2020-2021学年湖南省娄底市娄星区七年级（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年湖南省娄底市娄星区七年级（下）期末数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，解答题，操作与说理，实践与应用，探究与创新等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年湖南省娄底市娄星区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共12小题，满分36分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把表示正确答案的字母填入下表中对应的题号下．）
1．（3分）下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）多项式8a3b2+12a3bc﹣4a2b中，各项的公因式是（　　）
A．a2b B．﹣4a2b2 C．4a2b D．﹣a2b
4．（3分）下列各式中，计算正确的是（　　）
A．x+x3＝x4 B．（x4）2＝x6
C．x5•x2＝x10 D．﹣x•（3x）2＝﹣9x3
5．（3分）《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x人，物价为y钱，以下列出的方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（3分）下列因式分解正确的是（　　）
A．x3﹣x＝x（x2﹣1） B．x2+y2＝（x+y）（x﹣y）
C．（a+4）（a﹣4）＝a2﹣16 D．x2+4x+4＝（x+2）2
7．（3分）如图，有以下四个条件：①∠B+∠BCD＝180°，②∠1＝∠2，③∠3＝∠4，④∠B＝∠5．其中不能判定AB∥CD的条件是（　　）

A．① B．② C．③ D．④
8．（3分）如图，已知AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分别是C、D，其中BC＝8，AB＝10，AC＝6，CD＝4.8，那么点B到AC的距离是（　　）

A．6 B．8 C．10 D．4.8
9．（3分）在今年的体育考试中，某校甲、乙、丙三个班级的平均分相等，方差分别为：S＝8.5，S＝15，S＝17.2，则这三个班学生的体育考试成绩最整齐的是（　　）
A．甲班 B．乙班 C．丙班 D．不能确定
10．（3分）若x2﹣kxy+9y2是一个完全平方式，则常数k的值为（　　）
A．6 B．﹣6 C．±6 D．无法确定
11．（3分）给出下列说法：
（1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
（2）不相等的两个角不是同位角；
（3）平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交；
（4）从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做该点到直线的距离；
其中正确的说法有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
12．（3分）甲、乙两农户各有两块地，如图所示，今年，这两个农户决定共同投资搞饲养业．为此，他们准备将这4块土地换成一块长方形的地，这块地的宽为（a+b）米，为了使所换地的面积与原来4块地的总面积相等，交换后之地的长应该是（　　）

A．a+b+c（米） B．b+c（米） C．a+b（米） D．a+c（米）
二、填空题(每小题3分，满分18分）
13．（3分）因式分解：2x2﹣18＝　 　．
14．（3分）若2x+y﹣2＝0．则52x•5y＝　 　．
15．（3分）已知：a+b＝5，ab＝1，则a2+b2＝　 　．
16．（3分）有一组数据：6、3、4、x、7，它们的平均数是5，则这组数据的中位数是　 　．
17．（3分）如图AO⊥BO，∠BOC＝20°，OD平分∠AOC，则∠BOD的度数为 　 　．

18．（3分）如图，直线a∥b，点A，B位于直线a上，点C，D位于直线b上，且AB：CD＝1：2，如果△ABC的面积为10，那么△BCD的面积为　 　．

三、解答题：（本大题满分24分）
19．（8分）解下列方程组：
（1）；
（2）．
20．（8分）分解因式
（1）3a2﹣6ab+3b2；
（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．
21．（8分）求代数式的值
（1）先化简，再求值：（a﹣2b）（a+2b）﹣（a﹣2b）2+8b2，其中．
（2）已知x2+mx﹣n可以分解为一次因式（x+7）和（x﹣3），求（5m﹣n）2021的值．
四、操作与说理（本大题共2道小题，每小题8分，满分16分）
22．（8分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，三角形OAB的顶点都在格点上．

（1）请作出三角形OAB关于直线CD成轴对称的三角形O1A1B1；
（2）请将三角形OAB绕点B顺时针旋转90°，画出旋转后的三角形BO2A2．
23．（8分）如图，CF⊥AB于点F，DE⊥AB于点E，若∠1+∠EDC＝180°，则FG∥BC．完成下面的说理过程．
解：FG∥BC，理由如下：
因为CF⊥AB，DE⊥AB（已知），所以∠BED＝∠BFC＝90°．
所以 　 　∥　 　（ 　 　）．
因此∠2＝∠3（ 　 　）．
又因为∠1+∠EDC＝180°（已知），且（ 　 　）+∠EDC＝180°（平角的意义），
所以∠1＝∠2（ 　 　）．
因此∠1＝∠　 　（等量代换）．
所以FG∥BC（ 　 　）．

