2020-2021学年重庆市长寿区七年级（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年重庆市长寿区七年级（下）期末数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题（本大题1个小题，共8分等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年重庆市长寿区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。）
1．（4分）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，2）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（4分）16的平方根是（　　）
A．4 B．﹣4 C．±4 D．±2
3．（4分）下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（4分）如图，已知a∥b，∠2＝115°，则∠1的度数为（　　）

A．65° B．125° C．115° D．25°
5．（4分）下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（　　）
A．调查某品牌钢笔的使用寿命
B．了解我区中学生学生的视力情况
C．调查乘坐飞机的乘客是否携带违禁物品
D．了解我区中学生课外阅读情况
6．（4分）如图，已知a∥b，三角板的直角顶点放在直线b上，两直角边与直线a相交，如果∠1＝55°，那么∠2＝（　　）

A．35° B．45° C．55° D．65°
7．（4分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，2），B（2，4），若点C（x，y）满足AC∥x轴，则使得线段BC长度取最小值时的点C坐标为（　　）
A．（﹣2，4） B．（2，0） C．（4，2） D．（2，2）
8．（4分）若a2＝2，b＝，由实数a、b组成的有序数对（a，b）在平面直角坐标系第二象限，则a+b的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．0 D．2或﹣2
9．（4分）某经销商销售一批电话手表，第一个月以550元/块的价格售出60块，第二个月起降价，以500元/块的价格将这批电话手表全部售出，销售总额超过了5.5万元．这批电话手表至少有（　　）
A．103块 B．104块 C．105块 D．106块
10．（4分）若实数x，y，z满足，则x+y+6z＝（　　）
A．﹣3 B．0 C．3 D．不能确定值
11．（4分）班主任王老师说：“课辅活动时，我班一半的同学在参加科技活动，四分之一的同学在学音乐，七分之一的同学在练书法，还剩不足6名同学在操场上踢足球”，则王老师的这个班学生人数最多为（　　）
A．56 B．55 C．48 D．28
12．（4分）从﹣2，﹣1，0，2，5这五个数中，随机抽取一个数记为m，若数m使关于x的不等式组无解，且使关于x的一元一次方程（m﹣2）x＝3有整数解，那么这五个数中所有满足条件的m的个数有（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分。请将正确答案填在答题卡的相应横线上。）
13．（4分）命题“如果两个角互补，那么它们是邻补角”，这个命题是 　 　命题（填“真”或“假”）．
14．（4分）计算：＝　 　．
15．（4分）若点P（﹣a﹣1，a+2）在y轴上，则点P的坐标为 　 　．
16．（4分）在一个样本中有50个数据，它们分别落在5个组内，已知第一、二、三、四、五组数据的个数分别有3，9，17，x，6，则第四组的频数为 　 　．
17．（4分）如果关于x的不等式组的最大整数解与最小整数解的差为2，则实数a的取值范围是 　 　．
18．（4分）某人乘坐在匀速行驶的小车上，他看到第一块里程碑上写着一个两位数（单位：千米）；经过30分钟他看到第二块里程碑写的两位数恰好是第一块里程碑上的数字互换了；又经过30分钟，他看到第三块程碑上写着一个三位数，这个三位数恰好是第一块里程碑上的两位数中间加上一个0，这辆汽车的速度是 　 　千米/小时．
三、解答题（本大题7个小题，共70分。每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤。)
19．（10分）解二元一次方程组：．
20．（10分）若实数m的平方根是4a+21和a﹣6，b的立方根是﹣2，求m+3a+b的算术平方根．
21．（10分）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上．
22．（10分）李红在学校的研究性学习小组中负责了解初一年级200名女生掷实心球的测试成绩．她从中随机调查了若干名女生的测试成绩（单位：米），并将统计结果绘制成了如下的统计图表（内容不完整）．
测试成绩
3≤x＜4
4≤x＜5
5≤x＜6
6≤x＜7
7≤x＜8
合计
频数
3
27
9
m
1
n
请你结合图表中所提供的信息，回答下列问题：
（1）表中m＝　 　，n＝　 　；请补全频数分布直方图；
（2）在扇形统计图中，6≤x＜7这一组所占圆心角的度数为 　 　度；
（3）如果掷实心球的成绩达到6米或6米以上为优秀，请你估计该校初一年级女生掷实心球的成绩达到优秀的总人数为 　 　．

