初中数学冀教版九年级上册第26章 解直角三角形26.4 解直角三角形的应用第2课时练习题

这是一份初中数学冀教版九年级上册第26章 解直角三角形26.4 解直角三角形的应用第2课时练习题，共9页。

知识点1 与坡度、坡角有关的问题
1.一斜坡的坡度是3∶1,则此斜坡的坡角是( )
A.15° B.30° C.45° D.60°
2.如图2,传送带和地面所成斜坡AB的坡比为1∶2,物体沿传送带上升到点B时,距离地面的高度为3米,那么斜坡AB的长度为( )
A.35米 B.53米 C.45米 D.6米

图2 图3
3.[2020·自贡] 如图3,我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD,DC∥AB,BC长6米,坡角β为45°,AD的坡角α为30°,则AD长为 米.(结果保留根号)
4.自开展“全民健身运动”以来,喜欢户外步行健身的人越来越多,为方便群众步行健身,某地政府决定对一段如图4①所示的坡路进行改造.如图②所示,改造前的斜坡AB=200米,坡度为1∶3;将斜坡AB的高度AE降低AC=20米后,斜坡AB改造为斜坡CD,其坡度为1∶4.求斜坡CD的长.(结果保留根号)
图4
知识点 2 坡度与仰角、俯角的综合题
5.如图5,小林在放学路上看到隧道上方有一块广告牌CD.他在A点测得广告牌顶端D处的仰角为42°,由A点沿斜坡AB下到隧道底端B处(B,C,D在同一条直线上),AB=10m,坡度i=1∶3,则广告牌CD的长约为(结果精确到0.1m)( )
(参考数据:sin42°≈0.67,cs42°≈0.74,tan42°≈0.90,3≈1.73)


图5 图6
6.如图6,小明站在某广场一看台C处,从眼睛D处测得广场中心F的俯角为21°,若CD=1.6米,BC=1.5米,BC平行于地面FA,台阶AB的坡度i=3∶4,坡长AB=10米,则看台底端点A距离广场中心点F的距离约为(参考数据:sin21°≈0.36,cs21°≈0.93,tan21°≈0.38)( )
A.8.8米 B.9.5米 C.10.5米 D.12米
7.嘉琪同学想测算如图7所示的仙女峰的高度,她利用已学的数学知识设计了一个实践方案,并实施了如下操作:先在水平地面A处测得山顶B的仰角∠BAC=38.7°,再由A沿水平方向前进377米到达山脚C处,测得山坡BC的坡度为1∶0.6,请你求出仙女峰的高度.(参考数据:tan38.7°≈0.8)
图7
【能力提升】
8.[2020·重庆] 如图8,在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60m的点C处有一个山坡,山坡CD的坡度(或坡比)i=1∶0.75,山坡坡底点C到坡顶点D的距离CD=45m,在坡顶点D处测得居民楼楼顶点A的仰角为28°,居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内,则居民楼AB的高度约为(参考数据:sin28°≈0.47,cs28°≈0.88,tan28°≈0.53)( )
图8

