中考数学考点系统复习第三单元函数第3讲二次函数的综合应用(含答案）

这是一份中考数学考点系统复习第三单元函数第3讲二次函数的综合应用(含答案），共5页。试卷主要包含了课本中有一个例题等内容，欢迎下载使用。
1．生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产．现有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润y和月份n之间的函数关系式为y＝－n2＋14n－24，则该企业一年中利润最高的月份是( C )
A．5月 B．6月 C．7月 D．8月
2．图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y＝－eq \f(1,400)(x－80)2＋16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴，若OA＝10米，则桥面离水面的高度AC为( B )
A．16eq \f(9,40)米 B.eq \f(17,4)米 C．16eq \f(7,40)米 D.eq \f(15,4)米
3．如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 cm，则所围成矩形ABCD的最大面积是( C )
A．60 m2 B．63 m2 C．64 m2 D．66 m2
4．某超市销售某种玩具，进货价为20元．根据市场调查：在一段时间内，销售单价是30元时，销售量是400件，而销售单价每上涨1元，就会少售出10件玩具，超市要完成不少于300件的销售任务，又要获得最大利润，则销售单价应定为40元．
5．某农场拟建三间长方形养牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙长50 m)，中间用两道墙隔开(如图)．已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48 m，则这三间长方形养牛饲养室的总占地面积的最大值为144m2.
6．二次函数y＝eq \r(3)x2的图象如图，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B，C在二次函数y＝eq \r(3)x2的图象上，四边形OBAC为菱形，且∠OBA＝120°，则菱形OBAC的面积为2eq \r(3)．
7．某经销公司购进一种原料若干千克，成本价为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y(千克)是销售单价x(元)的一次函数，且当x＝60时，y＝80；x＝50时，y＝100.在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．
(1)求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)求该公司销售该原料日获利w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；
(3)当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？
解：(1)设y＝kx＋b，根据题意，得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(80＝60k＋b，,100＝50k＋b.))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－2，,b＝200.))
∴y＝－2x＋200(30≤x≤60)．
(2)w＝(x－30)(－2x＋200)－450＝－2x2＋260x－6 450＝－2(x－65)2＋2 000.
(3)∵当30≤x≤60时，w随x的增大而增大，
∴当x＝60时，w有最大值为1 950元．
∴当销售单价为60元时，该公司日获利最大，为1 950元．
8．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c关于直线x＝1对称，与坐标轴交于A，B，C三点，且AB＝4，点D(2，eq \f(3,2))在抛物线上，直线l是一次函数y＝kx－2(k≠0)的图象，点O是坐标原点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若直线l平分四边形OBDC的面积，求k的值．
解：(1)∵抛物线关于直线x＝1对称，AB＝4，
∴A(－1，0)，B(3，0)．
∴设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－3)．
又∵点D(2，eq \f(3,2))在抛物线上，
∴eq \f(3,2)＝a·(2＋1)×(2－3)．解得a＝－eq \f(1,2).
∴y＝－eq \f(1,2)(x＋1)(x－3)，
即抛物线的解析式为y＝－eq \f(1,2)x2＋x＋eq \f(3,2).
(2)令直线l分别交x轴，CD于点E，F.
由(1)知C(0，eq \f(3,2))．∵D(2，eq \f(3,2))，
∴CD∥AB.
令kx－2＝eq \f(3,2)，解得x＝eq \f(7,2k)，∴F(eq \f(7,2k)，eq \f(3,2))．
令kx－2＝0，解得x＝eq \f(2,k).∴E(eq \f(2,k)，0)．
由S四边形OEFC＝S四边形EBDF，得OE＋CF＝BE＋DF，
即eq \f(2,k)＋eq \f(7,2k)＝(3－eq \f(2,k))＋(2－eq \f(7,2k))．解得k＝eq \f(11,5).
9．课本中有一个例题：
有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6 m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？
这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35 m时，透光面积的最大值约为1.05 m2.
我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为6 m．利用图3，解答下列问题：
(1)若AB为1 m，求此时窗户的透光面积；
(2)与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．
解：(1)由已知得AD＝eq \f(5,4) m，
∴S＝1×eq \f(5,4)＝eq \f(5,4)( m2)．
(2)设AB＝x m，则AD＝(3－eq \f(7,4)x)m，
∵3－eq \f(7,4)x＞0，
∴0＜x＜eq \f(12,7).