23．（10分）如图，EF⊥AB，垂足为点F，EF∥CD，连接DE，且BC∥DE．
（1）若∠B＝40°，求∠EDC的度数；
（2）求证：∠DEF＝∠DCB．

24．（10分）某企业前年按可回收垃圾处理费15元/吨、不可回收垃圾处理费25元/吨的收费标准，共支付两种垃圾处理费5000元，从去年元月起，收费标准上调为：可回收垃圾处理费30元/吨，不可回收垃圾处理费100元/吨．若该企业去年产生的这两种垃圾数量与前年相比没有变化，但调价后就要多支付处理费9000元．
（1）该企业前年产生的可回收垃圾和不可回收垃圾各多少吨？
（2）该企业计划今年将上述两种垃圾处理总量减少到200吨，且可回收垃圾不少于不可回收垃圾处理量的3倍，则今年该企业至少有多少吨可回收垃圾？
25．（10分）如图1，A（a，0），B（0，b）分别是x轴和y轴上的点，BD∥OA．
（1）若a、b满足|a﹣2b+6|+（2a+b﹣8）2＝0，点C的坐标为（3，2），求点A、B的坐标和四边形OACB的面积；
（2）如图2，已知BE平分∠DBC，AE平分∠CAF，BG平分∠DBE，AG平分∠EAF．请猜想∠BCA与∠G的数量关系，并说明理由．

四、解答题（本大题1个小题，共8分。每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤。)
26．（8分）材料1：我们把形如ax+by＝c（a、b、c为常数）的方程叫二元一次方程．若a、b、c为整数，则称二元一次方程ax+by＝c为整系数方程．若|c|是|a|，|b|的最大公约数的整倍数，则方程有整数解．例如方程3x+4y＝2，7x﹣3y＝5，4x+2y＝6都有整数解；反过来也成立．方程6x+3y＝10和4x﹣2y＝1都没有整数解，因为6，3的最大公约数是3，而10不是3的整倍数；4，2的最大公约数是2，而1不是2的整倍数．
材料2：求方程5x+6y＝100的正整数解．
解：由已知得：……①
设（k为整数），则y＝5k……②
把②代入①得：x＝20﹣6k．
所以方程组的解为根据题意得：
解不等式组得0＜k＜．所以k的整数解是1，2，3．
所以方程5x+6y＝100的正整数解是：，，．
根据以上材料回答下列问题：
（1）下列方程中：①3x+9y＝11，②15x﹣5y＝70，③6x+3y＝111，④27x﹣9y＝99，⑤91x﹣26＝169，⑥22x+121y＝324．没有整数解的方程是 　 　（填方程前面的编号）；
（2）仿照上面的方法，求方程3x+4y＝38的正整数解；
（3）若要把一根长30m的钢丝截成2m长和3m长两种规格的钢丝（两种规格都要有），问怎样截才不浪费材料？你有几种不同的截法？（直接写出截法，不要求解题过程）

2020-2021学年重庆市长寿区七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。）
1．（4分）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，2）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．
【解答】解：点P（﹣3，2）在第二象限，
故选：B．
2．（4分）16的平方根是（　　）
A．4 B．﹣4 C．±4 D．±2
【分析】根据平方根定义求出即可．
【解答】解：16的平方根是±4，
故选：C．
3．（4分）下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据对顶角的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、∠1与∠2不是对顶角，故A选项错误；
B、∠1与∠2是对顶角，故B选项正确；
C、∠1与∠2不是对顶角，故C选项错误；
D、∠1与∠2不是对顶角，故D选项错误．
故选：B．
4．（4分）如图，已知a∥b，∠2＝115°，则∠1的度数为（　　）

