初中数学人教版八年级上册第十一章 三角形11.2 与三角形有关的角11.2.2 三角形的外角课文课件ppt

这是一份初中数学人教版八年级上册第十一章 三角形11.2 与三角形有关的角11.2.2 三角形的外角课文课件ppt，共25页。PPT课件主要包含了知识回顾，学习目标，课堂导入，三角形的外角，新知探究，有其他解法吗，三角形的外角和定理，跟踪训练，随堂练习，三角形外角和等内容，欢迎下载使用。
1.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.2.直角三角形的两个锐角互余.3.有两个角互余的三角形是直角三角形.
练习：1.在△ABC中，∠A=30°，∠B=∠C，则∠B=_____.2.在Rt△ABC中，锐角∠B=45°，则另一个锐角∠C=____ .
1.了解三角形外角的概念.2.理解三角形外角性质及三角形外角和的探究.3.熟练掌握并运用三角形外角性质解决实际问题.
邻补角的概念：如图，∠1和∠2有一条公共边OC，它们的另一边互为反向延长线（∠1和∠2互补），具有这种关系的两个角互为邻补角.邻补角的性质：∠1+∠2=180°.
如果延长△ABC的边AB至点D，那么该延长线BD与相邻的边BC形成的∠CBD具有什么样的性质呢？
概念：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.如图，∠CBD是△ABC的一个外角.
问题1：三角形的外角和相邻的内角之间的大小关系？问题2：三角形的外角具备什么特征？问题3：三角形共有几个外角？每个顶点处有几个外角？
知识点1 三角形的外角
答案1：三角形的外角和相邻的内角之和为180°.答案2：三角形的外角具备3个特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一条边；③另外一条边是三角形某条边的延长线.答案3：三角形共有6个外角.每个顶点处有2个外角.
例1 如图，在△ABC中，∠CAD，∠CBE，∠BCF分别是点A，点B，点C处的一个外角，请问∠CAD与∠2，∠3之间的大小关系？
解：∵∠CAD是△ABC的外角，∠ CAD+∠1=180°，则∠1=180°-∠CAD.∵∠1，∠2，∠3是△ABC的三个内角，∴∠1+∠2+∠3=180°，则∠1=180°-（∠2+∠3）.∴∠CAD=∠2+∠3.
知识点2 三角形外角的性质
解：∵∠CBE是△ABC的外角，∴∠CBE+∠2=180°，则∠2=180°-∠CBE.∵∠1，∠2，∠3是△ABC的三个内角，∴∠1+∠2+∠3=180°，则∠2=180°-（∠1+∠3）.∴∠CBE=∠1+∠3.
例2 如图，在△ABC中，∠CAD，∠CBE，∠BCF分别是点A，点B，点C处的一个外角，请问∠CBE与∠1，∠3之间的大小关系？
解：∵∠BCF是△ABC的外角，∴∠BCF+∠3=180°，则∠3=180°-∠BCF.∵∠1，∠2，∠3是△ABC的三个内角，∴∠1+∠2+∠3=180°，则∠3=180°-（∠1+∠2）.∴∠BCF=∠1+∠2.
例3 如图，在△ABC中，∠CAD，∠CBE，∠BCF分别是点A，点B，点C处的一个外角，请问∠BCF与∠1，∠2之间的大小关系？
你能总结三角形外角的性质吗？
例4 如图，在△ABC中，∠CAD，∠CBE，∠BCF分别是点A，点B，点C处的一个外角，请问∠CAD，∠CBE，∠BCF之间的大小关系？
解：∵∠CAD，∠CBE，∠BCF是△ABC的外角，∴∠CAD=∠2+∠3，∠CBE=∠1+∠3，∠BCF=∠1+∠2.
知识点3 三角形的外角和定理
∴∠CAD+∠CBE+∠BCF=（∠2+∠3）+（∠1+∠3）+（∠1+∠2）=2（∠1+∠2+∠3）.∵∠1+∠2+∠3=180°， ∴∠CAD+∠CBE+∠BCF=360°.
