2020-2021学年江苏省泰州市姜堰区七年级（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省泰州市姜堰区七年级（下）期末数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．（a3）2＝a6C．（2a2）3＝2a6D．a8÷a4＝a2
2．（3分）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．a（x﹣y）＝ax﹣ay
C．x2+2x+1＝x（x+2）+1D．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3
3．（3分）下列说法一定正确的是（ ）
A．若m＞n，则am＞anB．若m＞n，则a2m≥a2n
C．若am＞an，则m＞nD．若am＝an，则m＝n
4．（3分）如图，AB∥CD，G为直线CD上一点，E为直线AB与直线CD之间一点，F为直线AB上方一点，∠F＝40°，∠EGF＝65°，则∠1+∠2＝（ ）
A．40°B．55°C．65°D．75°
5．（3分）说明“若a是实数，则a2＞a”是假命题，可以举的反例是（ ）
A．a＝﹣2B．a＝﹣0.5C．a＝0D．a＝
6．（3分）工作人员从仓库领取如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完．
下表是工作人员四次领取纸板数的记录：
仓库管理员在核查时，发现一次记录有误．请问记录有误的是（ ）
A．第一次B．第二次C．第三次D．第四次
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．（3分）冠状病毒最先是1937年从鸡身上分离出来，病毒颗粒的平均直径为0.00000011m，用科学记数法表示这个数是 ．
8．（3分）五边形的内角和为 ．
9．（3分）如果不等式（a+1）x＞a+1的解集为x＜1那么a满足的条件是 ．
10．（3分）命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”）
11．（3分）若ax＝4，ay＝2，则ax﹣2y的值为 ．
12．（3分）已知方程组的解为，则2a﹣3b的值为 ．
13．（3分）三角形的三边分别为3，a﹣1，8，则a的取值范围是 ．
14．（3分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，将△ABC沿BC向右平移得△A'DC'，若点A平移的距离AA'＝4cm，则BC＝ cm．
15．（3分）已知x﹣2y+z＝2x﹣y+z＝3，且x、y、z的值中有且仅有一个为0，则（xy）z＝ ．
16．（3分）如图，AB＝5，C为线段AB上一点（AC＜BC），分别以AC、BC为边向上作正方形ACDE和正方形BCFG，S△BEF﹣S△AEC＝，则S△BEC＝ ．
三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）计算与化简：
（1）（π﹣3.14）0+（）﹣2+（﹣）2021×32022；
（2）（5x+y）（5x﹣y）﹣（5x+2y）（5x﹣y）．
18．（8分）因式分解：
（1）3a2﹣12；
（2）4ab2﹣4a2b﹣b3．
19．（10分）解方程组或不等式组：
（1）；
（2）．
20．（8分）如图，在△ABC中，CD为∠ACB的角平分线，DE∥BC，∠A＝65°，∠B＝35°，求∠EDC的度数．
21．（10分）化简求值：（x﹣1）2﹣3x（x+3）+2（x+2）（x﹣2），其中x为不等式﹣2x+1＞x﹣2最大的整数解．
22．（10分）我国古代数学著作《增删算法统宗》有关于“绳量井”的记载：“一口井一条绳，绳比井长一庹．折回绳却量井，却比井短一庹”．其大意为：现有一口井和一条绳，用绳去量井，绳比井长5尺；如果将绳对折后再去量井，就比井短5尺．求绳长和井深．
23．（10分）规定＝ad﹣bc，如＝2×0﹣3×（﹣1）＝3．
（1）若＞2，求x的取值范围；
（2）若＝m+5，＝（m﹣1），求x﹣y的值．
24．（10分）甲，乙，丙三人参与学生会主席选举，共发出1800张选票，得票最高者为当选人，且废票不计入任何一位候选人的得票数内，学校共设有四个投票箱，目前第一、第二、第三投票箱已经统计了所有选票，剩下第四投票箱尚未统计，结果如下表所示：
（1）小明说根据以上信息：可以断定乙肯定没有机会当选学生会主席，你认为他的说法正确吗？请说明理由；
（2）若第四投票箱中乙的得票数与废票数之和共为99张，最后甲当选了学生会主席．你能知道第四投票箱中甲至少得了多少张票吗？
