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人教B版 (2019)必修 第三册7.3.4 正切函数的性质与图修教案及反思
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这是一份人教B版 (2019)必修 第三册7.3.4 正切函数的性质与图修教案及反思，共9页。教案主要包含了提出问题，解决问题，例题讲解，深化理解，课堂练习，巩固所学，归纳总结，布置作业等内容，欢迎下载使用。
教学目标：
1.学生类比利用正弦线研究正弦函数性质的做法，探究利用正切线研究正切函数的性质；
2.学生能够利用正切函数的性质画出正切函数的图像，并结合图像进一步验证性质；
3.学生在探究的过程中，体会类比、换元、数形结合的数学思想，培养学生数学抽象、逻辑推理的学科素养.
教学重点：
（1）利用正切函数已有的知识（如定义、诱导公式、正切线等）研究性质.
（2）根据性质探究正切函数的图像.
教学难点：
画出正切函数的简图，体会与x轴的交点以及渐近线，在确定图像形状时所起的关键作用.
教学过程：
一、提出问题，解决问题：
问题1：还记得研究正弦函数和余弦函数的方法吗？
【设计意图】共同回忆之前研究正余函数的方法，由性质得图像，体会以数辅形，以形助数的妙处，感受华罗庚的话：数形结合百般好！
问题2：正切函数是如何定义的？
【设计意图】教师辅以几何画板的演示，帮助学生回忆定义，特别是自变量的取值范围.
问题3：请画出各个象限角的正切线.
【设计意图】正切线可以直观地表示正切值，随着角的变化，为探究正切函数的性质做铺垫.
问题4：请你利用正切函数的定义，确定正切函数的定义域.
由正切函数的定义知：正切函数定义域为：.
【设计意图】研究函数优先考虑定义域，培养学生严谨的数学品质.其次，正切函数的定义域与正弦函数和余弦函数不同，给学生做着重强调.再次，学生不难得出定义域关于原点对称，为后面研究奇偶性做准备.
问题5：观察正切线的变化特点和规律，你能得出正切函数y=tanx具有哪些性质吗？
①定义域和值域：由正切线可以看出，正切函数的值域为全体实数.
②奇偶性：定义域是关于原点对称的，由诱导公式：且，可知正切函数是奇函数（图像关于原点对称）.
③周期性：由诱导公式：,可知正切函数是周期函数，且周期为（每隔个单位的函数图像是一样的）.
④单调性：由单位圆中正切线的变化规律知：正切函数在区间上，y值随x的增大而增大，是增函数，且角度无限接近，正切线向上无限延伸；角度无限接近，正切线向下无限延伸（图像是呈上升趋势.且没有尽头）.
⑤ 零点：.
【设计意图】引导学生主动思考，类比可以用正弦线研究正弦函数y=tanx性质的做法，用正切线研究正切函数的性质.正切函数的最小正周期为，这一点与正弦函数、余弦函数也不同，特别需要引起学生的关注.学生能明确2是正切函数的周期，不一定能想到是正切函数的最小正周期，这一点可以将角多旋转几圈，多演示几次正切线的变化，由学生观察得出结论.
问题6：通过对正切函数性质的研究，你认为我们应该如何做出正切函数的图像？
【设计意图】引导学生明确，研究正切函数在一个周期内的图像，由周期性就可以得到整个定义域内的图像，再由奇偶性，只要研究的图像就可以.
问题7：如何做出正切函数在上的图像？
课本56页列表描点连线（图7-3-16）
【设计意图】①需要注意的在区间上的特殊角的正切值非常少，特别是当x从继续增大时，正切值的变化情况要结合单调性加以分析，特别是当x逐渐逼近的过程，正切值越来越大，逼近意味着正切值趋近于，这就让学生认识到直线x=是正切图像的一条渐近线.
②依据正切线能准确画出正切函数的图像，但不实用，在应用时一定要学会画简图（三点两线法——和两条渐近线）.
问题8：你能做出正切函数在定义域内的的图像吗？
【设计意图】再一次体会图像的特征，从图像的角度进一步验证函数的性质，培养学生利用函数图像研究函数性质的能力，加强“数形结合”的意识，并借此给出正切曲线的定义.
问题9：观察正切曲线思考：正切曲线是哪种对称图形，能试着说说？
正切函数y=tanx的图像是中心对称图形，其对称中心为
【设计意图】不难看出正切曲线是中心对称图形，学生容易发现的对称中心是，对于也是图像的对称中心是不容易发现的，何况这些点也不在图像上.因此，正切曲线的对称性要放慢节奏.关于对称性这个结论可以给出证明：令f（x）=tanx，则.
问题10：观察正切曲线，判断下列命题的真假.
