人教版第四章 几何图形初步综合与测试教案设计

这是一份人教版第四章 几何图形初步综合与测试教案设计，共104页。教案主要包含了教师准备，学生准备，师生活动，基础巩固，能力提升，拓展探究，答案与解析，学生活动等内容，欢迎下载使用。
第四章　几何图形初步



1.通过从实物和具体模型中抽象,了解几何图形、立体图形与平面图形以及几何体、平面和曲面、直线和曲线、点等概念.
2.能画出从不同方向看一些基本几何体(直棱柱、圆柱、圆锥、球)以及它们的简单组合体得到的平面图形;了解直棱柱、圆柱、圆锥的展开图,能根据展开图想象相应的几何体,制作立体模型.
3.进一步认识直线、射线、线段的概念,掌握它们的符号表示;掌握基本事实“两点确定一条直线”“两点之间,线段最短”,了解它们在生活和生产中的应用;理解两点间距离的意义,能度量两点间的距离;了解平面上两条直线具有相交与不相交两种位置关系;会比较线段的大小,理解线段的和、差及线段的中点等概念,会画一条线段等于已知线段.
4.理解角的概念,掌握角的符号表示,会比较角的大小,认识度、分、秒并能进行简单的换算,会计算角的和与差,了解角的平分线、余角、补角的概念,知道补角和余角的性质.

1.在平面图形和立体图形相互转换的过程中,培养空间观念和空间想象力.
2.在对图形的探索过程中,培养学生的观察、类比、归纳的能力.

1.初步认识几何图形是描述现实世界的重要工具,初步应用几何图形的知识解决一些简单的实际问题.
2.培养学习图形与几何知识的兴趣,通过交流活动,形成积极参与数学活动、主动与他人合作交流的意识.

本章教学内容是几何学中最基本的一些知识.我们生活中的现实空间的各种物体都以其所具有的各种空间形式存在于我们周围,学习有关图形与几何的知识能使人们更好地认识现实空间,并把有关的知识应用于实际生活和工作之中.本章是初中阶段“图形与几何”领域的第一章,介绍图形与几何的一些最基本的概念和图形.一些最基本的概念,如几何图形、立体图形、平面图形、体、面、线、点等要在本章中从现实具体物体中抽象、归纳出来,直线、线段、射线、角及有关的概念将在本章中得到比较详细的介绍,并被广泛应用于后续的教学中,本章的教学属于初中几何图形知识学习的起始阶段,对于后续相关知识的学习影响深远.
本章研究的内容是几何图形.点、线、面、体既是组成几何图形的元素,本身又是基本的几何图形,而直线、射线、线段是研究数轴、函数图象以及各种几何图形的基础.本章中渗透了数形结合、分类讨论、几何变换等重要的数学思想和方法,并开始学习图形语言、符号语言,为学习相关的内容打好基础.

【重点】
1.平面图形和立体图形的认识.
2.理解和掌握直线、射线、线段的特征和一些性质.
3.掌握角的比较、度量,能判断互余角和互补角,并能正确地加以运用.
【难点】
1.直线、射线、线段的相关知识.
2.角的有关计算.
3.图形的表示和画图、作图,对几何语言的学习、运用.

1.4.1节几何图形的教学中,要注意引导学生观察现实生活中的各种物体,从而进入到本章几何初步知识的学习中.对于立体图形,要引导学生对图形特征的认识,让学生完成从辨认到初步认识的提升.注意培养学生的空间观念,可以师生共同观察具体物体,教师多利用几何教具带领学生经历从物体抽象出几何图形的过程.
2.4.2节直线、射线、线段的教学要让学生理解和掌握它们的联系和区别.通过实际操作和观察,理解和掌握直线、线段的性质,应让学生通过思考、探究、得到“两点确定一条直线”和“两点之间,线段最短”这两个基本事实.在图形与几何的教学中,画图教学和作图教学是重要内容,应引起重视.
3.4.3节角的教学中,要在学生原有角的概念的基础上,通过丰富的实例,进一步认识角,认识与角有关的各种基本概念与关系.教学中可以通过大量贴近生活的实例,如时钟的分针与时针的夹角等来帮助学生理解角的概念,也可以让学生尽可能地去发现生活中还有哪些物体具有角的形象.
4.4.4节课题学习,让学生设计制作长方体形状的包装纸盒.在此过程中,要让学生借助所学的几何初步知识,逐渐学会独立思考,学会与他人合作,并经历发现问题、分析问题和解决问题的过程,在活动过程中培养空间想象能力、逻辑思维能力、动手操作能力和在实践中应用数学的能力.


4.1几何图形
4.1.1立体图形与平面图形(2课时)
4.1.2点、线、面、体(1课时)
3课时
4.2直线、射线、线段
2课时
4.3角
4.3.1角(1课时)
4.3.2角的比较与运算(1课时)
4.3.3余角和补角(1课时)
3课时
4.4课题学习——设计制作长方体形状的包装纸盒
1课时
单元复习
1课时


4.1　几何图形





1.认识几何图形,能识别立体图形与平面图形.
2.能画出立体图形的三种视图,并了解立体图形的表面展开图.

1.通过对生活中立体图形的认识,培养学生的空间观念.
2.让学生学会观察,从周围熟悉的物体入手,对物体形状的认识由感性认识上升到理性认识.


1.发展学生的空间观念,培养他们的想象力.
　　2.让学生在学习的过程中树立学数学、爱数学的良好素养.

【重点】
1.观察和认识生活中的立体图形.
2.会描述球、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥及立方体的简单组合体的三种视图.
【难点】
1.会将生活中的实物抽象为某一类的立体图形.
2.由视图描述简单的实际图形.
4.1.1　立体图形与平面图形



1.能识别一些基本几何体.
2.初步了解立体图形和平面图形的概念.
3.能从不同角度观察一些几何体,以及它们简单的组合体的平面图形.
4.了解一些立体图形的表面展开图,能根据展开图想象相应的几何体.

1.用数学眼光认识世界,认识学习几何知识的重要意义和应用价值.
2.经历从现实世界中抽象出图形的过程,体会在解决问题过程中与他人合作的重要性.
3.注意图形与几何知识和实际生活的联系,认识可以用平面图形表示立体图形,以及立体图形与平面图形的联系.

1.感受数学世界的奇妙,形成学习数学的兴趣.
2.激发学生对“空间与图形”的探究欲望,唤起学生爱生活,爱数学的热情.
3.通过与他人的交流,初步形成积极参与数学活动,主动与他人合作的意识.


【重点】　
1.从不同角度观察几何体.
2.了解一些简单立体图形的展开图.
【难点】
1.了解从物体外形抽象出的几何体、平面、直线和点的概念.
2.了解从物体外形抽象几何体的方法.
3.根据展开图想象几何体.
第课时



1.通过实物和具体模型,了解从物体外形抽象出来的几何体、平面、直线和点的概念.
2.能识别一些基本几何体.
3.初步了解立体图形和平面图形的概念.

1.用数学眼光认识世界,认识学习几何知识的重要意义和应用价值.
2.经历从现实世界中抽象出图形的过程,体会在解决问题过程中与他人合作的重要性.


1.感受数学世界的奇妙,形成学习数学的兴趣.
2.激发学生对“空间与图形”的探究欲望,唤起学生爱生活、爱数学的热情.

【重点】　识别一些基本几何体.
【难点】　了解从物体外形抽象出的几何体、平面、直线和点的概念.

【教师准备】　教材图投影,部分立体图形的模型.
【学生准备】　生活中立体图形的小实物.


导入一:
现在,人们不仅从现代环境的科学角度,努力保护和改善人类生存环境,而且从环境艺术的角度,运用现代科学技术和各种艺术手段,为人类创造出更加美好的生存环境.在公园、广场等地看到的各种建筑标志、雕塑以及家庭住房的装饰等,使用了多姿多彩的图形,有的奇形怪状,有的具有较为规则的形状.
你能说出日常生活中所见过的物体的形状有哪些吗?
[设计意图]　通过介绍让学生了解在生活中存在着各种各样的图形,并通过举例让学生认识这些平面或立体图形.
导入二:
师:同学们, 不知道你们有没有仔细地观察过我们生活的周围,如果你认真观察的话,你就会发现我们周围的物体的形状是千姿百态的.
其实这些美好的事物跟我们的数学有很大的联系,因为它包含着许多图形的知识.
我们生活在三维的世界中,随时随地看到的和接触到的物体都是立体的.
有些物体,像石头、植物等呈现出极不规则的奇形怪状;同时也有许多物体具有较为规则的形状.
请同学们列举出一些生活中的立体图形.比一比谁想出的图形最多.(由学生回答,教师总结)
生:橙子、苹果、西瓜、菠萝等;另外,还有中国传统建筑、书、蛋筒、冰淇淋等等.
师:请大家观察下面的图片:城市里的雕塑、悉尼歌剧院、篮球、金字塔等.


[设计意图]　结合生活中具体的例子,说明研究几何图形的应用价值,从而调动学生学习的积极性,激发学习的兴趣.

活动1:几何图形的认识
　　[过渡语]　 (出示教材图4.1 - 1)从城市宏伟的建筑到乡村简朴的住宅,从四通八达的立交桥到街头巷尾的交通标志,从古老的剪纸艺术到现代的城市雕塑,从自然界形态各异的动物到北京的申奥标志……图形世界是多姿多彩的!
各种各样的物体除了具有颜色、质量、材质等性质外,还具有形状(如方的、圆的等)、大小(如长度、面积、体积等)和位置关系(如相交、垂直、平行等),物体的形状、大小和位置关系是几何中研究的内容.
观察这个纸盒,从中可以看出哪些你熟悉的图形?(教师出示教具)



思考:从整体上看,它的形状是　　　　;看不同的侧面,得到的是　　　　或　　　　;看棱得到的是　　　　;看顶点得到的是　　　　.
(学生边回答,教师边展示上图)
[知识拓展]　长方体、圆柱、球、长(正)方形、圆、线段、点,以及小学学过的三角形、四边形等,都是从形形色色的物体外形中得出的,它们都是几何图形.
[设计意图]　通过观看图形展示,让学生感受现实生活中存在的图形,认识几何图形,从而发现各图形的特点,初步了解立体图形的组成,由点到线,由线到面,由面到体的特征.
活动2:认识立体图形与平面图形
1.立体图形
　　[过渡语]　有些几何图形(如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等)各部分不都在同一平面内,它们是立体图形.
思路一
(1)上面的实物和下面的哪种立体图形比较相像?

请同学们拿出手中的立体图形,它们分别是哪一种立体图形?(学生举例说明)
(2)下图中实物的形状对应哪些立体图形?把相应的实物与图形用线连接起来.



(3)教师拿出事先准备好的立体图形的模型.


让学生实际摸一摸,比较一下这些图形,看看这些图形有什么相同的地方,有什么不同的地方.
教师归纳:如图(1)、图(2)所示的立体图形我们把它们叫做柱体(cylinder);如图(3)、图(5)所示的立体图形我们把它们叫做锥体(cone),如图(4)所示的立体图形我们把它们叫做球体(sphere).
图(1)和图(2)、图(3)和图(5)之间还有一定的差别.
图(1)表示的图形我们把它叫做圆柱.
图(2)表示的图形叫做棱柱,棱柱按棱数分类又可以分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱等等.出示下图:


图(3)所表示的图形叫做圆锥,图(5)表示的图形叫做棱锥.棱锥按棱数分类又可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥、六棱锥等等.出示下图:


(4)请同学写出下列立体图形的名称.

[知识拓展]　(1)柱体分为棱柱与圆柱,通常以侧棱的条数给棱柱命名,如有5条侧棱的棱柱叫五棱柱.(2)锥体分为棱锥与圆锥,它们的共同点是都有一个公共顶点;不同点是棱锥的侧面是三角形,底面是一个多边形,而圆锥的侧面是曲面,底面是一个圆.(3)立体图形的各部分不都在同一平面内.(4)球体是一个封闭的曲面,为立体图形,要注意它与圆的区别.
思路二
(1)整体感知
出示一组实物与对应的几何体模型:
①墨水盒及与其形状相同的一个长方体;
②日光灯管与一个细长的圆柱体;
③足球与一个小的钢珠球;
④冰淇淋圆锥形外壳与一个圆锥体模型等.
教师出示实物与几何体模型,让学生观察讨论,寻找实物与几何模型的异同点.
在学生相互交流基础上请代表发表意见,分别说明每一组实物与其相对应的几何体之间形状、颜色、质量等方面的异同点.
教师演示多媒体课件,显示从实物抽象出几何体的动态过程,给学生以更直观地由实物抽象出几何体的过程感受.
师生共同明晰:
只注意物体的形状(如方的、长的、圆的等)、大小(如长度、面积、体积)、位置,而不考虑它们的其他性质(如颜色、质量、材质等),就得到各种几何图形.
[设计意图]　设计此活动的目的是让学生初步了解,几何图形是只关注物体的形状、大小、位置关系等性质,而不考虑颜色、质量等属性从物体中抽象出来的.
【师生活动】　教师提出问题:实际生活中我们见到过哪些几何体?你们能举出一些实例吗?
学生活动:让学生搜集生活中的物体,抽象出它们对应的几何体,并在全班进行交流、讨论.
[设计意图]　活学活用,及时巩固所学既念,加深对几何图形概念的理解,能够从实物中抽象出常见几何体.
(2)探究特点
①出示长方体、四面体、圆柱体、球体模型;
②让学生从身边的物体中探究几何体的面是平的面还是曲的面.
教师提出问题:
①你知道这些几何体是由什么围成的吗?它们有什么不同吗?
学生先观察思考、讨论交流,然后用自己的语言表述,最后教师规范解答.
它们都有表面.包围着体的是面,例如,长方体有六个面,都是平的.四面体有四个面,都是平的.圆柱体有两个底面,都是平的,一个侧面,是曲的.球有一个面,是曲的.体是由面围成的,面有平的面和曲的面两种.
[设计意图]　对一些几何名词,教师直接给出与结合图形的讲解是十分必要的.对几何名词只要学生能结合图形认识、会判断图形即可.
②组织学生分组讨论柱体与锥体、柱体与柱体、锥体与锥体间的区别与联系.(老师巡视指导)
[设计意图]　让学生大胆想象,并通过讨论确认想象结果的正确性,发展学生的空间观念.通过练习让学生获得成功的体验,同时发现存在的问题和不足.
2.平面图形
　　[过渡语]　刚才我们接触到了立体图形,在几何图形中还有一种是平面图形.
(1)说一说下面这些几何图形又有什么共同特点.


在学生回答的基础上,教师说明:
有些几何图形(如线段、角、三角形、长方形、圆等)的各部分都在同一平面内,它们是平面图形.
(2)下面各图中包含哪些简单的平面图形?请再举出一些平面图形的例子.

说明:虽然立体图形与平面图形是两类不同的几何图形,但它们是互相联系的.立体图形中某些部分是平面图形,如长方体的侧面是长方形.
[设计意图]　通过观察让学生认识平面图形的特点,并能从图形中找到平面图形,认识其特点.

1.几何图形立体图形:一个图形的各个部分不都在同一个平面上平面图形:一个图形的各部分都在同一个平面上
2.立体图形与平面图形是两类不同的图形,但它们相互联系,立体图形上的某部分就是平面图形,立体图形是由平面图形组成的.

1.观察下列实物模型,其形状类似于圆柱体的是 (　　)

解析:圆柱的上、下底面是大小相同的圆,所以正确的是C.故选C.

2.右图中物体的形状是 (　　)
A.棱柱　　　　B.圆柱
C.圆锥 D.球
解析:观察图形知其符合四棱柱的特征.故选A.

3.如图所示,组成陀螺的两个几何体是 (　　)
A.长方体和圆锥
B.长方形和三角形
C.圆和三角形
D.圆柱和圆锥
解析:根据立体图形的概念和定义对图形进行分析,可知该图上部分是圆柱,下部分是圆锥.故选D.

第1课时
活动1:几何图形的认识
活动2:认识立体图形与平面图形

(1)立体图形柱体棱柱圆柱锥体棱锥圆锥球
(2)平面图形

一、教材作业
【必做题】
教材第116页练习第1,2题.
【选做题】
教材第121页习题4.1第1,2,3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列图形不是立体图形的是 (　　)
A.球　　B.圆柱　　C.圆锥　　D.圆
2.下列图形中,属于棱柱的是 (　　)


3.给出以下四个结论,其中正确的个数为 (　　)
(1)圆柱体的上、下两个圆一样大;
(2)圆柱、圆锥的底面都是圆;
(3)圆柱是由两个面围成的;
(4)长方体的面不可能有正方形.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

4.与右图相对应的几何图形的名称为 (　　)
A.四棱锥 B.三棱锥
C.四棱柱 D.三棱柱
5.与图中实物图相类似的立体图形按从左至右的顺序依次是 (　　)

A.圆柱、圆锥、正方体、长方体
B.圆柱、球、正方体、长方体
C.棱柱、球、正方体、棱柱
D.棱柱、圆锥、棱柱、长方体
【能力提升】
6.下列图形中:
(1)属于柱体的有　　　　(填序号);
(2)属于锥体的有　　　　(填序号);
(3)属于球体的有　　　　(填序号).

7.如图所示,有大小完全相同的两个直角三角形纸片,若将它们的某条边重合,能拼成几种不同形状的平面图形?请你画出拼成的图形.

【拓展探究】
8.如图所示的是一个我们喜欢玩的魔方,它是由若干个小正方体组成的一个大正方体,在这个大正方体的六个面上,分别涂有6种不同的颜色,根据你的观察与想象,回答下列问题.



(1)有几个小正方体只有一个面被涂有颜色?
(2)有几个小正方体有两个面被涂有颜色?
(3)有几个小正方体有三个面被涂有颜色?
【答案与解析】
1.D(解析:圆属于平面图形.)
2.C
3.B (解析:(1)(2)正确;(3)圆柱由2个底面,1个侧面共3个面围成,故错误;(4)长方体的面可能是长方形,也可能是正方形,故错误.正确的有2个.故选B.)
4.D
5.B
6.解:(1)①②③⑤⑦　(2)④⑧　(3)⑥
7.解:能拼成6种.让长直角边,短直角边,斜边分别重合,即可得到组合图形的所有情况.可拼出如下的一些图形.


