2020-2021学年四川省成都市龙泉驿区七年级（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年四川省成都市龙泉驿区七年级（下）期末数学试卷，共23页。
A．B．C．D．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（a3）4＝a7B．（﹣2a2b）3＝﹣6a6b3
C．（2a+b）2＝4a2+b2D．a8÷a2＝a6
3．（3分）如图，l1∥l2，如果∠1＝76°，那么∠2的度数为（ ）
A．14°B．76°C．84°D．104°
4．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．袋中有形状、大小、质地完全一样的5个红球和1个白球，从中随机抽出一个球，一定是红球
B．天气预报“明天降水概率10%”，是指明天有10%的时间会下雨
C．某地发行一种福利彩票，中奖率是千分之一，那么，买这种彩票1000张，一定会中奖
D．连续掷一枚均匀硬币，若5次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上
5．（3分）下列乘法公式运用正确的是（ ）
A．（a+b）（b﹣a）＝a2﹣b2B．（m+1）（m﹣1）＝m2﹣1
C．（2x﹣1）2＝2x2+4x﹣1D．（a+1）2＝a2+1
6．（3分）如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AD＝CF，∠F＝∠ACB，再补充下列一个条件，不能证明△ABC≌△DEF的是（ ）
A．BC＝EFB．AB∥DEC．∠B＝∠ED．AB＝DE
7．（3分）设等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则其周长为（ ）
A．15B．20C．25D．20或25
8．（3分）如图，在△ABC中，线段AB的垂直平分线与AC相交于点D，连接BD，边AC的长为12cm，边BC的长为7cm，则△BCD的周长为（ ）
A．18cmB．19cmC．20cmD．21cm
9．（3分）如图，现有若干个边长相等的小等边三角形组成的图形，其中已经涂黑了3个小三角形（阴影部分表示），在空白的三角形中只涂黑一个小三角形，使整个图案成轴对称图形的概率是（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）公式L＝L0+KP表示当重力为P时的物体作用在弹簧上时弹簧的长度，L0代表弹簧的初始长度，用厘米（cm）表示，K表示单位重力物体作用在弹簧上时弹簧拉伸的长度，用厘米（cm）表示．下面给出的四个公式中，表明这是一个短而硬的弹簧的是（ ）
A．L＝10+0.5PB．L＝10+5PC．L＝80+0.5PD．L＝80+5P
二．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
11．（4分）关于x的二次多项式x2+6x+m是一个完全平方式，则常数项m＝ ．
12．（4分）等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数为 ．
13．（4分）如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若∠1＝40°，则∠2＝ ．
14．（4分）如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，点E是AC边的中点，连接AD，DE，若S阴影＝1，则S△ABC＝ ．
三．解答题（共6小题，满分54分）
15．（12分）计算：
（1）（﹣2）3+（2020+π）0﹣|﹣3|；
（2）（﹣3a2）3﹣4a2•a4+5a9÷a3．
16．（6分）先化简，再求值：（2a+b）（2a﹣b）﹣3（a+b）2+4b2，其中a＝2，b＝﹣1．
17．（8分）已知∠α，线段m，n，求作：△ABC，使得∠A＝∠α，AB＝m，AC＝n．（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法及证明，必须作答）
18．（8分）新能源纯电动汽车的不断普及让很多人感受到了它的好处，其中最重要的一点就是对环境的保护，如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y（千瓦时）与已行驶路程x（千米）之间关系的图象．
（1）图中点A表示的实际意义是什么？
（2）当0≤x≤150时，行驶1千米的平均耗电量多少？
（3）求行驶多少千米时，剩余电量降至15千瓦时．
19．（10分）如图，点A，B，C，D在一条直线上，AB＝CD，CE∥BF，CE＝BF，求证：AE∥DF．
20．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是BC，AC上的点，且BD＝CE，连接AD，DE，若∠ADE＝∠B．求证：AD＝DE．（每行都要写理由）