设窗户面积为S，则
S＝AB·AD＝x(3－eq \f(7,4)x)＝－eq \f(7,4)x2＋3x＝－eq \f(7,4)(x－eq \f(6,7))2＋eq \f(9,7)，
当x＝eq \f(6,7)时，S最大＝eq \f(9,7)＞1.05，
∴与课本中的例题比较，现在窗户透光面积的最大值变大了．

10．某校校园内有一个大正方形花坛，如图甲所示，它由四个边长均为3米的小正方形组成，且每个小正方形的种植方案相同，其中的一个小正方形ABCD如图乙所示，DG＝1米，AE＝AF＝x米，在五边形EFBCG区域上种植花卉，则大正方形花坛种植花卉的面积y与x的函数图象大致是( A )
提示：先求出△AEF和△DEG的面积，然后可得到五边形EFBCG的面积，继而可得y与x的函数关系．
11．竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数．小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球．假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度．第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t＝1.6．
12．成都地铁规划到2020年将通车13条线路，近几年正是成都地铁加紧建设和密集开通的几年，市场对建材的需求量有所提高，根据市场调查分析可预测投资水泥生产销售后所获得的利润y1(万元)与投资资金量x(万元)满足正比例关系：y1＝20x；投资钢材生产销售后所获得的利润y2(万元)与投资资金金量x(万元)满足函数关系的图象如图所示(其中OA是抛物线的一部分，A为抛物线的的顶点，AB∥x轴)．
(1)直接写出当030时，y2与x之间的函数关系式；
(2)某建材经销公司计划投资100万元用于生产销售水泥和钢材两种材料，若设投资钢材部分的资金量为t(万元)，生产销售完这两种材料后获得的总利润为w(万元)．
①求w与t之间的函数关系式；
②若要求投资钢材部分的资金量不得少于45万元，那么当投资钢材部分的资金量为多少万元时，获得的总利润最大？最大总利润是多少？
解：(1)当030时，y2＝900.
(2)①设投资钢材部分的资金量为t万元，则投资生产水泥的资金量为(100－t)万元，
当030时，w＝20(100－t)＋900＝－20t＋2 900.
②∵t≥45，
∴w＝－20t＋2 900，w随t的增大而减小．
∴当t＝45时，w最大＝2 000.
答：当投资钢材部分的资金量为45万元时，获得的总利润最大，最大总利润是2 000万元．
13．已知抛物线y＝ax2＋bx－3经过(－1，0)，(3，0)两点，与y轴交于点C，直线y＝kx与抛物线交于A，B两点．
(1)写出点C的坐标并求出此抛物线的解析式；
(2)当原点O为线段AB的中点时，求k的值及A，B两点的坐标；
(3)是否存在实数k使得△ABC的面积为eq \f(3\r(10),2)？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)令抛物线y＝ax2＋bx－3中x＝0，得y＝－3，
∴点C的坐标为(0，－3)．
∵抛物线y＝ax2＋bx－3经过(－1，0)，(3，0)两点，代入解析式，得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0＝a－b－3，,0＝9a＋3b－3.))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－2.))
∴此抛物线的解析式为y＝x2－2x－3.
(2)令A(xA，yA)，B(xB，yB)．
将y＝kx代入y＝x2－2x－3，得kx＝x2－2x－3.
整理，得x2－(2＋k)x－3＝0.
∴xA＋xB＝2＋k，xAxB＝－3.
∵原点O为线段AB的中点，
∴xA＋xB＝2＋k＝0.解得k＝－2.
当k＝－2时，x2－(2＋k)x－3＝x2－3＝0，解得
xA＝－eq \r(3)，xB＝eq \r(3).
∴yA＝－2xA＝2eq \r(3)，yB＝－2xB＝－2eq \r(3).
∴当原点O为线段AB的中点时，k的值为－2，点A的坐标为(－eq \r(3)，2eq \r(3))，点B的坐标为(eq \r(3)，－2eq \r(3))．
(3)不存在．理由：假设存在这样的实数k.
由(2)可知：xA＋xB＝2＋k，xAxB＝－3，
S△ABC＝eq \f(1,2)OC·|xA－xB|
＝eq \f(1,2)×3×eq \r(（xA＋xB）2－4xAxB)
＝eq \f(3\r(10),2)，
∴(2＋k)2－4×(－3)＝10，即(2＋k)2＋2＝0.
∵(2＋k)2非负，无解，∴假设不成立．
∴不存在实数k使得△ABC的面积为eq \f(3\r(10),2).