华师大版九年级下册第27章 圆27.2 与圆有关的位置关系3. 切线巩固练习

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1．如图1，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，点B是弧CD的中点．
（1）求证：AB⊥CD；
（2）如图2，点E在弧AD上，连接AE，DE，CE，CE与直径AB交于点F，若∠FAE＝2∠FCD，求证：CF＝DE；
（3）如图3，在（2）问的条件下，连接AC，OR⊥DE于R，点G在AC上，且∠AFG＝45°，AG＝5，EF＝6，求OR的长．
2．如图，已知⊙O为△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，作射线BF，使得BA平分∠CBF，过点A作AD⊥BF于点D．
（1）求证：DA为⊙O的切线；
（2）若BD＝1，tan∠ABD＝2，求⊙O的半径．
3．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，点D为线段BA的延长线上一点，连接DC，过点O作OE∥AC交DC延长线于点E，交BC于点F，且满足∠B＝∠E．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若AB＝8，AC＝4，求EF的长．
4．如图，AC是⊙O的直径，点B是⊙O上一点，且BD＝BA，过点B作BE⊥DC，交DC的延长线于点E．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）若BE＝2CE，当AD＝6时，求BD的长．
5．如图，△ABC中，BC＝AC＝10，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G；DF⊥AC于点F，交CB的延长线于点E．
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）若，求CF的值．
6．已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一动点，连接AC，BC，在BA的延长线上取一点D，连接CD，使CD＝CB．
（1）如图1，若AC＝AD，求证：CD是⊙O的切线；
（2）如图2，延长DC交⊙O于点E，连接AE．
i）若⊙O的直径为，sinB＝，求AD的长；
ii）若CD＝2CE，求csB的值．
7．如图1，AB是⊙O的直径，点P在⊙O上，且PA＝PB，点M是⊙O外一点，MB与⊙O相切于点B，连接OM，过点A作AC∥OM交⊙O于点C，连接BC交OM于点D．
（1）填空：OD＝ AC；求证：MC是⊙O的切线；
（2）若OD＝9，DM＝16，连接PC，求sin∠APC的值；
（3）如图2，在（2）的条件下，延长OB至N，使BN＝，在⊙O上找一点Q，使得NQ+MQ的值最小，请直接写出其最小值为 ．
8．△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，交⊙O于点E，连接AE，∠AEB＝2∠ABE．
（1）如图1，求证：AC＝BC；
（2）如图2，作射线CO，交线段BD于点F，求证：DE＝DF；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BO并延长，交⊙O于点G，连接AG，交弦BE于点H，连接EG、CH，若EG＝DH，S△BCF＝15，求线段CH的长．
9．AB，AC为⊙O的弦，AB＝AC．
（1）如图（1），求证：∠BAO＝∠CAO；
（2）如图（2），BD为⊙O的弦，过点D作OA的垂线交⊙O于点E，连接CE，求证：BD＝CE；