A．65° B．125° C．115° D．25°
【分析】如图，根据平角的定义，得∠2+∠3＝180°，故∠3＝65°．根据平行线的性质，由a∥b，得∠1＝∠3＝65°．
【解答】解：如图，
∵∠2+∠3＝180°，∠2＝115°，
∴∠3＝180°﹣∠2＝180°﹣115°＝65°．
又∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝65°．
故选：A．

5．（4分）下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（　　）
A．调查某品牌钢笔的使用寿命
B．了解我区中学生学生的视力情况
C．调查乘坐飞机的乘客是否携带违禁物品
D．了解我区中学生课外阅读情况
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【解答】解：A．调查某品牌钢笔的使用寿命，适合抽样调查，选项不合题意；
B．了解我区中学生学生的视力情况，适合抽样调查，选项不合题意；
C．调查乘坐飞机的乘客是否携带违禁物品，适合全面调查，选项符合题意；
D．了解我区中学生课外阅读情况，适合抽样调查，选项不合题意．
故选：C．
6．（4分）如图，已知a∥b，三角板的直角顶点放在直线b上，两直角边与直线a相交，如果∠1＝55°，那么∠2＝（　　）

A．35° B．45° C．55° D．65°
【分析】根据平行线的性质，由a∥b得∠1＝∠3＝55°．由∠2+∠3+∠4＝180°，得∠2＝180°﹣∠3﹣∠4＝35°．
【解答】解：如图，
由题意得：∠4＝90°．
∵a∥b，
∴∠3＝∠1＝55°．
又∵∠2+∠3+∠4＝180°，
∴∠2＝180°﹣∠4﹣∠3＝180°﹣90°﹣55°＝35°．
故选：A．