25．（12分）一个进行数值转换的运行程序如图所示，从“输入有理数x”到“结果是否大于0”称为“一次操作”，当x为1、﹣1时，“一次操作”后结果分别为3和9；
（1）求a和b的值；
（2）若“一次操作”后结果输出，求满足条件的最大整数x；
（3）是否存在正整数x，使程序进行了“两次操作”，并且输出结果小于24？若存在，请求出所有符合条件的x的值；若不存在，请说明理由．
26．（14分）如图，直线m与直线AB、直线CD分别交于A、C两点，直线AB与直线CD之间的点P在直线m右侧，给出下列信息：①AP平分∠BAC；②CP平分∠ACD；③AP⊥CP；④∠ACD＝50°．
（1）若AB∥CD， ．求∠BAP的度数；（请在上述信息中选择两个信息填入补全题目并完成解答，填序号）
（2）在（1）的情况下，过点A任作一条与直线CD相交的直线，交点记作Q．
①若△ACQ为直角三角形，求∠PAQ的度数；
②直接写出△ACQ为钝角三角形时，∠BAQ的取值范围．
2020-2021学年江苏省泰州市姜堰区七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．（a3）2＝a6C．（2a2）3＝2a6D．a8÷a4＝a2
【分析】根据同底数幂乘除法，幂的乘方与积的乘方逐项进行计算即可．
【解答】解：A．a2•a3＝a2+3＝a5，因此选项A不符合题意；
B．（a3）2＝a3×2＝a6，因此选项B符合题意；
C．（2a2）3＝8a6，因此选项C不符合题意；
D．a8÷a4＝a8﹣4＝a4，因此选项D不符合题意；
故选：B．
2．（3分）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．a（x﹣y）＝ax﹣ay
C．x2+2x+1＝x（x+2）+1D．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3
【分析】根据因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，可得答案．
【解答】解：A、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项符合题意；
B、a（x﹣y）＝ax﹣ay，是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、x2+2x+1＝x（x+2）+1，没把一个多项式化为几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
D、（x+1）（x+3）＝x2+4x+3，是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
故选：A．
3．（3分）下列说法一定正确的是（ ）
A．若m＞n，则am＞anB．若m＞n，则a2m≥a2n
C．若am＞an，则m＞nD．若am＝an，则m＝n
【分析】根据不等式的性质逐一进行判断即可．不等式的性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【解答】解：A．若m＞n，当a＜0时，am＜an，故本选项不合题意；
B．若m＞n，则a2m≥a2n，故本选项符合题意；
C．若am＞an，当a＜0时，m＜n，故本选项不合题意；
D．当a＝0时，m≠n也能使am＝an成立，故本选项不合题意；
故选：B．
4．（3分）如图，AB∥CD，G为直线CD上一点，E为直线AB与直线CD之间一点，F为直线AB上方一点，∠F＝40°，∠EGF＝65°，则∠1+∠2＝（ ）
A．40°B．55°C．65°D．75°
【分析】过点E作EM∥AB，利用平行线的性质，得到∠1＝∠FEM，∠2＝∠GEM，根据三角形的内角和求出∠FEG的度数，即可求解．
【解答】解：过点E作EM∥AB，
∵AB∥CD，
∴EM∥AB∥CD，
∴∠1＝∠FEM，∠2＝∠GEM，
∵∠FEG＝180°﹣∠F﹣∠EGF＝180°﹣40°﹣65°＝75°，
∴∠1+∠2＝∠FEM+∠GEM＝∠FEG＝75°，
故选：D．
5．（3分）说明“若a是实数，则a2＞a”是假命题，可以举的反例是（ ）
A．a＝﹣2B．a＝﹣0.5C．a＝0D．a＝
【分析】根据有理数的乘方法则求出a2，判断即可．
【解答】解：当a＝0时，a2＝0，此时a2＝a，则“若a是实数，则a2＞a”是假命题，
故选：C．
6．（3分）工作人员从仓库领取如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完．
下表是工作人员四次领取纸板数的记录：
仓库管理员在核查时，发现一次记录有误．请问记录有误的是（ ）
A．第一次B．第二次C．第三次D．第四次
