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数学八年级上册12.3 角的平分线的性质教学设计及反思
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这是一份数学八年级上册12.3 角的平分线的性质教学设计及反思，共4页。教案主要包含了教学内容的分析，教学目标，教学重点，教学难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
本节课是在学习了角平分线的概念和全等三角形的基础上进行的，是全等三角形知识的运用和延续．用尺规作一个角的平分线，其作法原理是三角形全等的“边边边”判定方法和全等三角形的性质；角的平分线的性质证明，运用了三角形全等的“角角边”判定方法和全等三角形的性质．角的平分线的性质证明提供了使用角的平分线的一种重要模式──利用角平分线构造两个全等的直角三角形，进而证明相关元素相应相等．
角的平分线的性质反映了角的平分线的基本特征，也是证明两条线段相等的常用方法．数学问题中涉及角的平分线时，就相当于已知一对线段（角的平分线上的点到角的两边的垂线段）相等．角的平分线的性质的研究过程为以后学习线段垂直平分线的性质提供了思路和方法． 因此它既是对前面所学知识的应用，又是为后续学习作铺垫，具有举足轻重的作用．因此本节课在教材中占有非常重要的地位．
本节课的学习中，学生在分清角的平分线的性质的条件和结论，并进行严格的逻辑证明的过程中常常感到困难．例如，在用符号语言表述性质的条件和结论时，不知“距离”应为“条件”还是“结论”．其主要原因是角的平分线的性质是以文字命题的形式给出的，其条件和结论具有一定的隐蔽性．教学时，教师要引导学生分析性质中的条件和结论（必要时可让学生将性质改写成“如果??那么??”的形式），找出结论中的隐含条件（垂直），正确写出已知和求证，并归纳出证明几何命题的一般步骤．
【教学目标】
1、经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理．
2、能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题.
3、极度热情、高度责任、自动自发、享受成功。
【教学重点】
掌握角的平分线的性质定理
【教学难点】
角平分线定理的应用
【教学过程】
活动一：创设情景，提出问题。
问题1：如图是小明制作的风筝，AB=AD，BC=DC．不用度量，就知道AC是∠DAB的角平分线，你知道其中的道理吗？
活动二：合作交流，探求新知。
1.问题1： 在练习本上画一个角，怎样得到这个角的平分线？
学生活动：学生可能用量角器，也可能用折纸的方法动手操作，然后回答问题．
追问1：你能评价这些方法吗？在生产生活中，这些方法是否可行呢？
学生活动：学生分析并回答──利用量角器比较方便，但是有误差；利用折叠的方法比较简捷，但是只限于可以折叠的材质，若在木板、钢板等材料上操作，此方法就不可行了．
追问2：右图是一个平分角的仪器，其中AB =AD，BC =DC，将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE，射线AE 就是∠DAB 的平分线．你能说明它的道理吗？
追问3：从利用平分角的仪器画角的平分线中，你受到哪些启发？如何利用直尺和圆规作一个角的平分线？
追问4：你能运用所学的几何知识证明射线OC是∠AOB的平分线吗？
追问5：根据角平分仪的制作原理，如何用尺规作角的平分线？自学课本19页后，思考为什么要用大于1/2 MN的长为半径画弧？
2.问题:OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点，
操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表：
追问1：观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结论 。
追问2：通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？
追问3：通过动手实验、观察比较，我们猜想“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，你能通过逻辑推理证明这个结论吗？
（1）明确命题中的已知和求证．
已知：一个点在一个角的平分线上．
结论：这个点到这个角两边的距离相等．
（2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证．
已知：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E． 求证：PD=PE．
（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥ OB (已知)
∴ ∠PDO= ∠PEO=90°(垂直的定义)
在△PDO和△PEO中
∴ △PDO ≌ △PEO（AAS）
∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等）
解后思考：证明一个几何命题的步骤有那些？
追问4:你能用数学语言来表述角的平分线的性质定理吗？
符号语言：
∵∠AOC=∠BOC， PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E，
∴ PD=PE．
活动三：应用新知，形成技能。
在Rt△ABC中，BD平分∠ABC， DE⊥AB于E，则
⑴图中相等的线段有哪些？相等的角呢？
⑵哪条线段与DE相等？为什么？
⑶若AB＝10，BC＝8，AC＝6，求BE，AE的长和△AED的周长。
活动四：升华新知，回顾梳理。
1．本节课学习了哪些主要内容？
2．本节课是通过什么方式探究角的平分线的性质的？
