数学必修36.2空间的直线与平面教案

这是一份数学必修36.2空间的直线与平面教案，共10页。教案主要包含了教学分析，教学目标，教学重点，教学难点，课时安排，教学过程，教学反思等内容，欢迎下载使用。

【教学分析】
上节课已学习了直线与平面平行的判定定理，这节课将通过例题让学生体会应用线面平行的性质定理的难度，进而明确告诉学生：线面平行的性质定理是高考考查的重点，也是最难应用的两个定理之一。本节重点是直线与平面平行的性质定理的应用。
【教学目标】
1．探究直线与平面平行的性质定理。
2．体会直线与平面平行的性质定理的应用。
3．通过线线平行与线面平行转化，培养学生的学习兴趣。
【教学重点】
直线与平面平行的性质定理。
【教学难点】
直线与平面平行的性质定理的应用。
【课时安排】
1课时
【教学过程】
复习
回忆直线与平面平行的判定定理：
（1）文字语言：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
（2）符号语言为：
（3）图形语言为：如图1．
图1
导入新课
思路1．(情境导入)
教室内日光灯管所在的直线与地面平行，是不是地面内的所有直线都与日光灯管所在的直线平行？
思路2．(事例导入)
观察长方体（图2），可以发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与长方体ABCD—A′B′C′D′的侧面C′D′DC所在平面平行，你能在侧面C′D′DC所在平面内作一条直线与A′B平行吗？
图2
推进新课
新知探究
提出问题
①回忆空间两直线的位置关系。
②若一条直线与一个平面平行，探究这条直线与平面内直线的位置关系。
③用三种语言描述直线与平面平行的性质定理。
④试证明直线与平面平行的性质定理。
⑤应用线面平行的性质定理的关键是什么？
⑥总结应用线面平行性质定理的要诀。
活动：问题①引导学生回忆两直线的位置关系。
问题②借助模型锻炼学生的空间想象能力。
问题③引导学生进行语言转换。
问题④引导学生用排除法。
问题⑤引导学生找出应用的难点。
问题⑥鼓励学生总结，教师归纳。
讨论结果：①空间两条直线的位置关系：相交、平行、异面。
②若一条直线与一个平面平行，这条直线与平面内直线的位置关系不可能是相交（可用反证法证明），所以，该直线与平面内直线的位置关系还有两种，即平行或异面。
怎样在平面内作一条直线与该直线平行呢（排除异面的情况）？经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
③直线与平面平行的性质定理用文字语言表示为：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
这个定理用符号语言可表示为：
这个定理用图形语言可表示为：如图3．
图3
④已知a∥α，aβ，α∩β=B．求证：a∥B．
证明：
⑤应用线面平行的性质定理的关键是：过这条直线作一个平面。
⑥应用线面平行性质定理的要诀：“见到线面平行，先过这条直线作一个平面找交线”。
应用示例
思路1
例1如图4所示的一块木料中，棱BC平行于面A′C′。
图4
（1）要经过面A′C′内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？
（2）所画的线与面AC是什么位置关系？
活动：先让学生思考、讨论再回答，然后教师加以引导。
分析：经过木料表面A′C′内的一点P和棱BC将木料锯开，实际上是经过BC及BC外一点P作截面，也就是找出平面与平面的交线。我们可以由线面平行的性质定理和公理4．公理2作出。
解：（1）如图5，在平面A′C′内，过点P作直线EF，使EF∥B′C′，
图5
并分别交棱A′B′、C′D′于点E、F。连接BE、CF。
则EF、BE、CF就是应画的线。
（2）因为棱BC平行于面A′C′，平面BC′与平面A′C′交于B′C′，所以BC∥B′C′。
由（1）知，EF∥B′C′，
所以EF∥BC．因此
BE、CF显然都与平面AC相交。
变式训练
如图6，a∥α，A是α另一侧的点，B、C、D∈a，线段AB．AC．AD交α于E、F、G点，若BD=4，CF=4，AF=5，求EG。
图6
解：Aa，∴A．a确定一个平面，设为β。
∵B∈a，∴B∈β。
又A∈β，∴ABβ。
同理ACβ，ADβ。
∵点A与直线a在α的异侧，
∴β与α相交。
∴面ABD与面α相交，交线为EG。
∵BD∥α，BD面BAD，面BAD∩α=EG，
∴BD∥EG。
∴△AEG∽△ABD．
∴。(相似三角形对应线段成比例)
∴EG=。
点评：见到线面平行，先过这条直线作一个平面找交线，直线与交线平行，如果再需要过已知点，这个平面是确定的。
例2 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证另一条也平行于这个平面。如图7．
图7
已知直线a，b，平面α，且a∥b，a∥α，a，b都在平面α外。
求证：b∥α。
证明：过a作平面β，使它与平面α相交，交线为C．