8.解:(1)有6个小正方体只有一个面被涂有颜色.(2)有12个小正方体有两个面被涂有颜色.　(3)有8个小正方体有三个面被涂有颜色.


本节课充分体现了“以学生为本,让学生成为学习的主人,成为课堂的主人,成为学习过程的主人”的教学理念.教师采用的是让学生观察图片找出相对应的立体图形,然后说一说自己手中的立体图形的方式.这样既锻炼了学生的抽象能力,也可以帮助学生逐步建构实物.在认识立体图形时,教师让学生摸一摸立体图形,感受它们的特征,进而观察、比较,探究出棱柱、棱锥、圆锥、棱锥等的特点.这样处理可以进一步培养学生的类比思维和形象思维,使学生对本课时的重点知识有更深刻的理解和认识.从图片的观察到实物的演示,培养了学生的实践能力.本课上的活动也有利于学生的观察、尝试、推理、思考及创新,用数学内在的美激发了学生学习的动力和探究热情.

1.自主探究时间有点长,导致展示过程时间有点紧.
2.在课堂上,教师提出问题后,有些同学没有表现的机会,教师只关注到个别积极表现的学生.今后教学中应关注到每位学生,特别是那些不善于表达的学生.

1.加强课堂教学的驾驭能力,要合理安排时间,有紧有松.
2.多给学生进行语言表达的机会,即时表扬和鼓励.
3.多结合生活实际,使学生能置身于问题当中,充分调动学习兴趣.
4.给每位学生展示的机会.

练习(教材第116页)
1.解:长方体、球体、圆柱体.
2.提示:这些立体图形的表面中包含圆、五边形、三角形、长方形、六边形等平面图形,它们位于几何体的上、下底面和侧面.


我们生活在三维的世界中,身边有各种各样的物体.我们要善于观察身边的事物,认识立体图形,生活中的立体图形有柱体、锥体、球体等.柱体分为圆柱和棱柱,其中圆柱是由两个底面和一个侧面围成的,如图(2)所示,它的底面是两个大小相等且互相平行的圆面,侧面是一个曲面.棱柱是由两个底面和几个侧面围成的,它的底面是两个大小和形状都相同且互相平行的多边形,侧面是n个平行四边形,一个棱柱的底面是几边形,这个棱柱就是几棱柱.如:底面是三角形的棱柱叫做三棱柱,如图(6)所示;底面是四边形的棱柱叫做四棱柱,如图(1)所示.锥体分为圆锥和棱锥,其中圆锥是由一个底面和一个侧面围成的,它的底面是一个圆,侧面是一个曲面,如图(4)所示;棱锥是由一个底面和几个侧面围成的,它的底面是一个多边形,侧面是n个有一个公共顶点的三角形,一个棱锥的底面是几边形,这个棱锥就叫做几棱锥.如图(7)所示的棱锥是三棱锥,如图(5)所示的棱锥是四棱锥;球体是由一个曲面围成的封闭的几何体.如图(3)所示的立体图形是球体.


第课时



1.能从不同角度观察一些几何体,以及它们的组合体,并画出平面图形.
2.了解一些立体图形的表面展开图.
3.能根据展开图想象相应的几何体.

1.注意图形与几何知识和实际生活的联系,并把有关知识应用于实际生活和学习中.
2.认识可以用平面图形表示立体图形,以及立体图形与平面图形的联系.

1.通过与他人的交流,形成积极参与数学活动,主动与他人合作的意识.
2.培养学生对学习几何图形的兴趣,激发学生热爱生活的情感.

【重点】　
1.从不同角度观察几何体.
2.了解一些简单立体图形的展开图.
【难点】
1.了解从物体外形抽象几何体的方法.
2.根据展开图想象几何体.

【教师准备】　长方体纸盒、小正方体木块等.
【学生准备】　小组准备小正方体木块,各类包装盒,剪刀等.


导入一:
1.师生对诗:
师出:横看成岭侧成峰,远近高低各不同.
生对:不识庐山真面目,只缘身在此山中.
请学生谈谈对此诗的认识.

2.引入课题:
师:多美的山,多美的诗啊!诗情画意来自作者苏东坡从不同角度对庐山的仔细观察,那他从哪些角度对庐山进行观察的呢?
生:横看、侧看、远看、近看、山中看.
师:从不同方向看山可看到“峰”,看到“岭”,那么从不同方向看几何体又能看到什么呢?你想知道吗?那就让我们一起来学习今天的“几何体的观察及展开图”(板书课题).
[设计意图]　以新颖贴切的“对诗”开题,把学生迅速引入一个如诗如画的情境,从而激起学生的学习兴趣,立刻进入学习状态;从名诗中提炼出数学知识与哲理,渗透主题并自然地切入课题,使学生兴趣盎然地开始对视图进行探索和体验.此外,以诗入题还可培养学生的人文意识,让他们体会到全面看待事物(数学的育人价值)和数学的美,从中体现本节数学知识的教育意义和审美价值.
导入二:
观察一个茶壶,以下是几个同学画出的观察到的图形,同一个茶壶,为什么大家画出的图形不相同呢?

[设计意图]　从身边的事物入手,有助于学生主动参与,激发学生的学习兴趣,感受新知,从中发现从不同角度看物体,看到的可能不一样.

探究1:从不同方向观察几何体
　　[过渡语]　对于一些立体图形的问题,常把它们转化为平面图形来研究和处理,从不同方向看立体图形,往往会得到不同形状的平面图形.
思路一
1.观察实验
(1)数学小实验:
激起学生热情后,再邀请积极性高的四名学生(尤其是后进生)站在讲台周围不同位置,闭上眼睛、禁止移动,教师从纸箱中取出暖水瓶、水杯和乒乓球,依次在讲台上摆放好(如下图所示)后让座位上的学生保持安静,接着让他们睁开眼睛观察并说出所看到的物品.

教师引导学生思考:
①为什么在讲台上摆放着同样的物品而他们看到的结果却不一样?
②如果要看清物品,那应该怎么办?(多换角度,从不同方向看看)
接着让这四名学生试着从不同方向体验看看,并询问他们是否真的是这样?(对学生的表现及时给予鼓励、评价)
[设计意图]　闭眼睛、禁止移动等措施是为了增添实验的神秘感、趣味性,以引起学生的兴趣、关注,更是为了保障实验的成功.
(2)观察图片、判断观察方向.

教师让学生观察上述从不同方向拍摄的四幅图片,它们相同吗?并思考每一幅图各是从什么方向看到的,为什么? 先让学生独立观察思考,基本得出答案后再让他们讨论交流,最后让学生解释,刚才的四位同学给予确认,不理解的学生可以上台体验、验证,教师注意倾听以了解他们的思维过程,并给予鼓励、帮助.
[设计意图]　“判断观察方向”让学生的思维在三维实物与二维图片间不断地进行切换,从而完成思维过程的第一次抽象,从中培养学生的空间想象能力.
2.想象与判断
(1)观察练习:桌上放着一个圆柱和一个长方体,请说出下面的三幅图分别是从哪个方向看到的.


(2)通过前面的学习,我们发现许多物体从不同方向观察一般会看到不同的图形(视图),为了研究问题的方便,让我们来认识几种特殊的视图:


(3)拿出事先准备好的正方体小木块,摆成如图所示的形状,分别从正面、左面、上面观察这个图形,各能得到什么平面图形?请你画出来.

[知识拓展]　(1)从正面看的形状图与从上面看的形状图列数相同,从上面看的形状图中每列的方框内的最大数即为从正面看的形状图相应列的层数.(2)从左面看的形状图的列数与从上面看的形状图的行数相同,从上面看的形状图每行的方框内的最大数即为从左面看的形状图相应列的层数.
思路二
活动1:探究新知
1.图片中我们都是从哪些角度来观察对象的?

2.讲台上依次放置粉笔盒、乒乓球、字典,请四位学生上来后按照不同的方位站好,然后向同学汇报各自看到的情形.

3.教师要求各小组拿出事先准备好的若干个正方体小木块,教师也相应地拿出小木块,首先教师展示,用小木块摆成如图所示的图形.
4.教师安排几名学生上讲台观察,注意位置的安排,一名同学从正面看,一名同学从上面看,一名同学从左面看.然后让这三名同学在黑板上画出自己所看到的图形,可以多安排几名同学从相同的位置观察,以便让更多的学生亲身体验.
5.学生观察比较,这三名同学所画的图形是否相同?然后进行讨论,各小组中可安排有美术基础的同学给其他同学介绍这里的知识.
[设计意图]　通过学生的观察、比较、归纳、探究,使学生体验从不同的方向看立体图形,一般得到不同的平面图形,初步感受三视图.
活动2:体验应用
学生分组活动,各小组用事先准备好的小木块摆不同的立体图形,每个同学可从不同的角度进行观察,以便有更深的体会.
师生共同归纳出:从不同的方向看立体图形,一般得到不同的平面图形.
教师指出:在建筑、工程等设计中,设计师们常常利用从不同的角度看到的物体的平面图形来表示.
学生拿出事先准备好的正方体、长方体、圆柱,分别画出从正面、左面、上面观察得到的平面图形.
[设计意图]　让学生亲身体验,进一步感受三种视图,体会从不同方向观察几何体,得到的视图不一定相同.
探究2:立体图形的展开图
　　[过渡语]　观察生活的周围,就会发现物体的形状千姿百态,这其中蕴含着许多图形的知识.
1.(引例)圆柱、圆锥的侧面展开图分别是什么?

2.在实际生活中常常需要了解整个立体图形展开的形状,如包装一个长方体的物体,需要根据它的表面展开图来裁剪纸张.
(1)学生拿出事先准备好的长方体包装盒,自己动手把它剪开铺平,看看它的展开图是由哪些平面图形组成的.
(2)把展开的纸板还原,体会包装盒与它的展开图的关系.
3.拿出事先准备好的如教材图4.1-9所示的五个展开图的纸板,让学生折一折,观察能折成哪种立体图形.
4.“做一做”:12个一样大的等边三角形,粘贴成如下图所示的三种形状,你能想象哪一个可以折叠成三棱锥吗?动手做做看.


从学生动手的结果,我们易知图(1)、图(3)可折叠成三棱锥,图(2)不能折叠成三棱锥.
上面的图(1)、图(3)实际上是由三棱锥展开而成的平面图形,我们把它叫做三棱锥的表面展开图.
5.如下图所示的是多面体的展开图,你能说出这些多面体的名称吗?


6.你知道正方体的展开图吗?找一个正方体包装盒剪一剪.
[知识拓展]　一个立体图形的表面展开图的形状由展开的方式决定,不同的展开方式得到的表面展开图是不一样的,但无论怎样展开,表面展开图都应体现由原立体图形面的个数与形状.

1.通过从不同角度观察,可以把立体图形转化为平面图形.在画图时,我们通常画出从正面、左面、上面看到的平面图形.
2.立体图形的展开图,体现了平面图形与立体图形的联系,立体图形的有关问题可以转化为平面图形问题来解决.

1.如图所示的几何体从上面看得到的图形是 (　　)

解析:找到从上面看所得到的图形即可,它由两个大小不一的圆和一条线段组成.故选D.
2.如图所示的是每个面上都有一个汉字的正方体的一种表面展开图,那么在原正方体中和“国”字相对的是 (　　)
A.中　　B.钓　　C.鱼　　D.岛

解析:正方体的表面展开图中相对的面一定相隔一个小正方形,由图形可知与“国”字相对的字是“鱼”.故选C.
3.下列立体图形中,侧面展开图是扇形的是 (　　)

解析:根据圆锥的特征可知其侧面展开图是扇形.故选B.
4.分别画出图中几何体从正面、左面、上面看得到的图形.

解析:从正面看,从左往右4列正方形的个数依次为1,3,1,1;从左面看,从左往右3列正方形的个数依次为3,1,1;从上面看,从左往右4列正方形的个数依次为1,3,1,1.
解:如图所示.


第2课时
探究1:从不同方向观察几何体
(1)从正面看
(2)从左面看
(3)从上面看
探究2:几何体的展开图

一、教材作业
【必做题】
教材第118页练习第1,2,3题.
【选做题】
教材第121页习题4.1第4,6,7题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.在下列立体图形中,侧面展开图是长方形的是 (　　)

2.一个几何体的表面展开图如图所示,这个几何体是 (　　)
A.三棱柱 B.三棱锥
C.四棱柱 D.四棱锥

第2题图

第3题图

3.下面的展开图能拼成如图所示的立体图形的是 (　　)


4.一个几何体从正面、左面、上面看得到的图形如左图所示,那么这个几何体是右图中的 (　　)

【能力提升】
5.如图所示的是由几个相同的小正方体搭成的几何体三个方向的视图,则搭成这个几何体的小正方体的个数是 (　　)


A.4 B.5 C.6 D.7

6.如右图所示的是从上面看由几个小立方体所搭成的几何体所得到的,小正方形中的数字表示在该位置上的立方体的个数,从正面看这个几何体得到的是下图中的 (　　)

【拓展探究】
7.如图所示的是一个长方体的表面展开图,每个面上都标有一个数字,将它折叠复原成长方体,并使写有数字的面朝外.
(1)若“1”在左面,则“3”在　　　　面; 
(2)若“2”在前面,“4”在上面,则“1”在　　　　面;
(3)若“3”在右面,“5”在下面,则“6”在　　　　面;
(4)若“4”在左面,“1”在前面,则“2”在　　　　面.

【答案与解析】
1.B(解析:圆柱的侧面展开图是长方形.故选B.)
2.C
3.B (解析:立体图形是三棱柱,展开图应该是由三个长方形和两个三角形组成的,且两个三角形位于三个长方形两侧.A答案折叠后有两个长方形重合,故排除;C,D中三角形都在一侧,故排除.故选B.)
4.D
5.A(解析:根据给出的几何体,通过动手操作,观察可得答案为4,也可以根据画三种视图的方法,发挥空间想象能力,直接想象出每个位置正方体的数目,再加起来.)
6.D
7.解:(1)右　(2)左　(3)前　(4)上


在教学过程中,教师从学生身边的生活实际入手,然后反复感受;通过观察、发现、归纳画从不同方向观察物体所得的平面图形等,寓教学任务于实际物体中,既加强了学生对知识的理解、应用,又充分调动了学生的积极性,让学生真正体会到数学无处不在.通过丰富的实例和信手拈来的身边物体进入课堂教学,淡化数学的神秘感、枯燥感,激励学生参与,体现了以学生为主体、面向全体学生、让学生能自觉投入到课堂教学中的过程,力求体现新课程的教学理念.学生在观察操作、动脑思考、反复验证等过程中较好地掌握了从三个方向观察立体图形的方法,对立体图形的表面展开图也有了深刻的认识,掌握了立体图形与平面图形之间的转化关系,学生的思维和动手能力也得到了进一步的提高.

学生在探究问题的过程中,有的环节教学控制得不好,显得有点乱.在学生通过剪长方体和正方体的过程中,学生没有掌握剪的方法,有的学生没有沿棱剪开.学生在剪正方体,探究其展开图时,时间仓促,教师在前面的教学中花费时间较长,导致在此过程中时间太短,没有很好地完成任务.

教师一定要合理地调控教学时间,对于有困难的问题,要给学生充足的时间去考虑.本节课操作的过程较多,教师一定要提前向学生说明合理的操作方法,对于在操作过程中,学生的分工一定要讲清楚.如在整理正方体的表面展开图的过程中,可让小组中几名同学剪,然后由一名同学画图,做记录.

练习(教材第118页)
1.解:分别是从上面、正面、左面看这个棱柱得到的.
2.解:左侧立体图形从上至下分别对应(4)(6)(3).
3.C


巧记正方体的展开图口诀.
“一四一”“一三二”,“一”在同层可任意,“三个二”成阶梯,“二个三”“日”相连,异层必有“日”,整体没有“凹”和“田”,掌握此规律,运用定自如.
第一类,中间四连方,两侧各一个,共六种.如图所示.

第二类,中间三连方,两侧各有一、二个,共三种.如图所示.

第三类,中间二连方,两侧各有两个,只有一种.如图所示.

第四类,两排各三个,只有一种.如图所示.


　(2014·赤峰中考)下面的几何体中,从正面看为三角形的是 (　　)

〔解析〕　A,B从正面看是长方形,C从正面看是三角形,D从正面看是长方形,中间还有一条线.故选C.
　(2014·百色中考)下列几何体中,同一个几何体从正面、上面看得到的图形不同的是(　　)

〔解析〕　C.圆锥从正面看是三角形,从上面看是圆及圆心,从正面和上面看到的图形不相同.故选C.
　(2014·南昌中考)如左图所示,贤贤同学用手工纸制作一个台灯灯罩,做好后发现上口太小了,于是他把纸灯罩对齐压扁,剪去上面一截后,正好合适,以下裁剪示意图中,正确的是右图中的 (　　)

〔解析〕　理解压扁是解题的关键.故选A.
　(2014·长春中考)下列图形中,是正方体表面展开图的是 (　　)

〔解析〕　A,B,D经过折叠后,下边没有面,所以不可能围成正方体,C能折成正方体.故选C.
4.1.2　点、线、面、体



通过丰富的实例,进一步认识点、线、面、体的几何特征,感受它们之间的关系.

培养学生操作、观察、分析、猜测和概括等能力,同时渗透转化、化归、变换等思想.

使学生养成积极主动的学习态度和自主学习的方式.

【重点】　认识点、线、面、体的几何特征,感受它们之间的关系.
【难点】　在实际背景中体会点的含义.

【教师准备】　多媒体课件.
【学生准备】　立体图形的实物.