3．角的平分线的性质为我们提供了证明什么的方法？在应用这一性质时要注意哪些问题？
活动五：拓展延伸，检测反馈。
如图,在△ABC中，AC⊥BC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，AB＝7㎝，AC＝3㎝，求BE的长。
活动六：布置作业，应用提高。
习题12．3第4、5题.PD
PE
第一次
第二次
第三次
本节课是在学习了角平分线的概念和全等三角形的基础上进行的，是全等三角形知识的运用和延续．用尺规作一个角的平分线，其作法原理是三角形全等的“边边边”判定方法和全等三角形的性质；角的平分线的性质证明，运用了三角形全等的“角角边”判定方法和全等三角形的性质．角的平分线的性质证明提供了使用角的平分线的一种重要模式──利用角平分线构造两个全等的直角三角形，进而证明相关元素相应相等．
角的平分线的性质反映了角的平分线的基本特征，也是证明两条线段相等的常用方法．数学问题中涉及角的平分线时，就相当于已知一对线段（角的平分线上的点到角的两边的垂线段）相等．角的平分线的性质的研究过程为以后学习线段垂直平分线的性质提供了思路和方法． 因此它既是对前面所学知识的应用，又是为后续学习作铺垫，具有举足轻重的作用．因此本节课在教材中占有非常重要的地位．
本节课的学习中，学生在分清角的平分线的性质的条件和结论，并进行严格的逻辑证明的过程中常常感到困难．例如，在用符号语言表述性质的条件和结论时，不知“距离”应为“条件”还是“结论”．其主要原因是角的平分线的性质是以文字命题的形式给出的，其条件和结论具有一定的隐蔽性．教学时，教师要引导学生分析性质中的条件和结论（必要时可让学生将性质改写成“如果??那么??”的形式），找出结论中的隐含条件（垂直），正确写出已知和求证，并归纳出证明几何命题的一般步骤．
【教学目标】
1、经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理．
2、能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题.
3、极度热情、高度责任、自动自发、享受成功。
【教学重点】
掌握角的平分线的性质定理
【教学难点】
角平分线定理的应用
【教学过程】
活动一：创设情景，提出问题。
问题1：如图是小明制作的风筝，AB=AD，BC=DC．不用度量，就知道AC是∠DAB的角平分线，你知道其中的道理吗？
活动二：合作交流，探求新知。
1.问题1： 在练习本上画一个角，怎样得到这个角的平分线？
学生活动：学生可能用量角器，也可能用折纸的方法动手操作，然后回答问题．
追问1：你能评价这些方法吗？在生产生活中，这些方法是否可行呢？
学生活动：学生分析并回答──利用量角器比较方便，但是有误差；利用折叠的方法比较简捷，但是只限于可以折叠的材质，若在木板、钢板等材料上操作，此方法就不可行了．
追问2：右图是一个平分角的仪器，其中AB =AD，BC =DC，将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE，射线AE 就是∠DAB 的平分线．你能说明它的道理吗？
追问3：从利用平分角的仪器画角的平分线中，你受到哪些启发？如何利用直尺和圆规作一个角的平分线？
追问4：你能运用所学的几何知识证明射线OC是∠AOB的平分线吗？
追问5：根据角平分仪的制作原理，如何用尺规作角的平分线？自学课本19页后，思考为什么要用大于1/2 MN的长为半径画弧？
2.问题:OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点，
操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表：
追问1：观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结论 。
追问2：通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？
追问3：通过动手实验、观察比较，我们猜想“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，你能通过逻辑推理证明这个结论吗？
（1）明确命题中的已知和求证．
已知：一个点在一个角的平分线上．
结论：这个点到这个角两边的距离相等．
（2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证．
已知：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E． 求证：PD=PE．
（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥ OB (已知)
∴ ∠PDO= ∠PEO=90°(垂直的定义)
在△PDO和△PEO中
∴ △PDO ≌ △PEO（AAS）
∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等）
解后思考：证明一个几何命题的步骤有那些？
追问4:你能用数学语言来表述角的平分线的性质定理吗？
符号语言：
∵∠AOC=∠BOC， PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E，
∴ PD=PE．
活动三：应用新知，形成技能。
在Rt△ABC中，BD平分∠ABC， DE⊥AB于E，则
⑴图中相等的线段有哪些？相等的角呢？
⑵哪条线段与DE相等？为什么？
⑶若AB＝10，BC＝8，AC＝6，求BE，AE的长和△AED的周长。
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PE
第一次
第二次
第三次
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