五、实践与应用（本大题共2道小题，每小题8分，满分16分）
24．（8分）为了迎接建党100周年，某班组织了“我和我的祖国”演讲比赛，甲、乙两队各有五人参加比赛，得分如表（10分制）：
甲队
8
10
8
6
8
乙队
7
9
5
10
9
（1）甲队成绩的众数是 　 　分，乙队成绩的中位数是 　 　分．
（2）计算乙队成绩的平均数和方差．
（3）已知甲队成绩的方差是1.6，则成绩比较稳定的是哪个队，并说明理由．
25．（8分）在抗击新冠肺炎疫情期间，某社区购买酒精和消毒液两种消毒物资，供居民使用．第一次购买酒精和消毒液若干，酒精每瓶10元，消毒液每瓶5元，共花费了350元；第二次又购买了与第一次相同数量的酒精和消毒液，由于酒精和消毒液每瓶价格分别下降了30%和20%，只花费了260元．求每次购买的酒精和消毒液分别是多少瓶？
六、探究与创新（本大题共1道小题，满分10分）
26．（10分）【问题情境】：
如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．

小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．
（1）按小明的思路，求∠APC的度数；
【问题迁移】：
如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；
【问题应用】：
（3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系．

2020-2021学年湖南省娄底市娄星区七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共12小题，满分36分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把表示正确答案的字母填入下表中对应的题号下．）
1．（3分）下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项正确；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
2．（3分）方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
【分析】通过观察可以看出y的系数互为相反数，故①+②可以消去y，解得x的值，再把x的值代入①或②，即可以求出y的值．
【解答】解：，
①+②得：7x＝21，
x＝3，
把x＝3代入①得：3×3+y＝8，
y＝﹣1，
∴方程组的解为：．
故选：B．
3．（3分）多项式8a3b2+12a3bc﹣4a2b中，各项的公因式是（　　）
A．a2b B．﹣4a2b2 C．4a2b D．﹣a2b
【分析】利用公因式的确定方法可得答案．
【解答】解：多项式8a3b2+12a3bc﹣4a2b中各项的公因式是4a2b，
故选：C．
4．（3分）下列各式中，计算正确的是（　　）
A．x+x3＝x4 B．（x4）2＝x6
C．x5•x2＝x10 D．﹣x•（3x）2＝﹣9x3
【分析】直接利用幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法等运算法则、合并同类项法则、积的乘方法则和单项式乘单项式法则分别计算得出答案．
【解答】解：A、x+x3，无法合并，故此选项错误；
B、（x4）2＝x8，故此选项错误；
C、x5•x2＝x7，故此选项错误；
D、﹣x•（3x）2＝﹣x•9x2＝﹣9x3，故此选项正确．
故选：D．
5．（3分）《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x人，物价为y钱，以下列出的方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】设合伙人数为x人，物价为y钱，根据题意得到相等关系：①8×人数﹣物品价值＝3，②物品价值﹣7×人数＝4，据此可列方程组．
【解答】解：设合伙人数为x人，物价为y钱，根据题意，
可列方程组：，
故选：C．
6．（3分）下列因式分解正确的是（　　）
A．x3﹣x＝x（x2﹣1） B．x2+y2＝（x+y）（x﹣y）
C．（a+4）（a﹣4）＝a2﹣16 D．x2+4x+4＝（x+2）2
【分析】A：先提取公因式x，再应用平方差公式进行因式分解即可得出答案；
B：x2+y2不能进行因式分解，即可得出答案；
C：是整式乘法，即可得出答案；
D：应用完全平方公式进行因式分解即可得出答案．
【解答】解：A：x3﹣x＝x（x2﹣1）＝x（x+1）（x﹣1），故A选项错误；
B：x2+y2，不能进行因式分解，故B选项错误；
C：（a+4）（a﹣4）＝a2﹣16，不是因式分解的过程，故C选项错误；
D：x2+4x+4＝（x+2）2，故D选项正确．
故选：D．
7．（3分）如图，有以下四个条件：①∠B+∠BCD＝180°，②∠1＝∠2，③∠3＝∠4，④∠B＝∠5．其中不能判定AB∥CD的条件是（　　）

