初中数学人教版七年级上册第四章 几何图形初步综合与测试同步训练题

奇妙的数学公式

　　本文是笔者在进行人教版数学七年级上册第四章《几何图形初步》教学后，对于学生在练习中经常接触到关于“几何计数”类型的习题，而对此类问题所做的专题学习.以下是课堂教学中, 组织学生进行教学探究活动的流程及细节，供读者参考.

一、线段的计数

例1、(1)如图1，四个点A、B 、C、D 在一条直线上，图中有哪些线段？共有几条？

思路：用“顺序列举计数”法得如下线段: AB、AC、AD；BC、BD；CD.

计算得：3 +2 +1 =6(条).

(2)如图2，若有n个点在同一条直线上，共能数出多少条线段？

类比(1)的“顺序列举计数”法有: (n - 1) +(n - 2) +… +3 +2 +1=(条).

可得出公式：同一直线上，点的个数n线段的数量

练习1、请你根据北京西（始发站）到赣州（终到站）的K1453次列车时刻表，回答问题：

（1）列车在江西境内经过的火车站有站；

（2）假如江西境内任意两站的距离不同，要准备种票价.

（3）如果在8个车站之间任意往返，需要准备多少种车票？

练习2、如图1，图中共有个三角形；如图2，图中共有个长方形.

归纳：无论是数线段、数三角形、数长方形，都能扣住数学公式（模型）：

      （同一直线上，点的个数n线段的数量）来解决问题.

二、角的计数

例2、(1)如图1，图中有四条射线OA、OB、OC、OD，问图中有哪几个角？

思路：类比“顺序列举计数”法，有如下的角:

∠AOB 、∠AOC、∠AOD ;∠BOC、∠BOD ; ∠COD , 计算可得:3 +2 +1 =6(个).

(2)如图2，若有n条射线经过同一个端点，共能数出多少个角？

同理，与例1作比较，再画图探究, 不难得出角的个数是个.

三、直线交点的计数

例3、n条直线相交，最多有几个交点？

思路：由简入繁，从简单情形开始探究(如图4、5、6);

再画图验证:5条直线相交, 最多个交点;6条直线相交呢？7条呢？

每多画一条直线, 最多会增加几个交点？

你发现了什么规律？设交点个数为s, 经过分组讨论, 得到:

①n =2, s =1;

②n =3, s =1 +2 =3;

③n =4, s =1 +2 +3 =6;

④n =5, s =1 +2 +3 +4 =10;

……

∴n条直线相交, 最多有个交点.

四、经过n个点所画直线的计数

例4、经过同一平面的n个点，最多可以画出几条直线？

思路1　类比例3的方法, 从特殊情况入手探究, 得到的又是.

n=2时, s=1 n=3时, s=1+2=3 n=4时, s=1+2+3=6

n个点时，s=？s=1+2+3+…+(n-1)=

思路2　整体组合法. n个点中的每一个点与其它(n - 1)个点连直线, 能画(n - 1)条直线, n个点就是(n - 1) n条, 但每两点连直线都重复了一次, 所以应该是条直线.

练习4、一次朋友聚会，每两个人都要握一次手，12个人要握手次；

练习5、在一次篮球比赛中，参赛的所有球队都要进行一次单循环比赛，一共进行了105场比赛，参赛队伍有支;

练习6、在正十六边形中，一共有对角线条.

练习7、如图1，图中有个三角形；如图2，图中有个长方形.

课堂小结：

数学真奇妙.

数学来源于生活，又服务于生活．

所以每名同学要注意题给条件，养成善于观察生活，勤于思考，善于总结的习惯，做到举一反三，一题多解、一题多变，培养出更好的数学思维能力．