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2020-2021学年安徽省马鞍山市八年级（下）期末数学试卷
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这是一份2020-2021学年安徽省马鞍山市八年级（下）期末数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题每小题都给出A，解答题．解答题应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年安徽省马鞍山市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1．（3分）下列二次根式与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）下列几组数中，能作为直角三角形三边长度的是（ ）
A．6，9，10 B．5，12，17 C．4，5，6 D．1，，
3．（3分）下列各式中，运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）下列一元二次方程中，没有实数根的4．下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2＝2x B．2x2+3＝0 C．x2+4x﹣1＝0 D．x2﹣8x+16＝0
5．（3分）已知一个菱形的边长是5cm，两条对角线长的比是4：3，则这个菱形的面积是（ ）
A．12cm2 B．24cm2 C．48cm2 D．96cm2
6．（3分）一组数据3、4、x、1、4、3有唯一的众数3，则这组数据的方差是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（3分）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，那么这个多边形是（ ）
A．四边形 B．六边形 C．八边形 D．十边形
8．（3分）某单位为响应国家“厉行节约，反对浪费”的号召，减少了对办公经费的投入，在两个月内将开支从每月2500元降到1600元，若平均每月降低开支的百分率为x，则下列方程中符合题意的是（ ）
A．2500（1﹣x）2＝1600 B．1600（1+x）2＝2500
C．2500（1+x）2＝1600 D．1600（1﹣x）2＝2500
9．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE和EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH，则GH的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
10．（3分）如图所示，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点O，下列结论：
①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF；⑤∠BAE＝∠AFB
其中，正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分）答案写在答题卷上的指定区域内．
11．（3分）若有意义，则a能取到的最小整数为 ．
12．（3分）已知平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝24cm，BD＝38cm，AD＝14cm，则△OBC的周长为 cm．
13．（3分）若数据2、3、5、3、8的众数是a，则中位数是b，则a﹣b等于 ．
14．（3分）若m是方程x2+3x﹣2＝0的一个根，则3m2+9m+2021的值是 ．
15．（3分）如图，直线L上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为1和9，则b的面积为 ．
16．（3分）如图，△ABC的面积是16，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则△AFG的面积是 ．
17．（3分）如图，将长方形ABCD沿对角线AC折叠，得到如图所示的图形，点B的对应点是点B′，B′C与AD交于点E．若AB＝2，BC＝4，则AE的长是 ．
18．（3分）如图，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，以正方形ABCD的对角线AC为边作第2个正方形ACEF，再以第2个正方形的对角线AE为边作第3个正方形AEGH，如此下去，则第n个正方形的面积Sn＝ ．
19．如图，长方形ABCD中，AD＝4，AB＝3，点P是AB上一点，AP＝1，点E是BC上一动点，连接PE，将△BPE沿PE折叠，使点B落在B'，连接DB'，则PB'+DB'的最小值是 ．
三、解答题（本大题共6题，满分46分）．解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程．解答写在答题卷上的指定区域内．
20．（6分）计算：．
21．（8分）已知：关于x的方程x2+4x+2m＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，且该方程的根都是整数，求m的值．
22．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝，BD＝2，求OE的长．
23．（8分）某校为加强学生的安全意识，每周通过安全教育APP软件，向家长和学生推送安全教育作业．在最近一期的防溺水安全知识竞赛中，从中抽取了部分学生成绩进行统计．绘制了图中两幅不完整的统计图．请回答如下问题：
（1）m＝ ，a＝
（2）补全频数分布直方图；
（3）该校共有1600名学生．若认定成绩在60分及以下（含60分）的学生安全意识不强，有待进一步加强安全教育，请估计该校安全意识不强的学生约有多少人？
24．（8分）在丝绸博览会期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60cm，宽40cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸条带．
（1）若丝绸条带的面积为650cm2，求丝绸条带的宽度；
（2）已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价为100元/件销售，那么每天可售出200件，另外每天除工艺品的成本外所需支付的各种费用是2000元，根据销售经验，如果将销售单价降低1元，每天可多售出20件，请问该公司每天把销售单价定为多少元时，当日所获利润为22500元．
25．（8分）如图，矩形ABCD中，AD＝2AB，E是AD边上一点，DE＝AD（n为大于2的整数），连接BE，作BE的垂直平分线分别交AD，BC于点F，G，FG与BE的交点为O，连接BF和EG．