【分析】设做成x个竖式纸盒，y个横式纸盒，由领取的正方形的纸板和长方形的纸板之和应该是5的倍数，可判断第三次记录错误．
【解答】解：第三次记录错误，理由如下：
设做成x个竖式纸盒，y个横式纸盒，
则需要正方形纸板（x+2y）张，需要长方形的纸板（4x+3y）张，
∴x+2y+4x+3y＝5x+5y＝5（x+y），
∴领取的正方形的纸板和长方形的纸板之和应该是5的倍数，
∵562+938＝1500，420+860＝1280，502+1000＝1502，985+2015＝3000，
∴第三次记录有误，
故选：C．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．（3分）冠状病毒最先是1937年从鸡身上分离出来，病毒颗粒的平均直径为0.00000011m，用科学记数法表示这个数是 1.1×10﹣7 ．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000011＝1.1×10﹣7，
故答案是：1.1×10﹣7．
8．（3分）五边形的内角和为 540° ．
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°计算即可．
【解答】解：（5﹣2）•180°＝540°．
故答案为：540°．
9．（3分）如果不等式（a+1）x＞a+1的解集为x＜1那么a满足的条件是 a＜﹣1 ．
【分析】根据所给不等式的解集x＜1，可知x的系数为负，那么a+1＜0，从而可取a的取值．
【解答】解：∵不等式（a+1）x＞a+1的解集是x＜1，
∴a+1＜0，
即a＜﹣1．
故答案为a＜﹣1．
10．（3分）命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是 真 命题．（填“真”或“假”）
【分析】根据题意写出逆命题后判断正误即可．
【解答】解：命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是两个锐角互余的三角形是直角三角形，逆命题是真命题；
故答案为：真．
11．（3分）若ax＝4，ay＝2，则ax﹣2y的值为 1 ．
【分析】将ax﹣2y化为ax÷（ay）2再整体代入计算即可．
【解答】解：因为ax＝4，ay＝2，
所以ax﹣2y＝ax÷（ay）2＝4÷22＝1，
故答案为：1．
12．（3分）已知方程组的解为，则2a﹣3b的值为 6 ．
【分析】将x与y的值代入方程组求出a与b的值，即可确定出2a﹣3b的值．
【解答】解：根据题意，可将x＝2，y＝1代入方程组，
得：，
解得：，
则2a﹣3b＝2×﹣3×（﹣1）＝3+3＝6．
故答案为：6
13．（3分）三角形的三边分别为3，a﹣1，8，则a的取值范围是 6＜a＜12 ．
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求解．
【解答】解：根据三角形的三边关系定理可得8﹣3＜a﹣1＜8+3，
解得：6＜a＜12，
故答案为：6＜a＜12．
14．（3分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，将△ABC沿BC向右平移得△A'DC'，若点A平移的距离AA'＝4cm，则BC＝ 8 cm．
【分析】利用平移的性质得到BD＝CC′＝AA'＝4cm，然后根据D是BC的中点可得到BC的长．
【解答】解：∵△ABC沿BC向右平移得△A'DC'，
∴BD＝CC′＝AA'＝4cm，
∵D是BC的中点，
∴BC＝2BD＝8cm．
故答案为8．
15．（3分）已知x﹣2y+z＝2x﹣y+z＝3，且x、y、z的值中有且仅有一个为0，则（xy）z＝ 1 ．
【分析】由x﹣2y+z＝2x﹣y+z，可得x+y＝0，由题意可判断只能是z＝0，则可求x＝1，y＝﹣1即可求解．
【解答】解：∵x﹣2y+z＝2x﹣y+z，
∴x+y＝0，
∵x、y、z的值中有且仅有一个为0，
∴只能z＝0，
∵x＝﹣y，
∴x﹣2y＝﹣3y＝3，
∴y＝﹣1，
∴x＝1，
∴xy＝﹣1，
∴（xy）z＝1，
故答案为1．
16．（3分）如图，AB＝5，C为线段AB上一点（AC＜BC），分别以AC、BC为边向上作正方形ACDE和正方形BCFG，S△BEF﹣S△AEC＝，则S△BEC＝ 3 ．
【分析】设正方形AEDC的边长是a，正方形BCFG的边长是b，根据正方形的性质得出AE＝DE＝DC＝AC＝a，CF＝FG＝BG＝BC＝b，根据S△BEF﹣S△AEC＝得出S正方形ACDE+S正方形BCFG+S△DFE﹣S△ABE﹣S△BGF﹣S△AEC＝，求出b﹣a＝1，再根据a+b＝AB＝5求出a、b的值，再根据三角形的面积公式求出答案即可．
