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初中数学北京课改版七年级上册2.5 一元一次方程教案设计
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这是一份初中数学北京课改版七年级上册2.5 一元一次方程教案设计，共7页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程，作业布置等内容，欢迎下载使用。
【教学目标】
1．知识与技能
根据具体问题中的数量关系，经历形成方程模型，解方程和运用方程解决实际问题的过程，体会方程是刻画现实世界的有效数学模型。
2．过程与方法
（1）了解一元一次方程及其相关概念，会解一元一次方程。（数学系数）
（2）能以一元一次方程为工具解决一些简单的实际问题，包括列方程，求解方程和解释结果的实际意义及合理性，提高分析问题、解决问题的能力。
3．情感态度与价值观
激发学生的好奇心和主动学习的欲望，体会数学的应用价值。
【教学重难点】
1．重点：一元一次方程有很多直接应用，解一元一次方程是解其他方程和方程组的基础。因此本章重点在于使学生能根据具体问题中的数量关系列出一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本方法，能运用一元一次方程解决实际问题。
2．难点：正确地列出一元一次方程的解决实际问题。
【教学过程】
一、复习提问
在小学里，我们已学习了像2x=50，3x+1=4等简单方程，那么什么叫方程呢？什么叫方程的解和解方程呢？
答：含有未知数的等式叫方程；能使方程等号两边相等的未知数的值叫方程的解，求方程解的过程叫解方程。
方程是应用广泛的数学工具，把问题中未知数与已知数的联系用等式形式表示出来。在研究问题时，要分析数量关系，用字母表示未知数，列出方程，然后求出未知数。
怎样根据问题中的数量关系列出方程？怎样解方程？这是本章研究的问题。
通过本章中丰富多彩的问题，你将进一步感受到方程的作用，并学习利用一地一次方程解决问题的方法。
二、新授
1．怎样列方程？
让学生观察章前图表，根据图表中给出的信息，回答以下问题。
（1）根据图中的汽车匀速行驶途经王家庄、青山、秀水三地的时间表，你知道，汽车从王家庄行驶到青山用了多少时间？青山到秀水呢？
（2）青山与翠湖、秀水到翠湖的距离分别是多少？
（3）本问题要求什么？
（4）你会用算术方法解决这个实际问题呢？不妨试试列算式。
（5）如果设王家庄到翠湖的路程为x（千米），你能列出方程吗？
解：
（1）汽车从王家庄行驶到青山用了3小时，青山到秀水用了2小时。
（2）青山与翠湖的距离为50千米，秀水与翠湖的距离为70千米。
（3）王家庄到翠湖的距离是多少千米？
（4）分析：要求王家庄到翠湖的距离，只要求出王家庄到青山的距离，而王家庄到青山的时间为3小时，所以必需求汽车的速度。
如何求汽车的速度呢？
这里青山到秀水的时间为2小时，路程为（50+70）千米，因此可求的汽车的平均速度为（50+70）÷2=60（千米／时）
王家庄到青山的路程为：60×3=180（千米）
所以王家庄到翠湖的路程为：180+50=230（千米）
列综合算式为：×3+50
（5）分析：先画出示意图，示意图往往有助于分析问题。
从上图中可以用含x的式子表示关于路程的数量：
王家庄距青山（x-50）千米，王家庄距秀水（x+70）千米。
从章前图表中可以得出关于时间的数量：
从王家庄到青山行车3小时，从王家庄到秀水行车5小时。
由路程数量和行车时间的数量，可以得到行车速度的表达式。
汽车从王家庄开往青山时的速度为千米／时，汽车从王家庄开往秀水的速度为千米／时。
要列出方程，必需找出“相等关系”，题目中还有哪些相等关系吗？
根据汽车是匀速行驶的，可知各段路程的车速相等。
于是列出方程：
=
以后我们将学习如何解这个方程，求出未知数x的值，从而得出王家庄到翠湖的路程。
思考：对于以上的问题，你还能列出其他方程吗？如果能，你依据的是哪个相等关系？
根据汽车匀速行驶，可知各段路程的车速相等。
所以还可以列方程：
=或=
（前者是汽车从王家庄到青山与从青山到秀水，这两段路程的车速相等，后者是汽车从王家庄到翠湖与从青山到秀水，这两段路程的车速相等）
比较用算术方法和列方程方法解应用题，用算术方法解题时，列出的算式表示用算术方法解题的计算过程，其中只能用已知数，对于较复杂的问题，列算式比较困难；而方程是根据问题中的等量关系列出的等式，其中既含有已知数，又含有用字母表示的未知数，有了这个未知数，问题中的已知量与未知量之间的关系就很容易用含有这个未知数的式子表示，再根据“相等关系”列出方程。
有了方程后人们解决许多问题就更方便了，通过今后的学习，你会逐步认识：从算式到方程是数学的进步。
列方程时，要先设字母表示未知数，通常用x、y、z等字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，写出含有未知数的等式即方程。
例1：根据下列问题，设未知数并列出方程。
（1）用一根长24cm的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是多少？
分析：设正方形的边长为x（cm），那么周长为4x（cm），依题意，得4x=24．
（2）一台计算机已使用1700小时，预计每月再使用150小时，经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450小时？
分析：设再经过x月这台计算机的使用时间达到规定的检测时间，根据每月再使用150小时，那么x月共使用150x小时。
能表示这个问题的相等关系是什么？
相等关系是：已使用的时间1700小时＋还可以使用的时间150x小时＝规定的检测时间2450小时。
从而列出方程：1700+150x=2450.