（3）如图（3），在（2）的条件下，连接CD交AB于点F，连接OF，AE，若OF⊥AB，FD＝5，S△ACE＝30，求DE的长．
10．如图，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，BG与⊙O相切于点B交AC的延长线于点D（点D在线段BG上），AC＝8，tan∠BDC＝．
（1）求⊙O的直径；
（2）当DG＝时，过G作GE∥AD，交BA的延长线于点E，证明GE与⊙O相切．
11．如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过C作CD∥AB，CD交⊙O于D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）求证：AB2﹣BE2＝BE•EC；
（3）如图2，若点G是△ACD的内心，BC•BE＝64，求BG的长．
12．如图所示，已知△ABC是等边三角形，以AC为直径作⊙O，交BC边于点D，交AB边于点E，作DF⊥AB垂足为点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若△ABC的边长为2，求DF的长度．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AD交AB于点E，△ADE的外接圆⊙O与边AC相交于点F，过点F作AB的垂线交AD于P，交AB于M，交⊙O于点G，连接GE．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若sin∠G＝，AB＝16，求⊙O的直径．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，点F在AC的延长线上，连接BF，∠BAC＝2∠CBF．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若OA＝CF＝3，求△BCF的面积．
15．问题：如图1，⊙O中，AB是直径，AC＝BC，点D是劣弧BC上任一点（不与点B、C重合），求证：为定值．
思路：和差倍半问题，可采用截长补短法，先证明△ACE≌△BCD．按思路完成下列证明过程．
证明：在AD上截取点E，使AE＝BD，连接CE．
运用：如图2，在平面直角坐标系中，⊙O1与x轴相切于点A（3，0），与y轴相交于B、C两点，且BC＝8，连接AB、O1B．
（1）OB的长为 ．
（2）如图3，过A、B两点作⊙O2与y轴的负半轴交于点M，与O1B的延长线交于点N，连接AM、MN，当⊙O2的大小变化时，问BM﹣BN的值是否变化，为什么？如果不变，请求出BM﹣BN的值．
参考答案
1．证明：（1）如图1，连接OC，OD，
∵B是弧CD的中点，
∴，
∴∠COB＝∠DOB，
∵OC＝OD，
∴OB⊥CD，
即AB⊥CD；
解：（2）如图2连接AC，FD，AD，
设∠FCD＝x，
∵∠FAE＝2∠FCD，
∴∠FAE＝2x，
又∠EAD＝∠FCD＝x，
∴∠DAB＝∠FAE﹣∠EAD＝x，
∵AB是直径，AC⊥CD，
∴AB垂直平分CD，
∴FC＝FD，∠CAB＝∠DAB＝x，
∴∠FCD＝∠FDC＝x，
∴∠CAD＝∠DFE＝2∠FCD＝2x，
又∠DEF＝∠CAD＝2x，
∴∠DFE＝∠DEF，
∴DF＝DE，
∵DF＝CF，
∴CF＝DE；
解：（3）如图3，连接AD交CE于Q，过F作MF⊥FD交AD于M，
则∠MFD＝90°，
设CG＝2a，
∵AB垂直平分CD，
∴AC＝AD＝2a+5，
∠ADC＝∠ACD＝90°﹣x，
∴∠ADF＝∠ADC﹣∠FDC＝90°﹣2x，
∴∠FMD＝90°﹣∠ADF＝2x，
∴∠MFA＝∠FMD﹣∠DAB＝2x﹣x＝x，
∴∠MFA＝∠DAB＝x，
∴AM＝MF，
