝2a，所以A(0，－2a，0)，C(－a，0，0)．
由(1)知AD⊥BD，又＝2，所以∠DBA＝30°，∠DAB＝60°，所以AE＝ADcos∠DAB＝a，BE＝AB－AE＝a，DE＝ADsin∠DAB＝a，
所以D，所以＝，＝(－a，2a，0)．
设平面ACD的法向量为m＝(x，y，z)，则即
取y＝1，则x＝2，z＝－，所以m＝.
因为平面ABC的一个法向量为n＝(0，0，1)，
所以cos〈m，n〉＝＝＝－.
结合图知，二面角D－AC－B为锐二面角，
所以二面角D－AC－B的余弦值为.
19．(12分)[2019·安徽省合肥市高三上学期期末考试]每年3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基础．为了做好今年的世界睡眠日宣传工作，某社区从本辖区内同一年龄层次的人员中抽取了100人，通过问询的方式得到他们在一周内的睡眠时间(单位：小时)，并绘制出如下的频率分布直方图．

(1)求这100人睡眠时间的平均数(同一组数据用该组区间的中点值代替，结果精确到个位)；
(2)由直方图可以认为，人的睡眠时间t近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似地等于样本平均数(精确到个位)，σ2近似地等于样本方差s2，s2≈33.6，假设该辖区内这一年龄层次共有10 000人，试估计该人群中一周睡眠时间位于区间(39.2，50.8)的人数．
附：≈5.8，若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ 解析：(1)＝0.06×34＋0.18×38＋0.20×42＋0.28×46＋0.16×50＋0.10×54＋0.02×58＝44.72≈45.
(2)由题意得，μ≈45，σ≈5.8，μ－σ＝39.2，μ＋σ＝50.8，P(39.2 所以估计该人群中一周睡眠时间在区间(39.2，50.8)的人数约为10 000×0.682 6＝6 826.
20．(12分)[2019·山东滨州联考]已知抛物线E：x2＝2py(p>0)上一点M的纵坐标为6，且点M到焦点F的距离为7.
(1)求抛物线E的方程；
(2)设l1，l2为过焦点F且互相垂直的两条直线，直线l1与抛物线E相交于A，B两点，直线l2与抛物线E相交于C，D两点，若直线l1的斜率为k(k≠0)，且S△OAB·S△OCD＝8，试求k的值．
解析：(1)由抛物线的定义知，点M到抛物线的准线的距离为7，
所以6＋＝7，解得p＝2，
故抛物线E的方程为x2＝4y.
(2)由题意可知l1的方程为y＝kx＋1(k≠0)由消去y，整理得x2－4kx－4＝0，
Δ＝16(k2＋1)>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，
|AB|＝|x1－x2|＝＝4(k2＋1)．
由点O到直线AB的距离d＝，
得S△OAB＝|AB|·d＝×4(k2＋1)×＝2.
因为l1⊥l2，所以同理可得S△OCD＝2＝.
由S△OAB·S△OCD＝8，得2×＝8，
解得k2＝1，即k＝－1或k＝1.
21．(12分)[2019·贵州贵阳监测]已知函数f(x)＝(m≥0)，其中e为自然对数的底数．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若m∈(1，2)，证明：当x1，x2∈[1，m]时，f(x1)>－x2＋1＋恒成立．
解析：(1)由题意得f′(x)＝－＝－，当m＝0，即1－m＝1时，f′(x)＝－≤0，f(x)在R上单调递减；当m>0，即1－m<1时，令f′(x)<0，得x<1－m或x>1，令f′(x)>0，得1－m ∴f(x)在(－∞，1－m)，(1，＋∞)上单调递减，在(1－m，1)上单调递增．
(2)令g(x)＝－x＋1＋，问题转化为证明f(x)min>g(x)max.
由(1)可知，m∈(1，2)时f(x)在[1，m]上单调递减，
∴f(x)min＝f(m)＝.
∵g(x)在[1，m]上单调递减，
∴g(x)max＝g(1)＝.
所以要证f(x)min>g(x)max，只需证>.
记h(m)＝(1 令h′(m)>0，得1 令h′(m)<0，得 ∴h(m)在上单调递增，在上单调递减．
又＝，＝，
∴对任意的m∈(1，2)，都有h(m)>>，
即当x1，x2∈[1，m]时，f(x1)>－x2＋1＋恒成立．
选考题(请考生在第22、23题中任选一题作答，多答、不答按本选考题的首题进行评分．)
22．(10分)[2019·南宁市高三毕业班第一次适应性测试]在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(r>0，φ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos＋1＝0.若直线l与曲线C相切．
(1)求曲线C的极坐标方程；
(2)在曲线C上任取两点M，N，该两点与原点O构成△MON，且满足∠MON＝，求△MON面积的最大值．
解析：(1)由ρcos＋1＝0得
ρcos θ－ρsin θ＋1＝0，
则直线l的直角坐标方程为x－y＋2＝0.
曲线C是圆心为(，1)，半径为r的圆，
由直线l与曲线C相切可得r＝＝2.
则曲线C的直角坐标方程为(x－)2＋(y－1)2＝4.
所以曲线C的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ＝0，
即ρ＝4sin.
(2)由(1)不妨设M(ρ1，θ)，N
.
S△MON＝|OM|·|ON|·sin＝ρ1ρ2
＝4sinsin
＝2sin θcos θ＋2cos2θ
＝sin 2θ＋cos 2θ＋
＝2sin＋.
当θ＝时，△MON面积的最大值为2＋.
23．(10分)[2019·四川资阳一诊][选修4－5：不等式选讲]
设函数f(x)＝|x|，g(x)＝|2x－2|.
(1)解不等式f(x)>g(x)；
(2)若2f(x)＋g(x)>ax＋1对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．
解析：(1)不等式f(x)>g(x)，即|2x－2|<|x|.
则(2x－2)2 故有(3x－2)(x－2)<0，解得 则所求不等式的解集为.
(2)2f(x)＋g(x)＝2|x|＋|2x－2|，
若2f(x)＋g(x)>ax＋1对任意x∈R恒成立，则
①当x≤0时，只需不等式－2x－2x＋2>ax＋1恒成立，即ax<－4x＋1，
x＝0时，该不等式恒成立，a∈R；x<0时，a>－4＋恒成立，可得a≥－4.
②当0ax＋1恒成立，即a<恒成立，可得a≤1.
③当x≥1时，只需不等式2x＋2x－2>ax＋1恒成立，即a<4－恒成立，可得a<1.
综上，实数a的取值范围是[－4，1)．