初中数学北师大版九年级上册第一章 特殊平行四边形综合与测试单元测试同步练习题

这是一份初中数学北师大版九年级上册第一章 特殊平行四边形综合与测试单元测试同步练习题，共18页。试卷主要包含了下列说法中，错误的是等内容，欢迎下载使用。
1．直角三角形的斜边长为10，则斜边上的中线长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．下列说法中，错误的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．有一个角是直角的平行四边形是矩形
C．矩形的对角线相等
D．菱形的面积等于两条对角线乘积的一半
3．如图，菱形ABCD中，∠B＝120°，则∠1的度数是（ ）
A．30°B．25°C．20°D．15°
4．矩形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分B．邻角互补
C．对边相等D．对角线相等
5．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，若∠ABC＝90°，则四边形ABCD为（ ）
A．菱形B．矩形C．菱形或矩形D．无法判断
6．如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是（ ）
A．AB＝ACB．AD＝BDC．BE平分∠ABCD．BE⊥AC
7．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，则以AC为边长的正方形ACEF的面积为（ ）
A．9B．12C．15D．20
8．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，BE⊥CF于点G，若BC＝4，AF＝1，则GF的长为（ ）
A．3B．C．D．
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+QD的最小值为（ ）
A．8B．10C．12D．20
10．如图，P为边长为2的正方形ABCD的对角线BD上任一点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF．给出以下4个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③EF最短长度为；④若∠BAP＝30°时，则EF的长度为2．其中结论正确的有（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．如图，平行四边形ABCD的对角线互相垂直，要使ABCD成为正方形，还需添加的一个条件是 （只需添加一个即可）
12．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是边AB的中点，若OE＝6，则BC的长为 ．
13．如图，在菱形ABCD中，对角线BD＝4，AC＝3BD，则菱形ABCD的面积为 ．
14．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB＝5，BC＝12，则四边形ABOM的周长为 ．
15．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点F在AB上，FE⊥AC于点E，连接CF，若AE＝6，△EFC周长为24，则CF的长为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（9，0），（0，3），OD＝5，点P在BC（不与点B、C重合）上运动，当△OPD为等腰三角形时，点P的坐标为 ．
三．解答题（共7小题，满分66分）
17．（7分）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，BE＝CF，连接AF，DE交于点G，求证：AF⊥DE．
18．（8分）如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝OC，BO＝OD，且∠AOB＝2∠OAD
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠AOB：∠ODC＝8：5，求∠ADO的度数．
19．（9分）如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F．
（1）求证：PE＝PF；
（2）当∠BAD＝90°时，判断四边形AEPF的形状，并说明理由．
20．（9分）如图，点C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形．
（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）如果AB＝AE，求证：四边形ACED是矩形．
21．（9分）正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°．
（1）求证：EF＝AE+CF；
（2）当AE＝1时，求EF的长．
22．（12分）如图，点E在正方形ABCD外，DE＝CD，且DE∥AC．连接AC，AE，CE，过点D作DF⊥CE于点F，交AE于点G．
（1）求∠DAE的度数；
（2）求证：AG2+DG2＝AD2；
（3）连接BG，并延长交AC于点N，交DE于点M，求证：四边形CEMN为平行四边形．
23．（12分）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的两条直线分别交边AB、CD、AD、BC于点E、F、G、H．
【感知】如图①，若四边形ABCD是正方形，且AG＝BE＝CH＝DF，则S四边形AEOG＝ S正方形ABCD；
【拓展】如图②，若四边形ABCD是矩形，且S四边形AEOG＝S矩形ABCD，设AB＝a，AD＝b，BE＝m，求AG的长（用含a、b、m的代数式表示）；
【探究】如图③，若四边形ABCD是平行四边形，且AB＝3，AD＝5，BE＝1，试确定F、G、H的位置，使直线EF、GH把四边形ABCD的面积四等分．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：∵直角三角形斜边长为10，