∵a∥α，aβ，α∩β=c，
∴a∥C．
∵a∥b，∴b∥C．
∵cα，bα，∴b∥α。
变式训练
如图8，E、H分别是空间四边形ABCD的边AB．AD的中点，平面α过EH分别交BC．CD于F、G。求证：EH∥FG。
图8
证明：连接EH。
∵E、H分别是AB．AD的中点，
∴EH∥BD．
又BD面BCD，EH面BCD，
∴EH∥面BCD．
又EHα、α∩面BCD=FG，
∴EH∥FG。
点评：见到线面平行，先过这条直线作一个平面找交线，则直线与交线平行。
思路2
例1 求证：如果两个相交平面分别经过两条平行直线中的一条，那么它们的交线和这条直线平行。如图9．
图9
已知a∥b，aα，bβ，α∩β=C．
求证：c∥a∥B．
证明：
变式训练
求证：一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个相交平面的交线平行。
图10
已知：如图10，a∥α，a∥β，α∩β=b，
求证：a∥B．
证明：如图10，过a作平面γ、δ，使得γ∩α=c，δ∩β=d，那么有
点评：本题证明过程，实际上就是不断交替使用线面平行的判定定理、性质定理及公理4的过程。这是证明线线平行的一种典型的思路。
例2 如图11，平行四边形EFGH的四个顶点分别在空间四边形ABCD的边AB．BC．CD．DA上，求证：BD∥面EFGH，AC∥面EFGH。
图11
证明：∵EFGH是平行四边形
变式训练
如图12，平面EFGH分别平行于CD．AB，E、F、G、H分别在BD．BC．AC．AD上，且CD=a，AB=b，CD⊥AB．
图12
（1）求证：EFGH是矩形；
（2）设DE=m，EB=n，求矩形EFGH的面积。
（1）证明：∵CD∥平面EFGH，而平面EFGH∩平面BCD=EF，
∴CD∥EF。同理HG∥CD，∴EF∥HG。
同理HE∥GF，∴四边形EFGH为平行四边形。
由CD∥EF，HE∥AB，∴∠HEF为CD和AB所成的角。
又∵CD⊥AB，∴HE⊥EF。
∴四边形EFGH为矩形。
（2）解：由（1）可知在△BCD中EF∥CD，DE=m，EB=n，
∴。又CD=a，∴EF=。
由HE∥AB，∴。
又∵AB=b，∴HE=。
又∵四边形EFGH为矩形，
∴S矩形EFGH=HE·EF=。
点评：线面平行问题是平行问题的重点，有着广泛应用。
知能训练
求证：经过两条异面直线中的一条有且只有一个平面和另一条直线平行。
已知：A、B是异面直线。
求证：过b有且只有一个平面与a平行。
证明：（1）存在性。如图13，
图13
在直线b上任取一点A，显然AA．
过A与a作平面β，
在平面β内过点A作直线a′∥a，
则a′与b是相交直线，它们确定一个平面，设为α，
∵bα，a与b异面，∴aα。
又∵a∥a′，a′α，∴a∥α。
∴过b有一个平面α与a平行。
（2）唯一性。
假设平面γ是过b且与a平行的另一个平面，
则bγ。∵A∈b，∴A∈γ。
又∵A∈β，∴γ与β相交，设交线为a″，则A∈a″。
∵a∥γ，aβ，γ∩β=a″，∴a∥a″。又a∥a′，∴a′∥a″。
这与a′∩a″=A矛盾。
∴假设错误，故过b且与a平行的平面只有一个。
综上所述，过b有且只有一个平面与a平行。
变式训练
已知：a∥α，A∈α，A∈b，且b∥A．求证：bα。
证明：假设bα，如图14，
图14
设经过点A和直线a的平面为β，α∩β=b′， ∵a∥α，∴a∥b′(线面平行则线线平行)。
又∵a∥b，∴b∥b′，这与b∩b′=A矛盾。
∴假设错误。故bα。
拓展提升
已知：a，b为异面直线，aα，bβ，a∥β，b∥α，求证：α∥β。
证明：如图15，在b上任取一点P，由点P和直线a确定的平面γ与平面β交于直线c，则c与b相交于点P。
图15
变式训练
已知AB、CD为异面线段，E、F分别为AC．BD中点，过E、F作平面α∥AB．
（1）求证：CD∥α；
（2）若AB=4，EF=，CD=2，求AB与CD所成角的大小。
（1）证明：如图16，连接AD交α于G，连接GF，
图16
∵AB∥α，面ADB∩α=GFAB∥GF。
又∵F为BD中点，
∴G为AD中点。
又∵AC．AD相交，确定的平面ACD∩α=EG，E为AC中点，G为AD中点，∴EG∥CD．
（2）解：由（1）证明可知：
∵AB=4，GF=2，CD=2，∴EG=1，EF=。
在△EGF中，由勾股定理，得∠EGF=90°，即AB与CD所成角的大小为90°。
课堂小结
知识总结：利用线面平行的性质定理将直线与平面平行转化为直线与直线平行。
方法总结：应用直线与平面平行的性质定理需要过已知直线作一个平面，是最难应用的定理之一；应让学生熟记：“过直线作平面，把线面平行转化为线线平行”。。
【教学反思】
线面关系是线线关系和面面关系的桥梁和纽带，线面平行的判定是高考考查的重点。本节的难点是应用线面平行的性质定理把线面平行转化为线线平行，本节在选题时始终围绕这个中心展开，针对性强，因此这节课目的突出，是一个精彩课例。另外，本节总结了应用线面平行性质定理的口诀，对学生的学习一定有很大帮助。