【解答】解：设正方形AEDC的边长是a，正方形BCFG的边长是b，
则AE＝DE＝DC＝AC＝a，CF＝FG＝BG＝BC＝b，
∵S△BEF＝S正方形ACDE+S正方形BCFG+S△DFE﹣S△ABE﹣S△BGF，
∵S△BEF﹣S△AEC＝，
∴S正方形ACDE+S正方形BCFG+S△DFE﹣S△ABE﹣S△BGF﹣S△AEC＝，
∴a2+b2+（b﹣a）a﹣×5×a﹣b2＝，
即b﹣a＝，
∴b﹣a＝1，
∵AC+BC＝AB＝5，
∴a+b＝5，
解得：a＝2，b＝2，
即BC＝3，AE＝2，
∴S△BEC＝＝＝3，
故答案为：3．
三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）计算与化简：
（1）（π﹣3.14）0+（）﹣2+（﹣）2021×32022；
（2）（5x+y）（5x﹣y）﹣（5x+2y）（5x﹣y）．
【分析】（1）先分别化简零指数幂，负整数指数幂，用积的乘方运算法则进行简便计算，然后再算加减；
（2）先利用平方差公式，多项式乘多项式的计算法则算乘法，然后再算加减．
【解答】解：（1）原式＝1+16+[（﹣）×3]2021×3
＝1+16﹣1×3
＝17﹣3
＝14；
（2）原式＝25x2﹣y2﹣（25x2﹣5xy+10xy﹣2y2）
＝25x2﹣y2﹣25x2+5xy﹣10xy+2y2
＝﹣5xy+y2．
18．（8分）因式分解：
（1）3a2﹣12；
（2）4ab2﹣4a2b﹣b3．
【分析】（1）直接提取公因式3，再利用平方差公式分解因式得出答案；
（2）直接提取公因式﹣b，再利用完全平方公式分解因式得出答案．
【解答】（1）原式＝3（a2﹣4）
＝3（a+2）（a﹣2）；
（2）原式＝﹣b（b2+4a2﹣4ab）
＝﹣b（2a﹣b）2．
19．（10分）解方程组或不等式组：
（1）；
（2）．
【分析】（1）利用加减消元法求解即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：（1），
①×3+②，得：7x＝15，
解得x＝，
将x＝代入①，得：﹣y＝3，
解得y＝，
∴方程组的解为；
（2）解不等式2（x﹣1）＜x+2，得x＜4，
解不等式+1≥，得：x≥﹣1，
∴不等式组的解集为﹣1≤x＜4．
20．（8分）如图，在△ABC中，CD为∠ACB的角平分线，DE∥BC，∠A＝65°，∠B＝35°，求∠EDC的度数．
【分析】首先利用三角形内角和定理求出∠ACB，再利用角平分线的定义求出∠BCD，利用平行线的性质可得结论．
【解答】解：在△ABC中，∵∠A＝65°，∠B＝35°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣65°﹣35°＝80°，
∵CD为∠ACB的角平分线，
∴∠BCD＝∠ACB＝×80°＝40°，
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠BCD＝40°．
21．（10分）化简求值：（x﹣1）2﹣3x（x+3）+2（x+2）（x﹣2），其中x为不等式﹣2x+1＞x﹣2最大的整数解．
【分析】先根据完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式算乘法，再合并同类项，求出不等式的最大整数解，最后代入求出答案即可．
【解答】解：（x﹣1）2﹣3x（x+3）+2（x+2）（x﹣2）
＝x2﹣2x+1﹣3x2﹣9x+2x2﹣8
＝﹣11x﹣7，
解不等式﹣2x+1＞x﹣2得：x＜1，
所以不等式的最大整数解是0，
当x＝0时，原式＝0﹣7＝﹣7．
22．（10分）我国古代数学著作《增删算法统宗》有关于“绳量井”的记载：“一口井一条绳，绳比井长一庹．折回绳却量井，却比井短一庹”．其大意为：现有一口井和一条绳，用绳去量井，绳比井长5尺；如果将绳对折后再去量井，就比井短5尺．求绳长和井深．
【分析】设绳长x尺，井深y尺，根据“用绳去量井，绳比井长5尺；如果将绳对折后再去量井，就比井短5尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，求解即可．
【解答】解：设绳长x尺，井深y尺，
由题意得；，
解得：，
答：绳长20尺，井深15尺．
23．（10分）规定＝ad﹣bc，如＝2×0﹣3×（﹣1）＝3．
（1）若＞2，求x的取值范围；
（2）若＝m+5，＝（m﹣1），求x﹣y的值．
【分析】（1）根据新定义得出﹣2+x﹣5x＞2，再解一元一次不等式即可；
（2）根据新定义得出两个二元一次方程，两式相减，即可求得x﹣y＝6．
【解答】解：（1）∵＞2，
∴﹣2+x﹣5x＞2，
∴﹣4x＞4，
∴x＜﹣1；
