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北师大版七年级上册2.1 有理数教学设计及反思
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这是一份北师大版七年级上册2.1 有理数教学设计及反思，共15页。教案主要包含了正负数，相反数，绝对值，数轴，有理数的比较大小，倒数，乘方，科学记数法等内容，欢迎下载使用。
专题02 有理数
1.数轴是一条规定了原点、方向、长度单位的直线。有了数轴，任何一个有理数都可以用它上面的一个确定的点来表示.在数的研究上它起着重要的作用.
2.相反数是指只有符号不同的两个数.零的相反数是零.互为相反的两个数位于数轴上原点的两边，离开原点的距离相等。有了相反数的概念后，有理数的减法运算就可以转化为加法运算.
3.绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值.显然有：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。对于任何有理数a，都有≥0.
4.倒数可以这样理解:如果a与b是非零的有理数,并且有a×b=1，我们就说a与b互为倒数。有了倒数的概念后，有理数的除法运算就可以转化为乘法运算.
5.有理数的大小比较
（1）正数都大于零，负数都小于零，即负数＜零＜正数；（2）两个正数，绝对值大的数较大；（3）两个负数，绝对值大的数反而小；（4）在数轴上表示的有理数，右边的数总比左边的大.
6.科学记数法：是指任何数记成a×10n的形式，其中用式子表示|a|的范围是0＜|a|＜10.
7.有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数。由此可得，互为相反数的两数相加的0；三个数相加先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变.
8.有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数.
注意：一切加法和减法运算都可以统一成加法运算.
9.有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘.任何数同零相乘都得零.
10.有理数的除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.零除以任何一个不为零的数都得零.
11.有理数混合运算的顺序：有理数混合运算中，先算乘方，再算乘除，最后算加减.运算中，如果有括号，就先算括号里面的.
12.有理数的运算律：
交换律：a＋b=b＋a, ab=ba.
结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)， (ab)c=a(bc).
乘法对加法的分配律：a(b＋c)=ab＋ac.
考点一、正负数
例1（2020孝感）如果温度上升3°，记作+3℃，那么温度下降2°记作（ ）
A.-2℃ B.+2℃ C.+3℃ D.-3℃
【答案】A.
【解析】解：温度上升3℃记作+3℃，温度下降2℃记作-2℃.
故选A．
【名师点睛】此题考查用正负数表示两个具有相反意义的量，具有相反意义的一对量在日常生活中很常见，若一个记为“+”，则另一个记为“−”. 说明：（1）用正数和负数可以表示意义相反的量．（2）正数前面可以加上“＋”号，一般地，正数前面的“＋”号可省略不写，但有时为了强调，习惯上在正数前面要加上“＋”号．（3）0除了表示一个也没有外，还是正数与负数的分界；这里在实际问题中有确定的意义．
考点二、相反数
例2 （2020永州）-2020的相反数是（ ）
A．﹣ B．2020 C．﹣2020 D．
【答案】B．
【解析】解：-2020的相反数是2020，故选：B．
【名师点睛】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
考点三、绝对值
例3 （2020湘潭） 的绝对值是
A． B．6 C． D．
【答案】B
【解析】根据绝对值的定义，得，故选：B．
【名师点睛】（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a的绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数–a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|=．
考点四、数轴
例4（2020临沂）如图，数轴上点A对应的数是，将点A沿数轴向左移动2个单位至点B，则点B对应的数是（ ）
A． B．-2 C． D．
解：点A向左移动2个单位，
点B对应的数为：．
故选：A．
【名师点睛】由于引进了数轴，我们可以把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．
考点五、有理数的比较大小
例5 （2020盘锦）在１，，，0中，最小的数是
A．1 B． C． D．0
【答案】C
【解析】∵，∴最小的数是，故选C．
【名师点睛】本题考查了实数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是本题的关键．
考点六、倒数
例6(2020黔西南州) - 2020的倒数是（ ）
A.-2020 B. C.2020 D.
【答案】B.
【解析】∵a的倒数是1a，
∴-2020的倒数是.
故选B.
【名师点睛】本题主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
考点七、乘方
例7（2020长沙）（–2）3的值等于（ ）
A．–6 B．6 C．8 D．–8
【答案】D
【解析】（–2）3= –8，故选D．
【名师点睛】本题考查了有理数的乘方，要注意负数的偶次幂是正数．
考点八、科学记数法
例8 （2020眉山）据世界卫生组织2020年6月26日通报，全球新冠肺炎确诊人数达到941万人，将数据941万人，用科学记数法表示为（ ）
A．9.41×102人 B．9.41×105人 C．9.41×106人 D．9.41×107人
预计到2025年，中国5G用户将超过460 000 000，将460 000 000用科学记数法表示为（ ）
A．4.6×109 B．46×107 C．4.6×108 D．0.46×109
【答案】C
【解析】941万=941000=9.41×106．故选C．
【名师点睛】本题考查了实数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是本题的关键．
考点九、有理数的混合运算
例9（2020广西）计算：．
【答案】-5．
【解析】有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．原式==1-3×2=1-6=-5．
【名师点睛】本题考查的是有理数的混合运算，熟知先算乘方，再算乘除，最后算加减是解答此题的关键．
考点10：有理数运算律
例10（2020武汉模拟）
请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算：
（1）999×（– 15）；
（2）999×+999×（）– 999×.