（1）试判断四边形BFEG的形状，并说明理由；
（2）当AB＝a（a为常数），n＝3时，求FG的长；
（3）记四边形BFEG的面积为S1，矩形ABCD的面积为S2，当＝时，求n的值．（直接写出结果，不必写出解答过程）
2020-2021学年安徽省马鞍山市八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1．（3分）下列二次根式与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据同类二次根式的定义，先化简，再判断．
【解答】解：A、＝2与被开方数不同，不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
B、＝3与被开方数不同，不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
C、＝2与被开方数相同，是同类二次根式，故此选项符合题意；
D、＝3与被开方数不同，不是同类二次根式，故此选项不符合题意．
故选：C．
2．（3分）下列几组数中，能作为直角三角形三边长度的是（ ）
A．6，9，10 B．5，12，17 C．4，5，6 D．1，，
【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：A、∵62+92≠102，∴不能构成直角三角形；
B、∵52+122≠172，∴不能构成直角三角形；
C、∵42+52≠62，∴不能构成直角三角形；
D、∵12+（）2＝（）2，∴能构成直角三角形．
故选：D．
3．（3分）下列各式中，运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的加减运算以及乘除运算即可求出答案．
【解答】解：A、与不是同类二次根式，故不能合并，故A不符合题意．
B、原式＝2，故B不符合题意．
C、原式＝5×＝，故C不符合题意．
D、原式＝＝2，故D符合题意．
故选：D．
4．（3分）下列一元二次方程中，没有实数根的4．下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2＝2x B．2x2+3＝0 C．x2+4x﹣1＝0 D．x2﹣8x+16＝0
【分析】分别计算四个方程的根的判别式，然后根据判别式的意义判断方程根的情况即可．
【解答】解：A、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以A选项不符合题意；
B、Δ＝02﹣4×2×3＝﹣24＜0，则方程没有实数根，所以B选项符合题意；
C、Δ＝42﹣4×1×（﹣1）＝20＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以C选项不符合题意；
D、Δ＝（﹣8）2﹣4×1×16＝0，则方程有两个相等的实数根，所以D选项不符合题意．
故选：B．
5．（3分）已知一个菱形的边长是5cm，两条对角线长的比是4：3，则这个菱形的面积是（ ）
A．12cm2 B．24cm2 C．48cm2 D．96cm2
【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，由勾股定理可求AO，BO的长，即可求解．
【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，
∵两条对角线长的比是4：3，
∴设AO＝3x，BO＝4x，
∵AO2+BO2＝AB2，
∴9x2+16x2＝25，
∴x＝1，
∴AO＝3（cm），BO＝4（cm），
∴AC＝6（cm），BD＝8（cm），
∴这个菱形的面积＝＝24（cm2），
故选：B．
6．（3分）一组数据3、4、x、1、4、3有唯一的众数3，则这组数据的方差是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据众数的定义先求出x的值，再求出这组数据的平均数，根据方差公式列式计算可得．
【解答】解：∵数据3、4、x、1、4、3有唯一的众数3，
∴x＝3，
即这组数据为3、4、3、1、4、3，
∵数据的平均数为＝3，
∴方差为×[（1﹣3）2+3×（3﹣3）2+2×（4﹣3）2]＝1，
故选：A．
7．（3分）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，那么这个多边形是（ ）
A．四边形 B．六边形 C．八边形 D．十边形
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°与外角和定理列出方程，然后求解即可．
【解答】解：设这个多边形是n边形，
根据题意得，（n﹣2）•180°＝3×360°，
解得n＝8．
故选：C．
8．（3分）某单位为响应国家“厉行节约，反对浪费”的号召，减少了对办公经费的投入，在两个月内将开支从每月2500元降到1600元，若平均每月降低开支的百分率为x，则下列方程中符合题意的是（ ）
A．2500（1﹣x）2＝1600 B．1600（1+x）2＝2500
C．2500（1+x）2＝1600 D．1600（1﹣x）2＝2500
【分析】新开支＝原开支×（1﹣平均每月降低的百分率）2，把相关数值代入即可求解．
【解答】解：∵原开支为2500元，平均每月降低的百分率为x，
∴第一个月的开支为2500×（1﹣x）元，
∴第二个月的开支为2500×（1﹣x）×（1﹣x）＝2500×（1﹣x）2元，
∴可列方程为2500（1﹣x）2＝1600，
故选：A．
9．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE和EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH，则GH的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【分析】连接AF，利用三角形中位线定理，可知GH＝AF，求出AF的最小值即可解决问题．
【解答】解：连接AF，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝2，
∵G，H分别为AE，EF的中点，
∴GH是△AEF的中位线，
∴GH＝AF，
当AF⊥BC时，AF最小，GH得到最小值，
则∠AFB＝90°，
∵∠B＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AF＝AB＝×2＝，
∴GH＝，
即GH的最小值为，
故选：B．
10．（3分）如图所示，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点O，下列结论：
①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF；⑤∠BAE＝∠AFB