7．（4分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，2），B（2，4），若点C（x，y）满足AC∥x轴，则使得线段BC长度取最小值时的点C坐标为（　　）
A．（﹣2，4） B．（2，0） C．（4，2） D．（2，2）
【分析】在平面坐标系内构造图形，利用点到直线的最短距离是垂线段求解．
【解答】解：如图所示，
当BC与AC垂直时，此时BC最短，即C点（2，2），
故选：D．
8．（4分）若a2＝2，b＝，由实数a、b组成的有序数对（a，b）在平面直角坐标系第二象限，则a+b的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．0 D．2或﹣2
【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数列出不等式组求出a、b的值，再代入所求式子计算即可．
【解答】解：∵由实数a、b组成的有序数对（a，b）在平面直角坐标系第二象限，
∴a＜0，
∵a2＝2，
∴a＝﹣，
∴a+b＝＝0．
故选：C．
9．（4分）某经销商销售一批电话手表，第一个月以550元/块的价格售出60块，第二个月起降价，以500元/块的价格将这批电话手表全部售出，销售总额超过了5.5万元．这批电话手表至少有（　　）
A．103块 B．104块 C．105块 D．106块
【分析】根据题意设出未知数，列出相应的不等式，从而可以解答本题．
【解答】解：设这批手表有x块，
550×60+（x﹣60）×500＞55000
解得，x＞104
∴这批电话手表至少有105块，
故选：C．
10．（4分）若实数x，y，z满足，则x+y+6z＝（　　）
A．﹣3 B．0 C．3 D．不能确定值
【分析】把z看做已知数表示出方程组的解，代入原式计算即可求出值．
【解答】解：，
①﹣②得：y＝﹣z﹣2，
把y＝﹣z﹣2代入①得：x+z+2＝1﹣4z，
解得：x＝﹣1﹣5z，
把x＝﹣1﹣5z，y＝﹣z﹣2代入得：x+y+6z＝﹣1﹣5z﹣z﹣2+6z＝﹣3．
故选：A．
11．（4分）班主任王老师说：“课辅活动时，我班一半的同学在参加科技活动，四分之一的同学在学音乐，七分之一的同学在练书法，还剩不足6名同学在操场上踢足球”，则王老师的这个班学生人数最多为（　　）
A．56 B．55 C．48 D．28
【分析】设王老师的这个班学生人数为x人，利用踢足球的人数＝全班人数﹣参加科技活动的人数﹣学音乐的人数﹣练书法的人数，结合踢足球的人数不足6名，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，由x，x，x均为整数，可得出x为28的整数倍，再结合x的取值范围，即可得出结论．
【解答】解：设王老师的这个班学生人数为x人，
依题意得：x﹣x﹣x﹣x＜6，
解得：x＜56．
又∵x，x，x均为整数，
∴x为28的整数倍，
∴x可以取的最大值为28．
故选：D．
12．（4分）从﹣2，﹣1，0，2，5这五个数中，随机抽取一个数记为m，若数m使关于x的不等式组无解，且使关于x的一元一次方程（m﹣2）x＝3有整数解，那么这五个数中所有满足条件的m的个数有（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】解不等式﹣2x﹣1≥4m+1得x≤﹣1﹣2m，结合不等式组无解且x＞m+2知m+2≥1﹣2m，解之求出m≥﹣1，据此可确定符合此不等式组的m的值为﹣1，0，2，5，再由关于x的一元一次方程（m﹣2）x＝3有整数解知m＝﹣1或5．
【解答】解：解不等式﹣2x﹣1≥4m+1，得：x≤﹣1﹣2m，
∵不等式组无解且x＞m+2，
∴m+2≥﹣1﹣2m，
解得m≥﹣1，
则符合此不等式组的m的值为﹣1，0，2，5，
∵关于x的一元一次方程（m﹣2）x＝3有整数解，
∴m＝﹣1或5，
故选：B．
二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分。请将正确答案填在答题卡的相应横线上。）
13．（4分）命题“如果两个角互补，那么它们是邻补角”，这个命题是 　假　命题（填“真”或“假”）．
【分析】根据邻补角的概念判断即可．
【解答】解：如果两个角互补，它们不一定是邻补角，原命题是假命题；
故答案为：假．
14．（4分）计算：＝　　．
【分析】直接利用绝对值的性质以及立方根的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝3﹣2+﹣1
＝．
故答案为：．
