2021学年2 矩形的性质与判定课后练习题

这是一份2021学年2 矩形的性质与判定课后练习题，共15页。试卷主要包含了矩形和菱形都具有的性质是等内容，欢迎下载使用。
北师大版2021年九年级上册：1.2 矩形的性质与判定 同步练习卷一．选择题1．矩形和菱形都具有的性质是（　　）A．对角线互相垂直 B．对角线长度相等 C．对角线平分一组对角 D．对角线互相平分2．要判断一个四边形门框是否为矩形，在下面四个拟定方案中，正确的方案是（　　）A．测量对角线是否互相平分且垂直 B．测量对角线是否相互平分 C．测量对角线是否互相平分且相等 D．测量对角线是否互相垂直3．如图，CD是△ABC的边AB上的中线，且CD＝AB，则下列结论错误的是（　　）A．AD＝BD B．∠A＝30° C．∠ACB＝90° D．△ADC与△BCD的面积相等4．已知平行四边形ABCD中，添加下列条件，其中能说明平行四边形ABCD是矩形的是（　　）A．AB＝BC B．AC⊥BD C．AC＝BD D．AC平分∠BAD5．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，添加一个条件使平行四边形ABCD为矩形的是（　　）A．AD＝AB B．AB⊥AD C．AB＝AC D．CA⊥BD6．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E在边BC上，连接DE，若AE平分∠BED，则EC的长为（　　）A． B． C． D．7．如图，已知∠MON＝90°，长方形ABCD的顶点A，B在∠MON两边上运动，若AB＝4，CB＝2，则线段OD的最大值为（　　）A． B． C．4 D．8．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠EDC：∠EDA＝1：2，且AC＝8，则EC的长度为（　　）A．2 B．2 C．4 D．二．填空题9．矩形ABCD中，CE⊥BD，E为垂足，∠DCE：∠ECB＝3：1，那么∠ACE＝　   　度．10．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 　                　，使平行四边形ABCD是矩形．11．在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AC＝6，∠AOB＝60°，则AB的长为 　 　．12．如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是40厘米，矩形的周长是22厘米，则对角线AC的长为 　    　厘米．13．如图，矩形ABCD中，AD＝3AB，AB＝2，点G、H分别在AD、BC上，若四边形BGDH是菱形，则AG＝　              　．14．如图，在矩形ABCD中，AD＝6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E．若ED＝3BE，则BD＝　            　．三．解答题15．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形．求证：四边形ADCE是矩形．  16．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，将边AB延长至点E，使AB＝BE，联结DE、EC，DE与BC交于点O．（1）求证：四边形BECD是平行四边形；（2）若∠COE＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．    17．如图，在菱形ABCD中，点O是对角线AC的中点，过点O的直线EF与边AD、BC分别交于点E、F，∠CAE＝∠FEA，连接AF、CE．（1）求证：四边形AFCE是矩形；（2）若AB＝5，∠B＝60°，求出四边形AFCE的面积．  18．在△ABC中，AB＝AC，点D、O分别是边BC、AC的中点，连接AD，过点A作AE∥BC，交射线DO于点E，连接CE．（1）如图1，求证：四边形ADCE是矩形；（2）如图2，连接BE交AD于点F，连接OF，当∠ABC＝60°时，在不添加任何字母和辅助线的情况下，请直接写出四条线段，长度分别是线段OF长度的4倍．  19．如图1，已知AD∥BC，AB∥CD，∠B＝∠C．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）如图2，M为AD的中点，N为AB的中点，BN＝2．若∠BNC＝2∠DCM，求BC的长．  20．已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，B（5，2），点D是OA中点，点P在BC上以每秒2个单位的速度由C向B运动，设动点P的运动时间为t秒．（1）t为何值时，四边形PODB是平行四边形？（2）在直线CB上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．                  参考答案一．选择题1．