其中，正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据四边形ABCD是正方形及CE＝DF，可证出△ADE≌△BAF，然后依据全等三角形的性质可找出其中相等的线段可相等的角，然后再逐个进行判断即可．
【解答】解：在正方形ABCD中，∠BAF＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD，
∵CE＝DF，
∴AD﹣DF＝CD﹣CE，即AF＝DE，
在△ABF和△DAE中，，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴AE＝BF，故①正确；∠ABF＝∠DAE，
∵∠DAE+∠BAO＝90°，
∴∠ABF+∠BAO＝90°，
在△ABO中，∠AOB＝180°﹣（∠ABF+∠BAO）＝180°﹣90°＝90°，
∴AE⊥BF，故②正确；
假设AO＝OE，
∵AE⊥BF（已证），
∴AB＝BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∵在Rt△BCE中，BE＞BC，
∴AB＞BC，这与正方形的边长AB＝BC相矛盾，
所以，假设不成立，AO≠OE，故③错误；
∵△ABF≌△DAE，
∴S△ABF＝S△DAE，
∴S△ABF﹣S△AOF＝S△DAE﹣S△AOF，
即S△AOB＝S四边形DEOF，故④正确；
∵AE⊥BF，
∴∠AOB＝90°．
∴∠OAB+∠ABO＝90°．
又∵∠AFB+∠ABO＝90°，
∴∠BAO＝∠AFO，故⑤正确．
故选：C．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分）答案写在答题卷上的指定区域内．
11．（3分）若有意义，则a能取到的最小整数为 0 ．
【分析】二次根式有意义则被开方数为非负数，由此可得出a的范围，继而可得出a取的最小整数．
【解答】解：由题意得：4a+1≥0，
解得：a≥﹣，
a取的最小整数位0．
故答案为：0．
12．（3分）已知平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝24cm，BD＝38cm，AD＝14cm，则△OBC的周长为 45 cm．
【分析】利用平行四边形的对边相等对角线互相平分进而得出即可．
【解答】解：在▱ABCD中，对角线AC和BD交于点O，AC＝24cm，BD＝38cm，AD＝14cm，
∴AO＝CO＝12cm，BO＝19cm，AD＝BC＝14cm，
∴△OBC的周长是：BO+CO+BC＝12+19+14＝45（cm）．
故答案为：45．
13．（3分）若数据2、3、5、3、8的众数是a，则中位数是b，则a﹣b等于 0 ．
【分析】把这组数据按照从小到大的顺序排列，最中间一个数字是3，得到中位数是3，在这组数据中出现次数最多的是3，得到这组数据的中位数和众数，从而得解．
【解答】解：将这组数据重新排列为2、3、3、5、8，
所以这组数据的众数为3、中位数为3，即a＝3、b＝3，
∴a﹣b＝0，
故答案为：0．
14．（3分）若m是方程x2+3x﹣2＝0的一个根，则3m2+9m+2021的值是 2017 ．
【分析】根据一元二次方程的解的定义得到m2+3m＝2，再把3m2+9m+2021变形为3（m2+3m）+2017，然后利用整体代入的方法计算即可．
【解答】解：把x＝m代入x2+3x﹣2＝0得m2+3m﹣2＝0，
所以m2+3m＝2，
所以3m2+9m+2021＝3（m2+3m）+2021＝2×3+2021＝2017．
故答案为2027．
15．（3分）如图，直线L上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为1和9，则b的面积为 10 ．
【分析】运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得∠BAC＝∠DCE，然后证明△ACB≌△CDE（AAS），再结合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可．
【解答】解：由于a、b、c都是正方形，所以AC＝CD，∠ACD＝90°；
∵∠ACB+∠DCE＝∠ACB+∠BAC＝90°，
即∠BAC＝∠DCE，
在△ACB和△CDE中，
，
∴△ACB≌△CDE（AAS），
∴AB＝CE，BC＝DE；
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2＝AB2+DE2，
即Sb＝Sa+Sc＝1+9＝10，
∴b的面积为10，
故答案为：10．
16．（3分）如图，△ABC的面积是16，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则△AFG的面积是 6 ．
【分析】由中线的性质可得，S△AEF＝S△ABE＝S△ABD＝2，S△AEG＝2，根据三角形中位线的性质，可得S△EFG＝S△BCE＝2，进而得到△AFG的面积．
【解答】解：∵点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，
∴S△ABD＝S△ADC＝S△ABC＝＝8，
同理可得，S△AEF＝S△ABE＝S△ABD＝2，S△AEG＝2，
S△BCE＝S△CDE+S△BDE＝（S△ADC+S△ABD）＝8，
又∵FG为△BCE的中位线，
∴S△EFG＝S△BCE＝2，
∴△AFG的面积为2×3＝6，
故答案为：6．
17．（3分）如图，将长方形ABCD沿对角线AC折叠，得到如图所示的图形，点B的对应点是点B′，B′C与AD交于点E．若AB＝2，BC＝4，则AE的长是 ．
【分析】由矩形的性质可得AB＝CD＝2，AD＝BC＝4，AD∥BC，根据平行线的性质和折叠的性质可得∠EAC＝∠ACE＝∠ACB，即AE＝EC，根据勾股定理可求AE的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝4，AD∥BC，
∴∠EAC＝∠ACB，
∵折叠，
∴∠ACE＝∠ACB，
∴∠EAC＝∠ACE，
∴AE＝CE，
在Rt△DEC中，CE2＝DE2+CD2，
AE2＝（4﹣AE）2+4，
∴AE＝
故答案为：
18．（3分）如图，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，以正方形ABCD的对角线AC为边作第2个正方形ACEF，再以第2个正方形的对角线AE为边作第3个正方形AEGH，如此下去，则第n个正方形的面积Sn＝ 2n﹣1 ．
【分析】先求出S1，S2，S3，S4，S5，…探究规律后即可解决问题．
【解答】解：由题意：S1＝1，
S2＝（）2＝2，
S3＝（×）2＝4，
S4＝（××）2＝8，
S5＝[（）4]2＝16，
…，
Sn＝[（）n﹣1]2＝2n﹣1．
故答案为2n﹣1．
