必修 第一册4.1 幂函数说课课件ppt

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【说明】对于幂函数，我们只研究 时图像的性质.
在同一坐标系中画出函数
【总结】①只有 时图像才是直线；
②图像一定会出现在第一象限， 一定不会出现在第四象限；
③图像一定经过 (1,1) 这个定点；
④第一象限内 由上到下递减.
【总结】⑤ 时，图像在定义域内上升；
⑥ 时，图像在第一象限下降；
⑦只有 时，图像才与坐标轴 相交，且交点一定为原点；
⑧ 时，图像是y=1这条直线.
学习新知——几个幂函数的图象和性质
【例题1】利用幂函数的性质，比较下列两个数的大小.
【解】设 ，则 在R上为增函数.
比较大小用作差法.由增减性，根据自变量的大小，比较函数值的大小；或者根据函数值的大小，比较自变量的大小.
∵ -1.5＜-1.4，∴ (-1.5)3＜(-1.4)3
(-1.5)3 和 (-1.4)3
幂函数的图象已知函数y=xa,y=xb,y=xc的图象如图所示,则a,b,c的大小关系为(　　)A.c分析利用幂函数在第一象限内的图象特征和性质,结合所给图象分析并判断a,b,c的大小关系.
答案:A　解析:由幂函数的图象特征,知c<0,a>1,0反思感悟1.本题也可采用特殊值法,如取x=2,结合图象可知2a>2b>2c,又函数y=2x在R上是增函数,于是a>b>c.2.对于函数y=xα(α为常数)而言,其图象有以下特点:(1)恒过点(1,1).(2)当x∈(0,1)时,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”);当x∈(1,+∞)时,指数越大,幂函数的图象越远离x轴(简记为“指大图高”).(3)由幂函数的图象确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y=x-1或y= ,y=x3)来判断.(4)当α>0时,幂函数在区间(0,+∞)上都是增函数;当α<0时,幂函数在区间(0,+∞)上都是减函数.
变式训练2如图所示,曲线C1与C2分别是函数y=xm和y=xn在第一象限内的图象,则下列结论正确的是(　　)A.nm>0D.m>n>0
答案:A　解析:画出直线y=x0的图象,作出直线x=2,与三个函数图象交于点(2,20),(2,2m),(2,2n).由三个点的位置关系可知,n【例题】证明幂函数 是增函数.
【证明】函数的定义域是[0，+∞).
因为 ， ，所以
即幂函数 是增函数.
题型一 利用幂函数的单调性比较指数幂的大小
利用幂函数的单调性比较大小比较下列各组中两个数的大小:
反思感悟1.比较幂大小的三种常用方法
2.利用幂函数单调性比较大小时要注意的问题比较大小的两个实数必须在同一函数的同一个单调区间内,否则无法比较大小.
A.b题型二幂函数图象的应用
图象上,问当x为何值时,有:(1)f(x)>g(x),(2)f(x)=g(x),(3)f(x)在同一直角坐标系中作出f(x)=x2和g(x)=x-2的图象,如图所示:(1)当x>1或x<-1时,f(x)>g(x);(2)当x=1或x=-1时,f(x)=g(x);(3)当-1变式训练4已知(0.71.3)m<(1.30.7)m,求m的取值范围.
解:根据幂函数y=x1.3的图象,知当01时,y>1,∴1.30.7>1.于是有0.71.3<对于幂函数y=xm,由(0.71.3)m<(1.30.7)m知,当x>0时,随着x的增大,函数值y也增大,所以m>0.
题型三幂函数的“凸”性(1)上凸函数、下凸函数的定义
(2)幂函数的凸性①幂函数y=xα,x∈(0,+∞),在α>1时,函数是下凸函数;②幂函数y=xα,x∈(0,+∞),在0<α<1时,函数是上凸函数;③幂函数y=xα,x∈(0,+∞),在α<0时,函数是下凸函数.
这个定义从几何形式上看就是:在函数f(x)的图象上取任意两点,如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的上方,那么这个函数就是上凸函数;如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方,那么这个函数就是下凸函数.根据函数图象判断,一般开口向下的二次函数是上凸函数,开口向上的二次函数是下凸函数.
典例如图,fi(x)(i=1,2,3,4)是定义在区间[0,1]上的四个函数,其中满足性质:“对[0,1]中任意的x1和x2,任意λ∈[0,1],f[λx1+(1-λ)x2]≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)恒成立”的只有(　　)
A.f1(x) B.f2(x)C.f3(x)D.f4(x)
再结合函数f(x)图象的凹凸性,可排除B,C,D三个选项,正确答案为A.
1.幂函数y=kxα过点(4,2),则k-α的值为(　　)
答案:B　解析:幂函数y=kxα过点(4,2),
A.C2,C1,C3,C4B.C4,C1,C3,C2C.C3,C2,C1,C4D.C1,C4,C2,C3
3.幂函数f(x)=x3m-5(m∈N)在区间(0,+∞)上是单调递减,且对定义域中的任意x,有f(-x)=f(x),则m等于(　　)A.0B.1C.2D.3
答案:B　解析:幂函数f(x)=x3m-5(m∈N)在(0,+∞)上单调递减,则3m-5<0,即
又m∈N,故m=0或m=1.∵f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数.当m=0时,f(x)=x-5是奇函数;当m=1时,f(x)=x-2是偶函数,符合题意.