北师版八年级上册数学习题课件 期末提分练案 10.2 方程思想解题技巧荟萃

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1．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，DE是BC的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E，AF⊥BC于点F.(1)若∠BAC＝90°，求AE的长；
(2)若DF＝0.7，求证：△ABC为直角三角形．
证明：∵DE是BC的垂直平分线，∴BD＝CD.设BD＝y，则CD＝y.∵DF＝0.7，∴BF＝y＋0.7，CF＝y－0.7.∵AF⊥BC，∴AB2－BF2＝AF2，AC2－CF2＝AF2.∴AB2－BF2＝AC2－CF2，即42－(y＋0.7)2＝32－(y－0.7)2.
解得y＝2.5，即BD＝CD＝2.5.∴BC＝5.∵32＋42＝52，∴AC2＋AB2＝BC2.∴△ABC为直角三角形．
2．如图，将长方形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的点F处．已知CE＝3 cm，AB＝8 cm，求图中阴影部分的面积．
解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝7 cm，AC＝25 cm，∴BC2＝AC2－AB2＝252－72＝242.∴BC＝24 cm.
3．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝7 cm，AC＝25 cm.点P从点A出发，并沿AB方向以1 cm/s的速度运动至点B；点Q从点B出发，并沿BC方向以6 cm/s的速度运动至点C，P，Q两点同时出发．(1)求BC的长；
(2)当运动2 s时，求P，Q两点之间的距离；
解：如图，连接PQ.当运动2 s时，AP＝1×2＝2(cm)，BQ＝6×2＝12(cm)．∴BP＝AB－AP＝7－2＝5(cm)．在Rt△BPQ中，由勾股定理，得PQ2＝BP2＋BQ2＝52＋122＝132，∴PQ＝13 cm.即P，Q两点之间的距离为13 cm.
(3)P，Q两点运动几秒时，AP＝CQ?
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，求CE的长．
解：如图，连接AE.∵DE为AB的垂直平分线，∴AE＝BE.在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，由勾股定理得BC＝8.
5．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠ACB＝90°，AB＝AD，AC＝4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，求y与x之间的函数表达式．
解：如图，过点D作DE⊥AC于点E.设BC＝a，则AC＝4a.由∠DEA＝90°，∠BAD＝90°，易得∠2＝∠1.∵∠ACB＝90°，∴∠DEA＝∠ACB.又∵DA＝AB，∴△DAE≌△ABC.∴AE＝BC＝a，DE＝AC＝4a.
6．某电信公司手机的A类收费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费50元，另外，每通话1分钟收费0.4元．B类收费标准如下：没有月租费，但每通话1分钟收费0.6元．(1)若A类、B类两种收费标准每月应缴费用分别为y1元和y2元，写出每月应缴费用与通话时间x(分钟)之间的关系式．
解：A类：y1＝0.4x＋50，B类：y2＝0.6x.
(2)若每月平均通话时间为300分钟，你选择哪类收费方式？
解：当x＝300时，A类：y1＝0.4x＋50＝0.4×300＋50＝170，B类：y2＝0.6x＝0.6×300＝180.∵170＜180，∴选择A类收费方式．
(3)每月通话多长时间，按A，B两类收费标准缴费，所缴费用相等？
解：由题意，可得0.4x＋50＝0.6x，解得x＝250.∴每月通话时间为250分钟时，按A，B两类收费标准缴费，所缴费用相等．
7．如图，某校(点M)距公路(直线l)的距离(MA的长度)为1 km，在公路上距该校2 km处有一车站(点N)，该校拟在公路上建一个公交车停靠站(点P)，以便于该校职工乘车上下班，要求停靠站到该校与车站的距离相等，请计算停靠站到车站的距离．
8．丽君花卉基地出售两种盆栽花卉：太阳花6元/盆，绣球花10元/盆．若一次购买的绣球花超过20盆时，超过20盆部分的绣球花价格打8折．(1)分别写出两种花卉的付款金额y(元)关于购买量x(盆)的函数表达式．
解：太阳花的付款金额y(元)关于购买量x(盆)的函数表达式是y＝6x(x为自然数)．①一次购买的绣球花不超过20盆时，付款金额y(元)关于购买量x(盆)的函数表达式是y＝10x；②一次购买的绣球花超过20盆时，付款金额y(元)关于购买量x(盆)的函数表达式是y＝10×20＋10×0.8×(x－20)＝200＋8x－160＝8x＋40.
(2)为了美化环境，花园小区计划到该基地购买这两种花卉共90盆，其中太阳花的数量不超过绣球花数量的一半．两种花卉各买多少盆时，总费用最少？最少费用是多少元？