分析：（1）将式子变形为（1000 – 1）×（– 15），再根据乘法分配律计算即可求解；（2）根据乘法分配律逆用计算即可求解
解：（1）999×（– 15）
=（1000 – 1）×（– 15）
= 15 – 15000
= – 149985
（2）999×+999×（）– 999×.
=999×（+（）-)
=999×100
=99900．
点评：本题考查了有理数的混合运算，由题意可知第一个凑整法，第二个提同数法，在进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
考点11：考查有理数规律探索题
例11（2020黄冈一模）在求1＋3＋32＋33＋34＋35＋36＋37＋38的值时，张红发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的3倍，于是她假设：S＝1＋3＋32＋33＋34＋35＋36＋37＋38 ①，然后在①式的两边都乘以3，得：3S＝3＋32＋33＋34＋35＋36＋37＋38＋39 ②，
②一①得：3S―S＝39－1，即2S＝39－1，
∴S＝.
得出答案后，爱动脑筋的张红想：如果把“3”换成字母m（m≠0且m≠1），能否求出1＋m＋m2＋m3＋m4＋…＋m2020的值？如能求出，其正确答案是___________.
分析：设S＝1＋m＋m2＋m3＋m4＋…＋m2020，在所示设式的两边都乘以m，得：mS＝m＋m2＋m3＋m4＋…＋m2020＋m2021，两式相减可得出答案.
解：设S＝1＋m＋m2＋m3＋m4＋…＋m2020…………………①，
在①式的两边都乘以m，得：mS＝m＋m2＋m3＋m4＋…＋m2020＋m2021 …………………②
②一①得：mS―S＝m2021－1.
∴S＝.
点评：仔细理解题目中所给的求1＋3＋32＋33＋34＋35＋36＋37＋38的值过程，仿照其解法，即可得到求出1＋m＋m2＋m3＋m4＋…＋m2020的值的方法，此题主要考查学生的阅读能力和计算能力.
1.通过丰富的实际背景，充分理解正数和负数可以表示相反意义的量，并进一步理解零的丰富内涵.
2.通过数轴，运用数形结合的思想理解相反数、绝对值的概念，并充分利用概念解决实际问题.
3.运用转化的思想学习有理数运算，化简法为加法，化除法为乘法.
4.类比小学学习的非负数有理数运算中运算律的使用方法，合理使用运算律使运算简化.
一、选择题
1．(2020河池) 如果收入10元记作+10元，那么支出10元记作（ ）
A.+20元 B.+10元 C.－10元 D. －20元
【答案】C
【解析】收入和支出是互为相反意义的量,收入记为+,则支出记为－,因此,支出10元记作－10元,故选C．
2．（2020成都一模）下列四个数中，是负数的是（ ）
A．|-3| B．-(-3) C．(-3)2 D．
【答案】D
【解析】A.|-3|=3，是正数，故A不合题意；B.-（-3）=3，是正数，故B不合题意；C.（-3）2=9，是正数，故C不合题意；D.是负数，故D符合题意，故选D.
3.（2020荆州）计算等于（ ）
A. -39 B. -1 C. 1 D. 39
答案：C
解析：本题考查了有理数加法运算，根据运算法则异号两数相加取绝对值较大的加数的符号，再用较大的绝对值减去较少的绝对值，所以-19+20=20-19=1，因此本题选C．
4.（2020贵州铜仁）举世瞩目的港珠澳大桥于2018年10月24日正式开通营运，它是迄今为止世界上最长的跨海大桥，全长约55000米．55000这个数用科学记数法可表示为（ ）
A．5.5×103 B．55×103 C．0.55×105 D．5.5×104
【答案】D．
【解析】55000这个数用科学记数法可表示为5.5×104，故选：D．
5．若m–2的相反数是5，那么–m的值是（ ）
A．+7 B．–7
C．+3 D．–3
【答案】C
【解析】∵m–2的相反数是5，∴m–2=–5，解得：m=–3，故–m=3．故选C．
6．(2020沈阳期末)点O,A,B,C在数轴上的位置如图所示,O为原点,AC＝1,OA＝OB,若点C所表示的数为a,则点B所表示的数为（ ）
A.－(a+1) B.－(a－1) C.a+1 D.a－1
【答案】B
【解析】∵点C所表示的数为a,AC＝1,点A在点C的左边,∴点A所表示的数为(a－1),∵OA＝OB,∴点A和点B所表示的数互为相反数,故点B所表示的数为－(a－1),故选B.