找出表达问题意义的相等关系是列出方程的关键。
（3）某校女生占全体学生的52%，比男生多80人，这个学校有多少学生？
问：女生占全体学生数的52%，那么男生占全体学生数的（1-52%），如果设这个学校有x个学生，那么用含x的式子表示女、男学生数。
女生有52%x人，男生有（1-52%）x人；
问题中的相等关系是什么？
（女生比男生多80人）即女生人数-男生人数=80或女生人数=男生人数+80.
列方程：0.52x-（1-0.52）x=80或0.52x=（1-0.52）x+80.
2．一元一次方程的概念。
观察以上所列出的各方程，有什么特点？每个方程有几个未知数，未知数的指数是多少？
只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫做一元一次方程。
例如方程2x-3=3x+1，-3=2y等都是一元一次方程，而x+y=5，x2+3x=2都不是一元一次方程。
以上分析过程可归纳为：
分析问题中的数量关系──设未知数x──用含x的式子表示实际问题中的数量关系──找出相等关系，利用相等关系列出方程（一元一次方程）。
列方程是解决实际问题的一种重要方法，利用方程可以解出未知数。
观察方程4x=24，不难发现，当x=6时，4x的值是24，这时方程等号左右两边相等，x=6叫做方程4x=24的解，这就是说，方程4x=24中未知数x的值应是6．
从方程1700+150x=2450，你能估算出x的值吗？
这里x是正整数，如果x=1，那么方程左边=1700+150×1=1850≠右边
所以x≠1．
如果x=2，则方程左边=1700+150×2=2000≠右边，
所以x≠2．
类似地，我们可以列出下面的表。
从表中可以发现，当x=5时，1700+150x的值是2450。
这时方程1700+150x=2450等号左右两边相等，x=5叫做方程1700+150x=2450的解，这就是说，方程1700+150x=2450中未知数x的值应是5．
解方程就是求出使方程中等号两边相等的未知数的值的过程，这个值就是方程的解。
你能从表中发现方程1700+150x=2600的解吗？
当x=6时，1700+150x的值为2600，即x=6时方程等号两边的值相等，所以这个方程的解是x=6．
思考：你能估算出方程2（x+1．5x）=24和方程0.52x-（1-0.52）x=80的解吗？
以上估算难度较大，第一个方程，当x=4时，方程左边=20<24；当x=5时方程左边=25>24，所以取x=4．7或x=4．8．试一试，结果当x=4．8时，方程左边=24=右边，所以方程的解为x=4．8．第二个方程的解为x=2000，困难更大了，可以告诉学生，当我们学习了方程的解法后，就很容易求出x的值了。
思考：x=1000和x=2000中哪一个是方程0.52x-（1-0.52）x=80的解？
三、巩固练习
课本练习。
1．设沿跑道跑x周，可以跑3000m，根据相等关系──x周共长3000m。
所以列方程：400x=3000，如果x=7，则400x=2800<3000，如果x=8，则400x=3200>3000，如果x=7．5，则400x=4007．5=3000，所以沿跑道跑7周半，可以跑3000m。
2．如果设买甲种铅笔x枝，那么买乙种铅笔（20-x）枝，买甲种铅笔用去0.3x元，乙种铅笔用去0.6（20-x）元，相等关系是：
两种铅笔共用了9元钱，由此可列方程。
0.3x+0.6（20-x）=9
3．设上底长为xcm，那么下底长为（x+2）cm，
根据梯形面积公式，可列方程：
=40
四、课堂小结
方程在小学里已初步学过，对于方程中的一些概念，如：方程的解和解方程等，要进一步弄清楚，今天还学习了一元一次方程的定义，“一元”是指方程中只有一个未知数，“一次”是指方程中未知数的指数是一，这样的方程才是一元一次方程。