导入一:
物体的构成包含多种元素,几何图形也是如此.以长方体为例,我们来分析一下图形的构成元素.

(1)观察长方体模型,如上图,它有几个面?面与面相交的地方形成了几条线?棱与棱相交形成几个顶点?
(2)拿出三棱柱模型让学生思考以上问题.
(3)你能说出构成几何图形的元素包含哪些吗?
学生思考交流.
师生共同总结:图形的构成元素包括点、线、面、体.
[设计意图]　引导学生在已有知识的基础上,通过主动观察、思考,体会图形是由点、线、面、体构成的,从构成元素的角度把握几何体的特征,从而引入点、线、面、体的概念.
导入二:
多媒体演示西湖风光,垂柳,波澜不起的湖面、音乐喷泉、雨天、亭子……随着镜头的切换,学生在欣赏美丽风景的同时,教师引导学生注意观察:垂柳像什么?平静的湖面像什么?湖中的小船像什么?随着音乐起伏的喷泉又像什么?在岸边的亭子中我们寻找到了哪些几何图形?从中感受生活中的点、线、面、体.
[设计意图]　从美丽的自然风光引入新课,引导学生观察生活中的美妙画面,不仅能激发学生的学习兴趣,而且能让学生对点、线、面、体有了初步的形象认识,感知知识来源于生活.

一、初步尝试,探索新知
问题1
让我们先来认识一下“体”.请同学们观察包装盒、圆罐和篮球,想一想从外形中分别可以抽象出什么立体图形,再举出一些你所熟悉的立体图形.
【师生活动】　学生举例并相互交流,教师展示一些立体图形的模型或图片.
结合这些实例,教师明确几何体的概念:长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱等都是几何体,几何体简称体.
[设计意图]　以立体图形为认知基础,明确“体”的概念,通过多举一些例子,使学生认识“体”,加深学生对“体”的概念的理解.
教师:观察这些几何体,再联想上一节课“展开图”的知识,想一想:包围着体的是线?还是点?还是面?
容易得出结论:包围着体的是面.
问题2
(1)看一看:如图所示,四棱锥、圆柱、圆锥分别有哪些面?这些面有区别吗?

【师生活动】　学生充分利用学具进行观察,并开展组内讨论,教师参与其中.
教师引导学生得出结论:面有平的面、曲的面.
教师归纳:数学中的面可以分为平的面和曲的面,而在数学中“平面”一词具有特定含义,它是无限延展的.围成体的面只是平面或曲面的一部分.
练一练:如图所示,围成这些立体图形的各个面中,哪些面是平的?哪些面是曲的?

(2)观察我们的教室和周围的环境,举出一些实际生活中“面”的例子,并指出哪些面是平的,哪些面是曲的.
【师生活动】　学生先在小组内讨论、交流,然后派代表在全班交流,教师用多媒体演示一些“面”的例子.
[设计意图]　由“体”分解出“面”,这是由整体迈向局部的第一步,通过多举例和及时练习,加深学生对“面”的认识,理解“面”的概念.
问题3　
利用长方体、圆柱、棱柱、棱锥等熟悉的几何体模型,结合下列问题开展小组合作探究:
(1)面与面相交的地方形成了什么?它们有什么不同?
(2)线与线相交又得到了什么?它们有什么不同吗?
【师生活动】　教师参与学生探究,得出结论后,每小组派代表在全班交流,教师点评纠正,师生共同归纳:
面与面相交的地方形成线,线分直线和曲线;
线与线相交的地方是点,点只代表位置,没有大小,点与点之间没有区别.
(3)看一看,想一想,举出我们身边符合线、点形象的例子.
【师生活动】　教师鼓励学生联想身边熟悉的情境,尽可能多地举出例子.
[设计意图]　借助“面”的学习经验进一步认识线和点,用合作探究的方式利于学生对概念的理解;引领学生完整经历“具体—抽象—具体”的认知过程,体会概念的产生和发展.
二、由静到动,探索关系
问题4
我们知道物体运动时会留下运动轨迹.如果把笔尖看成一个点,这个点在纸上运动时,形成了什么?
【学生活动】　学生画图并相互交流.
追问1:通过画图,你得到了什么结论?请用精练的语言加以概括.
【师生活动】　学生充分思考、讨论,教师引导学生归纳:点动成线.
追问2:还能举出生活中的实例说明这一结论吗?
【师生活动】　学生讨论,举出更多实例,教师用多媒体再演示一些例子.
[设计意图]　从动手实践中获得直观感受,在讨论交流中抽象概括,引导学生模拟知识发展的过程,这种体验有利于学生学会学习.
问题5
如果把汽车雨刷看成一条线,从几何的角度来观察它在挡风玻璃上摆动时的现象,你可以得出什么结论?还能举出生活中的实例说明这一结论吗?做一做,想一想.
【师生活动】　教师指导学生用直尺当雨刷在纸上演示,启发学生类比联想,得出“线动成面”的结论.
学生讨论交流,举出更多实例.
[设计意图]　将已获得的知识经验类比迁移,重复“实践发现—抽象概括—举例验证”的探究过程,加深学生对“具体—抽象—具体”认知方法的体验.
问题6
既然“点动成线,线动成面”,那么请同学们想一想:当面运动时又会形成什么图形?
【师生活动】　教师引导学生先独立思考,得出自己的结论,再在小组内讨论交流,达成共识,然后选择适当的学具,操作演示.
师生共同归纳:面动成体.
[设计意图]　从动手实验—观察思考—抽象概括,过渡到思考想象—猜想假设—实践验证,培养学生大胆猜想,小心求证的创新精神,在发展形象思维的同时培养空间想象力和几何直觉.
练一练:如图所示,第一行的平面图形绕轴旋转一周,可以得出第二行的立体图形,请把有对应关系的平面图形与立体图形连接起来.


[设计意图]　加深学生对面动成体的理解,培养学生的观察能力和空间想象能力.
三、追本溯源,探求本质
问题7
观察电视屏幕上的画面、大型团体操的背景图案.

从几何的角度观察它们有什么共同特点?你能发现构成几何图形的基本元素是什么吗?
【师生活动】　指导学生结合问题阅读教材.
教师引导学生总结:构成图形的基本元素是点;图形是由满足某种条件的点组成的.
教师提出问题:你还能举出一些符合这一观点的例子吗?
学生讨论交流,举出更多例子:庆祝节日时不同颜色的鲜花组成美丽的图案、一块块小瓷砖镶嵌成的图案、十字绣图案等.
[设计意图]　渗透集合观点,揭示图形的本质,认识图形世界的多样性和统一性.

几何图形是由点、线、面、体组成的,点是组成图形的基本元素,线可以是直的,也可以是曲的.面有平面和曲面之分,如长方体由6个平面组成,球由一个曲面组成.
体与体相交成面,面与面相交成线,线与线相交成点.

1.将一个长方形绕它的一条边所在直线旋转一周,所得的几何体是 (　　)
A.圆柱　　　　　　B.三棱柱
C.长方体 D.圆锥
解析:一个长方形以它的一条边所在直线为轴旋转一周,根据面动成体的原理知其形成的是圆柱.故选A.
2.将如左下图所示的Rt△ABC绕直角边AC所在直线旋转一周,所得几何体从左面看是右下图中的 (　　)

解析:将Rt△ABC绕直角边AC所在直线旋转一周,所得几何体是圆锥,圆锥的左视图是等腰三角形.故选D.
3.假如我们把笔尖看作一个点,当笔尖在纸上移动时,就能画出线,说明了　　　　,时钟秒针旋转一周时,形成一个圆面,这说明了　　　　,三角板绕它的一条直角边所在直线旋转一周,形成一个圆锥体,这说明了　　　　.
解析:熟悉点、线、面、体之间的联系,根据运动的观点即可得解.
答案:点动成线　线动成面　面动成体
4.以数学的眼光去观察问题,你会发现很多图形都能看成是动静结合,舒展自如的.下面所给的三排图形都存在着某种联系,用线将它们连起来.

解析:本题是一个平面图形以其一条边所在直线为轴旋转一周或沿某一方向移动,根据面动成体的原理,可知形成的立体图形以及与其有关的从上面看得到的图形.
解:(1)→(三)→(D);
(2)→(二)→(C);
(3)→(四)→(B);
(4)→(一)→(A).

4.1.2　点、线、面、体
1.构成图形的基本元素:点、线、面,其中面有平面与曲面,线有直线和曲线.
(1)几何体简称体.
(2)包围着体的是面.
(3)面和面相交的地方形成线.
(4)线和线相交的地方是点.
2.点动成线,线动成面,面动成体.

一、教材作业
【必做题】
教材第120页练习第1,2题.
【选做题】
教材第123页习题4.1第14题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示,将平面图形绕轴旋转一周,得到的几何体是 (　　)

A.球　　　　　　B.圆柱 C.半球 D.圆锥
2.圆柱是由长方形绕着它的一边所在直线旋转一周所得到的,下列四个平面图形绕着直线旋转一周可以得到左图的是 (　　)

3.点动成　　　　,线动成　　　　,　　　　动成体.比如:
(1)用圆规在纸上画圆,这种现象说明　　　　.
(2)冬天环卫工人使用下部是长方形的木锨推雪时,木锨过处,雪就没了,这种现象说明　　　　.
(3)一个人手里拿着一个绑在一根棍上的半圆面,当这个人把这个半圆面绕着这根棍飞快地旋转起来时就会看到一个球,这种现象说明　　　　.
4.将第一行的图形绕轴旋转一周,便得到第二行的几何体,用线连一连.


【能力提升】
5.如图所示,正方形ABCD的边长为3 cm,以边AB所在直线为轴,将正方形旋转一周,所得几何体的从正面看得到的图形的面积是　　　　.


6.观察如图所示的四棱柱.
(1)它有几个面?几个底面?底面与侧面分别是什么图形?
(2)侧面的个数与底面多边形的边数有什么关系?
(3)若底面的周长为20 cm,侧棱长为8 cm,则它的侧面积为多少?

7.如图所示,画一个长和宽分别为6 cm,4 cm的长方形,并将其按一定的方式进行旋转.
(1)你能得到几种不同的圆柱体?
(2)把一个平面图形旋转成几何体,必须明确哪两个条件?

【拓展探究】
8.如图(1)至图(3)所示的是将正方体截去一部分后得到的多面体.

(1)根据要求填写表格:

面数(f)
顶点数(v)
棱数(e)
图(1)



图(2)



图(3)



(2)猜想f,v,e三个数量间有何关系;
(3)根据猜想计算,若一个多面体有顶点数2013个,棱数4023条,求出它的面数.
【答案与解析】
1.A
2.A(解析:根据选项中图形的特点,A可以通过旋转得到两个圆柱,故本选项正确;B可以通过旋转得到一个圆柱,一个圆筒,故本选项错误;C可以通过旋转得到一个圆柱,两个圆筒,故本选项错误;D可以通过旋转得到三个圆柱,故本选项错误.故选A.)
3.线　面　面　(1)点动成线　(2)线动成面　(3)面动成体
4.解:A-c,B-d,C-a,D-e,E-b.
5.18 cm2(解析:以边AB所在直线为轴,将正方形旋转一周可得圆柱体,圆柱的高为3 cm,底面直径为6 cm,几何体从正面看是长6 cm,宽3 cm的长方形,因此面积为6×3=18(cm2).故填18 cm2.)
6.解析:(1)(2)根据四棱柱的特征直接解答即可.(3)根据棱柱的侧面积=底面周长×高进行计算.解:(1)它有6个面,2个底面,底面是梯形,侧面是长方形.　(2)侧面的个数与底面多边形的边数相等,都为4.　(3)它的侧面积为20×8=160(cm2).
7.解析:(1)分别以长方形的长和宽所在直线为旋转轴,旋转360°;以对边的中点连线所在直线为旋转轴,旋转180°;(2)需要说明旋转轴和旋转角这两个条件.解:(1)长和宽分别为6 cm,4 cm的长方形,通过旋转可得到四种不同的圆柱体;①以长方形的一条边AD(或BC)所在直线为旋转轴,旋转360°,可得到底面半径为4 cm,高为6 cm的圆柱体;②以长方形的一条边AB(或CD)所在直线为旋转轴,旋转一周,可得到底面半径为6 cm,高为4 cm的圆柱体;③以长方形的长AD,BC的中点连线所在直线为旋转轴,旋转180°,可得到底面半径为3 cm,高为4 cm的圆柱体;④以长方形的宽AB,DC的中点连线所在直线为旋转轴,旋转180°,可得到底面半径为2 cm,高为6 cm的圆柱体.　(2)把一个平面图形旋转成几何体,需要说明旋转轴和旋转角这两个条件.
8.解:(1)图(1):7　9　14　图(2):6　8　12　图(3):7　10　15　(2)f +v-e=2.　(3)因为v=2013,e=4023,f +v-e=2,所以f +2013-4023=2,所以f=2012,即它的面数是2012.


学习数学唯一正确的方法是实行再创造,也是由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来,教师的任务是引导和帮助学生进行这种再创造的工作,而不是把现成的知识灌输给学生.在本节课的教学设计中,将以往注重知识的直接传授的倾向,转化为注重培养学生形成积极主动的学习态度,关注学生的学习兴趣和体验.在数学学习活动中,应用多媒体给学生创设了生动的学习活动情境,引导学生观察生活中的美妙画面,激发学生的学习兴趣,对点、线、面、体知识有了初步的认识.再利用课件动态演示让学生从另外一个角度对所学知识进行再认识.在学习中注重让学生主动参与学习活动,观察、感受,并亲身经历体验图形的变化过程,通过自主、合作、探究学习,感悟知识的产生、变化、发展,激发学生的联想与再创造能力.

在这节课中,虽然教师能有效地在规定时间内完成这节课的任务,但是在讲授中真正留给学生自己思考、探究、归纳总结的时间过少,以至于部分学生还是被教师的教学方式所桎梏,思维没有被打开.并且本节课的内容由于图片信息量大,虽然学生的积极性被调动,但也导致部分学生只看到了图片中绚丽的物体,反而乱了学习心绪.

要根据学生的不同特点,做好引导,逐步把课堂真正还原于学生,让学生都参与进来,让学生被动地学转变成主动地学,由怕学而变成好学.并要让学生养成及时梳理知识、总结归纳的习惯,培养学生的自主合作、创新意识.对于图片的展示适量即可,不要让学生感觉到眼花缭乱,而忽略了本节课要学习和掌握的内容.

练习(教材第120页)
1.解:图(1)(2)中长方体和三棱锥的各个面都是平的.图(3)中的圆锥的底面是平的,侧面是曲的.(4)中的球的面是曲的.图(5)中的组合图形的底面是平的,其他面是曲的.
2.解:设上排从左至右分别为(1)(2)(3)(4)(5),下排从左至右分别为a,b,c,d,e,则平面图形与立体图形的对应关系是:(1)-d,(2)-c,(3)-e,(4)-a,(5)-b.
习题4.1(教材第121页)
1.解:图(1)是棱柱,图(2)是球,图(3)是圆柱,图(4)是棱锥,图(5)是圆锥.
2.提示:从图中能看到长方体、正方体、圆柱、球等.
3.提示:从图中能看到三角形、长方形、五边形、六边形等.
4.解:列表如下:

圆柱
圆锥
球
从正面看
长方形
三角形
圆
从左面看
长方形
三角形
圆
从上面看
圆
带圆心的圆
圆
5.A
6.解:设从左至右,从上至下各图依次为(1),(2),(3),(4),(5),(6),(7),(8),则将(1)和(7),(2)和(8),(3)和(6),(4)和(5)分别用线连起来.
7.解:这六个图形中只有第一排第三个图形不是正方体的表面展开图,其他五个图形都是正方体的表面展开图,正方体的表面展开图一共有11种画法,除题中5种外,还有如图所示的6种.

8.提示:第1个图主要含有长方体,第2个图主要含有长方体、圆柱,第3个图主要含有长方体、棱锥,第4个图主要含有圆柱.
9.解:“横看成岭侧成峰”中蕴含的数学道理是:从不同的方向(角度)看同一个物体,得到的图形是不同的.
10.D[提示:“建”与“会”,“设”与“谐”,“和”与“社”是相对面上的字.]
11.解:(1)可折叠成圆柱.　(2)可折叠成五棱柱.　(3)可折叠成圆锥.　(4)可折叠成三棱柱.
12.解:折痕如图所示.

13.解:(1)可能是B的展开图.　(2)是B或C的展开图.　(3)可能是A的展开图.


欧拉公式
观察下列立体图形.

请你数一数上面图中每一个多面体具有的顶点数(V)、棱数(E)和面数(F),并且将结果记入下表中,令人惊奇的是,在最后一栏中的数是完全一样的!
多面体
顶点数(V)
面数(F)
棱数(E)
V+F-E
正四面体
4
4
6
2
正方体




正八面体




正十二面体




正二十面体




　　你有兴趣的话,可以随意做一个多面体,看看是否还是那个结果.
伟大的数学家欧拉证明了这一个令人惊叹的关系式,即欧拉公式:
顶点数+面数-棱数=2.
4.2　直线、射线、线段





1.理解直线、射线、线段等简单的平面图形的意义.
2.了解直线的性质和线段的性质、线段的大小比较,理解线段中点的概念以及图形的几何意义.
3.能利用尺规作图,作一条线段等于已知线段.

1.在现实情境中理解直线的意义和性质.
2.通过活动,理解线段的性质和线段的大小比较方法.
3.初步培养学生简单的判断和推理能力.

培养学生热爱数学、勤于思考的品质.

【重点】　直线、线段的基本性质及线段的和、差、中点的意义.
【难点】　直线、线段、射线的表示方法,线段中点的应用.
第课时



1.了解直线、射线、线段的联系和区别,逐步掌握它们的表示方法.
2.结合实例,了解“两点确定一条直线”的性质,并能初步应用.
3.能根据语句画出相应的图形,会用语句描述简单的图形,在图形的基础上发展数学语言.

