初中数学冀教版九年级上册25.3 相似三角形一课一练

25.3　相似三角形　　　　　　　　　　　　　　　　　

【基础练习】

知识点 1　相似三角形的相关定义

1.如图1所示,D是△ABC的边AB上的一点,当∠ADC=∠ACB,∠ACD=　　　　　,∠A=∠A,==时,△ADC　　　△ACB. 

图1

2.[教材“大家谈谈”变式] 下列说法中,错误的是 (　　)

A.两个全等三角形一定是相似三角形

B.两个等腰三角形一定相似

C.两个等边三角形一定相似

D.两个等腰直角三角形一定相似

3.若△ABC∽△DEF,AB=4cm,DE=8cm,则△ABC与△DEF的相似比为　　　　,△DEF与△ABC的相似比为　　　　. 

知识点 2　相似三角形的应用

4.如图2,△ADE∽△ACB,则

图2

(1)==;

(2)∠ADE=　　　　,∠AED=　　　　. 

5.已知△ABC∽△DEF,AB=6cm,BC=4cm,AC=9cm,且△DEF的最短边的长为8cm,则最长边的长为 (　　)

A.16cm         B.18cm 

C.4.5cm         D.13cm

6.如图3,已知△ABC∽△DEB,BE=3,CE=2,则的值为 (　　)

图3

A.         B.          C.          D.                                                       

7.如图4,在正方形网格中有两个相似三角形△ABC和△DEF,则∠BAC的度数为 (　　)

图4

A.105°     B.115°   C.125°     D.135°

8.如图5,△DEF∽△ABC,求∠D和∠E的大小以及DF的长.

图5

知识点 3　利用平行线判定三角形相似

9.如图6,点F在平行四边形ABCD的边CD上,射线AF交BC的延长线于点E.

图6

∵AD∥BC,∴△EFC∽△　　　　. 

∵AB∥CD,∴△EFC∽△　　　　. 

10.如图7,在Rt△ABC中,∠C=90°.若AC=4,BC=3,DE⊥AC于点E,且DE=DB,求AD的长.

                                                               图7

【能力提升】

11.如图8,在△ABC中,点D在线段BC上,且△ABC∽△DBA,则下列结论一定正确的是 (　　)

图8

A.AB2=BC·BD               B.AB2=AC·BD

C.AB·AD=BD·BC            D.AB·AD=AD·CD                                                          

12.如图9,在Rt△ABC中,∠C=90°,以顶点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交AB,AC于点M,N,再分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,射线AP交边BC于点D,若△DAC∽△ABC,则∠B=　　　　°. 

图9

13.如图10,在△ABC中,E为BC上一点,CF⊥AB于点F,ED⊥AB于点D,G为AC边上一点,∠1=∠2.求证:△AFG∽△ABC.

                                                                 图10

14.如图11,AB⊥BC于点B,DC⊥BC于点C,AB=4,DC=6,BC=14,点P在BC上移动,当以P,C,D为顶点的三角形与△ABP相似时,求PB的长.

                                                             图11

15.如图12,在△ABC中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,动点P从点B出发以2cm/s的速度向点C移动,动点Q从点C出发以1cm/s的速度向点A移动,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止移动.若动点P,Q同时出发,则经过多少秒时,PQ∥AB?

                                                                 图12

16.从三角形(不是等腰三角形)的一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.

(1)如图13①,在△ABC中,∠A=48°,CD是△ABC的完美分割线,且AD=CD,则∠ACB=　　　　°; 

图13

(2)如图②,在△ABC中,AC=2,BC=,CD是△ABC的完美分割线,且△ACD是以CD为底边的等腰三角形,求完美分割线CD的长.

答案

1.∠B　AC　∽　

2.B　

3.　2

4.(1)AC　AB　(2)∠C　∠B

5.B　[解析] 设△DEF的最长边的长为x cm.∵△ABC∽△DEF,AB=6 cm,BC=4 cm,AC=9 cm,△DEF的最短边的长为8 cm,∴8∶4=x∶9,解得x=18,∴最长边的长为18 cm.

6.A　[解析] ∵BE=3,CE=2,∴BC=BE+CE=5.∵△ABC∽△DEB,∴==,∴=.

7.D　[解析] 因为△ABC∽△EDF,所以∠BAC=∠DEF.又∠DEF=90°+45°=135°,所以∠BAC=135°.

8.解:在△ABC中,∠A=180°-∠B-∠C=180°-75°-45°=60°.∵△DEF∽△ABC,∴∠D=∠A=60°,∠E=∠B=75°,=,∴=,∴DF=.

9.AFD　EAB

10.解:在Rt△ABC中,∵AC=4,BC=3,∴AB=5.∵DE⊥AC,∠C=90°,∴DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴=.∵DE=DB,∴DE=5-AD,∴=,解得AD=.故AD的长为.

11.A

12.30　[解析] 由作图可知,AD平分∠CAB,∴∠CAD=∠DAB.∵△DAC∽△ABC,∴∠CAD=∠B,∴∠CAB=2∠B.∵∠CAB+∠B=90°,∴3∠B=90°,∴∠B=30°.

13.证明:∵CF⊥AB,ED⊥AB,∴∠AFC=∠ADE=90°,∴∠2+∠AFG=∠1+∠B=90°.又∵∠1=∠2,∴∠AFG=∠B,∴FG∥BC,∴△AFG∽△ABC.

14.解:(1)当△ABP∽△PCD时,=,则=,解得BP=2或BP=12;

(2)当△ABP∽△DCP时,=,则=,解得BP=5.6.综上可得,当PB的长为2或12或5.6时,两三角形相似.

15.解:设经过t s时,PQ∥AB,则BP=2t cm,QC=t cm,PC=(4-2t)cm.根据题意,得Rt△ABC∽Rt△QPC,所以=,即=,解得t=1.2.经检验,t=1.2是所列分式方程的解.由于点P的移动速度为2 cm/s,点Q的移动速度为1 cm/s,因此t的取值范围为0≤t≤2,所以t=1.2满足题目要求.答:经过1.2 s时,PQ∥AB.

16.解:(1)96　[解析] 当AD=CD时,∠ACD=∠A=48°.∵△BDC∽△BCA,∴∠BCD=∠A=48°,∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°.

(2)由已知,得AD=AC=2.∵△BAC∽△BCD,∴=.设BD=x,则()2=x(x+2).∵x>0,∴x=

-1.∵△BCD∽△BAC,∴==,∴CD=×2=-.故完美分割线CD的长为-.