15．（4分）若点P（﹣a﹣1，a+2）在y轴上，则点P的坐标为 　（0，1）　．
【分析】直接利用y轴上点的坐标特点得出其横坐标为零，进而得出答案．
【解答】解：∵点P（﹣a﹣1，a+2）在y轴上，
∴﹣a﹣1＝0，
解得：a＝﹣1，
故a+2＝1．
则点P的坐标是（0，1）．
故答案为：（0，1）．
16．（4分）在一个样本中有50个数据，它们分别落在5个组内，已知第一、二、三、四、五组数据的个数分别有3，9，17，x，6，则第四组的频数为 　15　．
【分析】根据各组频数之和等于样本容量即可求出答案．
【解答】解：由各组频数之和等于样本容量可得，
3+9+x+17+6＝50，
解得x＝15，
故答案为：15．
17．（4分）如果关于x的不等式组的最大整数解与最小整数解的差为2，则实数a的取值范围是 　﹣2≤a＜﹣1　．
【分析】解每个不等式得出不等式组的解集为a＜x＜2，据此知不等式组的最大整数解为1，根据最大整数解与最小整数解的差为2得最小整数解为﹣1，进一步求解即可得出答案．
【解答】解：由（x﹣a）（x2+2）＞0且x2+2＞0得：x﹣a＞0，即x＞a，
解不等式＞1，得：x＜2，
∴不等式组的解集为a＜x＜2，
∴不等式组的最大整数解为1，
∵最大整数解与最小整数解的差为2，
∴最小整数解为﹣1，
∴﹣2≤a＜﹣1，
故答案为：﹣2≤a＜﹣1．
18．（4分）某人乘坐在匀速行驶的小车上，他看到第一块里程碑上写着一个两位数（单位：千米）；经过30分钟他看到第二块里程碑写的两位数恰好是第一块里程碑上的数字互换了；又经过30分钟，他看到第三块程碑上写着一个三位数，这个三位数恰好是第一块里程碑上的两位数中间加上一个0，这辆汽车的速度是 　90　千米/小时．
【分析】设第一次里程碑上写着的两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据汽车的速度不变，结合三次看见里程碑上写的数字，即可得出关于x，y的二元一次方程，化简后可得出y＝6x，结合x，y均为一位正整数，即可得出x，y的值，再利用速度＝路程÷时间，即可求出结论．
【解答】解：设第一次里程碑上写着的两位数的十位数字为x，个位数字为y，
依题意得：（10y+x）﹣（10x+y）＝（100x+y）﹣（10y+x），
化简得：y＝6x．
又∵x，y均为一位正整数，
∴，
∴这辆汽车的速度是[（10y+x）﹣（10x+y）]÷＝（61﹣16）÷＝90（千米/时）．
故答案为：90．
三、解答题（本大题7个小题，共70分。每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤。)
19．（10分）解二元一次方程组：．
【分析】用加减消元法解二元一次方程组即可．
【解答】解：，
①×2，得4x+6y＝8③，
②×3，得9x+6y＝3④，
④﹣③，得5x＝﹣5，
∴x＝﹣1，
将x＝﹣1代入①，得y＝2，
∴方程组的解为．
20．（10分）若实数m的平方根是4a+21和a﹣6，b的立方根是﹣2，求m+3a+b的算术平方根．
【分析】由b的立方根是﹣2，可求出b得值，再根据实数m的平方根是4a+21和a﹣6，可求出a的值，进而求出m的值，最后计算m+3a+b的值，求其算术平方根即可．
【解答】解：因为b的立方根是﹣2，
所以b＝﹣8，
又因为实数m的平方根是4a+21和a﹣6，
所以4a+21+a﹣6＝0，
解得a＝﹣3，
当a＝﹣3时，4a+21＝9，a﹣6＝﹣9，此时m＝81，
∴m+3a+b＝81﹣9﹣8＝64，
∴m+3a+b的算术平方根是＝8．
21．（10分）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x﹣3（x﹣1）≤11，得：x≥﹣4，
解不等式1﹣＜x，得：x＜﹣，
则不等式组的解集为﹣4≤x＜﹣，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
．
22．（10分）李红在学校的研究性学习小组中负责了解初一年级200名女生掷实心球的测试成绩．她从中随机调查了若干名女生的测试成绩（单位：米），并将统计结果绘制成了如下的统计图表（内容不完整）．
测试成绩
3≤x＜4
4≤x＜5
5≤x＜6
6≤x＜7
7≤x＜8
合计
频数
3
27
9
m
1
n
请你结合图表中所提供的信息，回答下列问题：
（1）表中m＝　10　，n＝　50　；请补全频数分布直方图；
（2）在扇形统计图中，6≤x＜7这一组所占圆心角的度数为 　72　度；
（3）如果掷实心球的成绩达到6米或6米以上为优秀，请你估计该校初一年级女生掷实心球的成绩达到优秀的总人数为 　44人　．