1.初步体验图形是有效描述现实世界的重要手段.
2.初步应用空间与图形的知识解释生活中的现象以及解决简单的实际问题,体会研究几何图形的意义.

培养学生热爱数学、勤于思考的品质.

【重点】　
1.了解直线、射线、线段的联系与区别.
2.能正确表示直线、射线、线段.
3.建立几何语句与图形之间的联系.
【难点】
能够把几何图形与语句表示、符号书写很好地联系起来.

【教师准备】　多媒体课件,直尺.
【学生准备】　直尺.


导入一:
图片展示,探究生活中的平面图形:绷紧的琴弦、手电筒射出的光线、笔直的铁轨等生活中常见的与线段、射线、直线有关的图形.

[设计意图]　通过展示这些图形,使学生感受到图形世界的丰富多彩,深入理解生活离不开数学,数学来源于生活.
导入二:
对联展示:
指数函数,对数函数,
三角函数,数数含辛茹苦;
平行直线,交叉直线,
异面直线,线线意切情深.
[设计意图]　用对联的形式展示了数学中的知识,激发学生的学习兴趣,也表明了数学知识的奥妙所在,为学生的再学习和探究做了铺垫.
导入三:
如图(1)所示,用7根火柴棒可以摆出图中的“8”字.你能去掉其中的若干根火柴棒,摆出其他的9个数字吗?这种用7条线段构成的数字称为“7画字”,它可以用在计算器或电梯的楼层显示屏上.
点也可以用来构成数字或符号,点阵式打印机就是利用了这个原理.如图(2)所示,可以在长方形点阵中圈出一些点来构成数字或符号.试利用这种方法做出26个英文字母或数字.

[设计意图]　教师组织学生交流各自答案,本题呈现了点、线段在生活和科技中的应用,让学生体会数学与现实世界的密切联系.

一、直线的性质
　　[过渡语]　通过学习平面图形、立体图形的概念,让我们对周围世界有了新的认识.这节课,我们要着重研究直线、射线、线段,学习它们的表示方法、性质特点、实际应用等,使我们对这些基本几何图形有更深入的认识.
问题1
我们在小学学过直线、射线、线段,你能说出它们的联系与区别吗?
【学生活动】　学生独立思考后交流.
[设计意图]　从学生原有的知识出发,激活学生原有的认知结构中的有关知识.
问题2
探究并回答下面的问题:
(1)如图所示,经过一点O画直线,能画几条?经过两点A,B呢?动手试一试.

(2)经过两点画直线有什么规律?怎样用简练的语言概括呢?
【师生活动】　学生画完后在小组内讨论、交流,然后派学生代表回答,教师点评.
师生共同归纳:经过两点有一条直线,并且只有一条直线.简单说成:两点确定一条直线.
[设计意图]　通过动手实践,让学生自主发现“两点确定一条直线”的基本事实,有利于学生对这一基本事实的理解和接受,让学生经历“动手实践——抽象概括”的认知过程,将感性认识上升到理性认识,体会知识的由来和发展.
(3)如果经过两点任意画曲线或折线,试一试,能画几条?想一想,这说明了什么?
【学生活动】　学生画图后相互交流.
[设计意图]　与“两点确定一条直线”形成鲜明对比,让学生理解这个基本事实是对“直线”特性的刻画,从而更准确地把握直线的性质.
(4)怎样理解“确定”一词的含义?
【师生活动】　学生独立思考后讨论交流,并尝试阐述.
教师明确:“确定”可以解释为“有且仅有”,“有”意味着存在,“仅有”意味着唯一.
[设计意图]　“确定”是具有特定数学意义的词汇,要让学生准确把握它的双重意义:“存在”且“唯一”.
(5)在日常生产和生活中还有哪些应用“两点确定一条直线”原理的例子?说一说,与同学交流一下.
【师生活动】　教师参与学生讨论交流,举出生活中的实例:用两个钉子可以将木条固定在墙上;建筑工人砌墙时,经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩,然后拉一笔直的参照线(如图所示);植树时,只要定出两个树坑的位置,就能使同一行树坑在一条直线上.

[设计意图]　使学生加深对“两点确定一条直线”的理解,并体会这一事实的应用价值.
问题3
为了便于说明和研究,几何图形一般都要用字母来表示,用字母表示图形,要符合图形自身的特点,并且要规范.通过以往的学习,我们知道,可以用一个大写字母表示点,那么结合直线自身的特点,请同学们想一想,该怎样用字母表示一条直线呢?
【学生活动】　结合以上问题,同学们阅读教科书,然后独立完成下面的任务:
(1)用不同的方法表示下图中的直线:

(2)判断下列语句是否正确,并把错误的语句改正过来:
①一条直线可以表示为“直线A”;
②一条直线可以表示为“直线ab”;
③一条直线既可以记为“直线AB”又可以记为“直线BA”,还可以记为“直线l”.
(3)归纳总结直线的表示方法.
学生独立完成后,进行小组内讨论、纠正,教师参与学生讨论,并明确直线的表示方法.
[设计意图]　自主探索与合作交流相结合得出直线的表示方法,教师再结合学生易犯的错误进行规范,有利于学生准确掌握所学知识.
(4)想一想,用两个点表示直线合理吗?为什么?
【师生活动】　学生独立思考后讨论交流,并尝试阐述:用两个点表示直线符合“两点确定一条直线”的基本事实,所以表示方法是合理的,教师点评、纠正.
[设计意图]　使学生理解表示方法的合理性,让学生了解能用不同的方法表示直线.
二、直线、射线、线段的联系与区别
　　[过渡语]　学习图形与几何知识,不仅要认识图形的形状,还要学习图形之间的位置关系.
问题4
(1)观察下图,选择恰当的词语填空:
①点O在直线l　　　　(上,外);直线l　　　　(经过,不经过)点O.
②点P在直线l　　　　(上,外);直线l　　　　(经过,不经过)点P.
总结点与直线的位置关系,与同学交流一下.

【师生活动】　学生完成后尝试回答,教师点评、纠正,并明确点与直线的位置关系.
练一练:根据下列语句画出图形:
①直线EF经过点C;
②点A在直线l外.
(2)如图所示,尝试描述直线a和直线b的位置关系,与同学交流一下.

【师生活动】　学生讨论交流,教师在点评的基础上明确:当两条不同的直线有一个公共点时,我们就称这两条直线相交,这个公共点叫做它们的交点.
(3)根据下列语句画出图形:
①直线AB与直线CD相交于点P;
②直线m,n,l相交于一点E.
【师生活动】　学生完成画图并相互纠正,教师板书示范.
练一练:用恰当的语句描述下图中直线与直线的位置关系.

[设计意图]　发挥学生的主体作用,自主探索并掌握点与直线的位置关系、直线与直线相交的概念,通过及时练习,学会图形语言、文字语言和符号语言的转化,培养学生运用几何语言的能力.
问题5
射线和线段都是直线的一部分,类比直线的表示方法,想一想,应怎样表示射线、线段?
【师生活动】　学生阅读教科书,自主探索射线、线段的表示方法,然后回答下列问题.
(1)用适当的方法表示下图中的射线和线段.

(2)“一条射线既可以记为射线AB又可以记为射线BA”的说法对吗?为什么?
(3)如下图所示,怎样由线段AB得到射线AB和直线AB?

教师检查学生学习情况,强调表示射线时应注意字母的顺序.
[知识拓展]　(1)表示直线、射线、线段时,都要在字母的前面写上“直线”“射线”“线段”.(2)用两个大写英文字母表示直线或线段时,两个字母可以交换位置;表示射线的两个大写字母不能交换位置,必须把端点字母写在前面.(3)线段可看作是直线上两点及其中间的部分.(4)线段向一个方向无限延伸可得到射线,向两个方向无限延伸可得到直线.
[设计意图]　以直线的表示方法为基础进行类比迁移,明确射线、线段的表示方法,培养运用几何语言的能力.
[拓展延伸]　关于线段、射线、直线,进行综合比较如下表:

线段
射线
直线
图形






表示
线段AB(或线段BA)或线段a
射线AB或射线a
直线AB(或直线BA)或直线a
端点
2个
1个
0个
能否延伸
不能
向一边无限延伸
向两边无限延伸
能否度量
能
不能
不能

1.直线的基本事实:经过两点有一条直线,并且只有一条直线.简单说成:两点确定一条直线.
2.直线、射线、线段的联系与区别
(1)绷紧的琴弦、人行道横线都可以近似地看作线段,线段有两个端点.
(2)将线段向一个方向无限延伸就形成了射线,将线段向两个方向无限延伸就形成了直线.
(3)线段是有长度的,射线和直线没有长度,都是无限延伸的.

1.在同一平面内,经过任意三点中的两点一共可以画出的直线条数是 (　　)
A.一条或三条　　　　B.三条
C.两条 D.一条
解析:①当三点在同一直线上时,只能作出一条直线;②当三点不在同一直线上时,经过每两点可作一条直线,一共可作3条.故选A.
2.下列语句正确的是 (　　)
A.画直线AB=10厘米
B.找直线l的中点　
C.画射线OB=3厘米
D.延长线段AB到点C,使得BC=AB
解析:A.直线无限长;B.直线没有长短,找不到它的中点;C.射线无限长;D.延长线段AB到点C,使得BC=AB,合理.故选D.
3.小红家买了一套新房,她想在自己房间的墙上钉一根细木条,挂上自己喜欢的装饰物,那么小红要使细木条固定,至少需要钉子数是 (　　)
A.1根　　B.2根　　C.3根　　D.4根
解析:根据两点确定一条直线,可知小红至少需要2根钉子才能使细木条固定.故选B.
4.根据题意画出符合要求的图形,并指出其中哪个是“三条直线两两相交”(任意两条直线都相交,叫做两两相交).
(1)直线a,b相交于点C,直线b,c相交于点A,直线a,c相交于点B;
(2)直线a,b,c都经过点O;
(3)直线a与直线b,c分别交于A,B两点,而直线b,c不相交.
解:画出图形如图(1)(2)(3)所示,如图(1)(2)所示的是“三条直线两两相交”.



第1课时
1.直线的性质
两点确定一条直线
2.直线、射线、线段的联系与区别
(1)概念
(2)表示方法
(3)联系与区别

一、教材作业
【必做题】
教材第126页练习第1,2题.
【选做题】
教材第129页习题4.2第1,2,3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.有下列说法:①电线杆可看作射线;②探照灯的光线可看作射线;③A地到B地的高速公路可看作一条直线.其中正确的有 (　　)
A.0个　　B.1个　　C.2个　　D.3个
2.下列语句中,能够准确表达如图所示的图形特点的句子共有 (　　)
①直线l经过A,B两点;
②点A,B在直线l上;
③l可能是A,B两点确定的直线;
④l是一条直线,A,B是l上任意两点.

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.下列说法正确的是 (　　)
A.射线是直线的一半
B.射线AB和射线BA是两条射线
C.直线AB和直线BA是两条直线
D.线段AB和线段BA是两条线段
4.下列四个图中的线段(或直线、射线)能相交的是 (　　)


5.如图所示,图中有　　　　条直线,是　　　　,图中共有　　　　条射线,它们中能用图中字母表示的有　　　　,图中共有　　　　条线段,它们是　　　　.


【能力提升】
6.观察下列图形,并阅读图形下面的相关文字.像这样的十条直线相交,交点个数最多有 (　　)

A.40个 B.45个 C.50个 D.55个
7.(1)如图(1)所示,点D在直线EF　　　　,或直线　　　　经过点D.
(2)如图(2)所示,直线　　　　,　　　　交于点O.
(3)如图(3)所示,经过点M的三条直线分别为　　　　,　　　　,　　　　.
(4)如图(4)所示,直线l与直线　　　　,　　　　分别交于　　　　,　　　　两点.


【拓展探究】
8.在草稿纸上画一画,再回答下列问题:
(1)平面内两条直线,可以把平面分成几部分?
(2)平面内3条直线,可以把平面分成几部分?
(3)平面内4条直线,最多可以把平面分成多少部分?
(4)平面内100条直线,最多可以把平面分成多少部分?
【答案与解析】
1.B(解析:①电线杆只能看作线段,故①错误;②探照灯的光线可看作射线,说法正确,故②正确;③A地到B地的高速公路可看作一条线段,故③错误.综上,只有②正确.故选B.)
2.D
3.B
4.A(解析:直线能向两方无限延伸,射线只能向一方无限延伸,线段不能延伸.故选A.)
5.1　直线BC　6　射线BA,射线BC,射线CB　3　线段AB,线段BC,线段AC
6.B(解析:设直线有n条,交点有m个.有以下规律:
直线条数　交点个数
2　　　　　　1
3　　　　　　1+2
4　　　　　　1+2+3
…　　　　　　…
n　　　　m=1+2+3+…+(n-1)=n(n-1)2
所以十条直线相交,交点最多有10(10-1)2=45(个).故选B.)
7.(1)上　EF　(2) a　b　(3)直线a　直线b　直线c　(4)a　b　A　B
8.解:(1)如图所示,可以把平面分成3或4个部分.

(2)如图所示,可以把平面分成4或6或7个部分.

(3)如图所示,最多可以把平面分成11个部分.

(4)一条直线可以把平面分成两部分,两条直线最多可以把平面分成4部分,三条直线最多可以把平面分成7部分,四条直线最多可以把平面分成11部分,可以发现,两条直线比一条直线时多了2个部分,三条直线比两条直线时多了3个部分,四条直线时比三条直线时多了4个部分,…,n条直线比(n-1)条直线多了n个部分.用n表示直线条数,an表示平面被分成相应的部分,则有n=1,a1=1+1,n=2,a2=a1+2,n=3,a3=a2+3,n=4,a4=a3+4,…,n=n,an=an-1+n,以上式子相加,整理,得an=1+1+2+3+…+n=1+ n(n+1)2.当n=100时,最多可以把平面分成1+ 100×(100+1)2=1+5050=5051(个)部分.



在教学过程中,教师主要是结合生活实际情况让学生理解直线、射线、线段的有关知识.利用绷紧的琴弦,手电筒射出的光线,笔直的铁轨等生活中的实例引入新课,给学生一种亲切感.而在引出线段、射线、直线的概念时,更是以生活中的物体形象地展出,让学生在处理相关的事实时,以生活中显而易见的事实来验证,这比要求学生以逻辑推理的角度来理解更容易些.对直线性质的理解及运用上,借助日常生活中钉木条以及砌墙、植树等,从学生熟知的事实出发,让学生感受到知识的亲切,增强了学生的学习兴趣,使学生能以数学的眼光来观察问题.教学过程环环相扣,突出了本节课的重点和难点,学生学的轻松,知识掌握的也较扎实.


学生通过学习能掌握直线、射线、线段之间的联系与区别,但在看图判断对错的过程中,还存在着或多或少的问题,教师在这个地方指导的不够到位.在随堂练习上练习题设计不充足,没有达到练习的目的,对于学生存在的问题暴露得不明显.

画图时要指导学生用直尺规范画图,一定要根据直线、射线、线段的特点画图,画线时某一点不是端点的时候一定要延长.另外对数学语言要理解好,学生不明确的地方教师要加以指导.在练习上可以再多样化一些,虽然学生对基础知识掌握了,但做题的能力不一定强,一定要让学生在不断练习中加以巩固和提高,边讲边练,随堂练习是教学过程中非常提倡的做法,教师在这个问题上一定要处理好,在练习题的设计上也要仔细斟酌.

练习(教材第126页)
1.解:(1)正确.　(2)正确.　(3)错误.　(4)正确.
2.解:如图所示.
3.解:(1)点P在直线l外,点A,点B在直线l上.　(2)直线a,c相交于点C,直线a,b相交于点B,直线b,c相交于点A.




　三条直线a,b,c两两相交,交点的个数有 (　　)
A.1　　　 B.2　　　　C.3　　　　D.1或3
错解:三条直线两两相交,如图(1)所示,有三个交点.故选C.
〔解析〕　三条直线a,b,c两两相交的情形并不只是图(1)的情形,也可能是三条直线交于一点的情形,如图(2)所示.
正解:三条直线a,b,c两两相交,有1个或3个交点.故选D.


第课时



1.结合图形认识线段间的数量关系,学会比较线段的大小.
2.知道线段中点的含义.
3.掌握“两点之间线段最短”的性质,知道两点间的距离的含义.

1.利用丰富的活动情境,体验线段的比较方法,并能初步应用.
2.让学生体验到两点之间线段最短的性质,感受数学与生活的联系.


1.培养学生乐于思考,敢于创新的精神.
2.通过各式各样的活动,培养学生的创新意识和发散思维.

【重点】　线段的大小比较.
【难点】线段的大小比较、线段中点的应用及两点之间的距离.

【教师准备】　直尺、圆规、两根长短不一的小木棍.
【学生准备】　直尺和圆规.


导入一:
教师给出了如下几个图形:


问题1　
在上图中线段a与b的长短一样吗?
　　[过渡语]　仅凭视觉我们很容易判断错误,在以上图形中,线段a与b的长短都是一样的,那么我们怎样比较两条线段的大小呢?本节课我们就来研究这个问题.
[设计意图]　通过观察产生的错觉,让学生发现线段长短的比较有时不能靠直观的感觉,进而导入到本节课的学习中,调动了学生学习的积极性,为学习两种线段的比较方法埋下伏笔.
导入二:
姚明和易建联(篮球明星)相比,谁的身高更高?
由此引发学生思考、交流.
问题2　
你是怎样得出以上结论的?若把人的身高看作线段,两条线段的大小又是怎样比较的?
[设计意图]　引导学生探究发现,让学生感受线段的比较方法,从学生熟悉的人物开始,引入线段的比较,激发学生的学习热情.