命题1：正切函数y=tanx是增函数；
命题2：正切函数y=tanx在其定义域上是增函数；
命题3：正切函数y=tanx在它的每一个周期内都是增函数；
命题4：正切函数y=tanx在每一个区间上是增函数；
命题5：正切函数y=tanx在每一个区间上是增函数.
【设计意图】这是课本55页“想一想”的延伸，提出几个正切函数单调性的问题，让学生加以辨析，加深对性质的认识.
二、例题讲解，深化理解
例1（课本56页例1）求函数的定义域.
思考：我们可以采用什么样的方法求出正切型函数的定义域呢？
解：令
因为,所以
所以函数.
【设计意图】本题属于正切型函数求定义域，在解答的过程中，教师要让学生体会换元的思想.由于正切函数的定义域是难点之一，例1要注意书写准确.是对的，但写的定义域为是错误的，实际上，对于给定的常数k，自变量x只能取得一个周期的值，比如k=2时，这个集合只是，这与函数完全不同.
变式训练：求函数的定义域.
解：由题意知，
解得：.
所以函数.
【设计意图】tanx自身的限制往往被学生忽略，培养学生全面思考问题的能力.
例2（课本56页例2）求函数y=tan3x的周期.
思考：我们可以采用什么样的方法求出正切型函数的周期呢？
解：令u=3x，则y=tan3x可以化成y=tanu.
由y=tanu的周期为可知，对任意u,当它增加到且至少要增加到u+时，对应的函数值才重复出现，因为，
这说明对任意x，当它增加到且至少要增加到时，y=tan3x的函数值才重复出现，
所以y=tan3x函数的周期为.
【设计意图】本题属于正切型函数求周期，在解答的过程中，教师要让学生体会换元的思想.这是训练周期性的进一步深化，要继续规范地引导学生探寻思路、写好过程.
引申思考：（课本56页“想一想”）函数（其中都是常数，且）具有哪些性质？从定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等进行讨论.
【设计意图】引导学生归纳出形如函数（其中都是常数，且）的性质，特别是周期公式.
三、课堂练习，巩固所学
1.（课本P56页练习A第1题）
求函数y=tan3x的定义域.
参考答案：
2.（课本P56页练习A第3题）
求下列函数的周期.
（1）
参考答案：
【设计意图】巩固正切函数的性质，学以致用.
四、归纳总结：
1.正切函数的性质有哪些？
2.正切曲线的画法有几种？
3.本节课涉及哪些数学思想、方法和学科核心素养.
【设计意图】带领学生从知识、方法和经验入手让学生自己先总结，同学们互相补充总结，加深理解.
五、布置作业
课本P56页练习A组2、4；B组2、4
教学目标：
1.学生类比利用正弦线研究正弦函数性质的做法，探究利用正切线研究正切函数的性质；
2.学生能够利用正切函数的性质画出正切函数的图像，并结合图像进一步验证性质；
3.学生在探究的过程中，体会类比、换元、数形结合的数学思想，培养学生数学抽象、逻辑推理的学科素养.
教学重点：
（1）利用正切函数已有的知识（如定义、诱导公式、正切线等）研究性质.
（2）根据性质探究正切函数的图像.
教学难点：
画出正切函数的简图，体会与x轴的交点以及渐近线，在确定图像形状时所起的关键作用.
教学过程：
一、提出问题，解决问题：
问题1：还记得研究正弦函数和余弦函数的方法吗？
【设计意图】共同回忆之前研究正余函数的方法，由性质得图像，体会以数辅形，以形助数的妙处，感受华罗庚的话：数形结合百般好！
问题2：正切函数是如何定义的？
【设计意图】教师辅以几何画板的演示，帮助学生回忆定义，特别是自变量的取值范围.
问题3：请画出各个象限角的正切线.
【设计意图】正切线可以直观地表示正切值，随着角的变化，为探究正切函数的性质做铺垫.
问题4：请你利用正切函数的定义，确定正切函数的定义域.
由正切函数的定义知：正切函数定义域为：.
【设计意图】研究函数优先考虑定义域，培养学生严谨的数学品质.其次，正切函数的定义域与正弦函数和余弦函数不同，给学生做着重强调.再次，学生不难得出定义域关于原点对称，为后面研究奇偶性做准备.
问题5：观察正切线的变化特点和规律，你能得出正切函数y=tanx具有哪些性质吗？
①定义域和值域：由正切线可以看出，正切函数的值域为全体实数.
②奇偶性：定义域是关于原点对称的，由诱导公式：且，可知正切函数是奇函数（图像关于原点对称）.
③周期性：由诱导公式：,可知正切函数是周期函数，且周期为（每隔个单位的函数图像是一样的）.
④单调性：由单位圆中正切线的变化规律知：正切函数在区间上，y值随x的增大而增大，是增函数，且角度无限接近，正切线向上无限延伸；角度无限接近，正切线向下无限延伸（图像是呈上升趋势.且没有尽头）.