9.如图9,在岷江的右岸边有一高楼AB,左岸边有一坡度i=1∶2的山坡CF,点C与点B在同一水平面上,CF与AB在同一平面内.某数学兴趣小组为了测量楼AB的高度,在坡底C处测得楼顶A的仰角为45°,然后沿坡面CF上行了205米到达点D处,此时在D处测得楼顶A的仰角为30°,求楼AB的高度.
图9
10.图10是某货站传送货物的平面示意图.为了提高传送过程的安全性,工人师傅欲减小传送带与地面的夹角,使其由45°改为30°,已知原传送带AB长为42米.
(1)求新传送带AC的长度;
(2)如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道,试判断距离点B5米的货物MNQP是否需要挪走,并说明理由.(参考数据:2≈1.41,3≈1.73)
图10
11如图，一段路基的横断面是梯形，高为4．2米，上底的宽是12．51米，路
基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°．求路基下底的宽．（精确到0．1米sin32°≈0.529,cs32°≈0.848,tan32°≈0.624，sin28°≈0.469,cs28°≈0.848,tan28°≈0.532）
12、如图，有一段斜坡长为10米，坡角，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把坡角降为5°．
（1）求坡高;
（2）求斜坡新起点与原起点的距离（精确到0.1米，sin12°≈0.208,cs12°≈0.978,tan12°≈0.213，sin5°≈0.087,cs5°≈0.996,tan5°≈0.087）
D
C
B
A
5°
12°
13、庞亮和李强相约周六去登山，庞亮从北坡山脚C处出发，以24米/分钟的速
度攀登，同时，李强从南坡山脚B处出发．如图，已知小山北坡的坡度，
山坡长为240米，南坡的坡角是45°．问李强以什么速度攀登才能和庞亮同时
到达山顶A？（将山路AB、AC看成线段，结果保留根号）
14.如图11,某防洪指挥部发现长江边一处长500米,高10米,背水坡的坡角为45°的防洪大堤(横断面为四边形ABCD,且AB∥CD)急需加固.防洪指挥部专家组制定的加固方案如下:背水坡面用土石方进行加固,并使上底加宽3米,加固后背水坡EF的坡比i=1∶3.
(1)求加固后坝底增加的宽度AF;
(2)求完成这项工程需要多少立方米土石方.(结果保留根号)
图11
答案
1.D [解析]设坡角为α,由题意知tanα=3,
∴α=60°,即斜坡的坡角为60°.
2.A [解析]过点B作BC垂直地面于点C,如图.由题意知,BC=3米.∵传送带和地面所成斜坡AB的坡比为1∶2,∴BC∶AC=1∶2,∴AC=6米,∴AB=BC2+AC2=32+62=35(米).
3.62 [解析]如图,过点D作DE⊥AB于点E,过点C作CF⊥AB于点F.∵CD∥AB,DE⊥AB,CF⊥AB,∴DE=CF.在Rt△CFB中,CF=BC·sin45°=32(米),∴DE=CF=32米.
在Rt△ADE中,∵∠A=30°,∠AED=90°,∴AD=2DE=62米.
4.解:∵∠AEB=90°,AB=200米,AB的坡度为1∶3,∴tan∠ABE=13=33,∴∠ABE=30°,
∴AE=12AB=100米.∵AC=20米,∴CE=AE-AC=80米.∵∠CED=90°,斜坡CD的坡度为1∶4,
∴CEDE=14,即80DE=14,解得DE=320(米),∴CD=CE2+DE2=802+3202=8017(米).
答:斜坡CD的长是8017米.
5.D [解析]如图,根据题意可知,斜坡AB的坡度i=1∶3,即AEBE=13=33,∴∠ABE=30°.
∵AB=10,∴AE=5,BE=53,∴AC=BE=53.在Rt△ACD中,∵∠DAC=42°,
∴CD=AC·tan42°≈53×0.90≈7.8(m).故选D.
6.C [解析]如图,过点B作BM⊥FA交FA的延长线于点M,延长DC交FA的延长线于点N.由题意知,四边形BMNC是矩形,∴MN=BC=1.5米,CN=BM.∵BM∶AM=3∶4,AB=10米,
∴BM=6米,AM=8米.
在Rt△DNF中,∵∠F=21°,tanF=DNFN,
∴6+1.6FN≈0.38,∴FN≈20米,
∴AF=FN-AM-MN≈20-8-1.5=10.5(米).
7.解:如图,过点B作BD⊥AC,交AC的延长线于点D.
∵山坡BC的坡度为1∶0.6,
∴BDCD=10.6,则CD=0.6BD.
∵∠BAC=38.7°,∴tan38.7°=BDAD=BDAC+CD.
∵AC=377米,tan38.7°≈0.8,∴BD377+0.6BD≈0.8,解得BD=580(米).
答:仙女峰的高度约为580米.
8.B [解析]如图,过点D作DF⊥AB,垂足为F,作DE⊥BC交BC的延长线于点E,则四边形DEBF为矩形,∴BF=DE,DF=BE.由题意,得∠ADF=28°,CD=45,BC=60.在Rt△DEC中,i=DEEC=10.75=43.
设DE=4x,则EC=3x,由勾股定理可得CD=5x.又CD=45,即5x=45,∴x=9,
∴EC=3x=27,DE=4x=36=FB,∴BE=BC+EC=60+27=87=DF.
在Rt△ADF中,AF=tan28°×DF≈0.53×87≈46.11,∴AB=AF+FB≈46.11+36≈82.1(m).故选B.
9.解:在Rt△DEC中,∵i=DEEC=12,DE2+EC2=CD2,CD=205米,
∴DE2+(2DE)2=(205)2,解得DE=20(米),∴EC=40米.
过点D作DG⊥AB于点G,如图所示,则四边形DEBG是矩形,∴BG=DE=20米,DG=BE.
∵∠ACB=45°,AB⊥BC,∴AB=BC.
设AB=BC=x米,则AG=(x-20)米,DG=BE=(x+40)米.
在Rt△ADG中,∵AGDG=tan∠ADG,∠ADG=30°,∴x-20x+40=33,解得x=50+303.
经检验,x=50+303是所列方程的根且符合题意.
故楼AB的高度为(50+303)米.
10.解:(1)在Rt△ABD中,∵∠ABD=45°,∴AD=AB·sin45°=42×22=4(米).
在Rt△ACD中,∵∠ACD=30°,∴AC=ADsin30°=8(米),即新传送带AC的长度为8米.
(2)货物MNQP不需要挪走.
理由:在Rt△ABD中,∵∠ABD=45°,∴BD=AD=4米.
在Rt△ACD中,CD=ADtan30°=43(米),∴BC=CD-BD=43-4≈2.92(米).
∵PC=PB-BC≈5-2.92=2.08(米)>2米,∴货物MNQP不需要挪走.
略
14.解:(1)如图,分别过点E,D作EG⊥AB,DH⊥AB,垂足分别为G,H,则DH=EG=10米,四边形EGHD是矩形,∴ED=GH.在Rt△ADH中,AH=DHtan∠DAH=10tan45°=10(米).
在Rt△FGE中,∵i=13=EGFG,∴FG=3EG=103(米),∴AF=FG+GH-AH=103+3-10=(103-7)米.
答:加固后坝底增加的宽度AF为(103-7)米.
(2)加宽部分的体积V=S四边形AFED×坝长=12×(3+103-7)×10×500=(250003-10000)米3.
答:完成这项工程需要(250003-10000)立方米土石方.