探究1:线段的长短比较
1.作一条线段等于已知线段
　　[过渡语]　我们知道线段有长短,那么给你一条线段,你能画出一条线段等于已知线段吗?
学生讨论、交流想法.
生:用刻度尺测量线段的长度,然后画一条线段和已知线段的长度相等.
用没有刻度的直尺和圆规怎样画一条线段等于已知线段呢?
说明:在数学中,我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图,这就是尺规作图.
教师让学生拿出直尺和圆规,边讲解边操作:
(1)首先任意确定一条已知线段a;
(2)用直尺画射线AC;
(3)用圆规量出线段a的长度;
(4)再用圆规在射线AC上截取线段AB=a,线段AB即为所求.
让学生独立操作,在练习本上再任意画一条线段,利用尺规作图,作出与已知线段相等的线段,有问题的就进行小组交流.
[设计意图]　让学生掌握作图的方法,通过动手实践,培养学生解决问题的能力和自主创新的能力.
2.线段的大小比较
思路一
(1)想一想:你和你的同学是怎样比较个子高矮的?
通常有两种方法:一是让两个人分别说出自己的身高,对比一下;二是让两人站在同一水平线上,比较头部所在的位置,如图所示.

通过观察我们很容易发现谁高谁矮,你能再举出一些比较线段长短的实例吗?
(2)教师在黑板上任意画两条线段AB,CD,怎样比较这两条线段的长短呢?
在学生独立思考和讨论的基础上,请学生把自己的方法进行演示、说明.
第一种:度量法,用刻度尺分别测量出它们的长度来比较.
第二种:叠合法,把其中一条线段移到另一条线段上作比较.
提出问题:怎样移动线段?
利用尺规作图,实际就是在一条线段上作和已知线段相等的线段.
教师在黑板上演示作法,学生观察思考.
(3)教师利用小木棍演示叠合法.
(4)学生以小组为单位,分别在半透明的纸上各自画一条线段,然后利用叠合法进行比较,并说明方法.
思路二
先让学生用自己的语言描述比较的过程,然后教师边演示边用规范的几何语言描述.
叠合法:把线段AB,CD放在同一直线上比较,步骤如下:
①将线段AB的端点A与线段CD的端点C重合.
②将线段AB沿着线段CD的方向落下.
③若点B与点D重合,则得到线段AB等于线段CD,可记作:AB=CD(几何语言,如图①所示).
④若点B落在C,D之间,则得到线段AB小于线段CD,可记作:ABCD(如图③所示).

(注:讲此方法时,教师应采用圆规截取线段比较形象,还需向学生讲明这是从“形”角度去比较线段的长短)
度量法:用刻度尺分别量出线段AB和线段CD的长度,再将长度进行比较.
总结:用度量法比较线段长短,其实就是比较两个数的大小.(从“数”的角度去比较线段的长短)
[知识拓展]　(1)利用叠合法比较两条线段长短时,应将两条线段的一个端点重合,另一个端点在这个点的同一侧.(2)比较两条线段的长短时,叠合法是从“形”的方面来进行比较的,度量法是从“数”的方面来比较的,两者比较的结果是一致的.
[设计意图]　体会线段比较的意义与方法,培养学生的实践、探究能力,在发现诸多结论后,注重引导学生归纳、概括.
3.线段的和与差、线段的中点
(1)线段与数一样也有和与差,现在请你任意画出两条不相等的线段a,b.你能作出一条线段等于a+b或a-b吗?
教师指导学生操作,然后教师在黑板上演示画法.
(2)教师让学生在一张透明的纸上画一条线段,折叠纸片,使线段的端点重合,请你找到线段的中点.
说明:在线段上把线段分成两条相等线段的点,叫做线段的中点.
如图所示,线段AO=OB=12AB或AB=2AO=2OB.

类似地,线段也有三等分点、四等分点(教师举例说明)等.
[知识拓展]　线段的中点必须在线段上,中点将线段分成的两部分一定相等,但两条线段相等不一定会有中点.如下图所示,AB=BC,但不能说B是AC的中点.

探究2:线段的性质
　　[过渡语]　我们了解了线段的大小比较方法,那么线段有哪些性质呢?请看下图.

从A地到B地有四条道路,除它们外能否再修一条从A地到B地的最短道路?如果能,请你联系以前所学的知识,在图上画出最短路线.
经过比较,我们可以得到一个关于线段的基本事实:两点的所有连线中,线段最短.简单说成:两点之间,线段最短.
请你举例说一说,这条性质在生活中有哪些应用?
教师指出:连接两点间的线段的长度,叫做两点的距离.
强调:两点之间的线段的长度叫做两点的距离,而不是两点的线段,线段是图形,线段的长度是数值.
你知道运动会上掷铅球的运动员的成绩怎样测量吗?它用到了哪些数学知识?你还能再举出一些例子吗?
[设计意图]　通过对问题的解决,让学生掌握了线段的性质以及两点的距离的定义,加深了对知识的理解和掌握,培养了学生的观察、发现、概括的能力.
[知识拓展]　借助生活中的具体情境,我们容易得到“两点之间,线段最短”这一基本事实,利用这一基本事实,可以帮助我们做出某些决策,从而达到最佳效果.
　如图所示,公园里修建了曲折迂回的桥,这与修一座直的桥相比,对游人观赏湖面风光能起到什么作用?用你所学的数学知识说明其中的道理.


〔解析〕　由于在连接AB的所有线中,线段是最短的,因此,修连接AB之间的一座直的桥比修建曲折迂回的桥的距离要短.
解:修建曲折的桥相对修建一座直的桥来说,可以增加游人在桥上行走的路程,进而可以使游人有更多时间欣赏湖面美丽的风光.

1.线段的大小比较有两种方法:一是度量法,用刻度尺量出线段的长度进行比较;二是叠合法,即把一条线段移动到另一条线段上.
2.利用两端点重合的方法,我们可以找到线段的中点,由线段的这一点分成的两条线段长度相等,并且都是整个线段的一半.
3.在实际生活中,我们往往都要找最短路径,这是因为两点之间线段最短,而这两点之间线段的长度是这两点的距离.

1.如图所示,C,D是线段AB上的两点,且点D是线段AC的中点,若AB=10 cm,BC=4 cm,则AD的长为 (　　)

A.2 cm　　B.3 cm　　C.4 cm　　D.6 cm
解析:因为AB=10 cm,BC=4 cm,所以AC=AB-BC=6 cm,又因为点D是线段AC的中点,所以AD= 12AC=3 cm.故选B.
2.点A,B,C在同一条数轴上,其中点A,B表示的数分别为-3,1,若BC=2,则AC等于 (　　)
A.3 B.2 C.3或5 D.2或6
解析: 此题画图时会出现两种情况,即点C在线段AB内,点C在线段AB外,所以要分两种情况计算.已知点A,B表示的数分别为- 3,1,AB=4.第一种情况:如图所示,点C在线段AB外,AC=4+2=6;

第二种情况:如图所示,点C在线段AB内,AC=4- 2=2.故选D.


3.下列四个生活、生产现象:
①用两个钉子就可以把木条固定在墙上;
②植树时,只要定出两棵树的位置,就能确定同一行树所在的直线;
③从A地到B地架设电线,总是尽可能沿着线段AB架设;
④把弯曲的公路改直,就能缩短距离.
其中可以用“两点之间,线段最短”来解释的现象是 (　　)
A.①② B.①③
C.②④ D.③④
解析:①②现象可以用“两点可以确定一条直线”来解释,③④现象可以用“两点之间,线段最短”来解释.故选D.
4.如图所示,线段AB=3.
(1)延长线段AB到点C,使BC=2AB;
(2)若点M,N分别为线段AB,BC的中点,求线段MN的长.

解:(1)如图所示.

(2)如图所示.

因为AB=3,BC=2AB,所以BC=6,
因为M,N分别为线段AB,BC的中点,
所以BM=12AB=1.5,BN=12BC=3,
所以MN=BM+BN=4.5.

第2课时
探究1:线段的长短比较
(1)作一条线段等于已知线段
(2)线段的大小比较
(3)线段的和与差、线段的中点
探究2:线段的性质
两点之间,线段最短

一、教材作业
【必做题】
教材第128页练习第1,2,3题.
【选做题】
教材第129页习题4.2第6,7,8,9题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示,点C是线段AB的中点,点D是线段BC的中点,下面等式不正确的是 (　　)

A.CD=AD-BC B.CD=AC-DB
C.CD=12AB-BD D.CD=13AB
2.已知线段AB=8,延长AB到点C,使BC=12AB,若D为AC的中点,则BD等于 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
3.如图所示,点C是AB的中点,点D是BC的中点,下列说法不正确的是 (　　)


A.若AC=4,则DB=2 B.若CD=3,则AC=6
C.若AB=8,则CD=2 D.若CD=1,则AD=4
4.下列说法正确的是 (　　)
A.两点之间,直线最短
B.画出A,B两点间的距离
C.连接点A与点B的线段,叫做A,B两点的距离
D.两点之间的距离是一个数,不是指线段本身
5.已知线段AB,延长AB到点C,使BC=23AB,反向延长AB到点D,使AD=32AB,E是线段DC的中点,若AE=2 cm.求线段AB的长.
【能力提升】
6.如图所示,B,C,D是线段AE上的三个点,已知AE=9,BD=4,则图中以A,B,C,D,E这5个点为端点的所有线段的和为　　　　.

7.已知B,C是线段AD上的两点,若AD=18 cm,BC=5 cm,且M,N分别为AB,CD的中点.
(1)求AB+CD的长度;
(2)求M,N两点的距离.
【拓展探究】
8.已知线段AB=6 cm,在直线AB上截取线段BC=4 cm,M,N分别是AC,BC的中点.
(1)求M,N两点的距离;
(2)若AB=a cm,BC=b cm,其他条件不变,此时M,N两点的距离是多少?
(3)分析(1)(2)的解答过程,你发现了什么规律?
【答案与解析】
1.D(解析:因为点C是线段AB的中点,点D是线段BC的中点,所以CD=AD-BC,CD=AC-DB,CD=12AB-BD,CD=14AB.故选D.)
2.B(解析:如下图所示,因为BC=12AB,AB=8,所以BC=4,AC=AB+BC=12,因为D为AC的中点,所以

CD=12AC=6,所以BD=CD-BC=2.故选B.)
3.D (解析:D选项中,因为C是AB的中点,D是BC的中点,CD=1,所以AC=BC=2,所以AD=2+1=3,故本选项错误.故选D.)
4.D(解析:A.应为两点之间,线段最短,故本选项错误;B.画出的应是两点间的图形,而不是距离,故本选项错误;C.应为连接两点间的线段的长度,叫做两点的距离,故本选项错误;D.两点之间的距离是一个数,不是指线段本身,故本选项正确.故选D.)
5.解:如图所示,因为E是线段DC的中点,所以DE=EC,因为BC=23AB,AD=32AB,AE=2 cm,所以32AB+2=

AB-2+23AB,解得AB=24 cm.
6.44(解析:因为AE=9,BD=4,所以以A,B,C,D,E这5个点为端点的所有线段的和为AB+AC+AD+AE+BC+BD+BE+CD+CE+DE=(BC+CD)+(AB+BE)+(AC+CE)+(AD+DE)+AE+BD=BD+AE+AE+AE+AE+BD=4+9+9+9+9+4=44.故填44.)
7.解:(1)如图(1)所示,因为AB+BC+CD=AD,所以AB+CD=AD-BC,因为AD=18 cm,BC=5 cm,所以AB+CD=18- 5=13(cm);

如图(2)所示,因为AC+CB+BD=AD,所以AC+BD=AD-CB,因为AD=18 cm,BC=5 cm,所以AC+BD=18-

5=13(cm),所以AB+CD=AC+BC+BC+BD=13+5+5=23(cm).　(2)如图(1)所示,因为M,N分别为AB,CD的中点,所以BM=12·AB,CN=12CD,所以MN=BM+BC+CN=12·(AB+CD)+BC=132+5=232(cm);如图(2)所示,因为M,N分别为AB,CD的中点,所以AM=12AB,DN=12CD,所以MN=AD-AM-DN=AD-12(AB+CD)=18- 232=132(cm).
8.解:(1)如图所示,因为AB=6 cm,BC=4 cm,所以AC=AB-BC=6- 4=2(cm).因为M,N分别是AC,BC的中点,所以MC=12AC=1 cm,NC=12BC=2 cm,所以MN=MC+NC=1+2=3(cm).


　(2)因为AB=a cm,BC=b cm,所以AC=AB-BC=(a-b)cm.因为M,N分别是AC,BC的中点,所以MC=12AC=12(a-b)cm,NC=12BC=12b cm,所以MN=MC+NC=12(a-b)+12b=12a cm.　(3)由(1)(2)可得无论线段AB为何值,MN=12AB.


本节课教师能将数形结合思想渗透给学生,使学生对数与形有一个初步的认识,为将来的学习打下基础.这节课是一堂起始课,它为学生的思维开拓了一个新的天地.在学习线段的大小比较时,选择两个小木棍启发学生进行类比,感受两条线段大小比较的不同方法,能有效地将日常生活的模型转换到两条线段的比较上.在线段的中点的定义上,以折叠画在纸上的线段让学生发现线段的中点.更重要的是让学生自主探索,在相互交流的基础上自己归纳、总结结论.

1.讲叠合法用的时间有点长,在它的应用部分,画线段的和与差的时间有点紧,没有让学生充分展示,给学生在课后知识的巩固方面增加了负担.
2.对线段中点的应用没有及时地进行练习和巩固,分析得不够透彻.

1.对于重点问题需要重点强调,但不需要花费太长时间,教师要把握好尺度,只需要让学生掌握好方法即可.
2.学生在小学时只会用圆规画圆,不会用圆规去度量线段的大小以及截取线段,通过这节课的学习,学生对圆规的用法有了一个新的认识.在这个环节教师要注意指导,可以采用边讲边练,多媒体展示画法的形式,及时观察学生的作图情况,发现问题及时指导.
3.有关线段中点问题的随堂练习应适当增加,着重规范学生的解题步骤.

练习(教材第128页)
1.解:估计:(1)AB>AC.　(2)AC>AB.　(3)AC=AB.经测量知估计是正确的.
3.解:因为AB=4 cm,且D为AB的中点,所以AD=12AB=2 cm.又因为C为AD的中点,所以CD=12AD=1 cm.
习题4.2(教材第129页)
1.解:可以看成直线的如笔直的公路、铁路线等;可以看成射线的如手电筒发出的光等;可以看成线段的如铅笔、木条等.
2.解:如图所示.


3.解:图(1)为线段AB的延长线;图(2)为线段AB的反向延长线.


4.解:如图所示.


5.解:如图(1)所示,延长线段AB到E,使BE=AB;延长线段CD到F,使DF=CD;延长线段AC到G,使CG=AC;延长线段BD到H,使DH=BD.连接GH,EF,并延长EF,交GH的延长线于点M,则所画的正方形AGME的面积是原正方形(ABDC)面积的4倍.

6.提示:如图(2)所示,按图中所示的方式对折,点C落在了线段AB延长线上的点C'处,说明AC>AB或AB∠B>∠C B.∠B>∠A>∠C
C.∠A>∠C>∠B D.∠C>∠A>∠B

7.图中以O点为顶点的角有几个?以D点为顶点的角有几个?试用适当的方法来表示这些角.(图中所有的角均指小于平角的角)
【拓展探究】
8.小刚是个数学迷,最近他在研究钟面角(时针与分针组成的角)问题,他想和大家一起来讨论相关的问题.
(1)分针每分钟转多少度?时针每分钟转多少度?
(2)12:00整,时针和分针重合,至少经过多长时间会再次出现时针和分针重合的现象?此时,时针和分针各转动了多少度?
【答案与解析】
1.B(解析:A.因为顶点O处有四个角,所以这四个角均不能用∠O表示,故本选项错误;B.因为顶点O处只有一个角,所以这个角能用∠O,∠α及∠AOB表示,故本选项正确;C.因为顶点O处有三个角,所以这三个角均不能用∠O表示,故本选项错误;D.因为∠O与∠α表示的不是同一个角,故本选项错误.故选B.)
2.B(解析:①角是由有公共端点的两条射线所构成的图形,故错误;②角的大小与边的长短无关,只与两条边张开的角度有关,故正确;③角的两边是两条射线,故正确;④把一个角放到一个放大10倍的放大镜下观看,角的度数不变,故错误.只有②③正确.故选B.)
3.C (解析:从3时到6时,钟表的时针旋转的度数是(6-3)×30°=90°.故选C.)
4.B(解析:因为平角是由处在同一直线上方向相反的两条射线构成的角,不能将直线和射线混为一谈,所以(1)错误,(2)正确;图(3)(4)中,点A为顶点,可表示为∠CAB,所以图中角的表示方法正确的有2个.故选B.)
5.C (解析:A应为∠CAB;B没构成角;D应为∠ACB.故选C.)
6.A(解析:易知∠A=20°18',∠B=20°15'30″,∠C=20.25°=20°15',所以∠A>∠B>∠C.故选A.)
7.解:以O点为顶点的角有3个,分别是∠AOB,∠AOC,∠BOC;以D点为顶点的角有4个,分别是∠1,∠2,∠3,∠4.
8.解:(1)分针旋转的速度是360÷60=6(度/分),时针旋转的速度是30÷60=12(度/分).　(2)设至少经过x分,会再次出现时针和分针重合的现象,由题意得6x- 12x=360,解得x=72011,分针旋转6×72011=432011(度),时针旋转12×72011=36011(度).答:至少经过72011分钟会再次出现时针和分针重合的现象,此时,时针转动了36011度,分针转动了432011度.



在教学过程中教师以多媒体课件引入图片,直观形象地刻画出角的形象,与小学阶段的角的形象相对应,自然地引入本节课的内容,给学生熟悉、亲近的感觉.在探索过程中,借助多媒体生动形象地描绘出角的另一种描述方式:以运动的观点来描述,通过多媒体展示运动的角,让学生从感性上接受角的另一种描述方式.关于角的度量换算的内容,充分发挥了学生的主观能动性,通过小组讨论以及师生之间的合作交流,在师生、生生之间的互动中解决本节课的重点和难点,让每个学生都能在交流的过程中获益,同时也培养了学生的合作意识.