∴斜边上的中线长为5．
故选：D．
2．解：A、∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形，
∴选项A符合题意；
B、∵有一个角是直角的平行四边形是矩形，
∴选项B不符合题意；
C、∵矩形的对角线相等，
∴选项C不符合题意；
D、∵菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，
∴选项D不符合题意；
故选：A．
3．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠B＝120°，
∴∠1＝＝30°，
故选：A．
4．解：A、平行四边形与矩形都具有两条对角线互相平分的性质，故A不符合题意；
B、平行四边形与矩形都不具有邻角互补的性质，故B不符合题意；
C、平行四边形与矩形都具有两组对边分别相等的性质，故C不符合题意；
D、平行四边形的两条对角线不相等，矩形具有两条对角线相等的性质，故D符合题意．
故选：D．
5．解：∵四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故选：B．
6．解：当BE平分∠ABC时，四边形DBFE是菱形，
理由：∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠EBC，
∵∠EBC＝∠EBD，
∴∠EBD＝∠DEB，
∴BD＝DE，
∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形DBFE是平行四边形，
∵BD＝DE，
∴四边形DBFE是菱形．
其余选项均无法判断四边形DBFE是菱形，
故选：C．
7．解：∵菱形ABCD，
∴AB＝BC＝3，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝3，
∴正方形ACEF的边长为3，
∴正方形ACEF的面积为9，
故选：A．
8．解：∵正方形ABCD的边BC＝4，
∴BC＝CD＝AD＝4，∠BCE＝∠CDF＝90°，
∵BE⊥CF于点G，
∴∠CBG+∠BCG＝∠BCG+∠DCF＝90°，
∴∠CBE＝∠DCF，
在△BCE和△CDF中，
，
∴△BCE≌△CDF（ASA），
∴CE＝DF，BE＝CF，
∵DF＝AD﹣AF＝4﹣1＝3，
∴CE＝3，
∴＝5，
∴BE＝5，
∵，
∴CG＝，
∴FG＝CF﹣CG＝．
故选：C．
9．解：如图，连接BP，
在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC＝6，
∵AP＝CQ，
∴AD﹣AP＝BC﹣CQ，
∴DP＝QB，DP∥BQ，
∴四边形DPBQ是平行四边形，
∴PB∥DQ，PB＝DQ，
则PC+QD＝PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，
在BA的延长线上截取AE＝AB＝4，连接PE，CE，
则BE＝2AB＝8，
∵PA⊥BE，
∴PA是BE的垂直平分线，
∴PB＝PE，
∴PC+PB＝PC+PE，
连接CE，则PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE，
∵BE＝2AB＝12，
∴CE＝＝＝10，
∴PC+PB的最小值为10，
即PC+QD的最小值为10，
故选：B．
10．解：
①如图，连接PC，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，
在△ABP和△CBP中
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴AP＝PC，
∵PE⊥BC，PF⊥CD，且∠FCE＝90°，
∴四边形PECF为矩形，
∴PC＝EF，
∴AP＝EF，故①正确；
②延长AP交BC于点G，
由①可得∠PCE＝∠PFE＝∠BAP，
∵PE∥AB，
∴∠EPG＝∠BAP，
∴∠EPG＝∠PFE，
∵∠EPF＝90°，
∴∠EPG+∠PEF＝∠PEG+∠PFE＝90°，
∴AP⊥EF，故②正确；
③当AP⊥BD时，AP有最小值，此时P为BD的中点，
由①可知EF＝AP，
∴EF的最短长度为，故③正确；
④当点P在点B或点D位置时，AP＝AB＝2，
∴EF＝AP≤2，
∴当∠BAP＝30°时，AP＜2，
即EF的长度不可能为2，故④不正确；
综上可知正确的结论为①②③，
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．解：条件为∠ABC＝90°或AC＝BD，
理由是：∵平行四边形ABCD的对角线互相垂直，
∴四边形ABCD是菱形，
∵∠ABC＝90°或AC＝BD，
∴四边形ABCD是正方形，
故答案为：∠ABC＝90°或AC＝BD．
12．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，且BD⊥AC，
又∵点E是边AB的中点，
∴OE＝AE＝EB＝，
∴BC＝AB＝2OE＝6×2＝12，
故答案为：12．
13．解：∵BD＝4，AC＝3BD，
∴AC＝12，
∴菱形ABCD的面积＝＝＝24，
故答案为：24．
14．解：∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，
∴OM＝CD＝AB＝2.5，
∵AB＝5，AD＝12，
∴AC＝＝13，
∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，
∴BO＝AC＝6.5，
∴四边形ABOM的周长为AB+AM+BO+OM＝5+6+6.5+2.5＝20，
故答案为：20．
15．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAF＝45°．
∵EF⊥AC，
∴△AEF是等腰直角三角形．
∴EF＝AE＝6．
设CF＝x，则CE＝24﹣6﹣x＝18﹣x，
在Rt△EFC中，CE2+EF2＝CF2，
∴62+（18﹣x）2＝x2，解得x＝10．
∴CF＝10，
故答案为：10．
16．解：过P作PM⊥OA于M
（1）当OP＝OD时，如图1所示：
OP＝5，CO＝3，