7．如表为蒙城县2018年某日天气预报信息，根据图表可知当天最高气温比最低气温高了
2018年1月6日蒙城天气预报
天气现象
气温
1月6日
星期六
白天
晴
高温7℃
夜间
晴
低温–5℃
A．2℃ B．–2℃
C．12℃ D．–12℃
【答案】C
【解析】7–（–5）=12（℃）．故选C．
8．(2020枣庄期中)丁丁做了4道计算题：①（–1）2020=2020；②0–（–1）=–1；③–+=；④÷(−)=−1．请你帮他检查一下，他一共做对了
A．1道 B．2道
C．3道 D．4道
【答案】A
【解析】∵（–1）2020=1，故①错误，
∵0–（–1）=0+1=1，故②错误，
∵–+=−，故③错误，
∵÷(−)=−1，故④正确，
故丁丁一共做对了1道，故选A．
9.（2020大连模拟）计算的结果是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】原式
．
故选：B．
10．下列说法正确的有
①最大的负整数是﹣1；
②数轴上表示﹣3和3的点到原点的距离相等；
③1.32×104是精确到百分位；
④a+6一定比a大；
⑤（﹣2）4与﹣24结果相等．
A．2个 B．3个 C．4个 D．0个
【答案】B
【解析】①最大的负整数是﹣1，故①正确；
②数轴上表示﹣3和3的点到原点的距离相等，都等于3，故②正确；
③1.32×104是精确到百位，故③错误；
④a+6一定比a大，故④正确；
⑤因为（﹣2）4=4，﹣24=﹣16，所以（﹣2）4与﹣24结果不相等，故⑤错误．
故正确的说法有3个，选B．
二、填空题
11．近似数1.5×105精确到______位．
【答案】万
【解析】近似数1.5×105精确到万位．故答案为：万．
12．(2020济南月考) 数轴上O,A两点的距离为4,一动点P从点A出发,按以下规律跳动:第1次跳动到AO的中点A1处,第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处,第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处,按照这样的规律继续跳动到点A4,A5,A6,…,An(n≥3,n是整数)处,那么线段AnA的长度为________(n≥3,n是整数).
【答案】4－.
【解析】∵AO＝4,∴OA1＝2,OA2＝1,OA3＝,OA4＝,可推测OAn＝,∴AnA＝AO＝OAn＝4－.
13．计算1–2+3–4+5–6+7–8+…+2019–2020的结果是__________
【答案】–1010
【解析】这从1到2020一共2020个数，相邻两个数之差都为–1，所以1–2+3–4+5–6+7–8+…+2019–2020的结果是–1010．故答案为：–1010．
14.（2020辽宁一模）如图，数轴上A、B两点所表示的数分别是－4和2，点C是线段AB的中点，则点C所表示的数是 ．
【答案】－1
【解析】∵点C是线段AB的中点，∴AC＝BC，设C所表示的数为x，则有x－（－4）＝2－x，整理得2x＝－2，解得x＝－1．
【知识点】数轴；数轴上表示两点间的距离；
三、解答题
15．（2020宜昌）在“－”“×”两个符号中选一个自己想要的符号，填入中的，并计算．
解：添加想要的符号“－”，
＝
=4+1
=5；
添加想要的符号“×”，
＝
=4+1
=5．
16．(2020武汉月考)请你把下列各数填入表示它所在的数集的圈里：
﹣2，﹣20%，﹣0.13，﹣7，10，，21，6.2，4.7，﹣8
这四个集合合并在一起 （填“是”或“不是”）全体有理数集合，若不是，缺少的是 ．
【答案】见解析．
【解析】
．
这四个集合合并在一起不是全体有理数集合，缺少的是0．
故答案为：不是；0．
17．计算：（1）2+5−8；（2）.
【答案】（1）−1；（2）.
【解析】（1）2+5−8=−1.
（2）=.
18．(2020焦作月考)计算：
（1）;（2）;
（3）.
【答案】（1）8；（2） ；（3）−4.