1.学生对用一个大写字母表示角的方法不熟练,当一个顶点处有多个角的时候也用一个大写字母表示.
2.学生对度、分、秒之间的换算练习不到位,以致在做题的过程中出现的错误较多.

在本节课的教学中角的表示方法是个难点,教师应针对不同的图形增加练习题,让学生掌握这种表示方法.另外对于角度单位的换算,应明确单位之间的进率与时、分、秒单位之间的进率相同,在换算时典型题多练习、多指导,在课堂上学生没有完全掌握的地方,在习题之后可以再补充几道题,不要局限于有限的资源.

练习(教材第134页)
1.解:6时整,钟表的时针和分针成180°角;8时整,钟表的时针和分针成120°角;8时30分,钟表的时针和分针成75°角.
2.提示:度、分、秒是角的度量单位,相邻两个单位之间的进率都是60,即1°=60',1'=60″.由此即可进行换算.解:(1)35°=35×60'=2100',35°=35×3600″=126000″.　(2)38°15'和38.15°不相等.因为38.15°=38°+0.15×60'=38°9',38°9'38.15°.
3.解:画法如下:(1)先画一个圆;(2)以圆的半径为半径用圆规在圆周上顺次截取六等份,在圆周上得到六个点A,B,C,D,E,F;(3)顺次连接这六个点就得到正六边形ABCDEF.


角是最基本的几何图形之一,正确理解角的概念,掌握角的表示方法对今后的学习非常重要.
1.认识角
角是由有公共端点的两条射线组成的图形.如图(1)所示,角是由两部分组成的,一是角的顶点(点O);二是角的两条边(射线OA,OB).学习角的定义应注意把握角的特征:(1)角是几何图形;(2)角的边是射线;(3)角的大小与两条边的张开程度有关,与所画角的两边的长短无关.

角还可以看作是一条射线OA绕着它的端点O由原来的位置旋转到另一个位置OB所形成的图形.如图(1)所示,旋转所经过的平面部分是角的内部,不包括射线的其他平面部分是角的外部.
【评注】　应理解并掌握角的定义,注意角的特征.
2.表示角
角的表示方法主要有以下几种:
(1)在角的符号“∠”后面加注角两边上的两个字母和角的顶点字母来表示.如图(1)所示,这个角可记作∠AOB或∠BOA.应注意顶点字母应写在两个字母的中间.
(2)在角的符号“∠”后面标注顶点字母表示.如图(1)所示,∠AOB也可以记作∠O.注意这种表示方法必须是在顶点处只有一个角的时候才能使用.当一个顶点处不是唯一的一个角时,不能使用这种方法表示.
(3)在角的符号“∠”后标注数字或希腊字母表示.如图(2)所示,这两个角可分别表示为∠1,∠β.

【评注】　角的表示方法有三种,在表示具体的角的时候,应根据图形的特征,灵活选用表示方法.
3.划分角
(1)平角:射线OA绕点O旋转,当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时所成的角,如图(3)所示.
(2)周角:射线OA绕它的端点O旋转,当终边OB和始边OA重合时所成的角,如图(4)所示.


(3)直角:等于平角一半的角.
(4)锐角:大于0°而小于90°的角.
(5)钝角:大于90°而小于180°的角.
【评注】　直角、平角、周角都是固定大小的角.直角不是锐角,也不是钝角,同样,平角、周角不是钝角,也不是锐角.
4.理清角
(1)平角不是直线,周角不是射线.
平角、周角都是比较特殊的角,因为平角和周角都有顶点和两条边.平角的两条边成一条直线;周角的两边重合成一条射线.平角和直线是两种不同的几何图形.同样周角与射线也是不同的几何图形.所以要注意它们之间的区别.
(2)角和角的度数.
角是一个几何图形,而角的度数是用来反映角的大小的一个“量”,带有单位.不能把角和角的度数混为一谈.
4.3.2　角的比较与运算



1.会比较角的大小,能估计一个角的大小.
2.在操作活动中认识角的平分线.

1.经历利用已有知识解决新问题的过程.
2.培养学生的数感和对数学活动的兴趣,让学生实际观察、操作,体会角的大小.
3.培养学生的观察思考能力.

1.在独立思考的基础上,积极参与对数学问题的讨论.
2.敢于表达自己的观点,尊重和理解他人的见解,从而在交流中获益.

【重点】　角的比较和角平分线的定义.
【难点】　角的和差与画法.

【教师准备】　直尺、三角板.
【学生准备】　直尺、三角板.


导入一:
教师提出问题:
(1)角的表示方法有几种?
(2)怎样比较两条线段的大小?
学生思考后回答.
导入二:
1.把12.35°用度、分、秒表示.
2.回顾线段比较大小的方法:度量法和叠合法.
提出问题:
以前我们学过线段的大小比较,那么怎么来比较图中两个角的大小呢?

请同学们在透明纸上任意画两个角.然后想办法比较这两个角的大小.
[设计意图]　通过对两条线段长短的比较的类比,探究角的大小的比较方法,巩固旧知识,引入新知识.

一、角的比较方法
问题1
请同学们回忆一下,前面我们学习了线段的哪些内容?
【师生活动】　学生回顾在线段中所学内容,教师归纳.
教师关注:学生对所学线段内容的整体认识以及“几何模型——图形——文字——符号”的学习过程.
[设计意图]　通过回忆与本节课内容密切相关的引导性材料,使学生对学习进程做到心中有数,帮助学生掌握探究问题的方法.
问题2
类比线段长短的比较,你认为该如何比较两个角的大小?在练习本上画两个角,比较它们的大小,并说明你是怎样比较的.
【师生活动】　学生讨论解决问题的方法,学生代表展示交流.
学生展示交流后提问:比较角的大小的方法有几种?每种方法中应注意的问题是什么?
教师在学生展示交流的基础上,利用课件动画演示:用量角器量角、用叠合法比较角的大小的过程,归纳操作要点.
量角器量角要注意:对中,重合,读数.
叠合两角时要注意:(1)重合(两角的顶点及一边重合);(2)同旁(另一边落在第一条边的同旁).
追问:两个角的大小关系有几种?你能用图形和符号表示吗?
【师生活动】　学生画出图形,并用符号表示(如图所示),指出两个角的大小关系有且仅有三种情况.


教师关注:学生运用度量法、叠合法比较角的大小操作的规范性;学生是否能体会两个角的大小关系有且仅有三种情况.
[设计意图]　用类比的方法,按照“几何模型——图形——文字——符号”的学习程序,学生动手操作,自主探究.建立线段比较长短与角比较大小之间知识与方法的联系,在对比中加深理解.指出对于两个角的大小关系和两个实数的大小关系一样,有且仅有三种情况,为以后分类探究一些有关角的问题奠定基础.
问题3
如图所示,图中共有几个角?它们之间有什么关系?

　　【师生活动】　学生确定角的个数,明确角之间的和差关系.
教师关注:学生是否能发现角的和差关系,若学生仅说出它们的大小关系,教师可引导学生进一步观察图形,类比线段的和与差,发现角的和差关系.
学生完成上述问题后提问:你能用符号表示这些角之间的和差关系吗?
教师关注:学生能否理解角的和与差的意义.
[设计意图]　以角的比较大小的图形为背景,提出角的和差问题,将知识由角的大小过渡到角的和与差,衔接自然流畅.同时针对同一图形变换审视角度提出问题,可以提高学生的读图能力.用符号表示角的和差关系,仍遵循“几何模型——图形——文字——符号”的学习过程,在图形与等式之间建立一种关系.从角的大小上研究角的和与差,突出反映角的和与差与度数的数量关系,加深对角的和与差概念的理解.
二、角的运算
问题4
利用一副三角板,你能画出哪些度数的角?这些角有什么规律?
【师生活动】　学生动手操作,小组合作探究,师生归纳.
师生归纳:一副三角板上的角都是常用的角,它们是30°,45°,60°,90°的角,利用这些角可以很方便地画出与这些角相关的一些特殊角,如15°,75°,105°,120°,135°,150°,165°等.
[设计意图]　用一副三角板画出一些特殊角,除了让学生巩固角的和与差概念外,也使学生对这些特殊角的大小有直观的认识,培养对角的大小的估计能力和动手操作能力,加深学生对角的认识.
问题5
类比线段的中点,在∠AOB中,射线OB有没有一种特殊位置?若有,此时各个角之间又存在怎样的关系?
【师生活动】　画出图形(如图所示),明确角的平分线的概念.
提出问题:
(1)你能用符号表示图(1)中角之间的关系吗?
(2)类似角的平分线,还有角的三等分线(如图(2)所示),一个角的三等分线有几条?四等分线呢?

[设计意图]　从角的和差问题中,将射线OB的位置特殊化,并类比线段的中点,引出角的平分线的概念,体现了由一般到特殊,再由特殊到一般的探究方法,同时,也能建立知识间的联系,完善认知结构.
[知识拓展]　角的平分线是一条射线,不是线段,也不是直线,它必须满足下面的两个条件:(1)是从角的顶点引出的射线,且在角的内部;(2)把已知角分成了两个角,且这两个角相等.
问题6
你能得到一个角的平分线吗?
【师生活动】　画图展示交流,归纳方法(用量角器、折纸),教师结合学生的展示交流(或利用课件动画)演示折叠过程中的翻折过程.
教师关注:学生操作是否规范.
[设计意图]　进一步明确角的平分线的概念,为后续学习轴对称图形和研究有关图形的翻折问题打下基础.
问题7
在一张纸上画出一个角并剪下,将这个角对折,使其两边重合.想想看,折痕与角两边所成的两个角的大小有什么关系?
让学生多想一想,做一做,通过观察和思考,师生共同归纳总结.引出角的平分线的定义及其几何表达式,类似的还有角的三等分线、四等分线等.
想一想,还有什么方法可以画出一个角的平分线呢?
师生共同归纳角的平分线的作法:(1)折叠法;(2)度量法.
角平分线的几何表示.
　如右图所示,OC是∠AOB的平分线,根据图形填空.

(1)∠AOB=　　　　∠AOC=　　　　∠COB;
(2)∠AOC=∠COB=　　　　∠AOB.
〔答案〕　(1)2　2　(2)12
(教材例1) 　如图所示O是直线AB上一点,∠AOC=53°17',求∠BOC的度数.

〔解析〕　AB是直线,∠AOB是什么角?它是多少度?∠BOC,∠AOC,∠AOB之间是什么关系?学生讨论以上两个问题,然后师生共同解决问题,解题过程中教师应当关注学生能否准确叙述求角的过程,同时关注学生的求值结果是否正确.
解:见教材.
教师注意规范书写过程.
点评:观察图形,发现各角之间的关系是解决问题的关键.
(教材例2)　把一个周角7等分,每一份是多少度的角(精确到分)?
解:见教材.
点评:教师要注意方法过程,要详细地把计算过程讲解给学生,学生刚开始对60进制不太熟练,所以要注意放慢速度.

1.比较角的大小有两种方法:(1)度量法:即用量角器量角的度数,角的度数越大,角越大.(2)叠合法:即将两个角叠合在一起比较,使两个角的顶点及一边重合,另一边落在第一条边的同旁.
2.从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射线,叫这个角的平分线,类似的还有角的三等分线.角的平分线把角分成了两个相等的角,这两个角都等于原角的一半.
3.角的度数也可以进行加减乘除计算,在计算时要明确度量单位是60进制,需要借位时借1作60,需要进位时,满60进1.四种运算中,加减乘除都是相同单位间各自进行,最后进位,除法要从高位除起,余数化作下一级单位继续除.

1.已知OC是∠AOB的平分线,则下列结论中不正确的是 (　　)

A.∠AOC=∠BOC
B.∠AOC=12∠AOB
C.∠AOB=2∠BOC
D.∠AOB=∠BOC
解析:如图所示,因为OC是∠AOB的平分线,所以∠AOC=∠BOC=12∠AOB,故A,B正确,所以∠AOB=2∠BOC,故C正确,D错误.故选D.
2.如图所示,在∠AOB的内部取一点C,在∠AOB的外部取一点D,作射线OC,OD.下列结论中错误的是 (　　)

A.∠AOB∠AOC
解析:因为OC在∠AOB的内部,所以∠BOC∠AOC,因为OA在∠COD的内部,所以∠COD>∠AOD.故选A.
3.计算:
(1)(180°- 91°32'24″)÷3;
(2)34°25'×3+35°42'.
解:(1)原式=(179°59'60″- 91°32'24″)÷3=88°27'36″÷3=29°29'12″.　
(2)原式=102°75'+35°42'=137°117'=138°57'.

4.如图所示,已知∠1=65°15',∠2=78°30',求∠1+∠2和∠3的度数.
解:因为∠1=65°15',∠2=78°30',所以∠1+∠2=65°15'+78°30'=143°45',所以∠3=180°-(∠1+∠2)=180°-143°45'=179°60'-143°45'=36°15'.

4.3.2　角的比较与运算
1.角的比较方法
(1)度量法
(2)叠合法
2.角的运算
(1)定义:从一个角的顶点出发,把这个角分成两个相等的角的射线,叫做这个角的平分线.
(2)性质:由角平分线分得的两个角相等,并且是原角的一半.
例题
教材例1
教材例2

一、教材作业
【必做题】
教材第136页练习第1,2,3题.
【选做题】
教材第139页习题4.3第3,4,5,6题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示,点O在直线AB上,射线OC平分∠DOB,若∠COB=35°,则∠AOD等于 (　　)

A.35°　　B.70°　　C.110°　　D.145°
2.如图所示,已知O是直线AB上一点,∠1=40°,OD平分∠BOC,则∠2的度数是 (　　)

A.20° B.25° C.30° D.70°
3.在平面内,∠AOB=60°,∠COB=30°,则∠AOC等于 (　　)
A.30° B.30°或60°
C.30°或90° D.90°
4.如图所示,射线OC,OD分别在∠AOB的内部、外部,下列各式错误的是 (　　)

A.∠AOB
5.提示:此题应用角平分线的定义求出∠ABC和∠ACB的度数,进而得出它们的大小关系.解:因为BD和CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线,所以∠ABC=2∠DBC,∠ACB=2∠ECB.又因为∠DBC=∠ECB=31°,所以∠ABC=2×31°=62°,∠ACB=2×31°=62°.所以∠ABC和∠ACB都是62°,它们相等.即∠ABC=∠ACB.
6.(1)∠AOC　(2)∠AOD　(3)∠BOC　(4)∠BOD
7.解:测量的方法:反向延长OA,并在延长线上取一点C.我们测量出∠BOC的度数后,求它的补角即为∠AOB的度数.(答案不唯一)
8.解:如图所示.(1)射线OA表示北偏西30°.　(2)射线OB表示南偏东60°.　(3)射线OC表示北偏东15°.(4)射线OD表示西南方向(南偏西45°).

9.提示:解本题时,应用角平分线的定义及角的和差的意义找出已知量与未知量之间的关系,从而解决问题.解:(1)因为OB是∠AOC的平分线,且∠AOB=40°,所以∠BOC=∠AOB=40°.又因为OD是∠COE的平分线,且∠DOE=30°,所以∠DOC=∠DOE=30°.所以∠BOD=∠BOC+∠COD=40°+30°=70°,所以∠BOD的度数是70°.　(2)因为∠COD=30°,OD平分∠COE,所以∠COE=2∠COD=60°.又因为∠AOE=140°,所以∠AOC=∠AOE-∠COE=140°-60°=80°.又因为OB平分∠AOC,所以∠AOB=12∠AOC=12×80°=40°.
10.解:齿轮有15个齿时,相邻两齿中心线的夹角是24°;如果是22个齿的齿轮,这个夹角约为16°22'.
11.解:在图(1)中,∠α与∠β互余;在图(2)中,∠α=∠β;在图(3)中,∠α=∠β;在图(4)中,∠α与∠β互补.
12.解:如图所示,点C即为船的位置.

13.解:(1)90°÷2=45°,互余且相等的两个角都是45°.　(2)一个锐角的补角比这个角的余角大90°.我们不妨设这个锐角的度数为α,则它的余角的度数为90°-α,补角的度数为180°-α,则(180°-α)-(90°-α)=90°.
14.解:图略.通过画出不同的四边形且图中的三个角分别为30°,90°和105°,经过测量,这些四边形的另一个角都是135°.由画图测量可以发现,四边形四个内角的和为360°.
15.提示:(1)∠1+∠2+∠3=360°.三角形外角的和总等于360°.　(2)∠1+∠2+∠3+∠4=360°.四边形外角的和总等于360°.综合(1)(2),猜想:多边形的外角和等于360°.


　(2014·济南中考)如图所示,点O在直线AB上,若∠1=40°,则∠2的度数是 (　　)
A.50°　　B.60°　　C.140°　　D.150°

〔解析〕　因为∠1=40°,所以∠2=180°-∠1=140°.故选C.
　(2014·黄冈中考)如果α与β互为余角,则 (　　)
A.α+β=180° B.α-β=180°
C.α-β=90° D.α+β=90°
〔解析〕　如果α与β互为余角,那么α+β=90°.故选D.
　(2014·乐山中考)如图所示,OA是北偏东30°方向的一条射线,若射线OB与射线OA的夹角是90°,则OB的方位角是 (　　)
A.北偏西30° B.北偏西60°
C.东偏北30° D.东偏北60°

〔解析〕　如图所示,因为∠AOB=90°,所以∠1=90°-30°=60°,故射线OB的方位角是北偏西60°.故选B.
　(2014·漳州中考)如图所示,将一副三角板叠放在一起,使直角顶点重合于点O,绕点O任意转动其中一个三角板,则与∠AOD始终相等的角是　　　　.

〔解析〕　因为∠AOB=∠COD=90°,所以∠AOD=∠AOB-∠BOD=90°-∠BOD,∠BOC=∠COD-∠BOD=90°-∠BOD,所以∠AOD=∠BOC.故填∠BOC.