（2）∵＝m+5，＝（m﹣1），
∴，即，
①﹣②得x﹣y＝6．
24．（10分）甲，乙，丙三人参与学生会主席选举，共发出1800张选票，得票最高者为当选人，且废票不计入任何一位候选人的得票数内，学校共设有四个投票箱，目前第一、第二、第三投票箱已经统计了所有选票，剩下第四投票箱尚未统计，结果如下表所示：
（1）小明说根据以上信息：可以断定乙肯定没有机会当选学生会主席，你认为他的说法正确吗？请说明理由；
（2）若第四投票箱中乙的得票数与废票数之和共为99张，最后甲当选了学生会主席．你能知道第四投票箱中甲至少得了多少张票吗？
【分析】（1）分析第四投票箱的得票张数得出答案；
（2）设第四投票箱甲得x张，则乙得（250﹣99﹣x）张，根据最后甲当选了学生会主席，列不等式求解即可．
【解答】解：（1）正确，
理由：由表中数据得：第四投票箱的票数最多250张，
∵若第四投票250票都给乙，乙的总票数为：337+250＝587＜596，
∴乙的总票数仍然比丙低，故没有机会当选学生会主席的是乙．
∴小明说根据以上信息：可以断定乙肯定没有机会当选学生会主席，他的说法正确；
（2）设第四投票箱甲得x张，则乙得（250﹣99﹣x）张，
由题意得：583+x＞250﹣x﹣99+596，
解得：x＞82，
所以第四投票箱中甲至少得了83张票．
25．（12分）一个进行数值转换的运行程序如图所示，从“输入有理数x”到“结果是否大于0”称为“一次操作”，当x为1、﹣1时，“一次操作”后结果分别为3和9；
（1）求a和b的值；
（2）若“一次操作”后结果输出，求满足条件的最大整数x；
（3）是否存在正整数x，使程序进行了“两次操作”，并且输出结果小于24？若存在，请求出所有符合条件的x的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据题意列出关于a，b的方程组，然后求解；
（2）根据输出条件“结果大于0”列不等式求解；
（3）由题意列出不等式组求解．
【解答】解：（1）∵当x为1、﹣1时，“一次操作”后结果分别为3和9，
∴，
解得：，
∴a和b的值分别为﹣3；6；
（2）由题意可得：﹣3x+6＞0，
解得：x＜2，
∴“一次操作”后结果输出的最大整数为1；
（3）由题意可得：，
解得：2＜x＜，
∴存在符合条件的正整数为3．
26．（14分）如图，直线m与直线AB、直线CD分别交于A、C两点，直线AB与直线CD之间的点P在直线m右侧，给出下列信息：①AP平分∠BAC；②CP平分∠ACD；③AP⊥CP；④∠ACD＝50°．
（1）若AB∥CD， ①④ ．求∠BAP的度数；（请在上述信息中选择两个信息填入补全题目并完成解答，填序号）
（2）在（1）的情况下，过点A任作一条与直线CD相交的直线，交点记作Q．
①若△ACQ为直角三角形，求∠PAQ的度数；
②直接写出△ACQ为钝角三角形时，∠BAQ的取值范围．
【分析】（1）选择①④，结合平行线的性质以及角平分线的定义计算求解∠BAP的度数；
（2）①分∠CAQ＝90°和∠AQCAQC＝90°两种情况讨论分别求解；
②分∠ACQ、∠CAQ、∠CQA为钝角三种情况讨论分别求解．
【解答】（1）选择①④，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∵∠ACD＝50°，
∴∠BAC＝130°
∵AP平分∠BAC，
∴∠BAP＝∠BAC＝65°；
故答案为：①④；
（2）①（i）当∠CAQ＝90°时，
∵∠BAP＝65°，
∴∠CAP＝130°﹣65°＝65°，
∴∠PAQ＝90°﹣65°＝25°；
（ii）当∠AQC＝90°时，
∵∠ACD＝50°，
∴∠CAQ＝40°，
∵∠BAP＝∠CAP＝65°，
∴∠PAQ＝65°﹣40°＝25°；
综上，∠PAQ的度数为25°；
②（i）当∠ACQ为钝角时，
∵∠BAC＝130°，
∴130°＜∠BAQ＜180°；
（ii）当∠CAQ为钝角时，
∵∠BAC＝130°，
∴0°＜∠BAQ＜40°；
（iii）当∠CQA为钝角时，
∴90°＜∠BAQ＜130°；
综上，∠BAQ的取值范围为：0°＜∠BAQ＜40°或90°＜∠BAQ＜180°且∠BAQ≠130°．
日期
正方形纸板（张）
长方形纸板（张）
第一次
562
938
第二次
420
860
第三次
502
1000
第四次
985
2015
投票箱
候选人
废票
合计
甲
乙
丙
一、二、三
583
337
596
34
1550
四
250
日期
正方形纸板（张）
长方形纸板（张）
第一次
562
938
第二次
420
860
第三次
502
1000
第四次
985
2015
投票箱
候选人
废票
合计
甲
乙
丙
一、二、三
583
337
596
34
1550
四
250