19．如图，长方形ABCD中，AD＝4，AB＝3，点P是AB上一点，AP＝1，点E是BC上一动点，连接PE，将△BPE沿PE折叠，使点B落在B'，连接DB'，则PB'+DB'的最小值是 ．
【分析】连接DP．利用勾股定理求出DP，根据DB′+PB'≥DP，由此可得结论．
【解答】解：如图，连接DP．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∵AP＝1，AD＝4，
∴DP＝＝＝，
∵PB'+DB′≥DP，
∴PB'+DB′≥，
∴PB'+DB′的最小值为．
三、解答题（本大题共6题，满分46分）．解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程．解答写在答题卷上的指定区域内．
20．（6分）计算：．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质以及立方根、绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝1+4﹣4+2﹣
＝3﹣．
21．（8分）已知：关于x的方程x2+4x+2m＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，且该方程的根都是整数，求m的值．
【分析】（1）根据方程有实数根知△≥0，据此列出关于m的不等式，解之可得；
（2）先根据m≤2且m为正整数得m＝1或m＝2，再分别代入求解可得．
【解答】解：（1）根据题意知△＝42﹣4×2m＝16﹣8m≥0，
解得m≤2；
（2）由m≤2且m为正整数得m＝1或m＝2，
当m＝1时，方程的根不为整数，舍去；
当m＝2时，方程为x2+4x+4＝0，
解得x1＝x2＝﹣2，
∴m的值为2．
22．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝，BD＝2，求OE的长．
【分析】（1）先判断出∠OAB＝∠DCA，进而判断出∠DAC＝∠DCA，得出CD＝AD＝AB，即可得出结论；
（2）先判断出OE＝OA＝OC，再求出OB＝1，利用勾股定理求出OA，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD＝AB，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴▱ABCD是菱形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴OE＝OA＝OC，
∵BD＝2，
∴OB＝BD＝1，
在Rt△AOB中，AB＝，OB＝1，
∴OA＝＝2，
∴OE＝OA＝2．
23．（8分）某校为加强学生的安全意识，每周通过安全教育APP软件，向家长和学生推送安全教育作业．在最近一期的防溺水安全知识竞赛中，从中抽取了部分学生成绩进行统计．绘制了图中两幅不完整的统计图．请回答如下问题：
（1）m＝ 50 ，a＝ 72
（2）补全频数分布直方图；
（3）该校共有1600名学生．若认定成绩在60分及以下（含60分）的学生安全意识不强，有待进一步加强安全教育，请估计该校安全意识不强的学生约有多少人？
【分析】（1）先根据A组频数及其所占百分比求得总人数，总人数乘以D组百分比可得m的值，总人数乘以B的百分比可得其人数，再由各组人数之和等于总人数求得C的人数，最后用360°乘以C组人数所占比例可得a的值，据此可得答案；
（2）根据以上所求结果即可补全图形；
（3）用总人数乘以样本中A组的百分比可得．
【解答】解：（1）∵被调查的总人数为30÷15%＝200，
∴m＝200×25%＝50，B组人数为200×10%＝20，
则C组的人数为200﹣（30+20+50+60）＝40，
∴a＝360×＝72，
故答案为：50、72；
（2）补全频数分布直方图如下：
（3）估计该校安全意识不强的学生约有1600×15%＝240人．
24．（8分）在丝绸博览会期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60cm，宽40cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸条带．
（1）若丝绸条带的面积为650cm2，求丝绸条带的宽度；
（2）已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价为100元/件销售，那么每天可售出200件，另外每天除工艺品的成本外所需支付的各种费用是2000元，根据销售经验，如果将销售单价降低1元，每天可多售出20件，请问该公司每天把销售单价定为多少元时，当日所获利润为22500元．
【分析】（1）设出花边的宽，然后表示出花边的长，利用面积公式表示出其面积即可列出方程求解；
（2）设每件工艺品降价y元出售，则降价x元后可卖出的总件数为（200+20y），每件获得的利润为（100﹣y﹣40），此时根据获得的利润＝卖出的总件数×每件工艺品获得的利润，列出次方程，求解即可．
【解答】解：（1）设条带的宽度为xcm，
根据题意，得（60﹣2x）（40﹣x）＝60×40﹣650．
整理，得x2﹣70x+325＝0，
解得x1＝5，x2＝65（舍去）．
答：丝绸条带的宽度为5cm．
（2）设每件工艺品降价y元出售，
由题意得：（100﹣y﹣40）（200+20y）﹣2000＝22500．
解得：y1＝y2＝25．
所以售价为100﹣25＝75（元）．
答：当售价定为75元时能达到利润22500元．
25．（8分）如图，矩形ABCD中，AD＝2AB，E是AD边上一点，DE＝AD（n为大于2的整数），连接BE，作BE的垂直平分线分别交AD，BC于点F，G，FG与BE的交点为O，连接BF和EG．
（1）试判断四边形BFEG的形状，并说明理由；
（2）当AB＝a（a为常数），n＝3时，求FG的长；
（3）记四边形BFEG的面积为S1，矩形ABCD的面积为S2，当＝时，求n的值．（直接写出结果，不必写出解答过程）
【分析】（1）先求证△EFO≌△BGO，可得FO＝GO，再根据对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，即可证明四边形BFEG为菱形；
（2）根据菱形面积不同的计算公式（底乘高和对角线乘积的一半两种计算方式）可计算FG的长度；
（3）根据菱形面积底乘高的计算方式可以求出BG长度，根据勾股定理可求出AF的长度，即可求出ED的长度，即可计算n的值．
【解答】解：（1）∵AD∥BC，
∴∠EFO＝∠BGO，
∵FG为BE的垂直平分线，
∴BO＝OE；
∵在△EFO和△BGO中，，
∴△EFO≌△BGO，
∴FO＝GO
∵EO＝BO，且BE⊥FG
∴四边形BGEF为菱形．
（2）当AB＝a，n＝3时，AD＝2a，AE＝，
根据勾股定理可以计算BE＝，
∵AF＝AE﹣EF＝AE﹣BF，在Rt△ABF中AB2+AF2＝BF2，计算可得AF＝，EF＝，
∵菱形BGEF面积＝BE•FG＝EF•AB，计算可得FG＝．