用估算求方程的解，实际上是检验一个数是否为方程的解，方法是：把这个数分别代入方程的左、右两边，看是否相等，若方程只有一边含有未知数，而另一边只有一个数，则只需代入只有未知数的一边，计算出结果，看其是否和另一边相等。
列方程是本节课重点，掌握列方程解决实际问题方法步骤：
设未知数──用含未知数的式子表示问题中的数量关系。
找出相等关系──列出一元一次方程。
其中找相等关系是关键也是一个难点，这个相等关系要能够表示应用题全部含义的相等关系，也就是题目中给出的条件应予充分利用，不能把同一条件重复利用。
【作业布置】
一、判断题。（对的打“∨”，错的“×”）
1．x=2是方程x-10=-4x的解。 （ ）
2．x=1或x=-1都是方程x2-1=0的解。（ ）
二、选择题。
3．方程12（x-3）-1=2x+3的解是（ ）。
A．x=3 B．x=-3 C．x=-4 D．x=4
4．下列式子是一元一次方程的是（ ）。
A．2x+1 B． C．7x+5y=0 D．x2-x=0
5．解是1的方程是（ ）。
A．x（x-1）=1 B．2y-1=4-3y
C．3-（x-1）=4 D．5x-2=x-4
三、根据下列条件列出方程。（不求解）
6．某数的比这个数大1．
7．某数的3倍比这个数的小3．
8．某数与1的差是这个数的2倍。
9．某数的30%与4的差的等于2．
四、解答题。
10．买3千克苹果，付出10元，找回了3角4分，求每千克苹果多少钱？
11．某厂去年10月生产电视机2050台，这比前年10月产量的2倍还多150台，这个厂前年10月生产电视机多少台？
12．挖一条长1210m的水渠，由甲、乙两队从两头同时施工，甲队每天挖130m，乙队每天挖90m，挖好水渠需要多少天？
13．现在有面值为2元和5元的人民币39张，币值共计111元，问两种人民币各有多少张？
x的值
1
2
3
4
5
6
…
1700+150x
1850
2000
2150
2300
2450
2600
…
【教学目标】
1．知识与技能
根据具体问题中的数量关系，经历形成方程模型，解方程和运用方程解决实际问题的过程，体会方程是刻画现实世界的有效数学模型。
2．过程与方法
（1）了解一元一次方程及其相关概念，会解一元一次方程。（数学系数）
（2）能以一元一次方程为工具解决一些简单的实际问题，包括列方程，求解方程和解释结果的实际意义及合理性，提高分析问题、解决问题的能力。
3．情感态度与价值观
激发学生的好奇心和主动学习的欲望，体会数学的应用价值。
【教学重难点】
1．重点：一元一次方程有很多直接应用，解一元一次方程是解其他方程和方程组的基础。因此本章重点在于使学生能根据具体问题中的数量关系列出一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本方法，能运用一元一次方程解决实际问题。
2．难点：正确地列出一元一次方程的解决实际问题。
【教学过程】
一、复习提问
在小学里，我们已学习了像2x=50，3x+1=4等简单方程，那么什么叫方程呢？什么叫方程的解和解方程呢？
答：含有未知数的等式叫方程；能使方程等号两边相等的未知数的值叫方程的解，求方程解的过程叫解方程。
方程是应用广泛的数学工具，把问题中未知数与已知数的联系用等式形式表示出来。在研究问题时，要分析数量关系，用字母表示未知数，列出方程，然后求出未知数。
怎样根据问题中的数量关系列出方程？怎样解方程？这是本章研究的问题。
通过本章中丰富多彩的问题，你将进一步感受到方程的作用，并学习利用一地一次方程解决问题的方法。
二、新授
1．怎样列方程？
让学生观察章前图表，根据图表中给出的信息，回答以下问题。
（1）根据图中的汽车匀速行驶途经王家庄、青山、秀水三地的时间表，你知道，汽车从王家庄行驶到青山用了多少时间？青山到秀水呢？
（2）青山与翠湖、秀水到翠湖的距离分别是多少？
（3）本问题要求什么？
（4）你会用算术方法解决这个实际问题呢？不妨试试列算式。
