2020-2021学年安徽省六安市金安区汇文中学八年级（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年安徽省六安市金安区汇文中学八年级（下）期末数学试卷，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年安徽省六安市金安区汇文中学八年级（下）期末数学试卷
一、单选题（每小题4分，共40分）
1．（4分）在根式、、、、中与是同类二次根式的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（4分）已知一组数据5，4，x，3，9的平均数为5，则这组数据的中位数是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（4分）若关于x的方程x2﹣2x+c＝0有一根为﹣1，则方程的另一根为（　　）
A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．3
4．（4分）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有实数根，则k的取值范围为（　　）
A．k≥0 B．k≥0且k≠2 C．k≥ D．k≥且k≠2
5．（4分）如图，Rt△OAB的直角边OA长为2，直角边AB长为1，OA在数轴上，在OB上截取BC＝BA，以原点O为圆心，OC的长为半径画弧，交正半轴于一点P，则OP中点对应的实数是（　　）

A． B． C． D．
6．（4分）将一条宽度为2cm的彩带按如图所示的方法折叠，折痕为AB，重叠部分为△ABC（图中阴影部分），若∠ACB＝45°，则重叠部分的面积为（　　）

A．2cm2 B．2cm2 C．4cm2 D．4cm2
7．（4分）已知抛物线y＝﹣（x+1）2上的两点A（x1，y1）和B（x2，y2），如果x1＜x2＜﹣1，那么下列结论一定成立的是（　　）
A．y1＜y2＜0 B．0＜y1＜y2 C．0＜y2＜y1 D．y2＜y1＜0
8．（4分）如图，小明从A点出发，沿直线前进10米后向左转36°，再沿直线前进10米，再向左转36°……照这样走下去，他第一次回到出发点A点时，一共走的路程是（　　）

A．100米 B．110米 C．120米 D．200米
9．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4．若以CD边为底边向其形外作等腰直角△DCE，连接BE，则BE的长为（　　）

A． B． C． D．
10．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝1，点E，F分别在边BC和CD上，AE＝AF，∠EAF＝60°，则CF的长是（　　）

A． B． C．﹣1 D．
二、填空题（每小题5分，共20分）
11．（5分）若xy＞0，则二次根式化简的结果为　 　．
12．（5分）如图，直线l1∥l2∥l3，正方形ABCD的三个顶点A、B、C分别在l1、l2、l3上，l1、l2之间的距离是3，l2、l3之间的距离是4，则正方形ABCD的面积为　 　．

13．（5分）如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为　 　米．

14．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为　 　．

三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：（2+）（﹣2）+×÷
16．（8分）解一元二次方程
（1）x2﹣x﹣4＝0；
（2）（2x+3）（x﹣6）＝16．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）如图，A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点在一次函数y1＝﹣x+m与二次函数y2＝ax2+bx﹣3的图象上．
（1）求m的值和二次函数的解析式．
（2）二次函数交y轴于C，求△ABC的面积．

18．（8分）如图，是一块四边形草坪，∠B＝90°，AB＝24m，BC＝7m，CD＝15m，AD＝20m，求草坪面积．

五、（本大共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．
（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？
（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．
20．（10分）某调查小组采用简单随机抽样方法，对某市部分中小学生一天中阳光体育运动时间进行了抽样调查，并把所得数据整理后绘制成如下的统计图：

（1）该调查小组抽取的样本容量是多少？
（2）求样本学生中阳光体育运动时间为1.5小时的人数，并补全占频数分布直方图；
（3）请估计该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间．
六、（本题满分12分）
21．（12分）如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域．
（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？
（2）若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？

七、（本题满分12分）
22．（12分）如图，已知抛物线的顶点为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C、D两点，点P是x轴上的一个动点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当PA+PB的值最小时，求点P的坐标．

八、（本题满分14分）
23．（14分）已知四边形ABCD是菱形，AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF＝60°．
（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；
（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE＝CF；
（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB＝15°时，求点F到BC的距离．


