2021学年12.1 全等三角形习题ppt课件

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1．如图，在四边形OACB中，CM⊥OA于点M，∠1＝∠2，CA＝CB.求证：(1)∠3＋∠4＝180°；
【点拨】本题实际上用到翻折法，作辅助线相当于把△OCM沿OC翻折到△OCE.
∴△OCE≌△OCM(AAS)．∴CE＝CM.又∵CB＝CA，∴Rt△BCE≌Rt△ACM(HL)．∴∠3＝∠CBE.∴∠3＋∠4＝∠CBE＋∠4＝180°.
(2)OA＋OB＝2OM.
证明：由(1)知△OCE≌△OCM，Rt△BCE≌Rt△ACM，∴OE＝OM，BE＝AM.∴OA＋OB＝OM＋AM＋OB＝OM＋BE＋OB＝OM＋OE＝2OM.
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠ABC＝45°，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF.求证∠ADC＝∠BDF.
【点拨】本题利用补形法构造出△CBG，证明全等后，通过∠G来寻找∠ADC与∠BDF的相等关系．
∴△ACD≌△CBG(ASA)．∴∠ADC＝∠G，CD＝BG.∵点D为BC的中点，∴CD＝BD.∴BD＝BG.∵∠DBG＝90°，∠DBF＝45°，∴∠GBF＝∠DBG－∠DBF＝90°－45°＝45°.∴∠DBF＝∠GBF.
3．如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且∠EAF＝∠EFA.求证AC＝BF.
【点拨】本题运用了倍长中线法，借助点D是BC的中点，延长AD至点M，使DM＝AD，连接BM，构造△MDB和△ADC全等．利用全等三角形的性质对线段和角进行等量代换，再结合相关知识解决问题．
4．如图，在△ABC中，AB>AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点．求证：AB－AC>PB－PC.
【点拨】本题运用了截长法或补短法，AB比AC长，在AB上截取AN＝AC，构造△APN，通过全等证明；或者延长AC补成AM＝AB，构造△AMP，同样通过全等证明．
5．如图，∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，直角三角尺的顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA，OB相交于点C，D，PC与PD相等吗？试说明理由．
【点拨】本题中没有全等三角形，通过作垂线构造三角形，证明三角形全等，问题得解．
解：PC＝PD.理由如下：如图，过点P分别作PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E，F.∵OM平分∠AOB，∴PE＝PF.∵∠AOB＝90°，∠PEO＝∠PFO＝90°.∴∠EPF＝90°.∴∠EPC＋∠CPF＝90°.∵∠CPD＝90°，∴∠CPF＋∠FPD＝90°.∴∠EPC＝∠FPD.
6．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，AP平分∠BAC交BC于点P，BQ平分∠ABC交AC于点Q.求证：AB＋BP＝BQ＋AQ.
【点拨】本题中没有全等三角形，由角平分线想到作平行线，构造出全等三角形，再利用全等三角形的性质进行线段的等量代换，问题得证．