设AM＝MF＝m，则DM＝2a+5﹣m，
∵∠ACF＝∠ACD﹣∠FCD＝90°﹣2x，
又∠AFG＝45°，
∴∠CGF＝∠CAB+∠AFG＝45°+x，
∴∠CFG＝180°﹣∠CGF﹣∠ACF＝45°+x，
∴∠CGF＝∠CFG，
∴CG＝CF＝2a，
∴DF＝DE＝2a，
∵DM2＝DF2+MF2，
∴m2+4a2＝（2a+5﹣m）2①，
∵∠AEC＝∠ADC＝90°﹣2x，
∠AFE＝∠CFB＝90°﹣2x，
∴∠AFE＝∠AEC，
∴AF＝AE，
∴A在EF的中垂线上，
同理，D在EF的中垂线上，
所以AD是EF的中垂线，
∴FQ＝EQ＝，
∵，
∴2am＝3（2a+5﹣m）②，
联立①②得，
16a2﹣10a﹣75＝0，
∴或，
∵a＞0，
∴a＝，m＝，
∵OR⊥DE，
∴OE＝，
∴DG＝，
连接OE，如图4，
∵OA＝OE，
∴∠OEA＝∠BAE＝2x，
∴∠OED＝∠AEC+∠CED﹣∠OEA＝90°﹣x+2x﹣2x＝90°﹣x，
∴∠EOR＝90°﹣∠OER＝x，
在Rt△OGD中，
tan∠DCE＝tanx＝，
又tan∠EOR＝tanx＝，
∴OR＝2ER＝5．
2．（1）证明：连接OA；
∵BC为⊙O的直径，BA平分∠CBF，AD⊥BF，
∴∠ADB＝∠BAC＝90°，∠DBA＝∠CBA；
∵∠OAC＝∠OCA，
∴∠DAO＝∠DAB+∠BAO＝∠BAO+∠OAC＝90°，
∴DA为⊙O的切线．
（2）解：∵BD＝1，tan∠ABD＝2，
∴AD＝2，
∴AB＝＝＝，
∴cs∠DBA＝；
∵∠DBA＝∠CBA，
∴BC＝＝＝5．
∴⊙O的半径为2.5．
3．（1）证明：连接OC，如图所示：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAO+∠B＝90°．
∵∠B＝∠E，
∴∠E+∠CAO＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠ACO，
∴∠E+∠ACO＝90°，
∵OE∥AC，
∴∠ACD＝∠E，
∴∠ACD+∠ACO＝90°，
∴∠DCO＝90°，
∴OC⊥DE，
∴DC是⊙O的切线；
（2）解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OE∥AC，
∴∠OFB＝∠ACB＝90°，
∵AB＝8，AC＝4，
∴BC＝＝＝4，
∵AC∥OF，OA＝OB，
∴CF＝BF＝BC＝2，
∵∠B＝∠E，∠ACB＝∠CFE，
∴△ACB∽△CFE，
∴，
∴，
∴EF＝6．
4．（1）证明：连接OB、OD，如图1所示：
∵AB＝DB，AO＝DO，BO＝BO，
∴△ABO≌△DBO（SSS），
∴∠ABO＝∠DBO，
∵OA＝OB，∠BDC＝∠BAC，
∴∠ABO＝∠BAC＝∠BDC，
∴∠DBO＝∠BDC，
∴OB∥DE，
∵BE⊥DC，
∴BE⊥OB，
∴BE是⊙O的切线；
（2）解：延长BO交AD于点F，如图2所示：
由（1）可知，∠ABO＝∠DBO，
∵AB＝BD，
∴BF⊥AD，AF＝DF＝AD＝3，
∵∠BAF＝∠BCE，∠AFB＝∠E＝90°，BE＝2CE，
∴△ABF∽△CBE，
∴＝＝2，
∴BF＝2AF＝6，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB＝＝＝3，
∴BD＝AB＝3．
5．（1）证明：连接OD，
∵BC＝AC，
∴∠ABC＝∠A，
∵BO＝DO，
∴∠ABC＝∠BDO，
∴∠A＝∠BDO，
∴DO∥AC，
又∵EF⊥AC，
∴∠EDO＝∠EFC＝90°，
∴OD⊥EF，
∵OD是⊙O半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：∵BC＝10，
∴OD＝OC＝5