（3）设AB＝x，则DE＝，
S1＝BG•AB，S2＝BC•AB
当＝时，＝，可得BG＝，
在Rt△ABF中AB2+AF2＝BF2，计算可得AF＝，
∴AE＝AF+FE＝AF+BG＝，DE＝AD﹣AE＝，
∴＝，
∴n＝6．
2020-2021学年安徽省马鞍山市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1．（3分）下列二次根式与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）下列几组数中，能作为直角三角形三边长度的是（ ）
A．6，9，10 B．5，12，17 C．4，5，6 D．1，，
3．（3分）下列各式中，运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）下列一元二次方程中，没有实数根的4．下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2＝2x B．2x2+3＝0 C．x2+4x﹣1＝0 D．x2﹣8x+16＝0
5．（3分）已知一个菱形的边长是5cm，两条对角线长的比是4：3，则这个菱形的面积是（ ）
A．12cm2 B．24cm2 C．48cm2 D．96cm2
6．（3分）一组数据3、4、x、1、4、3有唯一的众数3，则这组数据的方差是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（3分）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，那么这个多边形是（ ）
A．四边形 B．六边形 C．八边形 D．十边形
8．（3分）某单位为响应国家“厉行节约，反对浪费”的号召，减少了对办公经费的投入，在两个月内将开支从每月2500元降到1600元，若平均每月降低开支的百分率为x，则下列方程中符合题意的是（ ）
A．2500（1﹣x）2＝1600 B．1600（1+x）2＝2500
C．2500（1+x）2＝1600 D．1600（1﹣x）2＝2500
9．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE和EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH，则GH的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
10．（3分）如图所示，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点O，下列结论：
①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF；⑤∠BAE＝∠AFB
其中，正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分）答案写在答题卷上的指定区域内．
11．（3分）若有意义，则a能取到的最小整数为 ．
12．（3分）已知平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝24cm，BD＝38cm，AD＝14cm，则△OBC的周长为 cm．
13．（3分）若数据2、3、5、3、8的众数是a，则中位数是b，则a﹣b等于 ．
14．（3分）若m是方程x2+3x﹣2＝0的一个根，则3m2+9m+2021的值是 ．
15．（3分）如图，直线L上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为1和9，则b的面积为 ．
16．（3分）如图，△ABC的面积是16，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则△AFG的面积是 ．
17．（3分）如图，将长方形ABCD沿对角线AC折叠，得到如图所示的图形，点B的对应点是点B′，B′C与AD交于点E．若AB＝2，BC＝4，则AE的长是 ．
18．（3分）如图，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，以正方形ABCD的对角线AC为边作第2个正方形ACEF，再以第2个正方形的对角线AE为边作第3个正方形AEGH，如此下去，则第n个正方形的面积Sn＝ ．
19．如图，长方形ABCD中，AD＝4，AB＝3，点P是AB上一点，AP＝1，点E是BC上一动点，连接PE，将△BPE沿PE折叠，使点B落在B'，连接DB'，则PB'+DB'的最小值是 ．
三、解答题（本大题共6题，满分46分）．解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程．解答写在答题卷上的指定区域内．
20．（6分）计算：．
21．（8分）已知：关于x的方程x2+4x+2m＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，且该方程的根都是整数，求m的值．
22．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝，BD＝2，求OE的长．
23．（8分）某校为加强学生的安全意识，每周通过安全教育APP软件，向家长和学生推送安全教育作业．在最近一期的防溺水安全知识竞赛中，从中抽取了部分学生成绩进行统计．绘制了图中两幅不完整的统计图．请回答如下问题：
（1）m＝ ，a＝
（2）补全频数分布直方图；
（3）该校共有1600名学生．若认定成绩在60分及以下（含60分）的学生安全意识不强，有待进一步加强安全教育，请估计该校安全意识不强的学生约有多少人？
24．（8分）在丝绸博览会期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60cm，宽40cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸条带．
（1）若丝绸条带的面积为650cm2，求丝绸条带的宽度；
（2）已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价为100元/件销售，那么每天可售出200件，另外每天除工艺品的成本外所需支付的各种费用是2000元，根据销售经验，如果将销售单价降低1元，每天可多售出20件，请问该公司每天把销售单价定为多少元时，当日所获利润为22500元．
25．（8分）如图，矩形ABCD中，AD＝2AB，E是AD边上一点，DE＝AD（n为大于2的整数），连接BE，作BE的垂直平分线分别交AD，BC于点F，G，FG与BE的交点为O，连接BF和EG．
（1）试判断四边形BFEG的形状，并说明理由；
（2）当AB＝a（a为常数），n＝3时，求FG的长；
（3）记四边形BFEG的面积为S1，矩形ABCD的面积为S2，当＝时，求n的值．（直接写出结果，不必写出解答过程）