4.4　课题学习　设计制作长方体形状的包装纸盒





巩固立体图形的展开图知识,进一步体会平面图形与立体图形的相互转化.

在设计制作长方体包装盒的过程中,培养学生的空间想象能力、动手能力、审美能力.

在小组合作完成制作的过程中,培养学生的协作意识和合作精神.

【重点】　设计制作长方体形状的包装纸盒.
【难点】　包装纸盒的平面图形设计.

【教师准备】　厚(硬)纸板、直尺、裁纸刀、剪刀、胶水、彩笔等,几个长方体包装盒 .
【学生准备】　厚(硬)纸板、直尺、裁纸刀、剪刀、胶水、彩笔等.


导入一:
师:在日常生活中,我们经常能看到各种各样的长方体形状的包装盒,你能举出一些例子吗?
学生举例,然后教师出示部分类似的图片,展示各式长方体形状的包装盒.
导入二:
小王叔叔是一个茶叶经销商,他想设计一个形为六棱柱的茶叶盒,你能帮他设计一个吗?想一想,这需要用到我们学过的哪些知识?
[设计意图]　情境导入,激发学生的学习兴趣和探究欲望,引入本节内容.

　　[过渡语]　在日常生活中,我们经常看到如粉笔盒、文具盒、牙膏盒等包装盒,这些包装盒是怎样制作的呢?
活动1:知识准备
问题1
教师出示图片:
观察下面的平面图形,哪些能折叠成长方体?



学生观察思考后回答.
问题2
根据正方体的展开图,你能想象并画出长方体的展开图吗?
小组分工合作,提出要求:
以5~6人为一组,各组确定所要设计制作的包装盒的类别(这里以长城牌墨水瓶纸盒为例),明确分工.
(1)观察作为参考物的包装盒,分析其各面、各棱的大小与位置关系.
(2)拆开盒子,把它铺平,得到展开图;观察它的形状,找出对应长方体各面的相应部分;度量各部分的尺寸,找出其中的相等关系.
(3)把展开图复原为包装盒,观察它是如何折叠并粘到一起的.
(4)多拆、装几个包装盒,注意它们的共同特征.
(5)经过讨论,确定本组的设计方案(包括包装盒的形状、尺寸、外表图案、文字等).
[设计意图]　通过对所学知识的练习与回顾,为本节课进行长方体包装盒的设计做好知识上的准备,激发学生的操作欲望.
活动2:小组设计长方体包装纸盒展开图
教师出示一个具体的墨水瓶包装盒,将它展开,然后展示给学生,让学生观察包装盒的展开图,然后学生讨论并说出这个实物与我们所想象的展开图有什么不同之处.

教师注意引导学生观察包装盒的展开图,在具体的设计过程中,设计图纸并不完全等同于展开图.
[设计意图]　为能够顺利地完成长方体包装纸盒的制作,需要先规范地设计出图纸,即长方体的展开图.
活动3:设计、制作
学生先在一张软纸上进行设计,再尝试裁剪、折叠,观察效果,然后根据情况再进行下一步操作,直到满意时再在硬纸板上进行设计.
学生可参考下图中的数据和形状.注意预留粘贴处.

活动4:交流、评比
展示、交流、评比,并让学生说说设计制作过程中的感受.
评分标准如下:
形状是否符合要求(25分)
尺寸是否符合要求(25分)
美观程度(20分)
用料是否节省(20分)
所用时间(10分)
合计(分)






　　小组讨论以下几个问题:
(1)制成的包装盒是否为长方体?如果不是,是哪个地方出现了问题?如何改进?
(2)从实用性上看,包装盒形状、尺寸是否合理?用料是否节省?是否需要改进?
(3)包装盒的外观设计是否美观?
(4)对平面图形与立体图形的联系有哪些新认识?
小结:让学生谈谈制作过程中的感想和对平面图形、立体图形的认识.
[设计意图]　培养学生的竞争与合作意识,有利于更好地组织小组间的合作学习,通过评比,取长补短.

从展开图入手来了解几何体的特征,有助于进一步理解立体图形与平面图形的相互关系.在日常生活中,设计几何体包装盒通常先绘制其展开图,然后折叠成几何体.

1.如图所示,小明用纸折成了一个正方形的盒子,里面放了一瓶墨水,混放在下面的盒子里,请你仔细观察,选出墨水所在的盒子是 (　　)

解析:根据展开图中各种符号的特征和位置,可知墨水在B盒子里面.故选B.
2.下图中经过折叠后可以围成一个棱柱的图形是 (　　)

解析:选项A,D缺少一个面,不能围成棱柱;选项C中折叠后底面重合,不能围成棱柱;只有B能围成四棱柱.故选B.
3.下图中经过折叠可以围成一个棱柱的是 (　　)

解析:A.侧面展开图是四个面,所以两个底面应是四边形,故此图不能围成一个棱柱;B.侧面展开图是四个面,所以两个底面应是四边形,故此图不能围成一个棱柱;C.侧面展开图是三个面,两个底面是三角形,故此图能围成一个棱柱;D.侧面展开图是三个面,两个底面是三角形,此图中的两个底面在同一侧,故不能围成一个棱柱.故选C.
4.画如图①所示正方体的表面展开图,已经画出了5个面(如图②所示).
(1)请你在图②中标出各顶点的字母,并画出第6个面;
(2)把如图①所示的正方体展开成你所画的图②时,剪开的棱共有几条?是哪几条?

解析:(1)将图①中的正方体表面展开成图②时,先画出第6个面,再根据字母所在位置求解;(2)根据正方体的展开图可得剪开的棱,写出即可.
解:(1)如图所示.(答案不唯一)

(2)剪开的棱共有 7条,分别是棱AB,棱AE,棱BF,棱AD,棱BC,棱DH,棱CG.

4.4　课题学习　设计制作长方体形状的包装纸盒
活动1:知识准备
活动2:小组设计长方体包装盒展开图
活动3:设计、制作
活动4:交流、评比

一、教材作业
【必做题】
教材第144页活动1.
【选做题】
教材第144页活动2.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下面四个图形中,经过折叠能围成如右图所示的正方体的是 (　　)

2.将图中的硬纸片沿虚线折叠,可以围成长方体的是 (　　)

3.如图所示的是一个正方体的表面展开图,把它折成一个正方体时,与顶点K重合的点是 (　　)
A.点F,点N　　　　B.点F,点B
C.点F,点M D.点F,点A

4.四个选项中折叠后与如图所示的正方体一致的图形是 (　　)

5.在右边的4个图形中,只有一个是由左边的纸板折叠而成,错误的是 (　　)

【能力提升】
6.将下图沿虚线折叠,能折成什么样的几何体?

7.有两个正方体,它们的表面上画有形状和排列彼此完全相同的图案,如图(1)和图(2)所示的分别是这两个正方体表面的展开图,请你在图(2)的4个空白方格中补上应有的图案.



【拓展探究】
8.某班数学活动小组的同学用纸板制作长方体包装盒,其表面展开图和相关尺寸如下图所示,其中阴影部分为内部粘贴角料.(单位:毫米)

(1)此长方体包装盒的体积是多少立方毫米(用含x,y的式子表示)?
(2)若内部粘贴角料的面积占长方体表面纸板面积的15,求当x=40,y=70时制作这样一个长方体共需要纸板多少平方毫米.
【答案与解析】
1.B(解析:三角形图案应与正方形的图案相邻,而选项A,C与此不符,所以错误;三角形图案所在的面应与圆形的图案所在的面相邻,选项D与此不符.故选B.)
2.A(解析:A.可以折叠成长方体,故选项正确;B.缺少一个面,不能折叠成,故选项错误;C.缺少一个面,不能折叠成,故选项错误;D.折叠后是三棱柱,故选项错误.故选A.)
3.B
4.B(解析:A.折叠后A与C是相对面,不是A,B,C相邻,故此选项错误;B.折叠后A,B,C相邻,故此
选项正确;C.折叠后B与C是相对面,不是A,B,C相邻,故此选项错误;D.折叠后A与B是相对面,不是A,B,C相邻,故此选项错误.故选B.)
5.A
6.解:观察图形可知,将图中的图形沿虚线折叠,能折成五棱柱.
7.解:如图所示.

8.解:(1)由题意,知该长方体的长为y毫米,宽为x毫米,高为65毫米,则此长方体包装盒的体积为65xy立方毫米.　(2)因为长方体的长为y毫米,宽为x毫米,高为65毫米,所以长方体的表面积=2(xy+65y+65x)平方毫米,又因为内部粘贴角料的面积占长方体表面纸板面积的15,所以制作这样一个长方体共需要纸板的面积=1+15×2(xy+65y+65x)=125(xy+65y+65x)=125xy+156y+156x(平方毫米),因为x=40,y=70,所以制作这样一个长方体共需要纸板125×40×70+156×70+156×40=23880(平方毫米).


在教学过程中,学生的分工明确,教师指导做法也很到位,学生在操作过程中先通过尝试探索,了解长方体包装盒的展开图,通过铺平的方式,观察到它和想象的长方体的展开图的不同.然后以小组为单位设计制作展开图,并粘贴,通过小组展示和评比,学生的积极性非常高,掌握了长方体包装盒的制作方法,让学生体会到了数学来源于生活又应用于生活的道理.在小组的合作交流中,学生们各尽其职,团结协作,课堂气氛活跃.

1.教学环节的时间控制不好,有的环节用的时间相对过长.
2.因为是手工课,教师一定要注意进行安全教育,这一点教师忽略了.
3.在活动的指导上,教师有的地方指导得不够具体.

活动课一定要做好准备工作,在开始上课之前,学生的工具一定要准备到位,否则就会出现较乱的局面,也耽误教学进度.另外在上课的过程中,教师一定要加强安全教育,因为活动本身有一定的安全隐患,如剪刀的使用上等,教师要强调到位.在制作的过程中,教师要巡视指导,及时发现,及时指导,不能让学生将错就错,浪费了时间.

【复习题4】(教材第147页)
1.解:这几个立体图形的名称分别为四棱柱(长方体)、六棱柱、三棱柱、圆柱、圆锥、四棱锥、五棱锥、球.
2.解:a—F,b—D,c—A,d—E,e—C,f—B.
3.解:如图所示.

4.(1)D　(2)C
5.解:乙尺不是直的.由于甲尺是直的,根据直线的性质“两点确定一条直线”或“过两点有且只有一条直线”,乙尺也过A,B两点,应该和甲尺重合,因为没有重合,所以乙尺不是直的.
6.解:由题意,可知AB=AD-BD=76-70=6(mm),BC=AD-CD-AB=76-19-6=51(mm).所以AB和BC的长分别是6 mm和51 mm.
7.提示:(1)正确.因为锐角小于90°,小于90°的角只有加上大于90°的角才能等于180°,大于90°而小于180°的角是钝角,所以正确.　(2)错误.例如一个角是100°,它的补角是80°,显然说法错误.　(3)正确.根据补角的性质“等角或同角的补角相等”可知正确.　(4)错误.如1°的角是锐角,91°的角是钝角,显然这两个角不互补.
8.解:因为∠α和∠β互为补角,所以∠β=180°-∠α.又知∠β的一半比∠α小30°,所以可得12·(180°-∠α)=∠α-30°.解得∠α=80°.所以∠β=180°-80°=100°.
9.A
10.解:第1个图可折叠成四棱柱;第2个图不能折叠成棱柱,因为第2个图折叠后两个底面重合在一起,而另一端没有底面;第3个图可折叠成三棱柱;第4个图不能折叠成棱柱.
11.提示:AB长约105 mm,换算成实际距离约为105 m.
12.解:根据题意,可知∠AEN=∠A'EN,∠B'EM=∠BEM,而∠AEA'+∠BEB'=180°,所以∠AEN+∠A'EN+∠BEM+∠B'EM=180°,即2(∠A'EN+∠B'EM)=180°,所以∠A'EN+∠B'EM=90°,所以∠NEM=90°.
13.提示:海洋世界在大门南偏东约82°的方向上,狮虎园在大门南偏东约5°的方向上,猴山在大门北偏东约3°的方向上,大象馆在大门北偏东约44°的方向上.
14.提示:可以量出四边形EFGH的对边(EF与GH,EH与FG)相等,对角(∠1与∠3,∠2与∠4)相等,还有一些角(如∠1与∠2,∠2与∠3,∠3与∠4,∠4与∠1)互补.其他四边形也有类似的结论.
15.解:根据在两点之间的所有连线中线段最短的性质,当点O是四边形对角线的交点时,它到四个顶点的距离之和最小.


在纸盒包装中最常用的是折叠纸盒和固定纸盒两种.折叠纸盒的盒型通常可分为三大类:筒型、盘型和特殊型.按制作结构又分有插口或锁口式、粘贴式、组装式折叠盒等.
固定纸盒有:套筒式纸盒、镶装纸盒、衬垫盖纸盒、异形纸盒、抽屉式纸盒、有肩纸盒、带铰接盖的纸盒、倾斜盒面纸盒、全天叩地式纸盒、盒中盒、特制品纸盒、有格子板纸盒、有内隔板纸盒等.下面简单介绍几种:
(1)角锥体纸盒
锥形的侧边和黏合的折叠盖口使整个纸盒呈角锥形,中间的衬盖可根据产品要求去掉.也可通过改变侧面部分的数量来选择增加或减少纸盒的面,从而定下底座的形状.
(2)鞭炮形纸盒
将主要的折盖用胶水黏合,一些巧妙的折叠使纸盒呈鞭炮状,中间是存储部分.这样的设计适合新颖高档的糖果包装,若加上其他材料的运用,可使内部产品的特征更加明显.
(3)荷叶边环形纸盒
这是一种从古老日本折纸艺术中发源而来的创新纸盒.图例呈八角形,通过一系列复杂的折叠和褶皱制成圆盒形态,并在顶部形成引人注目荷叶边封口.



1.进一步认识立体图形、能从不同方向观察立体图形,掌握一些立体图形的展开图.
2.掌握点、线、面、体等概念.
3.掌握直线、射线、线段、角的表示方法.
4.结合图形理解线段的和、差,角的和、差,能应用线段中点、角平分线的性质解决问题.
5.能比较线段、角的大小,掌握余角、补角的性质,能进行一些计算.

1.掌握立体图形和平面图形在现实生活中的应用,开拓学生的思维.
2.培养学生应用所学知识解决实际问题的能力.

1.体验数学知识之间的联系性,培养学生积极的学习态度.
2.感受数学的应用价值,培养爱数学、学数学的良好情感.

【重点】
1.会从不同方向观察几何体,掌握立体图形的展开图.
2.线段和角的有关计算.
【难点】　平面图形的应用.

立体图形从不同方向看立体图形展开立体图形平面图形平面图形直线、射线、线段角角的度量角的比较与运算——角的平分线余角和补角

专题一　从不同方向观察几何体
【专题分析】
观察物体时,由于观察的方向和角度不同,观察得到的平面图形也不一定相同.“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”正是不同角度视图的诗意体现.同时,从平面图形想象立体图形,也反映了平面图形与立体图形之间的联系.
　从正面、左面、上面观察如图(1)所示的几何体,在图(2)中分别画出你所看到的几何体的形状图.


〔解析〕　这个立体图形是由5个小正方体组成的,从正面看,只能看到4个正方形,分上、下2行,下面3个,上面1个居中;从左面看,只能看到3个正方形,分上、下2行,下面2个,上面一个靠左;从上面看,能看到4个正方形,分下、下2行,上面3个,下面1个靠左.
解:如图所示.

【针对训练1】　如图所示的是一个水管的三叉接头图,那么从正面看、从左面看、从上面看能得到什么图形?请分别画出来.

解:如图所示.

[方法归纳]　在画从不同方向观察物体得到的平面图形时,一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来,看得见的轮廓线都画成实线,看不见的画成虚线,不能漏掉.
专题二　立体图形的展开图
【专题分析】
在实际生活中常常需要了解一个立体图形展开的形状,如包装一个长方体形状的物体,需要根据这个物体的表面展开图来裁剪纸张.同一个立体图形用不同的方式展开,得到的表面展开图可能是不一样的.常见的几何体:如长方体和正方体的侧面展开图是长方形.实际上,所有棱柱的侧面展开图都是长方形,棱柱的表面展开图的形状不是确定的.圆柱可展开成一个长方形和两个圆形,而圆锥的表面展开图则是一个扇形和一个圆形.
　如图(1)所示的是正方体的一个表面展开图,请在图(2)中给出的备用图的基础上,再分别补画2个小正方形,使它们成为4个不同的正方体的表面展开图.

〔解析〕　正方体有六个面,两个底面和四个侧面.
解:如图所示.(答案不唯一)

[解题策略]　正方体的表面展开图有11种,有“一四一”形,“二二二”形,“三三”形,“一三二”形.要明确“一四一”形中间是四个小正方形,只要在两侧的任意位置画上两个小正方形,即可构成正方体的表面展开图.
【针对训练2】　指出下列平面图形是哪些几何体的表面展开图.

〔解析〕　结合各表面展开图的构成,联想常见立体图形的展开图特征,可以直接进行判断.
解:从左向右依次为圆锥、圆柱.
[方法归纳]　圆柱的展开图由上、下两个圆形和一个长方形组成,圆锥的展开图由一个扇形和一个圆组成.
专题三　探究图形个数的问题
【专题分析】
探究图形上直线、射线与线段的条数,角的个数等,注意结合直线、射线与线段的表示方法及特征(端点个数,延伸方向等),角的表示方法等分析、探究,计数应做到不重不漏.
　如图所示,图中共有多少个小于平角的角?把它们写出来.

〔解析〕　有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,本题中的所有射线都是以点O为端点的,所以由这5条射线中的任意两条组成的图形都是角.
解:图中共有10个小于平角的角,它们分别是∠AOB,∠AOC,∠AOD,∠AOE,∠BOC,∠BOD,∠BOE,∠COD,∠COE,∠DOE.
【针对训练3】　(1)如图(1)所示的直线l上有2个点,图中有　　　　条可用图中字母表示出来的射线,有　　　　条线段.