由勾股定理得：CP＝4，
∴P（4，3）；
（2）当OD＝PD时如图2所示：
PD＝DO＝5，PM＝3，
由勾股定理得：MD＝4，
∴CP＝5﹣4＝1或CP'＝9（不合题意），
∴P（1，4）．
（3）OP＝PD时，点P在OD的垂直平分线上，
∴P点的横坐标为2.5，纵坐标为3，
即：P（2.5，3），
综上，满足题意的点P的坐标为（1，3）、（4，3）、（2.5，3）．
故答案为：（1，3）或（4，3）或（2.5，3）．
三．解答题（共7小题，满分66分）
17．证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝BC,∠ADC＝∠DCB＝90°，
∵BE＝CF,
∴BC﹣BE＝CD﹣CF即CE＝DF,
在△ADF和△DCE中，
,
∴△ADF≌△DCE(SAS),
∴∠DAF＝∠CDE,
∵∠ADC＝90°,即∠CDE+∠EDA＝90°，
∴∠DAF+∠EDA＝90°，
∴∠AGD＝180°﹣（∠DAF+∠EDA）＝90°，
∴AF⊥DE．
18．（1）证明：∵AO＝OC，BO＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠AOB＝∠DAO+∠ADO＝2∠OAD，
∴∠DAO＝∠ADO，
∴AO＝DO，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠BAD＝90°，
∴∠ABO＝∠CDO，
∵∠AOB：∠ODC＝8：5，
∴∠AOB：∠ABO＝8：5，
∴∠BAO：∠AOB：∠ABO＝5：8：5，
∴∠ABO＝50°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠ADO＝90°﹣50°＝40°．
19．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴∠PAD＝∠PAB，
在△APE和△APF中，
，
∴△APE≌△APF（AAS），
∴PE＝PF；
（2）四边形AEPF是正方形，
理由如下：∵∠BAD＝90°，PE⊥AB，PF⊥AD，
∴四边形AEPF是矩形，
又∵PE＝PF，
∴四边形AEPF是正方形．
20．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD＝BC．
∵点C是BE的中点，
∴BC＝CE，
∴AD＝CE，
∵AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，
∵AB＝AE，
∴DC＝AE，
∵四边形ACED是平行四边形，
∴四边形ACED是矩形．
21．解：（1）证明：延长BC至H，使CH＝AE，连接DH，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠A＝∠DCE＝90°．
∴△DAE≌△DCH（SAS）．
∴DE＝DH，∠ADE＝∠CDH．
∵∠ADC＝90°，∠EDF＝45°，
∴∠ADE+∠FDC＝45°．
∴∠FDC+∠CDH＝45°．
即∠FDH＝45°．
∴∠EDF＝∠FDH＝45°．
在△EDF和△HDF中，
．
∴△EDF≌△HDF（SAS）．
∴EF＝FH．
∵FH＝FC+CH＝FC+AE，
∴EF＝AE+FC．
（2）设EF＝x，则FH＝x．
∵正方形ABCD的边长为3，
∴AB＝BC＝3．
∵AE＝1，
∴BE＝2，CH＝1．
∴FC＝x﹣1．
∴BF＝BC﹣CF＝3﹣（x﹣1）＝4﹣x．
在Rt△BEF中，
∵BE2+BF2＝EF2，
∴22+（4﹣x）2＝x2．
解得：x＝．
∴EF＝．
22．解：（1）∵DE∥AC，
∴∠CAE＝∠AED，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DC＝DA，∠CAD＝45°，
∵DE＝CD，
∴DA＝DE，
∴∠DAE＝∠AED，
∴∠DAE＝∠CAE＝∠CAD＝22.5°；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CDF＝180°﹣90°﹣22.5°﹣22.5°＝45°，
∵DC＝DA，DF⊥CE，∠CDF＝∠EDF＝22.5°，
∵∠DEA＝22.5°，
∴∠AGD＝∠DEA+∠EDF＝45°，
∴∠AGD＝∠EGF＝45°，
连接GC，
∵DF为CE的中垂线，
∴GC＝GE，∠CGF＝45°，
∴∠AGC＝180°﹣∠AGD﹣∠CGF＝90°，
在Rt△AGC中，AG2+CG2＝AC2，
在△CDG中，∠CDG＝∠DCG＝22.5°，
∴DG＝CG，
在正方形ABCD中，AC＝AD，
∴AG2+DG2＝AD2；
（3）证明：在△ADG和△BCG中，
，
∴△ADG≌△BCG（SAS），
∴∠BGC＝∠AGD＝45°，
∴∠BGC＝∠GCE＝45°，
∴MN∥CE，
∵DE∥AC，
∴四边形CEMN为平行四边形．
23．解：【感知】如图①，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OAG＝∠OBE＝45°，OA＝OB，
在△AOG与△BOE中，
，
∴△AOG≌△BOE（SAS），
∴S四边形AEOG＝S△AOB＝S正方形ABCD；
故答案为：；
【拓展】如图②，过O作ON⊥AD于N，OM⊥AB于M，
∵S△AOB＝S矩形ABCD，S四边形AEOG＝S矩形ABCD，
∴S△AOB＝S四边形AEOG，
∵S△AOB＝S△BOE+S△AOE，S四边形AEOG＝S△AOG+S△AOE，
∴S△BOE＝S△AOG，
∵S△BOE＝BE•OM＝mb＝mb，S△AOG＝AG•ON＝AG•a＝AG•a，
∴mb＝AG•a，
∴AG＝；
【探究】如图③，过O作KL⊥AB，PQ⊥AD，
则KL＝2OK，PQ＝2OQ，
∵S平行四边形ABCD＝AB•KL＝AD•PQ，
∴3×2OK＝5×2OQ，
∴＝，
∵S△AOB＝S平行四边形ABCD，S四边形AEOG＝S平行四边形ABCD，
∴S△AOB＝S四边形AEOG，
∴S△BOE＝S△AOG，
∵S△BOE＝BE•OK＝×1×OK，S△AOG＝AG•OQ，
∴×1×OK＝AG•OQ，∴＝AG＝，
∴当AG＝CH＝，BE＝DF＝1时，直线EF、GH把四边形ABCD的面积四等分．