方法二 解：∵∠CAD，∠CBE，∠BCF是△ABC的外角，∴∠CAD+∠1=180°，则∠CAD=180°-∠1，∠CBE+∠2=180°，则∠CBE=180°-∠2， ∠BCF+∠3=180°，则∠BCF=180°-∠3.
∵∠1，∠2，∠3是△ABC的三个内角，∴∠1+∠2+∠3=180°. ∴∠CAD+∠CBE+∠BCF=（180°-∠1）+（180°-∠2）+（180°-∠3）=540°-（∠1+∠2+∠3）=360°.
推论：三角形的三个外角和等于360°.
三角形的每一个顶点处各有两个外角，三角形的外角和不是指六个外角的总和，而是说在三角形的每一个顶点处取一个外角，三个不同顶点处的外角和叫做三角形的外角和.数学语言表示：如图所示，∠CAD+∠CBE+∠BCF=360°.
例5 试说出下列图形中∠1和∠2的度数.
解：（1）∠1=180°-80°-60°=40°，∠2=80°+60°=140°.（2）∠1=180°-30°-40°=110°，∠2=30°+40°=70°.（3）∠1=90°-40°=50°，∠2=50°+90°=140°.
1.判断下列观点是否正确.（1）三角形的外角都是钝角. （ ） （2）三角形的外角大于任何一个内角. （ ）（3）三角形的外角等于它的两个内角的和. （ ）（4）三角形的外角和等于360°. （ ）
解：（1）三角形的外角是锐角、钝角或者直角. （2）三角形的外角大于任何一个不相邻内角. （3）三角形的外角等于它的不相邻两个内角的和.
解：∵AD⊥BC，∴∠ADC=∠ADB=90°.∵∠ADC是△ABD的外角， ∴∠ADC=∠1+∠2=90°.∵∠1=∠2，∴∠1=∠2=45°.
2.如图，AD⊥BC，∠1=∠2，∠C=65°，求∠BAC的度数.
∵∠ADB是△ACD的外角， ∴∠ADB=∠DAC+∠C=90°.∵∠C=65°，∴∠DAC=90°-∠C=25°.则∠BAC=∠1+∠DAC=70°.
3.如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A=60°，∠B=40°，则∠ECD等于（ ）A.40° B.45° C.50° D.55°
解析：∵∠A=60°，∠B=40°，∴∠ACD=∠A+∠B=100°.∵CE平分∠ACD，∴∠ECD=50°.
4.小明把一副含有45°、30°的直角三角板如图摆放，若∠C=∠F=90°，∠A=45°，∠D=30°，则∠α+∠β等于（ ） A.180° B.210° C.360° D.270°
解析：∵∠α、∠β是三角形的外角，∴∠α=∠1+∠D，∠β=∠2+∠F.∵∠1=∠3，∠2=∠4，∴∠α+∠β=∠1+∠D+∠2+∠F =∠3+∠4+∠D+∠ =210°.
三角形的外角和等于360°
角的一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形的另一边的延长线
三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和
1.已知五角星如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.
分析：利用三角形内角和定理和三角形外角的性质，将∠A，∠B，∠C，∠D，∠E转化在同一个三角形中.仔细观察五角星，并在五角星中构建出△BGD和△CFE.
解：∵在△BGD中，∠AGF是它的外角， ∴∠AGF=∠B+∠D.∵在△CFE中，∠AFG是它的外角， ∴∠AFG=∠C+∠E.∵在△AFG中，∠A、∠AFG、∠AGF是三个内角，∴∠A+∠AFG+∠AGF=180°， 则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.
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2.如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E，求证∠BAC=∠B+2∠E.
分析：利用角平分线的性质可以得出2倍的数量关系的角.利用三角形外角性质，将外角转化为两个不相邻内角的和.将2倍数量关系的角和外角进行等量转化，即可得出题目所要证明的结果.