北师版八年级上册数学习题课件 期末提分练案 1.2 素养专项提升 专项　勾股定理判定直角的五种常用方法

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1．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F在AB上，且AF∶FB＝3∶1.(1)请你判断EF与DE的位置关系，并说明理由；
(2)若此正方形的面积为16，求DF的长．
2．如图是一块地的平面图，已知AD＝8 m，CD＝6 m，∠D＝90°，AB＝26 m，BC＝24 m，求这块地的面积．
3．如图，在△ABC中，D为BC的中点，AB＝5，AD＝6，AC＝13.求证：AB⊥AD.
【点拨】本题运用倍长中线法构造全等三角形来说明线段相等，再利用勾股定理的逆定理说明三角形为直角三角形，从而说明两条线段垂直．
证明：如图，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE.∵D为BC的中点，∴CD＝BD.又∵AD＝DE，∠ADC＝∠EDB，∴△ADC≌△EDB.∴BE＝AC＝13.在△ABE中，AE＝2AD＝12，∴AE2＋AB2＝122＋52＝169.又∵BE2＝132＝169，∴AE2＋AB2＝BE2.∴△ABE是直角三角形，且∠BAE＝90°，即AB⊥AD.
4．在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α，点P为△ABC内一点，将CP绕点C顺时针旋转α得到CD，连接AD.(1)如图①，当α＝60°，PA＝10，PB＝6，PC＝8时，求∠BPC的度数；
解：如图①，连接DP.由题意知CD＝CP＝8，∠PCD＝60°，∴△DCP为等边三角形．∴∠CDP＝60°，DP＝DC＝8.易得△CPB≌△CDA，∴∠BPC＝∠ADC，AD＝BP＝6.∴AD2＋DP2＝AP2. ∴∠ADP＝90°.∴∠ADC＝150°. ∴∠BPC＝150°.
解：如图②，连接DP，易得CD＝CP＝2，△DCP为等腰直角三角形，∴∠CDP＝45°.易得△CPB≌△CDA，∴∠BPC＝∠ADC，AD＝BP＝1.∴AD2＋DP2＝AD2＋(CD2＋CP2)＝9.又∵AP2＝9，∴AD2＋DP2＝AP2. ∴∠ADP＝90°.∴∠ADC＝135°. ∴∠BPC＝135°.
(2)如图②，当α＝90°，PA＝3，PB＝1，PC＝2时，求∠BPC的度数．
5．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，D为AB的中点，M，N分别为AC，BC上的点，且DM⊥DN.求证：AB2＝2(CM＋CN)2.
证明：如图，连接CD，过点D作DE⊥BC于点E.∵DM⊥DN，∴∠MDC＋∠CDN＝90°.∵∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝45°，∠A＝∠B＝45°.∴∠CDN＋∠NDB＝90°.∴∠MDC＝∠NDB.由∠BCD＝∠B＝45°，DE⊥BC，易得△DBE≌△DCE. ∴CD＝BD.