【分析】（1）根据4≤x＜5之间的频数和所占的百分比，求出总人数，再用总人数减去其它成绩段的人数，即可得出6≤x＜7的频数m的值，根据m的值，从而把频数分布直方图补全；
（2）用360度乘以6≤x＜7所占的百分比，即可求出6≤x＜7这一组所占圆心角的度数；
（3）用总人数乘以成绩达到6米或6米以上所占的百分比，求出该校初一年级女生掷实心球的成绩达到优秀的总人数．
【解答】解：（1）根据题意得：n＝27÷54%＝50（人），
m＝50﹣3﹣27﹣9﹣1＝10（人），
故答案为：10，50；
补全频数分布直方图如图：

（2）6≤x＜7这一组所占圆心角的度数为：360°×＝72°；
故答案为：72；

（3）根据题意得：
200×＝44（人），
故答案为：44人．
23．（10分）如图，EF⊥AB，垂足为点F，EF∥CD，连接DE，且BC∥DE．
（1）若∠B＝40°，求∠EDC的度数；
（2）求证：∠DEF＝∠DCB．

【分析】（1）由平行线的性质可得∠EDF＝∠B＝40°，再由直角△EDF可求得∠DEF的度数，再次利用平行线的性质即可求得∠EDC的度数；
（2）利用平行线的性质：两直线平行，内错角相等，结合图形不难求解．
【解答】解：（1）∵BC∥DE，∠B＝40°，
∴∠EDF＝∠B＝40°，
∵EF⊥AB，
∴在△DEF中，∠DEF＝90°﹣∠EDF＝50°，
∵EF∥CD，
∴∠EDC＝∠DEF＝50°；
（2）证明：∵EF∥CD，
∴∠DEF＝∠EDC，
∵BC∥DE，
∴∠EDC＝∠DCB，
∴∠DEF＝∠DCB．
24．（10分）某企业前年按可回收垃圾处理费15元/吨、不可回收垃圾处理费25元/吨的收费标准，共支付两种垃圾处理费5000元，从去年元月起，收费标准上调为：可回收垃圾处理费30元/吨，不可回收垃圾处理费100元/吨．若该企业去年产生的这两种垃圾数量与前年相比没有变化，但调价后就要多支付处理费9000元．
（1）该企业前年产生的可回收垃圾和不可回收垃圾各多少吨？
（2）该企业计划今年将上述两种垃圾处理总量减少到200吨，且可回收垃圾不少于不可回收垃圾处理量的3倍，则今年该企业至少有多少吨可回收垃圾？
【分析】（1）设该企业前年产生x吨可回收垃圾，y吨不可回收垃圾，根据总费用＝每吨垃圾的处理费×垃圾的吨数结合前年和去年的垃圾处理费，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设今年该企业有m吨可回收垃圾，则今年该企业有（200﹣m）吨不可回收垃圾，根据可回收垃圾不少于不可回收垃圾处理量的3倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设该企业前年产生x吨可回收垃圾，y吨不可回收垃圾，
根据题意得：，
解得：．
答：该企业前年产生200吨可回收垃圾，80吨不可回收垃圾．
（2）设今年该企业有m吨可回收垃圾，则今年该企业有（200﹣m）吨不可回收垃圾，
根据题意得：m≥3（200﹣m），
解得：m≥150．
答：今年该企业至少有150吨可回收垃圾．
25．（10分）如图1，A（a，0），B（0，b）分别是x轴和y轴上的点，BD∥OA．
（1）若a、b满足|a﹣2b+6|+（2a+b﹣8）2＝0，点C的坐标为（3，2），求点A、B的坐标和四边形OACB的面积；
（2）如图2，已知BE平分∠DBC，AE平分∠CAF，BG平分∠DBE，AG平分∠EAF．请猜想∠BCA与∠G的数量关系，并说明理由．