解：∵矩形的对角线相等且互相平分，菱形的对角线垂直且互相平分，∴菱形和矩形都具有的性质为对角线互相平分，故选：D．2．解：A、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，∴对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，∴选项A不符合题意；B、∵对角线相互平分的四边形是平行四边形，∴选项B不符合题意；C、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，∴对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴选项C符合题意；D、∵对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，更不是矩形，∴选项D不符合题意；故选：C．3．解：∵CD是△ABC的边AB上的中线，且CD＝AB，∴AD＝BD＝CD，故选项A正确，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，∴∠2+∠3＝90°，即∠ACB＝90°，故选项C正确；∵AD＝BD，∴△ADC与△BCD是等底同高的两个三角形，∴△ADC与△BCD的面积相等，故选项D正确；无法判断∠A的度数，故选项B错误；故选：B．4．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，故本选项符合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴∠ACB＝∠BAC，∴AB＝CB，∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；故选：C．5．解：A、∵平行四边形ABCD中，AD＝AB，∴平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；B、∵AB⊥AD，∴∠BAD＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B符合题意；C、平行四边形ABCD中，AB＝AC，不能判定平行四边形ABCD是矩形，故选项C不符合题意；D、∵平行四边形ABCD中，CA⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故选项D不符合题意；故选：B．6．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AB＝CD＝3，∴∠DAE＝∠AEB，∵AE平分∠BED，∴∠AED＝∠AEB，∴∠AED＝∠DAE，∴AD＝DE＝4，∴EC＝＝＝，故选：C．7．解：如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，∵OD＜OE+DE，∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，此时，∵AB＝4，点E是AB的中点，∴OE＝AE＝AB＝2，在Rt△ADE中，DE＝＝＝2，∴OD的最大值＝2+2．故选：A．8．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，AC＝BD＝8，OA＝OC＝AC＝4，OB＝OD＝BD＝4，∴OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCD，∵∠EDC：∠EDA＝1：2，∠EDC+∠EDA＝90°，∴∠EDC＝30°，∠EDA＝60°，∵DE⊥AC，∴∠DEC＝90°，∴∠DAC＝30°，∴DC＝AC＝4，∴EC＝DC＝2，故选：B．二．填空题9．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DCB＝90°，∵∠DCE：∠ECB＝3：1，∴∠DCE＝×90°＝67.5°，∠ECB＝22.5°，∴∠EBC＝∠ACB＝90°﹣∠ECB＝67.5°，∴∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB＝67.5°﹣22.5°＝45°，故答案为：45．10．解：添加一个条件为：∠ABC＝90°，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为：∠ABC＝90°（答案不唯一）．11．解：如图，∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝BO＝BD＝AC＝3，又∵∠AOB＝60°，∴△AOB为等边三角形，∴BO＝AB＝3，故答案为3．12．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，AC＝BF，AO＝OC，OD＝OB，∴AO＝OC＝OD＝OB，∵矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形的周长的和是40厘米，∴OA+OD+AD+OD+OC+CD+OC+OB+BC+OA+OB+AB＝40厘米，即8OA+2AB+2BC＝40厘米，∵矩形ABCD的周长是22厘米，∴2AB+2BC＝22厘米，∴8OA＝18厘米，∴OA＝2.25厘米，即AC＝BD＝2OA＝4.5厘米．