2020-2021学年安徽省六安市金安区汇文中学八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（每小题4分，共40分）
1．（4分）在根式、、、、中与是同类二次根式的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】先把各二次根式化成最简二次根式后，再进行判断即可．
【解答】解：∵＝、＝、＝，
∴在这一组数中与是同类二次根式两个，即、．
故选：B．
2．（4分）已知一组数据5，4，x，3，9的平均数为5，则这组数据的中位数是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】先根据平均数的定义求出x的值，再把这组数据从小到大排列，然后找到位于中间位置的数即可．
【解答】解：∵5，4，x，3，9的平均数为5，
∴（5+4+x+3+9）÷5＝5，
解得：x＝4，
把这组数据从小到大排列为：3，4，4，5，9，
则这组数据的中位数是4；
故选：B．
3．（4分）若关于x的方程x2﹣2x+c＝0有一根为﹣1，则方程的另一根为（　　）
A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．3
【分析】设方程的另一根为m，由一个根为﹣1，利用根与系数的关系求出两根之和，列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．
【解答】解：关于x的方程x2﹣2x+c＝0有一根为﹣1，设另一根为m，
可得﹣1+m＝2，
解得：m＝3，
则方程的另一根为3．
故选：D．
4．（4分）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有实数根，则k的取值范围为（　　）
A．k≥0 B．k≥0且k≠2 C．k≥ D．k≥且k≠2
【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围．
【解答】解：（k﹣2）x2﹣2kx+k﹣6＝0，
∵关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有实数根，
∴，
解得：k≥且k≠2．
故选：D．
5．（4分）如图，Rt△OAB的直角边OA长为2，直角边AB长为1，OA在数轴上，在OB上截取BC＝BA，以原点O为圆心，OC的长为半径画弧，交正半轴于一点P，则OP中点对应的实数是（　　）

A． B． C． D．
【分析】利用勾股定理得出OB的长，进而求出OC＝OP的长，即可得出OP中点对应的实数．
【解答】解：如图所示：∵AO＝2，AB＝1，
∴OB＝，
∵BC＝BA＝1，
∴OC＝OP＝﹣1，
∴OP中点对应的实数是：．
故选：A．

6．（4分）将一条宽度为2cm的彩带按如图所示的方法折叠，折痕为AB，重叠部分为△ABC（图中阴影部分），若∠ACB＝45°，则重叠部分的面积为（　　）

A．2cm2 B．2cm2 C．4cm2 D．4cm2
【分析】过B作BD⊥AC于D，则∠BDC＝90°，依据勾股定理即可得出BC的长，进而得到重叠部分的面积．
【解答】解：如图，过B作BD⊥AC于D，则∠BDC＝90°，
∵∠ACB＝45°，
∴∠CBD＝45°，
∴BD＝CD＝2cm，
∴Rt△BCD中，BC＝＝2（cm），
∴重叠部分的面积为×2×2＝2（cm2），
故选：A．

7．（4分）已知抛物线y＝﹣（x+1）2上的两点A（x1，y1）和B（x2，y2），如果x1＜x2＜﹣1，那么下列结论一定成立的是（　　）
A．y1＜y2＜0 B．0＜y1＜y2 C．0＜y2＜y1 D．y2＜y1＜0
【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y＝﹣（x+1）2的开口向下，有最大值为0，对称轴为直线x＝﹣1，则在对称轴左侧，y随x的增大而增大，所以x1＜x2＜﹣1时，y1＜y2＜0．
【解答】解：∵y＝﹣（x+1）2，
∴a＝﹣1＜0，有最大值为0，
∴抛物线开口向下，
∵抛物线y＝﹣（x+1）2对称轴为直线x＝﹣1，
而x1＜x2＜﹣1，
∴y1＜y2＜0．
故选：A．
8．（4分）如图，小明从A点出发，沿直线前进10米后向左转36°，再沿直线前进10米，再向左转36°……照这样走下去，他第一次回到出发点A点时，一共走的路程是（　　）

A．100米 B．110米 C．120米 D．200米
【分析】根据题意，小明走过的路程是正多边形，先用360°除以36°求出边数，然后再乘以10m即可．
【解答】解：∵每次小明都是沿直线前进10米后向左转36°，
∴他走过的图形是正多边形，
边数n＝360°÷36°＝10，
∴他第一次回到出发点A时，一共走了10×10＝100米．
故选：A．
9．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4．若以CD边为底边向其形外作等腰直角△DCE，连接BE，则BE的长为（　　）

A． B． C． D．
【分析】作EF⊥BC于F，如图，根据等腰直角三角形的性质可得DE＝CE＝2，再利用正方形的性质得CB＝CD＝4，进而利用勾股定理解答即可．
【解答】解：作EF⊥BC于F，
∵在正方形ABCD中，AB＝4．若以CD边为底边向其形外作等腰直角△DCE，
∴CE＝DE＝2，∠DCE＝45°，
∴∠ECF＝45°，
∴CF＝EF＝，
∴BE＝，
故选：C．
10．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝1，点E，F分别在边BC和CD上，AE＝AF，∠EAF＝60°，则CF的长是（　　）