四．B填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）
21．（4分）一个不透明的盒子中有颜色不同，形状相同的小球，其中红球有10个，黑球有8个，现随机从中摸出一个，则摸到黑球的概率为 ．
22．（4分）已知等腰三角形两边的长为a，b，且满足|a﹣4|+（b﹣5）2＝0．则这个等腰三角形的周长为 ．
23．（4分）如图所示，AD、CE、BF是△ABC的三条高，AB＝6，BC＝5，AD＝4，则CE＝ ．
24．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于P，连接AP并延长交BC于点D，已知CD＝5，则DB＝ ．
25．（4分）四边形ABCD中，∠BAD＝125°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当三角形AMN周长最小时，∠MAN的度数为 ．
五．B解答题（共3小题，满分30分，每小题10分）
26．（10分）如图，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一条直线上，连接BE．
（1）求证：AD＝BE；
（2）求∠AEB的度数．
27．（10分）如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．
（1）求证：△ABQ≌△CAP；
（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．
28．（10分）如图1，已知△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，C为它们的公共直角顶点，D、E分别在BC、AC边上，点F是AD的中点，连接CF．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）判断BE与CF的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）如图2，把△DEC绕点C顺时针旋转α角（0＜α＜90°），即∠BCD＝∠ACE＝α，点F是AD的中点，其他条件不变，判断BE与CF的关系是否不变？若不变，请说明理由；若要变，请求出相应的正确结论．
2020-2021学年四川省成都市龙泉驿区七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．单选题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列四个手机APP图标中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，故此选项正确；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：B．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（a3）4＝a7B．（﹣2a2b）3＝﹣6a6b3
C．（2a+b）2＝4a2+b2D．a8÷a2＝a6
【分析】分别根据幂的乘方法则，积的乘方法则，完全平方公式以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
【解答】解：（a3）4＝a12，故选项A不合题意；
（﹣2a2b）3＝8a6b3，故选项B不合题意；
（2a+b）2＝4a2+4ab+b2，故选项C不合题意；
a8÷a2＝a6，故选项D符合题意．
故选：D．
3．（3分）如图，l1∥l2，如果∠1＝76°，那么∠2的度数为（ ）
A．14°B．76°C．84°D．104°
【分析】如图，欲求∠2，可求∠AOB．因为l1∥l2，所以∠1＝∠AOB＝76°．
【解答】解：如图，
∵l1∥l2，
∴∠1＝∠AOB＝76°．
∵∠2与∠AOB是对顶角，
∴∠2＝∠AOB＝76°．
故选：B．
4．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．袋中有形状、大小、质地完全一样的5个红球和1个白球，从中随机抽出一个球，一定是红球
B．天气预报“明天降水概率10%”，是指明天有10%的时间会下雨
C．某地发行一种福利彩票，中奖率是千分之一，那么，买这种彩票1000张，一定会中奖
D．连续掷一枚均匀硬币，若5次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上
【分析】根据概率的意义对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、袋中有形状、大小、质地完全一样的5个红球和1个白球，从中随机抽出一个球，一定是红球的概率是，故本选项错误；
B、天气预报“明天降水概率10%”，是指明天有10%的概率会下雨，故本选项错误；