2020-2021学年安徽省马鞍山市八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1．（3分）下列二次根式与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据同类二次根式的定义，先化简，再判断．
【解答】解：A、＝2与被开方数不同，不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
B、＝3与被开方数不同，不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
C、＝2与被开方数相同，是同类二次根式，故此选项符合题意；
D、＝3与被开方数不同，不是同类二次根式，故此选项不符合题意．
故选：C．
2．（3分）下列几组数中，能作为直角三角形三边长度的是（ ）
A．6，9，10 B．5，12，17 C．4，5，6 D．1，，
【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：A、∵62+92≠102，∴不能构成直角三角形；
B、∵52+122≠172，∴不能构成直角三角形；
C、∵42+52≠62，∴不能构成直角三角形；
D、∵12+（）2＝（）2，∴能构成直角三角形．
故选：D．
3．（3分）下列各式中，运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的加减运算以及乘除运算即可求出答案．
【解答】解：A、与不是同类二次根式，故不能合并，故A不符合题意．
B、原式＝2，故B不符合题意．
C、原式＝5×＝，故C不符合题意．
D、原式＝＝2，故D符合题意．
故选：D．
4．（3分）下列一元二次方程中，没有实数根的4．下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2＝2x B．2x2+3＝0 C．x2+4x﹣1＝0 D．x2﹣8x+16＝0
【分析】分别计算四个方程的根的判别式，然后根据判别式的意义判断方程根的情况即可．
【解答】解：A、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以A选项不符合题意；
B、Δ＝02﹣4×2×3＝﹣24＜0，则方程没有实数根，所以B选项符合题意；
C、Δ＝42﹣4×1×（﹣1）＝20＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以C选项不符合题意；
D、Δ＝（﹣8）2﹣4×1×16＝0，则方程有两个相等的实数根，所以D选项不符合题意．
故选：B．
5．（3分）已知一个菱形的边长是5cm，两条对角线长的比是4：3，则这个菱形的面积是（ ）
A．12cm2 B．24cm2 C．48cm2 D．96cm2
【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，由勾股定理可求AO，BO的长，即可求解．
【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，
∵两条对角线长的比是4：3，
∴设AO＝3x，BO＝4x，
∵AO2+BO2＝AB2，
∴9x2+16x2＝25，
∴x＝1，
∴AO＝3（cm），BO＝4（cm），
∴AC＝6（cm），BD＝8（cm），
∴这个菱形的面积＝＝24（cm2），
故选：B．
6．（3分）一组数据3、4、x、1、4、3有唯一的众数3，则这组数据的方差是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据众数的定义先求出x的值，再求出这组数据的平均数，根据方差公式列式计算可得．
【解答】解：∵数据3、4、x、1、4、3有唯一的众数3，
∴x＝3，
即这组数据为3、4、3、1、4、3，
∵数据的平均数为＝3，
∴方差为×[（1﹣3）2+3×（3﹣3）2+2×（4﹣3）2]＝1，
故选：A．
7．（3分）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，那么这个多边形是（ ）
A．四边形 B．六边形 C．八边形 D．十边形
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°与外角和定理列出方程，然后求解即可．
【解答】解：设这个多边形是n边形，
根据题意得，（n﹣2）•180°＝3×360°，
解得n＝8．
故选：C．
8．（3分）某单位为响应国家“厉行节约，反对浪费”的号召，减少了对办公经费的投入，在两个月内将开支从每月2500元降到1600元，若平均每月降低开支的百分率为x，则下列方程中符合题意的是（ ）
A．2500（1﹣x）2＝1600 B．1600（1+x）2＝2500
C．2500（1+x）2＝1600 D．1600（1﹣x）2＝2500
【分析】新开支＝原开支×（1﹣平均每月降低的百分率）2，把相关数值代入即可求解．
【解答】解：∵原开支为2500元，平均每月降低的百分率为x，
∴第一个月的开支为2500×（1﹣x）元，
∴第二个月的开支为2500×（1﹣x）×（1﹣x）＝2500×（1﹣x）2元，
∴可列方程为2500（1﹣x）2＝1600，
故选：A．
9．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE和EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH，则GH的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【分析】连接AF，利用三角形中位线定理，可知GH＝AF，求出AF的最小值即可解决问题．
【解答】解：连接AF，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝2，
∵G，H分别为AE，EF的中点，
∴GH是△AEF的中位线，
∴GH＝AF，
当AF⊥BC时，AF最小，GH得到最小值，
则∠AFB＝90°，
∵∠B＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AF＝AB＝×2＝，
∴GH＝，
即GH的最小值为，
故选：B．
10．（3分）如图所示，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点O，下列结论：
①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF；⑤∠BAE＝∠AFB
其中，正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据四边形ABCD是正方形及CE＝DF，可证出△ADE≌△BAF，然后依据全等三角形的性质可找出其中相等的线段可相等的角，然后再逐个进行判断即可．