A． B． C．﹣1 D．
【分析】由正方形的性质得出∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝1，证明Rt△ABE≌Rt△ADF得出∠BAE＝∠DAF，求出∠DAF＝15°，在AD上取一点G，使∠GFA＝∠DAF＝15°，则AG＝FG，∠DGF＝30°，由直角三角形的性质得出DF＝FG＝AG，DG＝DF，设DF＝x，则DG＝x，AG＝FG＝2x，则2x+x＝1，解得：x＝2﹣，得出DF＝2﹣，即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝1，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴∠BAE＝∠DAF，
∵∠EAF＝60°，
∴∠BAE+∠DAF＝30°，
∴∠DAF＝15°，
在AD上取一点G，使∠GFA＝∠DAF＝15°，如图所示：
∴AG＝FG，∠DGF＝30°，
∴DF＝FG＝AG，DG＝DF，
设DF＝x，则DG＝x，AG＝FG＝2x，
∵AG+DG＝AD，
∴2x+x＝1，
解得：x＝2﹣，
∴DF＝2﹣，
∴CF＝CD﹣DF＝1﹣（2﹣）＝﹣1；
故选：C．

二、填空题（每小题5分，共20分）
11．（5分）若xy＞0，则二次根式化简的结果为　﹣　．
【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．
【解答】解：∵xy＞0，
∴x，y同号，
∵有意义，
∴﹣＞0，
∴y＜0，则x＜0，
∴二次根式化简的结果为：x•（﹣）＝﹣．
故答案为：﹣．
12．（5分）如图，直线l1∥l2∥l3，正方形ABCD的三个顶点A、B、C分别在l1、l2、l3上，l1、l2之间的距离是3，l2、l3之间的距离是4，则正方形ABCD的面积为　25　．

【分析】画出l1到l2，l2到l3的距离，分别交l2，l3于E，F，通过证明△ABE≌△BCF，得出BF＝AE，再由勾股定理即可得出结论．
【解答】解：过点A作AE⊥l2，过点C作CF⊥l2，
∴∠CBF+∠BCF＝90°，
四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∴∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°，
∴∠ABE+∠CBF＝90°，
∵l1∥l2∥l3，
∴∠ABE＝∠BCF，
在△ABE和△BCF中，

∴△ABE≌△BCF（AAS）
∴BF＝AE，
∴BF2+CF2＝BC2，
∴BC2＝42+32＝25．
故答案为：25．

13．（5分）如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为　0.5　米．

【分析】根据题意，运用待定系数法，建立适当的函数解析式，代入求值即可解答．
【解答】解：以左边树与地面交点为原点，地面水平线为x轴，左边树为y轴建立平面直角坐标系，
由题意可得A（0，2.5），B（2，2.5），C（0.5，1）
设函数解析式为y＝ax2+bx+c
把A、B、C三点分别代入得出c＝2.5
同时可得4a+2b+c＝2.5，0.25a+0.5b+c＝1
解之得a＝2，b＝﹣4，c＝2.5．
∴y＝2x2﹣4x+2.5＝2（x﹣1）2+0.5．
∵2＞0
∴当x＝1时，y＝0.5米．
∴故答案为：0.5米．

14．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为　　．

【分析】由勾股定理求出BC的长，再证明四边形DMAN是矩形，可得MN＝AD，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，
∴BC＝＝5，
∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，
∴四边形DMAN是矩形，
∴MN＝AD，
∴当AD⊥BC时，AD的值最小，
此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，
∴AD＝＝，
∴MN的最小值为；
故答案为：．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：（2+）（﹣2）+×÷
【分析】先算平方差公式，二次根式的乘除法，再合并同类项即可求解．
【解答】解：（2+）（﹣2）+×÷
＝3﹣4+2﹣2
＝﹣1．
16．（8分）解一元二次方程
（1）x2﹣x﹣4＝0；
（2）（2x+3）（x﹣6）＝16．
【分析】（1）先二次项系数化为1，再利用公式法求解即可；
（2）先整理为一般式，再利用公式法求解即可．
【解答】解：（1）整理，得：x2﹣4x﹣16＝0，
∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣16，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣16）＝80＞0，
则x＝＝＝2±2，
∴x1＝2+2，x2＝2﹣2；
（2）整理为一般式，得：2x2﹣9x﹣34＝0，
∵a＝2，b＝﹣9，c＝﹣34，
∴Δ＝（﹣9）2﹣4×2×（﹣34）＝353＞0，
则x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）如图，A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点在一次函数y1＝﹣x+m与二次函数y2＝ax2+bx﹣3的图象上．
（1）求m的值和二次函数的解析式．
（2）二次函数交y轴于C，求△ABC的面积．