【解析】（1）原式
（2）原式
（3）原式
19．20筐白菜，以每筐15千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示．记录如下：
与标准质量的差值（单位：千克）
–3.5
–2
–1.5
0
1
2.5
筐数
2
4
2
1
3
8
（1）20筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重_______千克．
（2）与标准重量比较，20筐白菜总计超过或不足多少千克？
（3）若白菜每千克售价1.8元，则出售这20筐白菜可卖多少元？
【答案】（1）6；（2）20筐白菜总计超过5千克；（3）549元．
【解析】（1）最重的一筐超过2.5千克，最轻的差3.5千克，求差即可2.5–（–3.5）=6（千克），故最重的一筐比最轻的一筐重6千克．故答案为：6；
（2）2×（–3.5）+4×（–2）+2×（–1.5）+1×0+3×1+8×2.5
=–7–8–3+0+3+20
=5（千克）．
故20筐白菜总计超过5千克；
（3）1.8×（15×20+5）
=1.8×305
=549（元）．
故出售这20筐白菜可卖549元．
20．(2020安徽模拟)一位病人上午8时的体温是39.4℃，下表表示该病人一天中的体温变化：
时间
11时
14时
17时
20时
23时
凌晨2时
凌晨5时
上午8时
体温℃
−1.2
+1
+0.5
−1.2
−0.5
−0.5
−0.4
+0.2
（1）这位病人的最高体温出现在几时？最高体温和最低体温相差多少度？
（2）从这位病人的病情变化看，请你分析他的病情在恶化还是好转？
【答案】(1) 这位病人的最高体温出现在17时，最高体温和最低体温相差2.6℃；(2) 体温逐渐降低到人体正常温度37℃左右，病情好转．
【解析】（1）这位病人的最高体温出现在17时，即39.4−1.2+1+0.5=39.7℃，
最低体温=39.4−1.2+1+0.5−1.2−0.5−0.5−0.4=37.1℃，
∴最高体温和最低体温相差39.7℃−37.1℃=2.6℃；
（2）体温逐渐降低到人体正常温度37℃左右，病情好转．
21.（1）两数的积是1，已知一个数是，求另一个数；
（2）两数的商是，已知被除数是，求除数．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）根据题意，得所求另一个数为
（2）根据题意，得所求除数为
22．(2019湖北荆州月考)用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆ b=ab2+2ab+a．如：1☆ 3=1×32+2×1×3+1=16．
（1）求（﹣2）☆ 3的值；
（2）若（☆ 3）=8，求a的值．
【答案】（1）﹣32；（2）0．
【解析】（1）（﹣2）☆3=﹣2×32+2×（﹣2）×3+（﹣2）=﹣32；
（2）☆3=×32+2××3+=8a+8=8，
解得：a=0．
23.数学实验室：
点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a–b|．
利用数形结合思想回答下列问题：
①数轴上表示2和5两点之间的距离是_______，数轴上表示1和–3的两点之间的距离是_______．
②数轴上表示x和–2的两点之间的距离表示为______．数轴上表示x和5的两点之间的距离表示为_____．
③若x表示一个有理数，则|x–1|+|x+3|的最小值=______．
④若x表示一个有理数，且|x+3|+|x–2|=5，则满足条件的所有整数x的是_______．
⑤若x表示一个有理数，当x为_______，式子|x+2|+|x–3|+|x–5|有最小值为_______．
【答案】①3，4；②|x+2|，|5–x|；③4；④–3或–2或–1或0或1或2；⑤3，7．
【解析】①数轴上表示2和5两点之间的距离是5–2=3，数轴上表示1和–3的两点之间的距离是1–（–3）=4，
故答案为：3，4；
②数轴上表示x和–2的两点之间的距离表示为|x–（–2）|=|x+2|，数轴上表示x和5的两点之间的距离表示为|5–x|，
故答案为：|x+2|，|5–x|；
③当x<–3时，|x–1|+|x+3|=1–x–x–3=–2x–2，
当–3≤x≤1时，|x–1|+|x+3|=1–x+x+3=4，
当x＞1时，|x–1|+|x+3|=x–1+x+3=2x+2，
在数轴上|x–1|+|x+3|的几何意义是：表示有理数x的点到–3及到1的距离之和，所以当–3≤x≤1时，它的最小值为4，
故答案为：4；
④当x<–3时，|x+3|+|x–2|=–x–3+2–x=–2x–1=5，
解得：x=–3，
此时不符合x<–3，舍去；
当–3≤x≤2时，|x+3|+|x–2|=x+3+2–x=5，
此时x=–3或x=–2或0或1或2；
当x＞2时，|x+3|+|x–2|=x+3+x–2=2x+1=5，
解得：x=2，
此时不符合x＞2，舍去；
当x=0时，|x+3|+|x–2|=5；
当x=1时，|x+3|+|x–2|=5；
当x=–1时，|x+3|+|x–2|=5；
故答案为：–3或–2或–1或0或1或2；
⑤∵设y=|x+2|+|x–3|+|x–5|，
i、当x≥5时，y=x+2+x–3+x–5=3x–6，
∴当x=5时，y最小为：3x–6=3×5–6=9；
ii、当3≤x<5时，y=x+2+x–3+5–x=x+4，
∴当x=3时，y最小为7；
iii、当–2≤x<3时，y=x+2+3–x+5–x=10–x，
∴此时y最小接近7；
iiii、当x<–2时，y=–x–2+3–x+5–x=6–3x，
∴此时y最小接近12；
∴y的最小值为7．
故答案为：3，7．
专题02 有理数
1.数轴是一条规定了原点、方向、长度单位的直线。有了数轴，任何一个有理数都可以用它上面的一个确定的点来表示.在数的研究上它起着重要的作用.