在Rt△EDO中，
∵，
∴，，
∴，
∵OD∥AC，
∴△EDO∽△EFC，
∴，
∴，
∴FC＝9．
6．（1）证明：连接OC，
∵CD＝BC，
∴∠B＝∠D，
∵AC＝AD，
∴∠D＝∠ACD，
∴∠B＝∠ACD，
∵OA＝OC，
∴∠BAC＝∠OCA，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B+∠BAC＝90°，
∴∠ACD+∠OCA＝90°，
∴∠DCO＝90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
解：（2）i）连接OC，
∵∠ACB＝90°，AB＝，sinB＝，
在Rt△ACB中，AC＝AB•sinB，
∴AC＝＝1，
在Rt△ACB中，BC＝＝＝3，
∵OB＝CO，
∴∠OCB＝∠B，
∵∠B＝∠D，
∴∠OCB＝∠D，
∵∠CBO＝∠DBC，
∴△COB∽△DCB，
∴，
∴CB2＝OB•BD，
∵AB＝，
∴OA＝OB＝，
∴BD＝32×＝，
∴AD＝BD﹣AB＝；
ii）连接CO，
∵CD＝2CE，
设CE＝k，
∴CD＝BC＝2k，
∴DE＝3k，
∵∠E＝∠B，∠OCB＝∠B＝∠D，
∴△DAE∽△COB，
∴，
设⊙O的半径为r，
∴AD＝r，
∴BD＝AD+AB＝r+2r＝r，
∵△COB∽△DCB，
∴，
∴BC2＝OB•BD，
∴（2k）2＝r×r，
∴k＝r，
∴BC＝2k＝r，
∴csB＝．
7．解：（1）∵AC∥OM，
∴△BOD∽△BAC，
∴．
∴OD＝AC．
连接OC，
∵AC∥OM，
∴∠OAC＝∠BOM，∠ACO＝∠COM，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠ACO，
∴∠BOM＝∠COM，
在△OCM与△OBM中，
，
∴△OCM≌△OBM（SAS）；
又∵MB是⊙O的切线，
∴∠OCM＝∠OBM＝90°，
∴MC是⊙O的切线；
（2）∵MB，MC是⊙O的切线，
∴OM⊥BC，
∴∠ODB＝∠ODC＝90°，
∵OC⊥MC，
∴∠OCM＝90°，
∴∠COM＝∠DCM，
∴△MCD∽△COD，
∴，即，
∴CD＝BD＝12，
在Rt△BOD中，OB＝＝＝15，
∴sin∠ABC＝，
∴sin∠APC＝sin∠ABC＝；
（3）如图2，
由（2）知AB＝30，OM＝25，BM＝20，OQ＝OB＝15，
∵，
∴OM上取点D，使，
∴OD＝9，D为定点，
∵，且∠DOQ＝∠QOM，
∴△ODQ∽△OQM恒成立，
∴求NQ+MQ的值最小，相当于求DQ+QN最小，
∴当D、Q、N共线时，DQ+QN最小，
∴NQ+MQ＝DN，作DH⊥ON于点H，可得OH＝9×＝，DH＝9×＝，
∴NH＝15﹣＝，
∴DN＝＝，
即NQ+MQ的最小值为．
8．解：（1）证明：设∠ABE＝m，
∵∠AEB＝2∠ABE，
∴∠AEB＝2m，
∴∠ACB＝∠AEB＝2m，
∵BD⊥AD，
∴∠BDA＝∠BDC＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣m，∠CBD＝90°﹣2m，
∴∠ABC＝90°﹣m，
∴∠BAD＝∠ABC，
∴CA＝CB；
（2）连接CE、OB，如图：
设∠OCB＝n，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝n，
∴∠BOC＝180°﹣2n，
∴∠BAC＝90°﹣n，
∴∠ABE＝n，
∴∠ACE＝∠ABE＝n＝∠OCB，
而∠FBC＝∠CAE，AC＝BC，
∴△FBC≌△EAC（AAS），
∴CF＝CE，
∵CD⊥EF，
∴DF＝DE；
（3）连接AF、CG，延长CF交AB于L，过C作CM⊥BG于M，过H作HK⊥CG于K，如图：