（5）如果设王家庄到翠湖的路程为x（千米），你能列出方程吗？
解：
（1）汽车从王家庄行驶到青山用了3小时，青山到秀水用了2小时。
（2）青山与翠湖的距离为50千米，秀水与翠湖的距离为70千米。
（3）王家庄到翠湖的距离是多少千米？
（4）分析：要求王家庄到翠湖的距离，只要求出王家庄到青山的距离，而王家庄到青山的时间为3小时，所以必需求汽车的速度。
如何求汽车的速度呢？
这里青山到秀水的时间为2小时，路程为（50+70）千米，因此可求的汽车的平均速度为（50+70）÷2=60（千米／时）
王家庄到青山的路程为：60×3=180（千米）
所以王家庄到翠湖的路程为：180+50=230（千米）
列综合算式为：×3+50
（5）分析：先画出示意图，示意图往往有助于分析问题。
从上图中可以用含x的式子表示关于路程的数量：
王家庄距青山（x-50）千米，王家庄距秀水（x+70）千米。
从章前图表中可以得出关于时间的数量：
从王家庄到青山行车3小时，从王家庄到秀水行车5小时。
由路程数量和行车时间的数量，可以得到行车速度的表达式。
汽车从王家庄开往青山时的速度为千米／时，汽车从王家庄开往秀水的速度为千米／时。
要列出方程，必需找出“相等关系”，题目中还有哪些相等关系吗？
根据汽车是匀速行驶的，可知各段路程的车速相等。
于是列出方程：
=
以后我们将学习如何解这个方程，求出未知数x的值，从而得出王家庄到翠湖的路程。
思考：对于以上的问题，你还能列出其他方程吗？如果能，你依据的是哪个相等关系？
根据汽车匀速行驶，可知各段路程的车速相等。
所以还可以列方程：
=或=
（前者是汽车从王家庄到青山与从青山到秀水，这两段路程的车速相等，后者是汽车从王家庄到翠湖与从青山到秀水，这两段路程的车速相等）
比较用算术方法和列方程方法解应用题，用算术方法解题时，列出的算式表示用算术方法解题的计算过程，其中只能用已知数，对于较复杂的问题，列算式比较困难；而方程是根据问题中的等量关系列出的等式，其中既含有已知数，又含有用字母表示的未知数，有了这个未知数，问题中的已知量与未知量之间的关系就很容易用含有这个未知数的式子表示，再根据“相等关系”列出方程。
有了方程后人们解决许多问题就更方便了，通过今后的学习，你会逐步认识：从算式到方程是数学的进步。
列方程时，要先设字母表示未知数，通常用x、y、z等字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，写出含有未知数的等式即方程。
例1：根据下列问题，设未知数并列出方程。
（1）用一根长24cm的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是多少？
分析：设正方形的边长为x（cm），那么周长为4x（cm），依题意，得4x=24．
（2）一台计算机已使用1700小时，预计每月再使用150小时，经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450小时？
分析：设再经过x月这台计算机的使用时间达到规定的检测时间，根据每月再使用150小时，那么x月共使用150x小时。
能表示这个问题的相等关系是什么？
相等关系是：已使用的时间1700小时＋还可以使用的时间150x小时＝规定的检测时间2450小时。
从而列出方程：1700+150x=2450.
找出表达问题意义的相等关系是列出方程的关键。
（3）某校女生占全体学生的52%，比男生多80人，这个学校有多少学生？
问：女生占全体学生数的52%，那么男生占全体学生数的（1-52%），如果设这个学校有x个学生，那么用含x的式子表示女、男学生数。
女生有52%x人，男生有（1-52%）x人；
问题中的相等关系是什么？
（女生比男生多80人）即女生人数-男生人数=80或女生人数=男生人数+80.
列方程：0.52x-（1-0.52）x=80或0.52x=（1-0.52）x+80.