C、某地发行一种福利彩票，中奖率是千分之一，那么，买这种彩票1000张，可能会中奖，故本选项错误；
D、连续掷一枚均匀硬币，若5次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上，故本选项正确．
故选：D．
5．（3分）下列乘法公式运用正确的是（ ）
A．（a+b）（b﹣a）＝a2﹣b2B．（m+1）（m﹣1）＝m2﹣1
C．（2x﹣1）2＝2x2+4x﹣1D．（a+1）2＝a2+1
【分析】利用平方差公式和完全平方公式展开得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、（a+b）（b﹣a）＝b2﹣a2，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、（m+1）（m﹣1）＝m2﹣1，原计算正确，故此选项符合题意；
C、（2x﹣1）2＝4x2﹣4x+1，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、（a+1）2＝a2+2a+1，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：B．
6．（3分）如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AD＝CF，∠F＝∠ACB，再补充下列一个条件，不能证明△ABC≌△DEF的是（ ）
A．BC＝EFB．AB∥DEC．∠B＝∠ED．AB＝DE
【分析】利用AD＝CF得到AC＝DF，加上∠F＝∠ACB，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
【解答】解：∵AD＝CF，
∴AC＝DF，
∵∠F＝∠ACB，
∴当添加BC＝EF时，可根据”SAS“判断△ABC≌△DEF；
当添加∠A＝∠EDF（或AB∥DE）时，可根据”ASA“判断△ABC≌△DEF；
当添加∠B＝∠E时，可根据”AAS“判断△ABC≌△DEF．
故选：D．
7．（3分）设等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则其周长为（ ）
A．15B．20C．25D．20或25
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为5和10，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：分两种情况：
当腰为5时，5+5＝10，所以不能构成三角形；
当腰为10时，5+10＞10，所以能构成三角形，周长是：10+10+5＝25．
故选：C．
8．（3分）如图，在△ABC中，线段AB的垂直平分线与AC相交于点D，连接BD，边AC的长为12cm，边BC的长为7cm，则△BCD的周长为（ ）
A．18cmB．19cmC．20cmD．21cm
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵线段AB的垂直平分线与AC相交于点D，
∴DA＝DB，
∴△BCD的周长＝BC+CD+DB＝BC+CD+DA＝BC+AC，
∵AC＝12cm，BC＝7cm，
∴△BCD的周长＝BC+AC＝12+7＝19（cm），
故选：B．
9．（3分）如图，现有若干个边长相等的小等边三角形组成的图形，其中已经涂黑了3个小三角形（阴影部分表示），在空白的三角形中只涂黑一个小三角形，使整个图案成轴对称图形的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】首先根据轴对称图形的概念确定小三角形的位置，再由概率公式可得答案．
【解答】解：如图所示：
在空白的三角形中只涂黑一个小三角形，使整个图案成轴对称图形的情况有2个，
则概率是，
故选：B．
10．（3分）公式L＝L0+KP表示当重力为P时的物体作用在弹簧上时弹簧的长度，L0代表弹簧的初始长度，用厘米（cm）表示，K表示单位重力物体作用在弹簧上时弹簧拉伸的长度，用厘米（cm）表示．下面给出的四个公式中，表明这是一个短而硬的弹簧的是（ ）
A．L＝10+0.5PB．L＝10+5PC．L＝80+0.5PD．L＝80+5P
【分析】A和B中，L0＝10，表示弹簧短；A和C中，K＝0.5，表示弹簧硬，由此即可得出结论．
【解答】解：∵10＜80，0.5＜5，
∴A和B中，L0＝10，表示弹簧短；A和C中，K＝0.5，表示弹簧硬，
∴A选项表示这是一个短而硬的弹簧．
故选：A．
二．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
11．（4分）关于x的二次多项式x2+6x+m是一个完全平方式，则常数项m＝ 9 ．
【分析】先根据乘积二倍项确定出这两个数是3和x，再根据完全平方公式的平方项列式求解即可．
【解答】解：∵6x＝2×3•x，
∴m＝32＝9．
故答案为：9．