∵BG为直径，
∴∠BAH＝90°，
∴∠EHG＝∠AHB＝∠BAC，
∵四边形ABCG内接于⊙O，
∴∠KGH＝∠ABC，
∴∠EHG＝∠KGH，
∵∠HEG＝∠HKG＝90°，HG＝GH，
∴△EHG≌△KGH（AAS），
∴EG＝HK，
∵EG＝HD，
∴HK＝HD，
∴CH平分∠DCG，
∵CL⊥AB，
∴∠ACL＝∠BCL，
∴∠FCH＝45°，
由（2）可知，∠FBC＝90°﹣2n，∠HCB＝45°+n，
∴BH＝BC，
∴△BAH≌△CBM（AAS），
∴CM＝AH＝BL＝AL，
∴tan∠ABD＝，
设CM＝4a，则BM＝8a，
设OM＝b，则OC＝OB＝8a﹣b，
Rt△OCM中，OM2+CM2＝OC2可得b＝3a，
∴tan∠MOC＝tan∠BCD＝，
设CD＝6t，则DF＝3t，BF＝5t，
∵S△BCF＝15，
∴•BF•CD＝15
∴t＝1，
∴AD＝4，DH＝2，
∴CH＝＝2．
9．解：（1）连接OB、OC，
∵BO＝CO，AO＝AO，AB＝AC，
∴△ABO≌△ACO（SSS），
∴∠BAO＝∠CAO；
（2）∵AO⊥DE，点O是圆心，
∴，
∵AB＝AC，
∴，
∴，
∴BD＝CE；
（3）连接AD，过点O作OM⊥AC于点M，
在△BDF和△CAF中，
∵∠BFD＝∠CAF，∠BDC＝∠CAB，
∴△BDF∽△CAF，
∴，
由（1）知：∠BAO＝∠CAO，AO＝AO，∠OFA＝∠OMA＝90°，
∴△AOF≌△AOM（ASA），
∴AF＝AM，
∵AB＝AC，BD＝CE，
由（2）知，△ADB≌△AEC（SSS），
∴S△AEC＝S△ADB＝30，
∵，AC＝AB，
∴，
在△ADB和△AEC中，∠OFA＝∠OMA，
则BD＝DE，
∴，
∵AF＝AM，
∴，
∴DE＝6．
10．解：（1）∵AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，
∴∠ACB＝90°，
∵BG与⊙O相切于点B，
∴∠ABD＝90°，
∴∠BDC+∠BAC＝90°，∠ABC+∠BAC＝90°，
∴∠BDC＝∠ABC，
∵tan∠BDC＝，
∴tan∠ABC＝．
∵AC＝8，
∴＝，
∴＝，
∴BC＝6，
∴由勾股定理得：AB＝10，
∴⊙O的直径为10；
（2）过点D作DF⊥GE于F，过点O作OH⊥GE于H交AD于M，
GE∥AD，
∴∠G＝∠BDC，
∴tan∠G＝tan∠BDC＝，
∴设DF＝4x，FG＝3x，
∵DG＝，
∴由勾股定理得：（4x）2+（3x）2＝，
解得：x＝，
∴DF＝4x＝2，
∵GE∥AD，DF⊥GE，OH⊥GE，
∴DF＝MH＝2，OM⊥AM，
又∵O为AB中点，
∴OM＝BC＝3，
∴OH＝5，
又∵⊙O的直径为10，从而半径r＝5，
∴OH＝r，
∴EG与⊙O相切．
11．解：（1）如图1，连接OA，
∵AB＝AC，
∴＝，∠ACB＝∠B，
∴OA⊥BC，
∵CA＝CF，
∴∠CAF＝∠CFA，
∵CD∥AB，
∴∠BCD＝∠B，
∴∠ACB＝∠BCD，
∴∠ACD＝∠CAF+∠CFA＝2∠CAF，
∵∠ACB＝∠BCD，
∴∠ACD＝2∠ACB，
∴∠CAF＝∠ACB，
∴AF∥BC，
∴OA⊥AF，
∴AF为⊙O的切线；
（2）∵∠BAD＝∠BCD＝∠ACB，∠B＝∠B，
∴△ABE∽△CBA，
∴，
∴AB2＝BC•BE＝BE（BE+CE）＝BE2+BE•CE，
∴AB2﹣BE2＝BE•EC；
（3）由（2）知：AB2＝BC•BE，
∵BC•BE＝64，
∴AB＝8，
如图2，连接AG，
∴∠BAG＝∠BAD+∠DAG，∠BGA＝∠GAC+∠ACB，
∵点G为内心，
∴∠DAG＝∠GAC，
又∵∠BAD+∠DAG＝∠GAC+∠ACB，∠BAD＝∠ACB，
∴∠BAG＝∠BGA，
∴BG＝AB＝8．
