7.2.2单位圆与三角函数线 教案

教学课时：1课时

　　教学目标：

　　1、学生通过类比第一象限余弦线的作法，得到第二、三、四象限余弦线的作法；

　　2、学生通过类比任意角的余弦线的作法，得到正弦线的作法;

　　3、学生通过小组合作探究，能够准确作出任意角的正切线;

　　4、让学生在利用正弦线、余弦线、正切线求解相关三角函数值以及比较大小的过程中，训练学生数学抽象、数学运算的学科素养.

　　教学重点：

　　借助单位圆明确正弦值、余弦值、正切值的直观表示.

　　教学难点：

　　借助单位圆能够找出三角函数和三角函数线间的关系并进行相关的计算.

　　教学过程：

　　一、创设情景---引入课题

　　被称为“天津之眼”的天津永乐桥摩天轮，是一座跨河建造、桥轮合一的摩天轮，我们是否想过：摩天轮在转动的过程中，座椅离地面的高度随着转动角度的变化而变化，二者之间有怎样的相依关系呢？学完本节课我们会受到启发.

　　二、观察归纳---形成概念

　　任意角的正弦、余弦的定义：在角的终边上任取异于原点的任意一点P（x,y），，.从定义可以看出正弦、余弦是一个比值.换句话说是个数，我们知道数形结合可以使问题直观化，那么本节课我们就从形的角度重新认识任意角的三角函数的定义.角的正弦、余弦、正切值与点P的位置有关吗？没有关系，点P取在哪个位置对于我们研究这个比值比较简单呢？引出单位圆的概念：一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足的点组成的集合称为单位圆.角的终边与单位圆交点为P（x,y），这样，如果过角终边与单位圆的交点P作x轴的垂线，垂足为M,则可以直观地表示，当角的终边落在第一象限时，的方向与x轴的正方向相同，此时是正数，且；习惯上，称为角的余弦线.

　　问题1：若是第二、第三、第四象限角，能否用直观表示？

　　【学生活动】类比第一象限余弦线的画法，学生独立思考，尝试画出二、三、四象限角的余弦线，找到余弦值的直观表示.

　　【教师活动】教师引导学生发现第一象限角余弦值的直观表示，展示学生得出的结论，能引导学生归纳任意角的余弦值的直观表示，余弦线的作法.

　　【设计意图】由于概念本身比较抽象，所以教师引导学生进行探究，通过第一象限的探究，让学生初步感知余弦值的直观表示，通过二、三、四象限角的研究，逐步掌握余弦线的作法以及直观表示.培养学生的观察、猜想、类比的能力以及数形结合的意识.

　　特别地，当角的终边落在第二或第三象限时，的方向与x轴的正方向相反时，表示是负数，且.

　　问题2：设角是任意象限角，能找到某一个向量直观表示吗？你能画出正弦线吗？请同学们独立完成，然后小组交流，小组代表展示成果.

　　【学生活动】学生独立完成，小组内进行讨论展示.

　　【教师活动】展示学生得出的结论，引导学生说出正弦线的作法，正弦值的直观表示.

　　【设计意图】美国华盛顿一所大学有句名言:“我听见了,就忘记了;我看见了,就记住了;我做过了,就理解了.”要想让学生深刻理解三角函数线的概念，就应该让学生主动去探索，大胆去实践，亲身体验知识的发生和发展过程.

　　问题3：通过观察图形，我们是否也可以找到合适的一个向量来刻画正切值呢？

　　我们已经知道，如果的终边不在y轴上，且P（x,y）是终边上异于原点的任意一点，则.很容易看出，如果取坐标满足x=1的点P，则.因为x=1在平面直角坐标系中表示的是垂直于x轴且过点A（1，0）的直线l，所以如果角的终边与直线l的交点为P（l,y），则.设角的终边与直线x=1交于点T，则可以直观表示，因此称成为角的正切线.

　　不难看出，当角的终边在第二、第三象限或者轴的负半轴上时，终边与直线x=1没有交点，但是终边的反向延长线与x=1有交点，而且交点的纵坐标也正好是角的正切值.因此角的正切线为，而且容易看出，.这就是说，角的正切等于角终边或其反向延长线与直线x=1的交点的纵坐标.

　　正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线.

　　【学生活动】学生先进行独立思考后形成书面结论，然后小组内进行交流展示，形成小组最后的结论，在教师的组织下上台展示本组成果.

　　【教师活动】点评不同小组的最终结论，与学生一起分析终边落在第二、三象限正切线的作法.

　　【设计意图】学生通过类比正弦线、余弦线的作法，作出正切线，总结他们的不同点和相同点，进一步加深理解.

　　三、例题讲解---深化理解

　　例1作出和的正弦线、余弦线和正切线，并利用三角函数线求出他们的正弦、余弦和正切.（课本P20例1）

　　解：作的终边与单位圆的交点P,过P作x轴的垂线，垂足为M,延长线段PO，交直线x=1于T，则的正弦线为，余弦线为，正切线为.类似可得到的正弦线为，余弦线为，正切线为.根据直角三角形的知识可知，,所以，，,.

　　例2把摩天轮抽象成平面图形，然后以摩天轮中心为原点，以水平线为x轴，建立平面直角坐标系.设O到地面的高OT为lm，点P为转轮边缘上任意一点，转轮半径OP为rm，记以OP为终边的角为rad，点P离地面的高度为hm，试用l，r与表示h.（课本P20例2）

　　解：过点P作轴的垂线，垂足为M，则当的终边在第一、第二象限或y轴正半轴上时，，此时；当的终边在第三、第四象限或y轴负半轴上时，，此时；当的终边在x轴上时，，此时，，所以不管的终边在何处，都有.

　　【设计意图】通过对实际问题的解决，让学生进一步加深对本节课知识的理解，同时也让学生感觉到数学的魅力所在.

　　四、课堂练习---巩固所学

　　1.（课本P21页练习第2题）

　　利用三角函数线指出的值.

　　参考答案：0,-1,0

　　2. （课本P21页练习第4题）

　　已知，利用正弦线和余弦线比较和的大小.

　　参考答案：.

　　五、拓展探究---提升能力

　　【探索与研究】如果一个角的大小为xrad且，那么x，，都是实数，请你给出x的一个具体的值，比较3个实数的大小.然后想一想，你得到的大小关系是否对于区间上的任意x都成立.

　　参考答案：，对任意x都成立.

　　六、归纳总结---巩固所学

　　1.如何在单位圆中准确作出正弦线、余弦线、正切线.

　　2.利用三角函数线解决实际问题.