A．① B．② C．③ D．④
【分析】根据平行线的判定定理求解，即可求得答案．
【解答】解：①∵∠B+∠BCD＝180°，
∴AB∥CD；
②∵∠1＝∠2，
∴AD∥BC；
③∵∠3＝∠4，
∴AB∥CD；
④∵∠B＝∠5，
∴AB∥CD；
∴能得到AB∥CD的条件是①③④．
故选：B．
8．（3分）如图，已知AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分别是C、D，其中BC＝8，AB＝10，AC＝6，CD＝4.8，那么点B到AC的距离是（　　）

A．6 B．8 C．10 D．4.8
【分析】直接利用点到直线的距离定义得出答案．
【解答】解：∵AC⊥BC，BC＝8，
∴点B到AC的距离是：8．
故选：B．
9．（3分）在今年的体育考试中，某校甲、乙、丙三个班级的平均分相等，方差分别为：S＝8.5，S＝15，S＝17.2，则这三个班学生的体育考试成绩最整齐的是（　　）
A．甲班 B．乙班 C．丙班 D．不能确定
【分析】根据方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越小，它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好求解可得．
【解答】解：∵S＝8.5，S＝15，S＝17.2，
∴S＜S＜S，
∴这三个班学生的体育考试成绩最整齐的是甲班，
故选：A．
10．（3分）若x2﹣kxy+9y2是一个完全平方式，则常数k的值为（　　）
A．6 B．﹣6 C．±6 D．无法确定
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．
【解答】解：∵x2﹣kxy+9y2是一个完全平方式，
∴﹣k＝±6，
解得：k＝±6，
故选：C．
11．（3分）给出下列说法：
（1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
（2）不相等的两个角不是同位角；
（3）平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交；
（4）从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做该点到直线的距离；
其中正确的说法有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】（1）当且仅当两条平行的直线被第三条直线所截，同位角才相等，故（1）不正确．
（2）若两条直线被第三条直线所截，在截线的同一侧且在被截线的同一方向的两个角是同位角，同位角不一定相等，故（2）不正确．
（3）若直线l与直线AB相交，AB∥CD中，假设直线l与CD不相交，则l∥CD，故推断出l∥AB，即l与AB不相交与题干矛盾．那么，l与CD也相交，故（3）正确．
（4）根据点到直线的距离定义，可知（4）正确．
【解答】解：（1）两条平行的直线被第三条直线所截，同位角才相等，故（1）不正确．
（2）若两条直线被第三条直线所截，在截线的同一侧且在被截线的同一方向的两个角是同位角．两直线平行，同位角相等．不平行的两条直线被第三条直线所截，则同位角不相等．那么，（2）不正确．
（3）当平面内的一条直线l和两条平行线AB与CD中的一条AB相交，若l与CD不相交，则l∥CD，故推断出l∥AB，即l与AB不相交与题干矛盾．那么，l与CD也相较，故（3）正确．
（4）根据点到直线的距离定义，可知（4）正确．
∴正确的说法有2个．
故选：C．
12．（3分）甲、乙两农户各有两块地，如图所示，今年，这两个农户决定共同投资搞饲养业．为此，他们准备将这4块土地换成一块长方形的地，这块地的宽为（a+b）米，为了使所换地的面积与原来4块地的总面积相等，交换后之地的长应该是（　　）

A．a+b+c（米） B．b+c（米） C．a+b（米） D．a+c（米）
【分析】利用4块土地换成一块地后的面积与原来4块地的总面积相等，而原来4块地的总面积＝a2+bc+ac+ab，得到4块土地换成一块地后面积为（a2+bc+ac+ab），又此块地的宽为（a+b），根据矩形的面积公式得到此块地的长＝（a2+bc+ac+ab）÷（a+b），把被除式分解后再进行除法运算即可得到结论．
【解答】解：∵原来4块地的总面积＝（a2+bc+ac+ab）平方米，
∴将这4块土地换成一块地后面积为（a2+bc+ac+ab）平方米，
而此块地的宽为（a+b）米，
∴此块地的长＝（a2+bc+ac+ab）÷（a+b）
＝（a2+ac+bc+ab）÷（a+b）
＝[a（a+c）+b（a+c）]÷（a+b）
＝（a+b）（a+c）÷（a+b）
＝a+c（米）．
故选：D．
二、填空题(每小题3分，满分18分）
13．（3分）因式分解：2x2﹣18＝　2（x+3）（x﹣3）　．
【分析】先提公因式，再运用平方差公式分解．
【解答】解：2x2﹣18＝2（x2﹣9）＝2（x+3）（x﹣3），
故答案为：2（x+3）（x﹣3）．
14．（3分）若2x+y﹣2＝0．则52x•5y＝　25　．
【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可，同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
【解答】解：∵2x+y﹣2＝0，
∴52x•5y＝52x+y＝52＝25．
故答案为：25．
15．（3分）已知：a+b＝5，ab＝1，则a2+b2＝　23　．
【分析】根据完全平方公式得出a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，代入求出即可．
【解答】解：∵a+b＝5，ab＝1，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×1＝23，
故答案为：23．
16．（3分）有一组数据：6、3、4、x、7，它们的平均数是5，则这组数据的中位数是　5　．
【分析】首先根据平均数为5求出x的值，然后根据中位数的概念求解．
【解答】解：由题意得，＝5，
解得：x＝5，
这组数据按照从小到大的顺序排列为：3，4，5，6，7，
则中位数为：5．
故答案为：5．
17．（3分）如图AO⊥BO，∠BOC＝20°，OD平分∠AOC，则∠BOD的度数为 　35°　．