【分析】（1）先由非负数的性质解出，从而可得点A、B坐标和四边形OACB的面积；
（2）过点C作直线l，使得l∥BD，l∥AF，再根据角平分线的定义和平行线的性质可以得到∠BCA＝2∠BEA＝2×2∠G＝4∠G．
【解答】解：（1）由题意可得：，解得：．
∴A（2，0）、B（0，4），
∴四边形OACB的面积＝＝9﹣1＝8．
（2）∵BE平分∠DBC，AE平分∠CAF，
∴∠DBE+∠FAE＝（∠DBC+∠CAF）．
过点C作直线l，使得l∥BD，则l∥AF．
∴∠BCA＝∠DBC+∠FAC，
同理可得，∠BEA＝∠DBE+∠FAE，
∴∠BEA＝∠BCA，
又∵BG平分∠DBE，AG平分∠EAF，
∴∠G＝∠DBG+∠FAG＝∠BEA，
∴∠BCA＝2∠BEA＝2×2∠G＝4∠G．

四、解答题（本大题1个小题，共8分。每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤。)
26．（8分）材料1：我们把形如ax+by＝c（a、b、c为常数）的方程叫二元一次方程．若a、b、c为整数，则称二元一次方程ax+by＝c为整系数方程．若|c|是|a|，|b|的最大公约数的整倍数，则方程有整数解．例如方程3x+4y＝2，7x﹣3y＝5，4x+2y＝6都有整数解；反过来也成立．方程6x+3y＝10和4x﹣2y＝1都没有整数解，因为6，3的最大公约数是3，而10不是3的整倍数；4，2的最大公约数是2，而1不是2的整倍数．
材料2：求方程5x+6y＝100的正整数解．
解：由已知得：……①
设（k为整数），则y＝5k……②
把②代入①得：x＝20﹣6k．
所以方程组的解为根据题意得：
解不等式组得0＜k＜．所以k的整数解是1，2，3．
所以方程5x+6y＝100的正整数解是：，，．
根据以上材料回答下列问题：
（1）下列方程中：①3x+9y＝11，②15x﹣5y＝70，③6x+3y＝111，④27x﹣9y＝99，⑤91x﹣26＝169，⑥22x+121y＝324．没有整数解的方程是 　①⑥　（填方程前面的编号）；
（2）仿照上面的方法，求方程3x+4y＝38的正整数解；
（3）若要把一根长30m的钢丝截成2m长和3m长两种规格的钢丝（两种规格都要有），问怎样截才不浪费材料？你有几种不同的截法？（直接写出截法，不要求解题过程）
【分析】（1）根据材料1即可判断；
（2）仿照材料2的方法解答即可；
（3）仿照材料2的方法即可得到结论．
【解答】解：（1）下列方程中：
①3x+9y＝11的最大公约数是3，10不是3的整倍数；
②15x﹣5y＝70的最大公约数是5，70是5的整倍数；
③6x+3y＝111的最大公约数是3，111是3的整倍数；
④27x﹣9y＝99的最大公约数是9，99是9的整倍数；
⑤91x﹣26＝169的最大公约数是13，169是13的整倍数；
⑥22x+121y＝324的最大公约数是11，324不是11的整倍数；
故没有整数解的方程是①⑥，
故答案为①⑥；
（2）由已知得：x＝＝12﹣y+，
设＝k（k为整数），则y＝﹣3k+2，
所以x＝4k+10，
所以，
根据题意得，
∴﹣＜k＜，
∴k的整数解为﹣2，﹣1，0，
∴方程3x+4y＝38的正整数解是：，，；
（3）设可以截成x根2m长的钢管和y根3m长的钢管，
依题意，得：2x+3y＝30，
∴y＝10﹣x．
设x＝k（k为整数），则x＝3k，
∴y＝10﹣2k．
所以方程组的解为，
根据题意得：，
解不等式组得0＜k＜5．所以k的整数解是1，2，3，4．
所以方程2x+3y＝30的正整数解是：，，，．
所以，共有4种不同的截法，
截法1：截成3根2m长的钢丝和8根3m长的钢丝；
截法2：截成6根2m长的钢丝和6根3m长的钢丝；
截法3：截成9根2m长的钢丝和4根3m长的钢丝；
截法4：截成12根2m长的钢丝和2根3m长的钢丝．