【解答】解：在正方形ABCD中，∠BAF＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD，
∵CE＝DF，
∴AD﹣DF＝CD﹣CE，即AF＝DE，
在△ABF和△DAE中，，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴AE＝BF，故①正确；∠ABF＝∠DAE，
∵∠DAE+∠BAO＝90°，
∴∠ABF+∠BAO＝90°，
在△ABO中，∠AOB＝180°﹣（∠ABF+∠BAO）＝180°﹣90°＝90°，
∴AE⊥BF，故②正确；
假设AO＝OE，
∵AE⊥BF（已证），
∴AB＝BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∵在Rt△BCE中，BE＞BC，
∴AB＞BC，这与正方形的边长AB＝BC相矛盾，
所以，假设不成立，AO≠OE，故③错误；
∵△ABF≌△DAE，
∴S△ABF＝S△DAE，
∴S△ABF﹣S△AOF＝S△DAE﹣S△AOF，
即S△AOB＝S四边形DEOF，故④正确；
∵AE⊥BF，
∴∠AOB＝90°．
∴∠OAB+∠ABO＝90°．
又∵∠AFB+∠ABO＝90°，
∴∠BAO＝∠AFO，故⑤正确．
故选：C．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分）答案写在答题卷上的指定区域内．
11．（3分）若有意义，则a能取到的最小整数为 0 ．
【分析】二次根式有意义则被开方数为非负数，由此可得出a的范围，继而可得出a取的最小整数．
【解答】解：由题意得：4a+1≥0，
解得：a≥﹣，
a取的最小整数位0．
故答案为：0．
12．（3分）已知平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝24cm，BD＝38cm，AD＝14cm，则△OBC的周长为 45 cm．
【分析】利用平行四边形的对边相等对角线互相平分进而得出即可．
【解答】解：在▱ABCD中，对角线AC和BD交于点O，AC＝24cm，BD＝38cm，AD＝14cm，
∴AO＝CO＝12cm，BO＝19cm，AD＝BC＝14cm，
∴△OBC的周长是：BO+CO+BC＝12+19+14＝45（cm）．
故答案为：45．
13．（3分）若数据2、3、5、3、8的众数是a，则中位数是b，则a﹣b等于 0 ．
【分析】把这组数据按照从小到大的顺序排列，最中间一个数字是3，得到中位数是3，在这组数据中出现次数最多的是3，得到这组数据的中位数和众数，从而得解．
【解答】解：将这组数据重新排列为2、3、3、5、8，
所以这组数据的众数为3、中位数为3，即a＝3、b＝3，
∴a﹣b＝0，
故答案为：0．
14．（3分）若m是方程x2+3x﹣2＝0的一个根，则3m2+9m+2021的值是 2017 ．
【分析】根据一元二次方程的解的定义得到m2+3m＝2，再把3m2+9m+2021变形为3（m2+3m）+2017，然后利用整体代入的方法计算即可．
【解答】解：把x＝m代入x2+3x﹣2＝0得m2+3m﹣2＝0，
所以m2+3m＝2，
所以3m2+9m+2021＝3（m2+3m）+2021＝2×3+2021＝2017．
故答案为2027．
15．（3分）如图，直线L上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为1和9，则b的面积为 10 ．
【分析】运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得∠BAC＝∠DCE，然后证明△ACB≌△CDE（AAS），再结合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可．
【解答】解：由于a、b、c都是正方形，所以AC＝CD，∠ACD＝90°；
∵∠ACB+∠DCE＝∠ACB+∠BAC＝90°，
即∠BAC＝∠DCE，
在△ACB和△CDE中，
，
∴△ACB≌△CDE（AAS），
∴AB＝CE，BC＝DE；
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2＝AB2+DE2，
即Sb＝Sa+Sc＝1+9＝10，
∴b的面积为10，
故答案为：10．
16．（3分）如图，△ABC的面积是16，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则△AFG的面积是 6 ．
【分析】由中线的性质可得，S△AEF＝S△ABE＝S△ABD＝2，S△AEG＝2，根据三角形中位线的性质，可得S△EFG＝S△BCE＝2，进而得到△AFG的面积．
【解答】解：∵点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，
∴S△ABD＝S△ADC＝S△ABC＝＝8，
同理可得，S△AEF＝S△ABE＝S△ABD＝2，S△AEG＝2，
S△BCE＝S△CDE+S△BDE＝（S△ADC+S△ABD）＝8，
又∵FG为△BCE的中位线，
∴S△EFG＝S△BCE＝2，
∴△AFG的面积为2×3＝6，
故答案为：6．
17．（3分）如图，将长方形ABCD沿对角线AC折叠，得到如图所示的图形，点B的对应点是点B′，B′C与AD交于点E．若AB＝2，BC＝4，则AE的长是 ．
【分析】由矩形的性质可得AB＝CD＝2，AD＝BC＝4，AD∥BC，根据平行线的性质和折叠的性质可得∠EAC＝∠ACE＝∠ACB，即AE＝EC，根据勾股定理可求AE的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝4，AD∥BC，
∴∠EAC＝∠ACB，
∵折叠，
∴∠ACE＝∠ACB，
∴∠EAC＝∠ACE，
∴AE＝CE，
在Rt△DEC中，CE2＝DE2+CD2，
AE2＝（4﹣AE）2+4，
∴AE＝
故答案为：
18．（3分）如图，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，以正方形ABCD的对角线AC为边作第2个正方形ACEF，再以第2个正方形的对角线AE为边作第3个正方形AEGH，如此下去，则第n个正方形的面积Sn＝ 2n﹣1 ．
【分析】先求出S1，S2，S3，S4，S5，…探究规律后即可解决问题．
【解答】解：由题意：S1＝1，
S2＝（）2＝2，
S3＝（×）2＝4，
S4＝（××）2＝8，
S5＝[（）4]2＝16，
…，
Sn＝[（）n﹣1]2＝2n﹣1．
故答案为2n﹣1．
19．如图，长方形ABCD中，AD＝4，AB＝3，点P是AB上一点，AP＝1，点E是BC上一动点，连接PE，将△BPE沿PE折叠，使点B落在B'，连接DB'，则PB'+DB'的最小值是 ．
【分析】连接DP．利用勾股定理求出DP，根据DB′+PB'≥DP，由此可得结论．
【解答】解：如图，连接DP．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∵AP＝1，AD＝4，