2.相反数是指只有符号不同的两个数.零的相反数是零.互为相反的两个数位于数轴上原点的两边，离开原点的距离相等。有了相反数的概念后，有理数的减法运算就可以转化为加法运算.
3.绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值.显然有：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。对于任何有理数a，都有≥0.
4.倒数可以这样理解:如果a与b是非零的有理数,并且有a×b=1，我们就说a与b互为倒数。有了倒数的概念后，有理数的除法运算就可以转化为乘法运算.
5.有理数的大小比较
（1）正数都大于零，负数都小于零，即负数＜零＜正数；（2）两个正数，绝对值大的数较大；（3）两个负数，绝对值大的数反而小；（4）在数轴上表示的有理数，右边的数总比左边的大.
6.科学记数法：是指任何数记成a×10n的形式，其中用式子表示|a|的范围是0＜|a|＜10.
7.有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数。由此可得，互为相反数的两数相加的0；三个数相加先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变.
8.有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数.
注意：一切加法和减法运算都可以统一成加法运算.
9.有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘.任何数同零相乘都得零.
10.有理数的除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.零除以任何一个不为零的数都得零.
11.有理数混合运算的顺序：有理数混合运算中，先算乘方，再算乘除，最后算加减.运算中，如果有括号，就先算括号里面的.
12.有理数的运算律：
交换律：a＋b=b＋a, ab=ba.
结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)， (ab)c=a(bc).
乘法对加法的分配律：a(b＋c)=ab＋ac.
考点一、正负数
例1（2020孝感）如果温度上升3°，记作+3℃，那么温度下降2°记作（ ）
A.-2℃ B.+2℃ C.+3℃ D.-3℃
【答案】A.
【解析】解：温度上升3℃记作+3℃，温度下降2℃记作-2℃.
故选A．
【名师点睛】此题考查用正负数表示两个具有相反意义的量，具有相反意义的一对量在日常生活中很常见，若一个记为“+”，则另一个记为“−”. 说明：（1）用正数和负数可以表示意义相反的量．（2）正数前面可以加上“＋”号，一般地，正数前面的“＋”号可省略不写，但有时为了强调，习惯上在正数前面要加上“＋”号．（3）0除了表示一个也没有外，还是正数与负数的分界；这里在实际问题中有确定的意义．
考点二、相反数
例2 （2020永州）-2020的相反数是（ ）
A．﹣ B．2020 C．﹣2020 D．
【答案】B．
【解析】解：-2020的相反数是2020，故选：B．
【名师点睛】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
考点三、绝对值
例3 （2020湘潭） 的绝对值是
A． B．6 C． D．
【答案】B
【解析】根据绝对值的定义，得，故选：B．
【名师点睛】（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a的绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数–a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|=．
考点四、数轴
例4（2020临沂）如图，数轴上点A对应的数是，将点A沿数轴向左移动2个单位至点B，则点B对应的数是（ ）
A． B．-2 C． D．
解：点A向左移动2个单位，
点B对应的数为：．
故选：A．
【名师点睛】由于引进了数轴，我们可以把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．
考点五、有理数的比较大小
例5 （2020盘锦）在１，，，0中，最小的数是
A．1 B． C． D．0
【答案】C
【解析】∵，∴最小的数是，故选C．
【名师点睛】本题考查了实数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是本题的关键．
考点六、倒数
例6(2020黔西南州) - 2020的倒数是（ ）
A.-2020 B. C.2020 D.
【答案】B.
【解析】∵a的倒数是1a，
∴-2020的倒数是.
故选B.
【名师点睛】本题主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
考点七、乘方
例7（2020长沙）（–2）3的值等于（ ）
A．–6 B．6 C．8 D．–8
【答案】D
【解析】（–2）3= –8，故选D．
【名师点睛】本题考查了有理数的乘方，要注意负数的偶次幂是正数．
考点八、科学记数法
例8 （2020眉山）据世界卫生组织2020年6月26日通报，全球新冠肺炎确诊人数达到941万人，将数据941万人，用科学记数法表示为（ ）
A．9.41×102人 B．9.41×105人 C．9.41×106人 D．9.41×107人
预计到2025年，中国5G用户将超过460 000 000，将460 000 000用科学记数法表示为（ ）
A．4.6×109 B．46×107 C．4.6×108 D．0.46×109
【答案】C
【解析】941万=941000=9.41×106．故选C．
【名师点睛】本题考查了实数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是本题的关键．
考点九、有理数的混合运算
例9（2020广西）计算：．
【答案】-5．
【解析】有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．原式==1-3×2=1-6=-5．
【名师点睛】本题考查的是有理数的混合运算，熟知先算乘方，再算乘除，最后算加减是解答此题的关键．
考点10：有理数运算律
例10（2020武汉模拟）
请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算：
（1）999×（– 15）；
（2）999×+999×（）– 999×.