【分析】（1）先把A（﹣1，0）代入y1＝﹣x+m可求出m的值；再把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）代入y2＝ax2+bx﹣3得到关于a、b的方程组，然后解方程组即可确定二次函数的解析式；
（2）先利用C点坐标为（0，﹣3），B（2，﹣3）得到BC⊥y轴，然后利用三角形面积公式进行计算．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0）代入y1＝﹣x+m得﹣（﹣1）+m＝0，解得m＝﹣1，
把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）代入y2＝ax2+bx﹣3得，
解得．
故二次函数的解析式为y2＝x2﹣﹣2x﹣3；

（2）因为C点坐标为（0，﹣3），B（2，﹣3），
所以BC⊥y轴，
所以S△ABC＝×2×3＝3．

18．（8分）如图，是一块四边形草坪，∠B＝90°，AB＝24m，BC＝7m，CD＝15m，AD＝20m，求草坪面积．

【分析】连接AC，先根据勾股定理求出AC的长，再求出AD的长，由S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC即可得出结论．
【解答】解：连接AC，
∵∠B＝90°，AB＝24m，BC＝7m，
∴AC2＝AB2+BC2＝242+72＝625，
∴AC＝25（m）．
又∵CD＝15m，AD＝20m，152+202＝252，即AD2+DC2＝AC2，
∴△ACD是直角三角形，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC
＝•AB•BC+•AD•DC
＝234（m2）．

五、（本大共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．
（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？
（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．
【分析】（1）这段铁丝被分成两段后，围成正方形．其中一个正方形的边长为xcm，则另一个正方形的边长为＝（5﹣x），根据“两个正方形的面积之和等于17cm2”作为相等关系列方程，解方程即可求解；
（2）设两个正方形的面积和为y，可得二次函数y＝x2+（5﹣x）2＝2（x﹣）2+，利用二次函数的最值的求法可求得y的最小值是12.5，所以可判断两个正方形的面积之和不可能等于12cm2．
【解答】解：（1）设其中一个正方形的边长为xcm，则另一个正方形的边长为（5﹣x）cm，
依题意列方程得x2+（5﹣x）2＝17，
整理得：x2﹣5x+4＝0，
（x﹣4）（x﹣1）＝0，
解方程得x1＝1，x2＝4，
1×4＝4cm，20﹣4＝16cm；
或4×4＝16cm，20﹣16＝4cm．
因此这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm、16cm；

（2）两个正方形的面积之和不可能等于12cm2．
理由：
设两个正方形的面积和为y，则
y＝x2+（5﹣x）2＝2（x﹣）2+，
∵a＝2＞0，
∴当x＝时，y的最小值＝12.5＞12，
∴两个正方形的面积之和不可能等于12cm2；
（另解：由（1）可知x2+（5﹣x）2＝12，
化简后得2x2﹣10x+13＝0，
∵△＝（﹣10）2﹣4×2×13＝﹣4＜0，
∴方程无实数解；
所以两个正方形的面积之和不可能等于12cm2．）
20．（10分）某调查小组采用简单随机抽样方法，对某市部分中小学生一天中阳光体育运动时间进行了抽样调查，并把所得数据整理后绘制成如下的统计图：

（1）该调查小组抽取的样本容量是多少？
（2）求样本学生中阳光体育运动时间为1.5小时的人数，并补全占频数分布直方图；
（3）请估计该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间．
【分析】（1）利用0.5小时的人数为：100人，所占比例为：20%，即可求出样本容量；
（2）利用样本容量乘以1.5小时的百分数，即可求出1.5小时的人数，画图即可；
（3）计算出该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间即可．
【解答】解：（1）由题意可得：0.5小时的人数为：100人，所占比例为：20%，
∴本次调查共抽样了500名学生；
（2）1.5小时的人数为：500×24%＝120（人）
如图所示：
（3）根据题意得：，即该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间约1小时．
六、（本题满分12分）
21．（12分）如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域．
（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？
（2）若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？