12．（4分）等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数为 80° ．
【分析】本题给出了一个底角为50°，利用等腰三角形的性质得另一底角的大小，然后利用三角形内角和可求顶角的大小．
【解答】解：∵等腰三角形底角相等，
∴180°﹣50°×2＝80°，
∴顶角为80°．
故填80°．
13．（4分）如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若∠1＝40°，则∠2＝ 80° ．
【分析】根据平角的定义和平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：如图，
由题意得，∠3＝60°，
∵∠1＝40°，
∴∠4＝180°﹣60°﹣40°＝80°，
∵AB∥CD，
∴∠4＝∠2＝80°，
故答案为：80°．
14．（4分）如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，点E是AC边的中点，连接AD，DE，若S阴影＝1，则S△ABC＝ 4 ．
【分析】根据点E是AC边的中点，得到S△ADC＝2S△ADE，根据点D是BC边的中点，得到S△ABC＝2S△ADC＝4，于是得到结论．
【解答】解：∵点E是AC边的中点，
∴S△ADC＝2S△ADE，
∵S阴影＝1，
∴S△ADC＝2S阴影＝2，
∵点D是BC边的中点，
∴S△ABC＝2S△ADC＝4，
故答案为：4．
三．解答题（共6小题，满分54分）
15．（12分）计算：
（1）（﹣2）3+（2020+π）0﹣|﹣3|；
（2）（﹣3a2）3﹣4a2•a4+5a9÷a3．
【分析】（1）原式利用乘方的意义，零指数幂法则，以及绝对值的代数意义计算即可求出值；
（2）原式利用积的乘方与幂的乘方运算法则，以及同底数幂的乘除法则计算，合并即可得到结果．
【解答】解：（1）原式＝﹣8+1﹣3
＝﹣10；
（2）原式＝﹣27a6﹣4a6+5a6
＝﹣26a6．
16．（6分）先化简，再求值：（2a+b）（2a﹣b）﹣3（a+b）2+4b2，其中a＝2，b＝﹣1．
【分析】原式利用平方差公式，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝4a2﹣b2﹣3（a2+2ab+b2）+4b2
＝4a2﹣b2﹣3a2﹣6ab﹣3b2+4b2
＝a2﹣6ab，
当a＝2，b＝﹣1时，原式＝22﹣6×2×（﹣1）＝4+12＝16．
17．（8分）已知∠α，线段m，n，求作：△ABC，使得∠A＝∠α，AB＝m，AC＝n．（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法及证明，必须作答）
【分析】利用直尺和圆规根据∠A＝∠α，AB＝m，AC＝n即可作出△ABC．
【解答】解：如图，△ABC即为所求．
18．（8分）新能源纯电动汽车的不断普及让很多人感受到了它的好处，其中最重要的一点就是对环境的保护，如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y（千瓦时）与已行驶路程x（千米）之间关系的图象．
（1）图中点A表示的实际意义是什么？
（2）当0≤x≤150时，行驶1千米的平均耗电量多少？
（3）求行驶多少千米时，剩余电量降至15千瓦时．
【分析】（1）由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米，进而解答即可；
（2）当0≤x≤150时，用蓄电池消耗的电量除以行驶路程，就是行驶1千米的平均耗电量；
（3）计算35千瓦减到15千瓦行驶的路程再加150千米即可．
【解答】解：（1）由图象可知，A点表示充满电后行驶150千米时，剩余电量为35千瓦时；
（2）（35﹣10）÷（200﹣150）＝0.5当0≤x≤150时，行驶1千米的平均耗电量是＝千瓦时；
（3）（千米），150+40＝190（千米）．
答：当汽车已行驶190千米时，蓄电池的剩余电量为15千瓦时．
19．（10分）如图，点A，B，C，D在一条直线上，AB＝CD，CE∥BF，CE＝BF，求证：AE∥DF．
【分析】根据平行线的性质得出∠ACE＝∠DBF，求出AC＝DB，根据全等三角形的判定得出△AEC≌△DFB，根据全等三角形的性质得出∠A＝∠D，根据平行线的判定得出即可．
【解答】证明：∵CE∥BF，
∴∠ACE＝∠DBF，
∵AE＝CD，
∴AB+BC＝CD+BC，
即AC＝DB，
在△AEC和△DFB中
∴△AEC≌△DFB（SAS），
∴∠A＝∠D，
∴AE∥DF．
20．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是BC，AC上的点，且BD＝CE，连接AD，DE，若∠ADE＝∠B．求证：AD＝DE．（每行都要写理由）
【分析】由等腰三角形性质得出∠B＝∠C，由三角形的外角定理及已知可证明∠BAD＝∠CDE，继而可证明△ABD≌△DCE（AAS），由全等三角形的性质可得结论．