分析：（1）将式子变形为（1000 – 1）×（– 15），再根据乘法分配律计算即可求解；（2）根据乘法分配律逆用计算即可求解
解：（1）999×（– 15）
=（1000 – 1）×（– 15）
= 15 – 15000
= – 149985
（2）999×+999×（）– 999×.
=999×（+（）-)
=999×100
=99900．
点评：本题考查了有理数的混合运算，由题意可知第一个凑整法，第二个提同数法，在进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
考点11：考查有理数规律探索题
例11（2020黄冈一模）在求1＋3＋32＋33＋34＋35＋36＋37＋38的值时，张红发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的3倍，于是她假设：S＝1＋3＋32＋33＋34＋35＋36＋37＋38 ①，然后在①式的两边都乘以3，得：3S＝3＋32＋33＋34＋35＋36＋37＋38＋39 ②，
②一①得：3S―S＝39－1，即2S＝39－1，
∴S＝.
得出答案后，爱动脑筋的张红想：如果把“3”换成字母m（m≠0且m≠1），能否求出1＋m＋m2＋m3＋m4＋…＋m2020的值？如能求出，其正确答案是___________.
分析：设S＝1＋m＋m2＋m3＋m4＋…＋m2020，在所示设式的两边都乘以m，得：mS＝m＋m2＋m3＋m4＋…＋m2020＋m2021，两式相减可得出答案.
解：设S＝1＋m＋m2＋m3＋m4＋…＋m2020…………………①，
在①式的两边都乘以m，得：mS＝m＋m2＋m3＋m4＋…＋m2020＋m2021 …………………②
②一①得：mS―S＝m2021－1.
∴S＝.
点评：仔细理解题目中所给的求1＋3＋32＋33＋34＋35＋36＋37＋38的值过程，仿照其解法，即可得到求出1＋m＋m2＋m3＋m4＋…＋m2020的值的方法，此题主要考查学生的阅读能力和计算能力.
1.通过丰富的实际背景，充分理解正数和负数可以表示相反意义的量，并进一步理解零的丰富内涵.
2.通过数轴，运用数形结合的思想理解相反数、绝对值的概念，并充分利用概念解决实际问题.
3.运用转化的思想学习有理数运算，化简法为加法，化除法为乘法.
4.类比小学学习的非负数有理数运算中运算律的使用方法，合理使用运算律使运算简化.
一、选择题
1．(2020河池) 如果收入10元记作+10元，那么支出10元记作（ ）
A.+20元 B.+10元 C.－10元 D. －20元
【答案】C
【解析】收入和支出是互为相反意义的量,收入记为+,则支出记为－,因此,支出10元记作－10元,故选C．
2．（2020成都一模）下列四个数中，是负数的是（ ）
A．|-3| B．-(-3) C．(-3)2 D．
【答案】D
【解析】A.|-3|=3，是正数，故A不合题意；B.-（-3）=3，是正数，故B不合题意；C.（-3）2=9，是正数，故C不合题意；D.是负数，故D符合题意，故选D.
3.（2020荆州）计算等于（ ）
A. -39 B. -1 C. 1 D. 39
答案：C
解析：本题考查了有理数加法运算，根据运算法则异号两数相加取绝对值较大的加数的符号，再用较大的绝对值减去较少的绝对值，所以-19+20=20-19=1，因此本题选C．
4.（2020贵州铜仁）举世瞩目的港珠澳大桥于2018年10月24日正式开通营运，它是迄今为止世界上最长的跨海大桥，全长约55000米．55000这个数用科学记数法可表示为（ ）
A．5.5×103 B．55×103 C．0.55×105 D．5.5×104
【答案】D．
【解析】55000这个数用科学记数法可表示为5.5×104，故选：D．
5．若m–2的相反数是5，那么–m的值是（ ）
A．+7 B．–7
C．+3 D．–3
【答案】C
【解析】∵m–2的相反数是5，∴m–2=–5，解得：m=–3，故–m=3．故选C．
6．(2020沈阳期末)点O,A,B,C在数轴上的位置如图所示,O为原点,AC＝1,OA＝OB,若点C所表示的数为a,则点B所表示的数为（ ）
A.－(a+1) B.－(a－1) C.a+1 D.a－1
【答案】B
【解析】∵点C所表示的数为a,AC＝1,点A在点C的左边,∴点A所表示的数为(a－1),∵OA＝OB,∴点A和点B所表示的数互为相反数,故点B所表示的数为－(a－1),故选B.