故答案为：4.5．13．解：∵四边形BGDH是菱形，∴BG＝GD，∵AD＝3AB，且AB＝2，∴AD＝6，设AG＝y，则GD＝BG＝6﹣y，在Rt△AGB中，AG2+AB2＝GB2，∴y2+22＝（6﹣y）2，解得：y＝，故答案为：．14．解：∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，∴OA＝OB＝OD＝OC，∵ED＝3BE，∴OE＝BE，∵AE⊥BD，∴AB＝OA，∴OA＝AB＝OB，即△OAB是等边三角形，∴∠ABD＝60°，∴∠ADE＝90°﹣∠ABD＝30°，∴BD＝2AB，∵AD2+AB2＝BD2，∴36+AB2＝4AB2，∴AB＝2，∴BD＝4，故答案为4．三．解答题15．证明：∵四边形ABDE是平行四边形，∴AE∥BC，AB＝DE，∵D为BC中点，∴CD＝BD，∴CD∥AE，CD＝AE，∴四边形ADCE是平行四边形，∵AB＝AC，D为BC中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴平行四边形ADCE是矩形．16．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵AB＝BE，∴BE＝CD，且BE∥CD，∴四边形BECD是平行四边形；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠A＝∠EBO，∵∠COE＝2∠A＝2∠EBO，∠COE＝∠EBO+∠BEO，∴∠EBO＝∠BEO，∴BO＝EO，由（1）得：四边形BECD是平行四边形，∴，，∴BC＝ED，∴平行四边形BECD是矩形．17．（1）证明：∵∠OAE＝∠OEA，∴OA＝OE，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠OCF＝∠OAE，∠OFC＝∠OEA，∴∠OFC＝∠OCF，∴OF＝OC，∵O为AC的中点，∴OA＝OC，∴OA＝OC＝OE＝OF，∴四边形AFCE是平行四边形，AC＝EF，∴四边形AFCE是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝AB＝5，由（1）得：四边形AFCE是矩形，∴∠AFC＝90°，∴∠AFB＝90°，∵∠B＝60°，∴∠BAF＝30°，∴BF＝AB＝，AF＝BF＝，∴CF＝BC﹣BF＝，∴矩形AFCE的面积＝CF×AF＝×＝．18．（1）证明：∵点D、O分别是边BC、AC的中点，∴OD是△ABC的中位线，BD＝CD，∴OD∥AB，∴DE∥AB，∵AE∥BC，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE＝BD＝CD，∴四边形ADCE是平行四边形，∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴平行四边形ADCE是矩形；（2）解：长度分别是线段OF长度的4倍的线段为：AB、BC、AC、DE，理由如下：∵AB＝AC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，由（1）得：四边形ABDE是平行四边形，四边形ADCE是矩形，∴BF＝EF，OD＝OE，AC＝DE，∴OF是△BDE的中位线，∴BD＝2OF，∵AB＝AC＝DE＝BC＝2BD，∴AB＝AC＝DE＝BC＝4OF．19．（1）证明：∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB∥CD，∴∠B+∠C＝180°，又∵∠B＝∠C，∴∠B＝∠C＝90°，∴四边形ABCD为矩形；（2）解：如图2，延长BA，CM交于点E，∵M为AD的中点，N为AB中点，∴AN＝BN＝2，AM＝MD，∴AB＝CD＝4，∵AE∥DC，∴∠E＝∠DCM，在△AEM和△DCM中，，∴△AME≌△DCM（AAS），∴AE＝CD＝4，∵∠BNC＝2∠DCM＝∠E+∠NCE，∴∠NCE＝∠DCM＝∠E，∴CN＝EN＝AE+AN＝4+2＝6，∴BC＝＝＝4．20．解：（1）∵四边形OABC为矩形，B（5，2），∴BC＝OA＝5，AB＝OC＝2，∵点D时OA的中点，∴OD＝OA＝2.5，由运动知，PC＝2t，∴BP＝BC﹣PC＝5﹣2t，∵四边形PODB是平行四边形，∴PB＝OD＝2.5，∴5﹣2t＝2.5，∴t＝1.25；（2）①当Q点在P的右边时，如图，∵四边形ODQP为菱形，∴OD＝OP＝PQ＝2.5，在Rt△OPC中，由勾股定理得：PC＝1.5，∴2t＝1.5；∴t＝0.75，∴Q（4，2）；②当Q点在P的左边且在BC线段上时，如图，同①的方法得出t＝2，∴Q（1.5，2），③当Q点在P的左边且在BC的延长线上时，如图，同①的方法得出，t＝0.5，∴Q（﹣1.5，2）；