培优竞赛拔高第八讲二次函数综合问题学案九年级数学

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今有网球从斜坡O点处抛去，网球的抛物路线方程是，斜坡的方程是，其中y是垂直高度（m），x是与O点的水平距离（m），如图8-1.
（1）网球落地时撞击斜坡的落点为A，写出A点的垂直高度，以及A点与O点的水平距离：
（2）在图象中，求标志网球所能达到的最高点B的坐标，并求0B与水平线Ox之间夹角的正切.
解析：（1）由方程组
解得A点坐标为（7，3.5），即可求得A点的垂直高度为3.5m，A点与O点水平距离为7m.
由知，最高点B的坐标为（4，8），且（记）.
点评：本题是香港考题，在日常情境中，本题运用了许多数学知识，如方程组，一元二次方程，二次函数的画图及求二次函数的极值.
【知识延伸】
例1 设a、b、c、d是任意实数，且满足，求证：不等式.
证明：将已知不等式化简整理，得
，①
设，则①式表明，故抛物线（开口向上）与x轴有交点，则
，
即
化简，得ab≥d，②
由于此题关于a、b、c是对称的，故用同样的方法可证得，③
，④
②、③、④相加得证.
点评：此题的关键和难点是利用题设中已有的不等式构造二次函数，利用二次函数的有关性质和结论证明不等式是常用的方法.
例2 已知抛物线与x轴交于B、C两点，点D平分BC.若在x轴上方的A点为抛物线上的动点，且∠BAC为锐角，求AD的取值范围.
解析：∵

∴抛物线顶点为A'（1，9），对称轴为x=1.
抛物线与x轴的交点为B（-2，0），C（4，0）.
如图8-2，分别以BC，DA'为直径作、，可求得其与抛物线均交于和.
根据直径所对的圆周角为直角，圆外角为锐角，圆内角为钝角，可知点A在不含端点的抛物线上时，∠BAC