⑤ 零点：.
【设计意图】引导学生主动思考，类比可以用正弦线研究正弦函数y=tanx性质的做法，用正切线研究正切函数的性质.正切函数的最小正周期为，这一点与正弦函数、余弦函数也不同，特别需要引起学生的关注.学生能明确2是正切函数的周期，不一定能想到是正切函数的最小正周期，这一点可以将角多旋转几圈，多演示几次正切线的变化，由学生观察得出结论.
问题6：通过对正切函数性质的研究，你认为我们应该如何做出正切函数的图像？
【设计意图】引导学生明确，研究正切函数在一个周期内的图像，由周期性就可以得到整个定义域内的图像，再由奇偶性，只要研究的图像就可以.
问题7：如何做出正切函数在上的图像？
课本56页列表描点连线（图7-3-16）
【设计意图】①需要注意的在区间上的特殊角的正切值非常少，特别是当x从继续增大时，正切值的变化情况要结合单调性加以分析，特别是当x逐渐逼近的过程，正切值越来越大，逼近意味着正切值趋近于，这就让学生认识到直线x=是正切图像的一条渐近线.
②依据正切线能准确画出正切函数的图像，但不实用，在应用时一定要学会画简图（三点两线法——和两条渐近线）.
问题8：你能做出正切函数在定义域内的的图像吗？
【设计意图】再一次体会图像的特征，从图像的角度进一步验证函数的性质，培养学生利用函数图像研究函数性质的能力，加强“数形结合”的意识，并借此给出正切曲线的定义.
问题9：观察正切曲线思考：正切曲线是哪种对称图形，能试着说说？
正切函数y=tanx的图像是中心对称图形，其对称中心为
【设计意图】不难看出正切曲线是中心对称图形，学生容易发现的对称中心是，对于也是图像的对称中心是不容易发现的，何况这些点也不在图像上.因此，正切曲线的对称性要放慢节奏.关于对称性这个结论可以给出证明：令f（x）=tanx，则.
问题10：观察正切曲线，判断下列命题的真假.
命题1：正切函数y=tanx是增函数；
命题2：正切函数y=tanx在其定义域上是增函数；
命题3：正切函数y=tanx在它的每一个周期内都是增函数；
命题4：正切函数y=tanx在每一个区间上是增函数；
命题5：正切函数y=tanx在每一个区间上是增函数.
【设计意图】这是课本55页“想一想”的延伸，提出几个正切函数单调性的问题，让学生加以辨析，加深对性质的认识.
二、例题讲解，深化理解
例1（课本56页例1）求函数的定义域.
思考：我们可以采用什么样的方法求出正切型函数的定义域呢？
解：令
因为,所以
所以函数.
【设计意图】本题属于正切型函数求定义域，在解答的过程中，教师要让学生体会换元的思想.由于正切函数的定义域是难点之一，例1要注意书写准确.是对的，但写的定义域为是错误的，实际上，对于给定的常数k，自变量x只能取得一个周期的值，比如k=2时，这个集合只是，这与函数完全不同.
变式训练：求函数的定义域.
解：由题意知，
解得：.
所以函数.
【设计意图】tanx自身的限制往往被学生忽略，培养学生全面思考问题的能力.
例2（课本56页例2）求函数y=tan3x的周期.
思考：我们可以采用什么样的方法求出正切型函数的周期呢？
解：令u=3x，则y=tan3x可以化成y=tanu.
由y=tanu的周期为可知，对任意u,当它增加到且至少要增加到u+时，对应的函数值才重复出现，因为，
这说明对任意x，当它增加到且至少要增加到时，y=tan3x的函数值才重复出现，
所以y=tan3x函数的周期为.
【设计意图】本题属于正切型函数求周期，在解答的过程中，教师要让学生体会换元的思想.这是训练周期性的进一步深化，要继续规范地引导学生探寻思路、写好过程.
引申思考：（课本56页“想一想”）函数（其中都是常数，且）具有哪些性质？从定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等进行讨论.
【设计意图】引导学生归纳出形如函数（其中都是常数，且）的性质，特别是周期公式.
三、课堂练习，巩固所学
1.（课本P56页练习A第1题）
求函数y=tan3x的定义域.
参考答案：
2.（课本P56页练习A第3题）
求下列函数的周期.
（1）
参考答案：
【设计意图】巩固正切函数的性质，学以致用.
四、归纳总结：
1.正切函数的性质有哪些？
2.正切曲线的画法有几种？
3.本节课涉及哪些数学思想、方法和学科核心素养.
【设计意图】带领学生从知识、方法和经验入手让学生自己先总结，同学们互相补充总结，加深理解.
五、布置作业
课本P56页练习A组2、4；B组2、4
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