7．如表为蒙城县2018年某日天气预报信息，根据图表可知当天最高气温比最低气温高了
2018年1月6日蒙城天气预报
天气现象
气温
1月6日
星期六
白天
晴
高温7℃
夜间
晴
低温–5℃
A．2℃ B．–2℃
C．12℃ D．–12℃
【答案】C
【解析】7–（–5）=12（℃）．故选C．
8．(2020枣庄期中)丁丁做了4道计算题：①（–1）2020=2020；②0–（–1）=–1；③–+=；④÷(−)=−1．请你帮他检查一下，他一共做对了
A．1道 B．2道
C．3道 D．4道
【答案】A
【解析】∵（–1）2020=1，故①错误，
∵0–（–1）=0+1=1，故②错误，
∵–+=−，故③错误，
∵÷(−)=−1，故④正确，
故丁丁一共做对了1道，故选A．
9.（2020大连模拟）计算的结果是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】原式
．
故选：B．
10．下列说法正确的有
①最大的负整数是﹣1；
②数轴上表示﹣3和3的点到原点的距离相等；
③1.32×104是精确到百分位；
④a+6一定比a大；
⑤（﹣2）4与﹣24结果相等．
A．2个 B．3个 C．4个 D．0个
【答案】B
【解析】①最大的负整数是﹣1，故①正确；
②数轴上表示﹣3和3的点到原点的距离相等，都等于3，故②正确；
③1.32×104是精确到百位，故③错误；
④a+6一定比a大，故④正确；
⑤因为（﹣2）4=4，﹣24=﹣16，所以（﹣2）4与﹣24结果不相等，故⑤错误．
故正确的说法有3个，选B．
二、填空题
11．近似数1.5×105精确到______位．
【答案】万
【解析】近似数1.5×105精确到万位．故答案为：万．
12．(2020济南月考) 数轴上O,A两点的距离为4,一动点P从点A出发,按以下规律跳动:第1次跳动到AO的中点A1处,第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处,第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处,按照这样的规律继续跳动到点A4,A5,A6,…,An(n≥3,n是整数)处,那么线段AnA的长度为________(n≥3,n是整数).
【答案】4－.
【解析】∵AO＝4,∴OA1＝2,OA2＝1,OA3＝,OA4＝,可推测OAn＝,∴AnA＝AO＝OAn＝4－.
13．计算1–2+3–4+5–6+7–8+…+2019–2020的结果是__________
【答案】–1010
【解析】这从1到2020一共2020个数，相邻两个数之差都为–1，所以1–2+3–4+5–6+7–8+…+2019–2020的结果是–1010．故答案为：–1010．
14.（2020辽宁一模）如图，数轴上A、B两点所表示的数分别是－4和2，点C是线段AB的中点，则点C所表示的数是 ．
【答案】－1
【解析】∵点C是线段AB的中点，∴AC＝BC，设C所表示的数为x，则有x－（－4）＝2－x，整理得2x＝－2，解得x＝－1．
【知识点】数轴；数轴上表示两点间的距离；
三、解答题
15．（2020宜昌）在“－”“×”两个符号中选一个自己想要的符号，填入中的，并计算．
解：添加想要的符号“－”，
＝
=4+1
=5；
添加想要的符号“×”，
＝
=4+1
=5．
16．(2020武汉月考)请你把下列各数填入表示它所在的数集的圈里：
﹣2，﹣20%，﹣0.13，﹣7，10，，21，6.2，4.7，﹣8
这四个集合合并在一起 （填“是”或“不是”）全体有理数集合，若不是，缺少的是 ．
【答案】见解析．
【解析】
．
这四个集合合并在一起不是全体有理数集合，缺少的是0．
故答案为：不是；0．
17．计算：（1）2+5−8；（2）.
【答案】（1）−1；（2）.
【解析】（1）2+5−8=−1.
（2）=.
18．(2020焦作月考)计算：
（1）;（2）;
（3）.
【答案】（1）8；（2） ；（3）−4.