【解答】证明：∵AB＝AC，（已知）
∴∠B＝∠C．（等边对等角）
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，（三角形外角定理）
∠ADC＝∠ADE+∠CDE．（角的运算）
且∠ADE＝∠B，（已知）
∴∠BAD＝∠CDE．（等量代换）
在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（AAS）．
∴AD＝DE．（全等三角形的对应边相等）
四．B填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）
21．（4分）一个不透明的盒子中有颜色不同，形状相同的小球，其中红球有10个，黑球有8个，现随机从中摸出一个，则摸到黑球的概率为 ．
【分析】用黑球的个数除以总球的个数即可得出答案．
【解答】解：∵不透明的袋子中装红球有10个，黑球有8个，
∴现从中随机摸出一个小球，摸出的小球是黑色的概率为＝．
故答案为：．
22．（4分）已知等腰三角形两边的长为a，b，且满足|a﹣4|+（b﹣5）2＝0．则这个等腰三角形的周长为 13或14 ．
【分析】首先依据非负数的性质求得a，b的值，然后得到三角形的三边长，接下来，利用三角形的三边关系进行验证，最后求得三角形的周长即可．
【解答】解：根据题意得，a﹣4＝0，b﹣5＝0，
解得a＝4，b＝5，
①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、5，
∵4+4＝8＞5，
∴能组成三角形，周长＝4+4+5＝13，
②4是底边时，三角形的三边分别为4、5、5，
能组成三角形，周长＝4+5+5＝14，
所以，三角形的周长为13或14．
故答案为：13或14．
23．（4分）如图所示，AD、CE、BF是△ABC的三条高，AB＝6，BC＝5，AD＝4，则CE＝ ．
【分析】利用三角形面积公式得到×AB×CE＝×BC×AD，然后把AB＝6，BC＝5，AD＝4代入可求出CE的长．
【解答】解：根据题意得，S△ABC＝×AB×CE＝×BC×AD，
所以CE＝＝＝．
故答案为．
24．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于P，连接AP并延长交BC于点D，已知CD＝5，则DB＝ 10 ．
【分析】利用角平分线的定义可以推知∠CAD＝∠BAD＝30°，根据直角三角形和等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°，
又∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD＝∠BAD＝∠CAB＝30°，
∴AD＝B2CD＝10，
故答案为：10．
25．（4分）四边形ABCD中，∠BAD＝125°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当三角形AMN周长最小时，∠MAN的度数为 70° ．
【分析】延长AB到A′使得BA′＝AB，延长AD到A″使得DA″＝AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N，此时△AMN周长最小，推出∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），进而得出∠MAN的度数．
【解答】解：延长AB到A′使得BA′＝AB，延长AD到A″使得DA″＝AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N．
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，
此时△AMN的周长最小，
∵BA＝BA′，MB⊥AB，
∴MA＝MA′，同理：NA＝NA″，
∴∠A′＝∠MAB，∠A″＝∠NAD，
∵∠AMN＝∠A′+∠MAB＝2∠A′，∠ANM＝∠A″+∠NAD＝2∠A″，
∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），
∵∠BAD＝125°，
∴∠A′+∠A″＝180°﹣∠BAD＝55°，
∴∠AMN+∠ANM＝2×55°＝110°．
∴∠MAN＝180°﹣110°＝70°，
故答案为：70°
五．B解答题（共3小题，满分30分，每小题10分）
26．（10分）如图，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一条直线上，连接BE．
（1）求证：AD＝BE；
（2）求∠AEB的度数．
【分析】（1）证明△ACD≌△BCE即可得AD＝BE；
（2）利用（1）中结论可得∠CEB＝∠CDA＝180°﹣∠CDE＝180°﹣45°＝135°，又∠CED＝45°，从而∠AEB＝∠CEB﹣∠CED可求．
