高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质教学ppt课件

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在初中我们利用函数图像探究过函数值随自变量的增大而增大(减小)的性质，这性质叫做函数的单调性.下面进一步刻画这种性质. 先研究二次函数 的单调性.画出图像，可以看到，当x＜0时，y随x的增大而减小，也就是说，任意取 ，得到 ，有 .这时我们就说函数 在区间(-∞，0]上是单调递减的.
同理，函数 在[0,+∞)上是单调递增的.
函数在(-∞，0]上为减函数，在[0,+∞)上为增函数，但在(-∞,+∞)上不具有单调性.
因为 ，所以
【问题】如何判断本题中 的大小？
【1】观察图像法，从右侧图像中很容易得到
在区间(-∞，0]单调递减； 在区间[0，+∞)单调递增.
【思考】函数 和函数 各有怎样的单调性？
【解】作出两个函数的图像，由图像可知：
函数 在区间(-∞，0]单调递增；在区间[0，+∞)单调递减.
一般地，设函数 的定义域为S，区间 ，如果 ，当 时，都有 ，那么就称函数 在区间A上单调递增.特别地，若函数 在它的定义域上单调递增时，我们就称它为增函数.
如果 ，当 时，都有 ，那么就称函数 在区间A上单调递减.特别地，若函数 在它的定义域上单调递减时，我们就称它为减函数. 函数具有单调性的的区间叫做单调区间.
【探究】在函数单调性的定义中，对区间A有什么要求？
（1）区间A可以是整个定义域S.如函数y=x，他在定义域上单调，A=S.
（2）区间A可以是定义域S的真子集，如函数y=|x|， S=(-∞，+∞)，当A= (-∞，0]时，函数单调递减.
（3）区间A一定是连续的，如果中间有断裂，则无法称 作单调递增或者单调递减.如图示的函数.
函数单调性定义的等价形式(对于任意的 )：
即自变量之差与函数值之差的乘积同号，函数为增函数； 自变量之差与函数值之差的乘积同号，函数为减函数；
【1】判断(证明)单调性：
【2】比较函数值大小：
【3】已知函数值大小比较自变量：
并非所有函数都有单调性或者单调区间.如函数虽然它的定义域为R，但是它不具有单调性.
【问题】书写函数的单调区间端点有何要求？
函数在区间端点处有定义时，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减的变化，所以不存在单调性问题，因此在书写单调区间时，可以包括，也可以不包括.如函数y=t的单调增区间可以写(0，+∞)，也可以写成[0，+无穷大)
反之，函数在区间端点处无定义时，书写单调区间时就不能包括端点.
【例题1】根据定义，研究函数 的单调性.
【解】函数 的定义域是R，对于任意的 且 ，
由 知 ，所以：
①当 时， ，即 ，
这时，函数 是增函数；
这时，函数 是减函数；
且 ，有：
【例题2】物理学中的玻意耳定律 ( 为正常数)告诉我们，对于一定量的 气体，当其体积V减少时，压强P将增大.试对此用函数的单调性证明.
【分析】根据题意，只要证明函数 是减函数即可.
由 得 ；由 得
又 ，所以 即
所以函数 是减函数.问题得证.
【观察】观察函数 的图像可以发现，二次 函数的图像上有一个最低点(0，0)，即：
函数的最值(最大值和最小值)
当一个函数有最低点时，我们就说这个函数有最小值.
【定义】一般地，设函数 的定义域为A，如果当自变量 时，有： ，那么我们就称 是函数的最小值；
反之，设函数 的定义域为A，如果当自变量 时，有： ，那么我们就称 是函数的最大值.
【常用结论与表达方式】
【1】若函数 在区间 上单调递增，那么函数的最小值 ，最大值
【2】若函数 在区间 上单调递减，那么函数的最小值 ，最大值
【3】函数的最大值和最小值可以有多个，如图：