【解析】（1）原式
（2）原式
（3）原式
19．20筐白菜，以每筐15千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示．记录如下：
与标准质量的差值（单位：千克）
–3.5
–2
–1.5
0
1
2.5
筐数
2
4
2
1
3
8
（1）20筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重_______千克．
（2）与标准重量比较，20筐白菜总计超过或不足多少千克？
（3）若白菜每千克售价1.8元，则出售这20筐白菜可卖多少元？
【答案】（1）6；（2）20筐白菜总计超过5千克；（3）549元．
【解析】（1）最重的一筐超过2.5千克，最轻的差3.5千克，求差即可2.5–（–3.5）=6（千克），故最重的一筐比最轻的一筐重6千克．故答案为：6；
（2）2×（–3.5）+4×（–2）+2×（–1.5）+1×0+3×1+8×2.5
=–7–8–3+0+3+20
=5（千克）．
故20筐白菜总计超过5千克；
（3）1.8×（15×20+5）
=1.8×305
=549（元）．
故出售这20筐白菜可卖549元．
20．(2020安徽模拟)一位病人上午8时的体温是39.4℃，下表表示该病人一天中的体温变化：
时间
11时
14时
17时
20时
23时
凌晨2时
凌晨5时
上午8时
体温℃
−1.2
+1
+0.5
−1.2
−0.5
−0.5
−0.4
+0.2
（1）这位病人的最高体温出现在几时？最高体温和最低体温相差多少度？
（2）从这位病人的病情变化看，请你分析他的病情在恶化还是好转？
【答案】(1) 这位病人的最高体温出现在17时，最高体温和最低体温相差2.6℃；(2) 体温逐渐降低到人体正常温度37℃左右，病情好转．
【解析】（1）这位病人的最高体温出现在17时，即39.4−1.2+1+0.5=39.7℃，
最低体温=39.4−1.2+1+0.5−1.2−0.5−0.5−0.4=37.1℃，
∴最高体温和最低体温相差39.7℃−37.1℃=2.6℃；
（2）体温逐渐降低到人体正常温度37℃左右，病情好转．
21.（1）两数的积是1，已知一个数是，求另一个数；
（2）两数的商是，已知被除数是，求除数．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）根据题意，得所求另一个数为
（2）根据题意，得所求除数为
22．(2019湖北荆州月考)用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆ b=ab2+2ab+a．如：1☆ 3=1×32+2×1×3+1=16．
（1）求（﹣2）☆ 3的值；
（2）若（☆ 3）=8，求a的值．
【答案】（1）﹣32；（2）0．
【解析】（1）（﹣2）☆3=﹣2×32+2×（﹣2）×3+（﹣2）=﹣32；
（2）☆3=×32+2××3+=8a+8=8，
解得：a=0．
23.数学实验室：
点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a–b|．
利用数形结合思想回答下列问题：
①数轴上表示2和5两点之间的距离是_______，数轴上表示1和–3的两点之间的距离是_______．
②数轴上表示x和–2的两点之间的距离表示为______．数轴上表示x和5的两点之间的距离表示为_____．
③若x表示一个有理数，则|x–1|+|x+3|的最小值=______．
④若x表示一个有理数，且|x+3|+|x–2|=5，则满足条件的所有整数x的是_______．
⑤若x表示一个有理数，当x为_______，式子|x+2|+|x–3|+|x–5|有最小值为_______．
【答案】①3，4；②|x+2|，|5–x|；③4；④–3或–2或–1或0或1或2；⑤3，7．
【解析】①数轴上表示2和5两点之间的距离是5–2=3，数轴上表示1和–3的两点之间的距离是1–（–3）=4，
故答案为：3，4；
②数轴上表示x和–2的两点之间的距离表示为|x–（–2）|=|x+2|，数轴上表示x和5的两点之间的距离表示为|5–x|，
故答案为：|x+2|，|5–x|；
③当x<–3时，|x–1|+|x+3|=1–x–x–3=–2x–2，
当–3≤x≤1时，|x–1|+|x+3|=1–x+x+3=4，
当x＞1时，|x–1|+|x+3|=x–1+x+3=2x+2，
在数轴上|x–1|+|x+3|的几何意义是：表示有理数x的点到–3及到1的距离之和，所以当–3≤x≤1时，它的最小值为4，
故答案为：4；
④当x<–3时，|x+3|+|x–2|=–x–3+2–x=–2x–1=5，
解得：x=–3，
此时不符合x<–3，舍去；
当–3≤x≤2时，|x+3|+|x–2|=x+3+2–x=5，
此时x=–3或x=–2或0或1或2；
当x＞2时，|x+3|+|x–2|=x+3+x–2=2x+1=5，
解得：x=2，
此时不符合x＞2，舍去；
当x=0时，|x+3|+|x–2|=5；
当x=1时，|x+3|+|x–2|=5；
当x=–1时，|x+3|+|x–2|=5；
故答案为：–3或–2或–1或0或1或2；
⑤∵设y=|x+2|+|x–3|+|x–5|，
i、当x≥5时，y=x+2+x–3+x–5=3x–6，
∴当x=5时，y最小为：3x–6=3×5–6=9；
ii、当3≤x<5时，y=x+2+x–3+5–x=x+4，
∴当x=3时，y最小为7；
iii、当–2≤x<3时，y=x+2+3–x+5–x=10–x，
∴此时y最小接近7；
iiii、当x<–2时，y=–x–2+3–x+5–x=6–3x，
∴此时y最小接近12；
∴y的最小值为7．
故答案为：3，7．
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