冀教版九年级上册25.4 相似三角形的判定课时练习

第3课时　相似三角形的判定定理3　　　　　　　　　　　　　　　　　

【基础练习】

知识点 1　三条边对应成比例的两个三角形相似

1.在△ABC与△A'B'C'中,AB=9cm,BC=8cm,CA=5cm,A'B'=4.5cm,B'C'=2.5cm,C'A'=4cm,则下列说法错误的是 (　　)

A.△ABC和△A'B'C'相似 

B.AB和A'B'是对应边

C.∠C和∠C'是对应角 

D.BC和B'C'是对应边

2.有甲、乙两个三角形木框,甲三角形木框的三边长分别为1,,,乙三角形木框的三边长分别为5,,,则甲、乙两个三角形木框 (　　)

A.一定相似

B.一定不相似

C.不一定相似

D.无法判断是否相似                                  

3.[教材习题A组第3题变式] 如图4,在4×4的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,三角形的顶点都在格点上,则与△ABC相似的三角形是 (　　)

图4

图5

4.如图6所示,要使△ABC∽△DEF,则x=　　　　. 

图6

5.要判定△ABC∽△A'B'C',已知=,还要添加条件:　　　　　　　　　(填角的关系)或　　　　　　　　(填边的关系). 

6.如图7,在△ABC和△A'B'C'中,D,D'分别是AB,A'B'上一点,=,==.

求证:(1)△ADC∽△A'D'C';

(2)△ABC∽△A'B'C'.

                                                      图7

知识点 2　直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似

7.在Rt△ABC和Rt△DEF中,∠C=∠F=90°,当AC=3,AB=5,DE=10,EF=8时,Rt△ABC和

Rt△DEF________(填“相似”或“不相似”). 

8.如图8,AB⊥BC于点B,AC⊥CD于点C,AB=4,AC=6,当AD=　　　　时,△ABC∽

△ACD. 

图8

9.如图9,点B,A,E在同一条直线上,AD⊥BD,CE⊥AE,垂足分别为D,E,AB=3CA,BD=3AE.求证:△ABD∽△CAE.

                                                                  图9

【能力提升】

10.在△ABC与△A'B'C'中,有下列条件:①=;②=;③∠A=∠A';④∠C=∠C'.如果从中任取两个条件组成一组,那么能判定△ABC∽△A'B'C'的共有              (　　)

　　图10

A.1组   B.2组     C.3组   D.4组

11.[2020·湖州] 在每个小正方形的边长都为1的网格图形中,每个小正方形的顶点称为格点,顶点都是格点的三角形称为格点三角形.如图10,已知Rt△ABC是6×6的网格图形中的格点三角形,则该图中所有与Rt△ABC相似的格点三角形中,面积最大的三角形的斜边长是　　　　. 

12.如图11,∠ACB=∠ADC=90°,AC=,AD=2.当AB的长为多少时,这两个直角三角形相似?

                                                                  图11

13.如图12所示,已知AB∶AD=BC∶DE=AC∶AE,请猜想∠ABD与∠ACE的关系,并说明理由.

                                                                  图12

14.如图13,在边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC和△DEF的顶点都在格点上,P1,P2,P3,P4,P5是△DEF边上的5个格点,请按要求完成下列各题:

(1)求证:△ABC是直角三角形;

(2)判断△ABC和△DEF是否相似,并说明理由;

(3)画一个三角形,使它的3个顶点为P1,P2,P3,P4,P5中的3个格点,并且与△ABC相似(要求:不写作法与证明).

图13

答案

1.D　

2.A　[解析] 因为===,即两个三角形木框的三边对应成比例,所以这两个三角形木框相似.

3.B

4.40　[解析] 要使△ABC∽△DEF,则要满足三条边对应成比例,即==,解得x=40.

5.∠B=∠B'　答案不唯一,如=或=

6.证明:(1)∵=,∴=.又∵==,∴==,

∴△ADC∽△A'D'C'.

(2)∵△ADC∽△A'D'C',∴∠A=∠A'.又∵=,∴△ABC∽△A'B'C'.

7.相似

8.9　[解析] ∵AB⊥BC,AC⊥CD,∴∠B=∠ACD=90°.当=时,Rt△ABC∽Rt△ACD,

即=,解得AD=9.

9.证明:∵AD⊥BD,CE⊥AE,∴∠ADB=∠CEA=90°.∵AB=3CA,BD=3AE,∴=3,=3,∴=,

∴Rt△ABD∽Rt△CAE.

10.C　[解析] ①与②满足==,能判定△ABC∽△A'B'C';③与④满足∠A=∠A',∠C=∠C',能判定△ABC∽△A'B'C';②与④满足=,∠C=∠C',能判定△ABC∽△A'B'C',共有3组.

11.5　[解析] ∵在Rt△ABC中,AC=1,BC=2,∴AB=,AC∶BC=1∶2,∴与Rt△ABC相似的格点三角形的两直角边长的比为1∶2.若该三角形的最短边长为4,则另一直角边长为8,在6×6的网格图形中,最长线段为6,但此时画出的直角三角形为等腰直角三角形,从而画不出端点都在格点且长为8的线段,故最短直角边长应小于4,在图中尝试,可画出DE=,EF=2,DF=5的三角形,如图.

∵===,∴△ABC∽△DFE,∴∠DEF=∠C=90°,∴此时△DEF的面积为×2÷2=10,△DEF为面积最大的格点三角形,其斜边长为5.

12.解:∵AC=,AD=2,∠ADC=90°,∴CD==.要使这两个直角三角形相似,有两种情况:(1)当Rt△ABC∽Rt△ACD时,有=,∴AB==3;

(2)当Rt△ABC∽Rt△CAD时,有=,∴AB==3.综上可知,当AB的长为3或3时,这两个直角三角形相似.

13.解:∠ABD=∠ACE.理由如下:∵AB∶AD=BC∶DE=AC∶AE,∴△ABC∽△ADE,∴∠BAC=∠DAE,∴∠BAD=∠CAE.又∵AB∶AD=AC∶AE,即AB∶AC=AD∶AE,∴△BAD∽△CAE,

∴∠ABD=∠ACE.

14.解:(1)证明:根据勾股定理,得AB=2,AC=,BC=5,显然有AB2+AC2=BC2.根据勾股定理的逆定理,得△ABC为直角三角形.

(2)△ABC和△DEF相似.理由如下:根据勾股定理,得AB=2,AC=,BC=5,DE=4,DF=2,

EF=2,∴===,∴△ABC∽△DEF.

(3)如图,△P2P4P5即为所求.