【分析】根据垂直的定义，可得∠AOB的大小，根据角的和差，可得∠AOC大小，根据角平分线的性质，可得∠COD的大小，根据角的和差，可得答案．
【解答】解：因为OA⊥OB，
所以∠AOB＝90°，
因为∠BOC＝20°，
所以∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝90°+20°＝110°，
因为OD平分∠AOC，
所以∠COD＝∠AOC＝55°，
所以∠BOD＝∠COD﹣∠COB＝55°﹣20°＝35°，
故答案为：35°．
18．（3分）如图，直线a∥b，点A，B位于直线a上，点C，D位于直线b上，且AB：CD＝1：2，如果△ABC的面积为10，那么△BCD的面积为　20　．

【分析】根据两平行线间的距离处处相等，结合三角形的面积公式，知△BCD和△ABC的面积比等于CD：AB，从而进行计算．
【解答】解：∵a∥b，
∴△ABC的面积：△BCD的面积＝AB：CD＝1：2，
∴△BCD的面积＝10×2＝20．
故答案为：20．
三、解答题：（本大题满分24分）
19．（8分）解下列方程组：
（1）；
（2）．
【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：（1），
②﹣①×3得：x＝5，
把x＝5代入①得：10﹣y＝5，
解得：y＝5，
则方程组的解为；
（2）方程组整理得：，
②×4﹣①×3得：﹣7y＝﹣28，
解得：y＝4，
把y＝4代入②得：3x﹣16＝2，
解得：x＝6，
则方程组的解为．
20．（8分）分解因式
（1）3a2﹣6ab+3b2；
（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．
【分析】（1）先提取公因式3，再应用完全平方公式进行因式分解即可得出答案；
（2）先给（y﹣x）提取“﹣”号，可得9a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y），再提取公因式（x﹣y），再应用平方差公式进行因式分解即可得出答案．
【解答】（1）原式＝3（a2﹣2ab+b2）
＝3（a﹣b）2；
（2）原式＝9a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）
＝（x﹣y）（9a2﹣4b2）
＝（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）．
21．（8分）求代数式的值
（1）先化简，再求值：（a﹣2b）（a+2b）﹣（a﹣2b）2+8b2，其中．
（2）已知x2+mx﹣n可以分解为一次因式（x+7）和（x﹣3），求（5m﹣n）2021的值．
【分析】（1）根据整式的四则运算顺序（先乘除，后加减）及整式的运算法则对代数式进行化简，然后将x、y的值代入．
（2）根据x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）解答．
【解答】（1）原式＝a2﹣4b2﹣（a2﹣4ab+4b2）+8b2
＝4ab，
当时，原式＝﹣4．
（2）由题意可知x2+mx﹣n＝（x+7）（x﹣3）
＝x2+4x﹣21，
故 m＝4，n＝21；
＝﹣1．
四、操作与说理（本大题共2道小题，每小题8分，满分16分）
22．（8分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，三角形OAB的顶点都在格点上．

（1）请作出三角形OAB关于直线CD成轴对称的三角形O1A1B1；
（2）请将三角形OAB绕点B顺时针旋转90°，画出旋转后的三角形BO2A2．
【分析】（1）利用网格特点画出A、B、O关于直线CD的对称点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出O、A的对应点O2、A2即可．
【解答】解：（1）如图，三角形O1A1B1为所作；
（2）如图，三角形BO2A2为所作．