(2)如图(2)所示的直线l上有3个点,图中有　　　　条可用图中字母表示出来的射线,有　　　　条线段.
(3)如图(3)所示的直线l上有n个点,图中有　　　　条可用图中字母表示出来的射线,有　　　　条线段.
(4)应用(3)中发现的规律解决问题:某校七年级共有6个班进行足球比赛,准备进行循环赛(即每两队之间赛一场),预计全部赛完共需进行　　　　场比赛.
〔解析〕　(1)(2)写出射线和线段后再计算个数;(3)根据规律,射线是每个点用两次,但第一个和最后一个只用一次;线段是从所有点中,任取两个;(4)将n=3代入(3)中规律即可.
〔答案〕　(1)2　1　(2)4　3　(3)2n-2　n(n-1)2　(4)15
[解题策略]　解本类题时读懂题目信息,做到不重不漏是解题的关键.
专题四　线段的有关计算
【专题分析】
线段求值问题是初中几何的一类题目,主要运用线段间的和、差、倍、分进行计算,解决此类问题应注意结合图形及相关的条件,如线段的中点、三等分点等.
　如图所示,点C为AB的中点,AD=8 cm,CD=1 cm,求DB的长.

〔解析〕　明确线段间的相互关系,根据图形进行计算.
解:因为点C为AB的中点,所以AC=BC,
因为AD=8 cm,CD=1 cm,所以AC=8-1=7(cm),所以AB=2AC=14 cm,
所以BD=AB-AD=14-8=6(cm).
【针对训练4】　如图所示,线段AB=12 cm,点O是线段AB的中点,点C是线段AB上一点,且AC=12BC,点P是线段AC的中点.

(1)求线段OP的长;
(2)若将题目中“点C是线段AB上一点”改为“点C是直线AB上一点”,求线段OP的长.(画出示意图)
〔解析〕　(1)找出等量关系代入即可.(2)若改为点C是直线AB上一点,则点C可能在线段AB上,还可能在线段AB的延长线上.
解:(1)因为点O,P分别是线段AB,AC的中点,AB=12 cm,AC=12BC,
所以OP=AO-AP=12AB-AP=12AB- 12AC=12AB- 12×13AB=13AB=4 cm.
(2)如下图所示.

此时,OP=AO+AP=12AB+AP=12AB+12AC=12AB+12AB=AB=12 cm.
[解题策略]　利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键.
专题五　角的有关计算
【专题分析】
角的求值是初中几何中另一类常见的题目,解决这类问题应注意结合图形和相关的概念、性质.运用的知识点有角的平分线、余角和补角等.另外,方程思想是解决这类问题常用的思想方法.
　如图所示,点O是直线AB上的一点,OD是∠AOC的平分线,OE是∠COB的平分线,若∠AOD=14°,求∠DOE和∠BOE的度数.

〔解析〕　利用角平分线和图中角与角的关系进行计算.
解:因为OD是∠AOC的平分线,∠AOD=14°,所以∠AOC=2∠AOD=2×14°=28°.
因为OE是∠COB的平分线,∠AOB=180°,所以∠BOE=12∠BOC=12(180°-∠AOC)=76°,
所以∠DOE=12∠BOC+12∠AOC=76°+14°=90°.
【针对训练5】　如图所示,∠AOB是平角,OD,OC,OE是三条射线,OD是∠AOC的平分线,请你补充一个条件,使∠DOE=90°,并说明你的理由.

〔解析〕　要使∠DOE=90°,只要使∠DOE是∠AOB的一半即可.
解:OE平分∠BOC.(答案不唯一)理由如下:
因为∠AOB是平角,所以∠AOC+∠BOC=180°.
因为OE平分∠BOC,OD平分∠AOC,
所以2∠DOC+2∠EOC=180°,又因为∠DOE=∠DOC+∠EOC=180°,所以∠DOE=90°.
[方法归纳]　对题目中的已知条件进行分析,分析时应分两步完成,一步是从已知条件出发,看能得到什么结论,题目中满足哪些定义、定理、基本图形;第二步是从结论出发,探究问题成立的条件,或要解决本题的途径.结合第一步的分析,总结出合适的解决方法.
【针对训练6】　如图所示,∠AOB=114°,OF是∠AOB的平分线,∠1和∠2互余,求∠1的度数.

【针对训练6】　如图所示,∠AOB=114°,OF是∠AOB的平分线,∠1和∠2互余,求∠1的度数.
〔解析〕　首先根据∠AOB=114°,OF是∠AOB的平分线,求出∠2的度数,然后根据互余两角之和为90°,求出∠1的度数.
解:因为OF是∠AOB的平分线,
所以∠AOF=∠FOB,
因为∠AOB=114°,所以∠AOF=12∠AOB=12×114°=57°,即∠2=57°,
又因为∠1和∠2互余,所以∠1+∠2=90°,
所以∠1=90°-∠2=90° -57°=33°.
[方法归纳]　利用角平分线的定义可以得到两个角与整个角的关系,而互余和互补的角体现的也是角之间的关系,在解题的过程中要灵活地加以运用.
专题六　方位角
【专题分析】
方位角常见语句是北偏东、北偏西,以及南偏东、南偏西等,即南北方向在前,东西方向在后.对于方位角问题,注意方向,以及夹角大小(与南北方向),结合互余可以推测与东西方向的夹角.
　如图所示,OA是表示哪个方向的一条射线?请在图中再画出表示南偏东60°方向的射线OB.


〔解析〕　首先以北或南为始边,然后再观察向哪个方向偏转,以及偏转的角度.
解:OA表示的是北偏东40°方向,南偏东60°方向的射线OB如图所示.
【针对训练7】　如图所示,指出图中射线OA,OB,OC,OD,OE,OF所表示的方向.

〔解析〕　根据图示描述射线的方位角.
解:射线OA表示的是北偏东15°方向;射线OB表示的是南偏东30°方向;射线OC表示的是南偏西30°方向;射线OD表示的是西北方向;射线OE表示的是正西方向;射线OF表示的是正南方向.
[解题策略]　方位角一般是指以观测者的位置为中心,将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角),通常表达成北(南)偏东(西)多少度.
专题七　分类讨论思想在有关线段、角的计算中的应用
【专题分析】
求线段长度的计算问题中,注意点的位置,点可能位于已知线段上或其延长线上;角度计算应注意两个角有无公共部分,有一组边为公共边时,两个角的另外两边可能位于公共边的同侧或两侧.
　有两根木条,一根AB长为80 cm,另一根CD长为130 cm,在它们的中点处各有一个小圆孔M,N(圆孔直径忽略不计,M,N抽象成两个点),将它们的一端重合,放置在同一条直线上,此时两根木条的小圆孔之间的距离MN是多少?

〔解析〕　本题没有给出图形,在画图时,应考虑到A,B,M,N四点之间的位置关系的多种可能性,再根据题意正确地画出图形解题.
解:已知AB=80 cm,CD=130 cm,本题有两种可能:
①如图(1)所示,当A,C(或B,D)重合,且剩余两端点在重合端点同侧时,MN=CN-AM=12CD- 12AB=65-40=25(cm);

②如图(2)所示,当B,C(或A,D)重合,且剩余两端点在重合端点两侧时,MN=CN+BM=12CD+12AB=65+40=105(cm).

综上,两根木条的小圆孔之间的距离MN是25 cm或105 cm.
【针对训练8】　已知线段AB=60 cm,在直线AB上画线段BC,使BC=20 cm,点D是线段AC的中点,求CD的长度.
〔解析〕　本题由于点的位置不确定,故要分情况讨论:①点C在线段AB上;②点C在线段AB的延长线上.

解:(1)如图(1)所示,当点C在线段AB上时,CD=12(AB-BC)=12(60-20)=12×40=20(cm);
(2)如图(2)所示,当点C在线段AB的延长线上时,CD=12(AB+BC)=12(60+20)=12×80=40(cm).
综上,CD的长为20 cm或40 cm.
　已知∠COD=30°,∠AOC=90°,∠BOD=80°,OM平分∠AOD,ON平分∠BOC,求∠MON的度数.
〔解析〕　由于角的位置关系不能确定,故应根据题意画出图形,分情况进行讨论.
解:分类讨论如下:
①如图(1)所示,因为∠AOC=90°,∠COD=30°,所以∠AOD=∠AOC+∠COD=90°+30°=120°,因为OM平分∠AOD,所以∠AOM=∠MOD=12×120°=60°,又∠BOD=80°,所以∠AOB=120°- 80°=40°,所以∠BOM=∠AOM-∠AOB=60°- 40°=20°,因为∠BOD=80°,∠COD=30°,所以∠BOC=80°- 30°=50°,因为ON平分∠BOC,所以∠BON=12×∠BOC=25°,所以∠MON=∠BON-∠BOM=25°- 20°=5°;

②如图(2)所示,因为∠COD=30°,∠AOC=90°,所以∠AOD=∠COD+∠AOC=30°+90°=120°,因为OM平分∠AOD,所以∠AOM=∠MOD=12∠AOD=60°,所以∠MOC=30°,因为∠BOD=80°,所以∠BOC=80°+30°=110°,因为ON平分∠BOC,所以∠CON=12∠BOC=12×110°=55°,所以∠MON=∠MOC+∠CON=30°+55°=85°;
③如图(3)所示,同理可得∠MON=85°;
④如图(4)所示,同理可得∠MON=5°.
综上,∠MON的度数为5°或85°.

【针对训练9】　已知一条射线OA,若从点O再引两条射线OB和OC,使∠AOB=50°,∠BOC=10°,求∠AOC的度数.
　　〔解析〕　若从点O再引两条射线OB和OC,首先弄清有两种情况,即∠AOC=∠AOB+∠BOC或∠AOC=∠AOB-∠BOC,这样就可根据已知条件求出∠AOC的度数.
解:有两种情况:
①如图(1)所示,∠AOC=∠AOB+∠BOC=50°+10°=60°;
②如图(2)所示,∠AOC=∠AOB-∠BOC=50°-10°=40°.
综上,∠AOC的度数为60°或40°.

[易错提示]　在没有给出图形的问题中,正确画图很重要,本类题渗透了分类讨论思想,体现了思维的严谨性,在今后解决类似的问题时,要防止丢解、漏解.
本章质量评估
(时间:90分钟　满分:120分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.下列几何体中(如图所示)属于棱锥的是 (　　)


A.(1)(5)　　　　　　B.(1)
C.(1)(5)(6) D.(5)(6)
2.如图(1)所示,绕虚线旋转一周可以得到的花瓶在图(2)中是 (　　)

(1) (2)
3.如图(1)所示的几何体,从左面看得到的侧面图形在图(2)中是 (　　)

4.一个几何体从三个方向观察得到的平面图形完全相同,则该几何体是 (　　)
A.圆锥　　　　　　　B.圆柱
C.长方体 D.球
5.一个几何体的展开图如图所示,则这个几何体是 (　　)
A.四棱锥 B.四棱柱
C.五棱柱 D.五棱锥

6.如图所示,图中线段共有 (　　)



A.5条 B.6条
C.7条 D.8条
7.下列关于直线的表示方法正确的是 (　　)

8.往返于A,B两地的客车,中途停三个站,在客车正常营运中,不同的票价有(相邻两站之间路程不同) (　　)
A.10种　　B.4种　　C.3种　　D.5种
9.下列各图中,射线OA表示北偏东42°方向的是 (　　)

10.已知∠1与∠2互补,∠1与∠3互余,若∠2=145°,则∠3等于 (　　)
A.75° B.65° C.55° D.45°
二、填空题(每小题4分,共32分)
11.如图所示,从学校A到书店B最近的路线是①号路线,其道理用几何知识解释应是　　　　.

12.下列语句:
①在所有连接两点的线中,直线最短.
②线段AB是点A与点B的距离.
③取直线AB的中点.
④反向延长线段AB,得到射线BA.
其中正确的是　　　　.
13.计算:5012°=　　　　度　　　　分.
14.如图所示,点O是直线AB上一点,OD平分∠BOC,如果∠AOC=50°,那么∠COD=　　　　度.


15.小聪在一个正方体盒子的每个面上都写上一个字,分别为“遨”“游”“数”“学”“世”“界”,其表面展开图如图所示,那么在这个正方体盒子中,和“数”相对的面上所写的字是　　　　.

16.一张桌子上摆放了若干个完全相同的圆柱,从三个不同方向看它得到的平面图形如图所示,那么桌上共有　　　　个这样圆柱.

17.有一个几何体,形状如图所示,这个几何体的棱的条数为　　　　.

18.一副三角板按如图所示的方式重叠,若图中∠DCE=35°25',则∠ACB=　　　　.

三、解答题(共58分)
19.(8分)画出下面两个几何体从正面、从左面、从上面看到的形状图.

20.(8分)如图所示,已知平面上四点A,B,C,D,利用尺规按下列要求作图:
①连接AB,CD.
②延长线段DC到F,使CF=AB.
③延长线段FD交线段AB的延长线于点G.



21.(8分)已知∠α的余角比∠α的补角的23还少40°,求∠α的大小.
22.(10分)在数轴上,点A表示2.4,点B表示-3.6,点C表示-0.6.
(1)求线段AB的长;
(2)点C是不是线段AB的中点?为什么?
(3)取线段BC的中点D,那么点D表示什么数?
23.(12分)如图所示,已知A,O,B三点在同一直线上,∠1=∠2,且∠1和∠4互为余角.
(1)∠2与∠3互余吗?
(2)∠3和∠4有什么关系?为什么?
(3)∠3的补角是图中的哪个角?

24.(12分)已知∠AOD=160°,OB,OC,OM,ON是∠AOD内的射线.
(1)如图(1)所示,若OM平分∠AOB,ON平分∠BOD.当OB绕点O在∠AOD内旋转时,求∠MON的大小.

(2)如图(2)所示,若∠BOC=20°,OM平分∠AOC,ON平分∠BOD.当∠BOC绕点O在∠AOD内旋转时,求∠MON的大小.
(3)在(2)的条件下,若∠AOB=10°,当∠BOC在∠AOD内绕着点O以2度/秒的速度逆时针旋转t秒时,∠AOM∶∠DON=2∶3,求t的值.
【答案与解析】
1.B
2.A
3.B
4.D
5.C
6.B(解析:图中线段有AB,AD,AC,BD,DC,BC,共6条.故选B.)
7.C(解析:通常直线用两个大写字母或一个小写字母表示,如直线AB,直线a.故选C.)
8.A(解析:如图所示,有线段AC,AD,AE,AB,CD, CE,CB,DE,DB,EB,共10条,结合图形,因为每两个车站之间有1种票价,所以不同的票价有10种.故选A.)

9.D
10.C(解析:因为∠1与∠2互补,所以∠1+∠2=180°,因为∠2=145°,所以∠1=180°-145°=35°,因为∠1与∠3互余,所以∠1+∠3=90°,所以∠3=90°-∠1=90°-35°=55°.故选C.)
11.两点之间,线段最短
12.④(解析:因为在所有连接两点的线中,线段最短,所以①错误;线段AB的长是点A与点B的距离,所以②错误;因为直线没有长度,所以③错误;反向延长线段AB能得到射线BA,所以④正确.故填④.)
13.50　30
14.65(解析:因为∠AOC+∠BOC=180°,∠AOC=50°,所以∠BOC=130°,因为OD平分∠BOC,所以∠COD=12∠BOC=12×130°=65°.故填65.)
15.世
16.11(解析:由上面看得到的图形可以看出最底层圆柱的个数,由从正面看得到的图形可以看出每一列圆柱的个数和层数,由从左面看得到的图形可看出每一行圆柱的层数和个数,从而算出总的个数.)
17.10
18.144°35'(解析:因为∠DCB和∠DCE互余,所以∠DCB=90°-35°25'=54°35',因为∠ACD=90°,所以∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+54°35'=144°35'.故填144°35'.)
19.解:第一个几何体从正面、从左面、从上面看到的平面图形如图(1)所示.第二个几何体从正面、从左面、从上面看到的平面图形如图(2)所示.

(1)


(2)
20.解:作出图如图所示.

21.解:根据题意,得90°-∠α=23(180°-∠α)-40°,解得∠α=30°.
22.解:画出数轴如图所示.(1)线段AB的长为2.4- (- 3.6)=6.　

(2)是.理由如下:因为AC=2.4- (- 0.6)=3,BC=(- 0.6)- (- 3.6)=3,所以AC=BC,所以点C是线段AB的中点.　(3)设点D表示的数为x,因为点D是线段BC的中点,所以BD=CD,则有(- 0.6)-x=x- (- 3.6),解得x=- 2.1.所以点D表示- 2.1.
23.解:(1)互余.理由:因为∠1+∠2+∠3+∠4=180°,∠1和∠4互为余角,所以∠1+∠4=90°,所以∠2+∠3=90°,即∠2与∠3互余.　(2)∠3=∠4.理由:由(1)可知∠1+∠4=90°,∠2+∠3=90°,因为∠1=∠2,所以∠3=∠4.(3)由(2)可知∠3=∠4,由题意知∠4的补角是∠AOD,所以∠3的补角是∠AOD.
24.解:(1)因为∠AOD=160°,OM平分∠AOB,ON平分∠BOD,所以∠MOB=12∠AOB,∠BON=12∠BOD,即∠MON=∠MOB+∠BON=12∠AOB+12∠BOD=12(∠AOB+∠BOD)=12∠AOD=80°.　(2)因为OM平分∠AOC,ON平分∠BOD,所以∠MOC=12×∠AOC,∠BON=12∠BOD,即∠MON=∠MOC+∠BON-∠BOC=12∠AOC+12×∠BOD-∠BOC=12(∠AOC+∠BOD)-∠BOC=12×180°-20°=70°.　(3)由题意易得∠AOM=12(10°+2t +20°),∠DON=12×(160°-10°- 2t),因为∠AOM∶∠DON=2∶3,所以3(30°+2t)=2(150°-2t),解得t=21.