【解答】（1）证明：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACD+∠CDB＝∠BCE+∠CDB＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE．
（2）解：由（1）可知∠CEB＝∠CDA＝180°﹣∠CDE＝180°﹣45°＝135°，
又∵∠CED＝45°，
∴∠AEB＝∠CEB﹣∠CED＝135°﹣45°＝90°．
27．（10分）如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．
（1）求证：△ABQ≌△CAP；
（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．
【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用SAS证明△ABQ≌△CAP；
（2）由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ＝∠ACP，从而得到∠QMC＝60°；
（3）由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ＝∠ACP，从而得到∠QMC＝120°．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形
∴∠ABQ＝∠CAP，AB＝CA，
又∵点P、Q运动速度相同，
∴AP＝BQ，
在△ABQ与△CAP中，
∵，
∴△ABQ≌△CAP（SAS）；
（2）解：点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变．
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ＝∠ACP，
∵∠QMC＝∠ACP+∠MAC，
∴∠QMC＝∠BAQ+∠MAC＝∠BAC＝60°…（6分）
（3）解：点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变．（7分）
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ＝∠ACP，
∵∠QMC＝∠BAQ+∠APM，
∴∠QMC＝∠ACP+∠APM＝180°﹣∠PAC＝180°﹣60°＝120°．
28．（10分）如图1，已知△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，C为它们的公共直角顶点，D、E分别在BC、AC边上，点F是AD的中点，连接CF．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）判断BE与CF的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）如图2，把△DEC绕点C顺时针旋转α角（0＜α＜90°），即∠BCD＝∠ACE＝α，点F是AD的中点，其他条件不变，判断BE与CF的关系是否不变？若不变，请说明理由；若要变，请求出相应的正确结论．
【分析】（1）根据SAS证明三角形全等即可；
（2）由△ADC≌△BEC，可证得BE＝AD，再利用直角三角形的性质可证明BE＝2CF，由直角三角形的性质可得CF＝DF，可证明∠FCD＝∠ADC，可证得∠EBC+∠FCD＝90°，可证明结论；
（3）延长CF到M，使FM＝FC，连接AM，DM，可证明四边形ACDM为平行四边形，进一步可证明△MAC≌△ECB，则可得MC＝BE，可证得BE＝2CF，再结合∠ACB＝90°，可证明BE⊥CF．
【解答】（1）证明：∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，
∴BC＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝90°，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
（2）解：结论：BE＝2CF，BE⊥CF．
∵△BCE≌△ACD，
∴BE＝AD，∠EBC＝∠DAC，
∵F为线段AD的中点，
∴CF＝AF＝DF＝AD
∴BE＝2CF，
∵AF＝CF，
∴∠DAC＝∠FCA，
∵∠BCF+∠ACF＝90°，
∴∠BCF+∠EBC＝90°，
即BE⊥CF．
（3）解：旋转一个锐角后，（2）中的关系依然成立．
理由：如图2，延长CF到M，使FM＝FC，连接AM，DM，
又AF＝DF，
∴四边形AMDC为平行四边形
∴AM＝CD＝CE，∠MAC＝180°﹣∠ACD，
∠BCE＝∠BCA+∠DCE﹣∠ACD＝180°﹣∠ACD，
即∠MAC＝∠BCE，
在△MAC和△ECB中，
，
∴△MAC≌△ECB（SAS），
∴CM＝BE，∠ACM＝∠CBE，
∴BE＝CM＝2CF，
∴∠CBE+∠BCM＝∠ACM+∠BCM＝90°，
即BE⊥CF．