23．（8分）如图，CF⊥AB于点F，DE⊥AB于点E，若∠1+∠EDC＝180°，则FG∥BC．完成下面的说理过程．
解：FG∥BC，理由如下：
因为CF⊥AB，DE⊥AB（已知），所以∠BED＝∠BFC＝90°．
所以 　ED　∥　FC　（ 　同位角相等．两直线平行　）．
因此∠2＝∠3（ 　两直线平行，同位角相等　）．
又因为∠1+∠EDC＝180°（已知），且（ 　∠2　）+∠EDC＝180°（平角的意义），
所以∠1＝∠2（ 　等量代换或同角的补角相等　）．
因此∠1＝∠　3　（等量代换）．
所以FG∥BC（ 　内错角相等，两直线平行　）．

【分析】应用平行线的判定与性质进行求解即可得出答案．
【解答】解：FG∥BC，理由如下：
因为CF⊥AB，DE⊥AB（已知），
所以∠BED＝∠BFC＝90°（垂直的定义），
所以ED∥FC（同位角相等，两直线平行），
因此∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等），
又因为∠1+∠EDC＝180°（已知），且∠2+∠EDC＝180°（平角的定义），
所以∠1＝∠2（等量代换或同角的补角相等），
因此∠1＝∠3（等量代换），
所以FG∥BC（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：ED，FC，同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；∠2；等量代换或同角的补角相等；3；内错角相等，两直线平行．
五、实践与应用（本大题共2道小题，每小题8分，满分16分）
24．（8分）为了迎接建党100周年，某班组织了“我和我的祖国”演讲比赛，甲、乙两队各有五人参加比赛，得分如表（10分制）：
甲队
8
10
8
6
8
乙队
7
9
5
10
9
（1）甲队成绩的众数是 　8　分，乙队成绩的中位数是 　9　分．
（2）计算乙队成绩的平均数和方差．
（3）已知甲队成绩的方差是1.6，则成绩比较稳定的是哪个队，并说明理由．
【分析】（1）根据众数和中位数的定义列式计算可得；
（2）根据平均数和方差的定义求解可得；
（3）将甲、乙的成绩的方差比较大小，再根据方差的意义求解可得．
【解答】解：（1）∵甲队成绩中8出现3次，次数最多，
∴甲队成绩的众数为8分，
乙队成绩重新排列为5、7、9、9、10，
∴乙队成绩的中位数是9分，
故答案为：8，9；

（2）乙队成绩的平均数为（5+7+9+9+10）＝8（分），
∴乙队成绩的方差为s乙2＝×[（5﹣8）2+（7﹣8）2+（9﹣8）2×2+（10﹣8）2]＝3.2；
（3）成绩比较稳定的是甲队，
∵s甲2＝1.6，s乙2＝3.2，
∴s甲2＜s乙2，
∴成绩比较稳定的是甲队．
25．（8分）在抗击新冠肺炎疫情期间，某社区购买酒精和消毒液两种消毒物资，供居民使用．第一次购买酒精和消毒液若干，酒精每瓶10元，消毒液每瓶5元，共花费了350元；第二次又购买了与第一次相同数量的酒精和消毒液，由于酒精和消毒液每瓶价格分别下降了30%和20%，只花费了260元．求每次购买的酒精和消毒液分别是多少瓶？
【分析】设每次购买酒精x瓶，消毒液y瓶，根据总价＝单价×数量，结合两次购买所需费用，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设每次购买酒精x瓶，消毒液y瓶，
依题意得：，
解得：．
答：每次购买酒精20瓶，消毒液30瓶．
六、探究与创新（本大题共1道小题，满分10分）
26．（10分）【问题情境】：
如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．

小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．
（1）按小明的思路，求∠APC的度数；
【问题迁移】：
如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；
【问题应用】：
（3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系．
【分析】（1）过P作PE∥AB，通过平行线性质可得∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°再代入∠PAB＝130°，∠PCD＝120°可求∠APC即可；
（2）过P作PE∥AB交AC于E，推出AB∥PE∥DC，根据平行线的性质得出∠α＝∠APE，∠β＝∠CPE，即可得出答案；
（3）分两种情况：P在BD延长线上；P在DB延长线上，分别画出图形，根据平行线的性质得出∠α＝∠APE，∠β＝∠CPE，即可得出答案．
【解答】（1）解：过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°，
∵∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，
∴∠APE＝50°，∠CPE＝60°，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝110°．

（2）∠APC＝∠α+∠β，
理由：如图2，过P作PE∥AB交AC于E，

∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠α＝∠APE，∠β＝∠CPE，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠α+∠β；

（3）如图所示，当P在BD延长线上时，
∠CPA＝∠α﹣∠β；

如图所示，当P在DB延长线上时，
∠CPA＝∠β﹣∠α．