∴DP＝＝＝，
∵PB'+DB′≥DP，
∴PB'+DB′≥，
∴PB'+DB′的最小值为．
三、解答题（本大题共6题，满分46分）．解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程．解答写在答题卷上的指定区域内．
20．（6分）计算：．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质以及立方根、绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝1+4﹣4+2﹣
＝3﹣．
21．（8分）已知：关于x的方程x2+4x+2m＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，且该方程的根都是整数，求m的值．
【分析】（1）根据方程有实数根知△≥0，据此列出关于m的不等式，解之可得；
（2）先根据m≤2且m为正整数得m＝1或m＝2，再分别代入求解可得．
【解答】解：（1）根据题意知△＝42﹣4×2m＝16﹣8m≥0，
解得m≤2；
（2）由m≤2且m为正整数得m＝1或m＝2，
当m＝1时，方程的根不为整数，舍去；
当m＝2时，方程为x2+4x+4＝0，
解得x1＝x2＝﹣2，
∴m的值为2．
22．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝，BD＝2，求OE的长．
【分析】（1）先判断出∠OAB＝∠DCA，进而判断出∠DAC＝∠DCA，得出CD＝AD＝AB，即可得出结论；
（2）先判断出OE＝OA＝OC，再求出OB＝1，利用勾股定理求出OA，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD＝AB，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴▱ABCD是菱形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴OE＝OA＝OC，
∵BD＝2，
∴OB＝BD＝1，
在Rt△AOB中，AB＝，OB＝1，
∴OA＝＝2，
∴OE＝OA＝2．
23．（8分）某校为加强学生的安全意识，每周通过安全教育APP软件，向家长和学生推送安全教育作业．在最近一期的防溺水安全知识竞赛中，从中抽取了部分学生成绩进行统计．绘制了图中两幅不完整的统计图．请回答如下问题：
（1）m＝ 50 ，a＝ 72
（2）补全频数分布直方图；
（3）该校共有1600名学生．若认定成绩在60分及以下（含60分）的学生安全意识不强，有待进一步加强安全教育，请估计该校安全意识不强的学生约有多少人？
【分析】（1）先根据A组频数及其所占百分比求得总人数，总人数乘以D组百分比可得m的值，总人数乘以B的百分比可得其人数，再由各组人数之和等于总人数求得C的人数，最后用360°乘以C组人数所占比例可得a的值，据此可得答案；
（2）根据以上所求结果即可补全图形；
（3）用总人数乘以样本中A组的百分比可得．
【解答】解：（1）∵被调查的总人数为30÷15%＝200，
∴m＝200×25%＝50，B组人数为200×10%＝20，
则C组的人数为200﹣（30+20+50+60）＝40，
∴a＝360×＝72，
故答案为：50、72；
（2）补全频数分布直方图如下：
（3）估计该校安全意识不强的学生约有1600×15%＝240人．
24．（8分）在丝绸博览会期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60cm，宽40cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸条带．
（1）若丝绸条带的面积为650cm2，求丝绸条带的宽度；
（2）已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价为100元/件销售，那么每天可售出200件，另外每天除工艺品的成本外所需支付的各种费用是2000元，根据销售经验，如果将销售单价降低1元，每天可多售出20件，请问该公司每天把销售单价定为多少元时，当日所获利润为22500元．
【分析】（1）设出花边的宽，然后表示出花边的长，利用面积公式表示出其面积即可列出方程求解；
（2）设每件工艺品降价y元出售，则降价x元后可卖出的总件数为（200+20y），每件获得的利润为（100﹣y﹣40），此时根据获得的利润＝卖出的总件数×每件工艺品获得的利润，列出次方程，求解即可．
【解答】解：（1）设条带的宽度为xcm，
根据题意，得（60﹣2x）（40﹣x）＝60×40﹣650．
整理，得x2﹣70x+325＝0，
解得x1＝5，x2＝65（舍去）．
答：丝绸条带的宽度为5cm．
（2）设每件工艺品降价y元出售，
由题意得：（100﹣y﹣40）（200+20y）﹣2000＝22500．
解得：y1＝y2＝25．
所以售价为100﹣25＝75（元）．
答：当售价定为75元时能达到利润22500元．
25．（8分）如图，矩形ABCD中，AD＝2AB，E是AD边上一点，DE＝AD（n为大于2的整数），连接BE，作BE的垂直平分线分别交AD，BC于点F，G，FG与BE的交点为O，连接BF和EG．
（1）试判断四边形BFEG的形状，并说明理由；
（2）当AB＝a（a为常数），n＝3时，求FG的长；
（3）记四边形BFEG的面积为S1，矩形ABCD的面积为S2，当＝时，求n的值．（直接写出结果，不必写出解答过程）
【分析】（1）先求证△EFO≌△BGO，可得FO＝GO，再根据对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，即可证明四边形BFEG为菱形；
（2）根据菱形面积不同的计算公式（底乘高和对角线乘积的一半两种计算方式）可计算FG的长度；
（3）根据菱形面积底乘高的计算方式可以求出BG长度，根据勾股定理可求出AF的长度，即可求出ED的长度，即可计算n的值．
【解答】解：（1）∵AD∥BC，
∴∠EFO＝∠BGO，
∵FG为BE的垂直平分线，
∴BO＝OE；
∵在△EFO和△BGO中，，
∴△EFO≌△BGO，
∴FO＝GO
∵EO＝BO，且BE⊥FG
∴四边形BGEF为菱形．
（2）当AB＝a，n＝3时，AD＝2a，AE＝，
根据勾股定理可以计算BE＝，
∵AF＝AE﹣EF＝AE﹣BF，在Rt△ABF中AB2+AF2＝BF2，计算可得AF＝，EF＝，
∵菱形BGEF面积＝BE•FG＝EF•AB，计算可得FG＝．
（3）设AB＝x，则DE＝，
S1＝BG•AB，S2＝BC•AB
当＝时，＝，可得BG＝，
在Rt△ABF中AB2+AF2＝BF2，计算可得AF＝，
∴AE＝AF+FE＝AF+BG＝，DE＝AD﹣AE＝，
∴＝，
∴n＝6．
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