12．（1）证明：如图，连接OD，
∵OD＝OC，
∴∠C＝∠ODC，
∵△ABC是等边三角形．
∴∠B＝∠C＝60°，
∴∠B＝∠ODC，
∴AB∥OD，
∴∠AFD+∠ODF＝180°，
∵DF⊥AB，
∴∠AFD＝∠ODF＝90°，
∴FD⊥OD，
∵点D在⊙O上．
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：∵△ABC的边长为2，
∴OC＝1，
在△ODC中，OD＝OC，∠C＝600
∴△ODC是等边三角形．
∴OD＝DC＝1，
∴BD＝BC﹣DC＝1，
∵DF⊥AB，
∴∠DFB＝90°，
∴∠BDF＝30°，
∴，
在Rt△BDF中，，
∴．
13．解：（1）连接OD，
∵AD⊥DE，
∴AE是⊙O的直径，即点O在AE上，
又∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ADO，
∴CAD＝∠ADO，
∴OD∥AC，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
∴OD⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
（2）∵OD∥AC，
∴∠DOB＝∠EAF，
∵∠G＝∠EAF，
∴∠DOB＝∠G，
∴sin∠DOB＝sin∠G＝，
∴tan∠DOB＝tan∠G＝，
设OD＝3k，则BD＝4k，OB＝5k，
∵OB＝AB﹣OA，
∴5k＝16﹣3k，
∴k＝2，
因此OD＝3k＝6，
∴⊙O的直径为12．
14．（1）证明：连接AE，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，
∵AB＝AC，
∴2∠BAE＝∠CAB，
∵∠BAC＝2∠CBF，
∴∠BAE＝∠CBF，
∴∠CBF+∠ABE＝90°，
即∠ABF＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴直线BF是⊙O的切线；
（2）解：∵OA＝CF＝3，
∴AC＝AB＝2OA＝6，AF＝AC+CF＝9，
∴CF＝AF，
∵∠ABF＝90°，
∴BF＝＝＝3，
∴△BCF的面积＝△ABF的面积＝××BF×AB＝××3×6＝3．
15．解：证明：在AD上截AE＝BD，
∵，
∴∠CAD＝∠CBD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠ACE＝∠BCD，CE＝CD，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ECD＝90°，
∴△ECD是等腰直角三角形，
∴CD＝，
∵ED＝AD﹣BD，
∴，即为定值；
（1）如图2，连接O1A，过O1作O1H⊥BC于点H，
∴CH＝BH＝4，O1H＝3，O1A⊥x轴，
∴，
∴O1A＝O1B＝5，
∴HO＝5，
∴OB＝HO﹣HB＝5﹣4＝1，
故答案为：1；
（2）BM﹣BN的值不变，
如图2，
由（1）得，O1A⊥OA，
∵OB⊥AO，
∴O1A∥OB，
∴∠O1BA＝∠OBA，
∵O1A＝O1B，
∴∠O1BA＝∠O1AB，
∴∠ABO1＝∠ABO，
如图3，在MB上取一点G，使MG＝BN，连接AN，AG，
∵∠ABO1＝∠ABO，∠ABO1＝∠AMN，
∴∠ABO＝∠AMN，
∵∠ABO＝∠ANM，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴AM＝AN，
∵，
∴∠AMG＝∠ANB，
在△AMG和△ANB中，
，
∴△AMG≌△ANB（SAS），
∴AG＝AB，
∵AO⊥BG，
∴BG＝2BO＝2，
∴BM﹣BN＝BM﹣MG＝BG＝2，即BM﹣BN的值不变．