2．一元一次方程的概念。
观察以上所列出的各方程，有什么特点？每个方程有几个未知数，未知数的指数是多少？
只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫做一元一次方程。
例如方程2x-3=3x+1，-3=2y等都是一元一次方程，而x+y=5，x2+3x=2都不是一元一次方程。
以上分析过程可归纳为：
分析问题中的数量关系──设未知数x──用含x的式子表示实际问题中的数量关系──找出相等关系，利用相等关系列出方程（一元一次方程）。
列方程是解决实际问题的一种重要方法，利用方程可以解出未知数。
观察方程4x=24，不难发现，当x=6时，4x的值是24，这时方程等号左右两边相等，x=6叫做方程4x=24的解，这就是说，方程4x=24中未知数x的值应是6．
从方程1700+150x=2450，你能估算出x的值吗？
这里x是正整数，如果x=1，那么方程左边=1700+150×1=1850≠右边
所以x≠1．
如果x=2，则方程左边=1700+150×2=2000≠右边，
所以x≠2．
类似地，我们可以列出下面的表。
从表中可以发现，当x=5时，1700+150x的值是2450。
这时方程1700+150x=2450等号左右两边相等，x=5叫做方程1700+150x=2450的解，这就是说，方程1700+150x=2450中未知数x的值应是5．
解方程就是求出使方程中等号两边相等的未知数的值的过程，这个值就是方程的解。
你能从表中发现方程1700+150x=2600的解吗？
当x=6时，1700+150x的值为2600，即x=6时方程等号两边的值相等，所以这个方程的解是x=6．
思考：你能估算出方程2（x+1．5x）=24和方程0.52x-（1-0.52）x=80的解吗？
以上估算难度较大，第一个方程，当x=4时，方程左边=20<24；当x=5时方程左边=25>24，所以取x=4．7或x=4．8．试一试，结果当x=4．8时，方程左边=24=右边，所以方程的解为x=4．8．第二个方程的解为x=2000，困难更大了，可以告诉学生，当我们学习了方程的解法后，就很容易求出x的值了。
思考：x=1000和x=2000中哪一个是方程0.52x-（1-0.52）x=80的解？
三、巩固练习
课本练习。
1．设沿跑道跑x周，可以跑3000m，根据相等关系──x周共长3000m。
所以列方程：400x=3000，如果x=7，则400x=2800<3000，如果x=8，则400x=3200>3000，如果x=7．5，则400x=4007．5=3000，所以沿跑道跑7周半，可以跑3000m。
2．如果设买甲种铅笔x枝，那么买乙种铅笔（20-x）枝，买甲种铅笔用去0.3x元，乙种铅笔用去0.6（20-x）元，相等关系是：
两种铅笔共用了9元钱，由此可列方程。
0.3x+0.6（20-x）=9
3．设上底长为xcm，那么下底长为（x+2）cm，
根据梯形面积公式，可列方程：
=40
四、课堂小结
方程在小学里已初步学过，对于方程中的一些概念，如：方程的解和解方程等，要进一步弄清楚，今天还学习了一元一次方程的定义，“一元”是指方程中只有一个未知数，“一次”是指方程中未知数的指数是一，这样的方程才是一元一次方程。
用估算求方程的解，实际上是检验一个数是否为方程的解，方法是：把这个数分别代入方程的左、右两边，看是否相等，若方程只有一边含有未知数，而另一边只有一个数，则只需代入只有未知数的一边，计算出结果，看其是否和另一边相等。
列方程是本节课重点，掌握列方程解决实际问题方法步骤：
设未知数──用含未知数的式子表示问题中的数量关系。
找出相等关系──列出一元一次方程。
其中找相等关系是关键也是一个难点，这个相等关系要能够表示应用题全部含义的相等关系，也就是题目中给出的条件应予充分利用，不能把同一条件重复利用。
【作业布置】
一、判断题。（对的打“∨”，错的“×”）
1．x=2是方程x-10=-4x的解。 （ ）
2．x=1或x=-1都是方程x2-1=0的解。（ ）
二、选择题。
3．方程12（x-3）-1=2x+3的解是（ ）。
A．x=3 B．x=-3 C．x=-4 D．x=4
4．下列式子是一元一次方程的是（ ）。
A．2x+1 B． C．7x+5y=0 D．x2-x=0
5．解是1的方程是（ ）。
A．x（x-1）=1 B．2y-1=4-3y
C．3-（x-1）=4 D．5x-2=x-4
三、根据下列条件列出方程。（不求解）
6．某数的比这个数大1．
7．某数的3倍比这个数的小3．
8．某数与1的差是这个数的2倍。
9．某数的30%与4的差的等于2．
四、解答题。
10．买3千克苹果，付出10元，找回了3角4分，求每千克苹果多少钱？
11．某厂去年10月生产电视机2050台，这比前年10月产量的2倍还多150台，这个厂前年10月生产电视机多少台？
12．挖一条长1210m的水渠，由甲、乙两队从两头同时施工，甲队每天挖130m，乙队每天挖90m，挖好水渠需要多少天？
13．现在有面值为2元和5元的人民币39张，币值共计111元，问两种人民币各有多少张？
x的值
1
2
3
4
5
6
…
1700+150x
1850
2000
2150
2300
2450
2600
…
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