【分析】（1）点到直线的线段中垂线段最短，故应由A点向BF作垂线，垂足为C，若AC＞200则A城不受影响，否则受影响；
（2）点A到直线BF的长为200千米的点有两点，分别设为D、G，则△ADG是等腰三角形，由于AC⊥BF，则C是DG的中点，
在Rt△ADC中，解出CD的长，则可求DG长，在DG长的范围内都是受台风影响，再根据速度与距离的关系则可求时间．
【解答】解：（1）由A点向BF作垂线，垂足为C，
在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝320km，则AC＝160km，
因为160＜200，所以A城要受台风影响；

（2）设BF上点D，G，使AD＝AG＝200千米，
∴△ADG是等腰三角形，
∵AC⊥BF，
∴AC是DG的垂直平分线，
∴CD＝GC，
在Rt△ADC中，DA＝200千米，AC＝160千米，
由勾股定理得，CD＝＝＝120千米，
则DG＝2DC＝240千米，
遭受台风影响的时间是：t＝240÷40＝6（小时）．
七、（本题满分12分）
22．（12分）如图，已知抛物线的顶点为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C、D两点，点P是x轴上的一个动点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当PA+PB的值最小时，求点P的坐标．

【分析】（1）设抛物线顶点式解析式y＝a（x﹣1）2+4，然后把点B的坐标代入求出a的值，即可得解；
（2）先求出点B关于x轴的对称点B′的坐标，连接AB′与x轴相交，根据轴对称确定最短路线问题，交点即为所求的点P，然后利用待定系数法求一次函数解析式求出直线AB′的解析式，再求出与x轴的交点即可．
【解答】解：（1）∵抛物线的顶点为A（1，4），
∴设抛物线的解析式y＝a（x﹣1）2+4，
把点B（0，3）代入得，a+4＝3，
解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4；

（2）点B关于x轴的对称点B′的坐标为（0，﹣3），
由轴对称确定最短路线问题，连接AB′与x轴的交点即为点P，
设直线AB′的解析式为y＝kx+b（k≠0），
则，
解得，
∴直线AB′的解析式为y＝7x﹣3，
令y＝0，则7x﹣3＝0，
解得x＝，
所以，当PA+PB的值最小时的点P的坐标为（，0）．

八、（本题满分14分）
23．（14分）已知四边形ABCD是菱形，AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF＝60°．
（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；
（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE＝CF；
（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB＝15°时，求点F到BC的距离．

【分析】（1）结论AE＝EF＝AF．只要证明AE＝AF即可证明△AEF是等边三角形．
（2）欲证明BE＝CF，只要证明△BAE≌△CAF即可．
（3）过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，根据FH＝CF•cos30°，因为CF＝BE，只要求出BE即可解决问题．
【解答】（1）解：结论AE＝EF＝AF．
理由：如图1中，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D＝60°，
∴△ABC，△ADC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠DAC＝60°
∵BE＝EC，
∴∠BAE＝∠CAE＝30°，AE⊥BC，
∵∠EAF＝60°，
∴∠CAF＝∠DAF＝30°，
∴AF⊥CD，
∴AE＝AF（菱形的高相等），
∴△AEF是等边三角形，
∴AE＝EF＝AF．
（2）证明：连接AC，如图2中，∵∠BAC＝∠EAF＝60°，
∴∠BAE＝∠CAE，
在△BAE和△CAF中，
，
∴△BAE≌△CAF，
∴BE＝CF．
（3）解：过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，
∵∠EAB＝15°，∠ABC＝60°，
∴∠AEB＝45°，
在Rt△AGB中，∵∠ABC＝60°，AB＝4，
∴BG＝AB＝2，AG＝BG＝2，
在Rt△AEG中，∵∠AEG＝∠EAG＝45°，
∴AG＝GE＝2，
∴EB＝EG﹣BG＝2﹣2，
∵∠BAC＝∠EAF＝60°，
∴∠BAE＝∠CAF，
∵∠ABC＝∠ACD＝60°，
∴∠ABE＝∠ACF＝120°
在△AEB和△AFC中，
∴△AEB≌△AFC，
∴AE＝AF，EB＝CF＝2﹣2，
在Rt△CHF中，∵∠HCF＝180°﹣∠BCD＝60°，CF＝2﹣2，
∴FH＝CF•sin60°＝（2﹣2）•＝3﹣．
∴点F到BC的距离为3﹣．