2021高三数学第一轮复习 导学案 第21讲 导数在不等式和应用问题中的应用
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这是一份2021高三数学第一轮复习 导学案 第21讲 导数在不等式和应用问题中的应用,共4页。学案主要包含了学习目标,重点、难点,知识梳理,典题分析,方法规律,题组练习,课堂小结等内容,欢迎下载使用。
能构造函数,用导数为工具,证明简单的不等式;
能用导数为工具,研究生活中简单的最值问题;
提高导数的工具性认知。
【重点、难点】
重点:用导数研究函数的单调性和最值;
难点:构造函数,以及数学建模。
【知识梳理】
1、用函数证明不等式
(1)用导数证明不等式要考虑构造新函数,利用新函数的单调性或最值证明不等式.如,要证明对任意[]都有,可设,只要利用导数说明在[]上的最小值为即可。
(2)多用分析法思考.
(3)直接证明不等式,若困难,可考虑对不等式进行等价变形转化.
2、导数在实际问题中的应用,基本思路
实际问题
实际问题的答案
用函数表示数学问题
用导数解决数学问题
【典题分析】
题型一:常见不等式的证明
例1:证明下列不等式:
(2)
【方法规律】 构造函数证明不等式的策略:转化与化归、定义域优先的构造函数、用导数研究函数的最值.
【题组练习】
1、证明下列不等式:
(2)
*例2、已知函数
(1)若函数处取得极小值0,求的值;
(2)在(1)的条件下,求证:对任意的,总有.
题型二:导数与实际应用问题
*例3:(2020江苏17)某地准备在山谷中建一座桥梁,桥址位置的竖直截面图如图所示:谷底在水平线上,桥与平行,为铅垂线(在上).经测量,左侧曲线上任一点到的距离(米)与到的距离(米)之间满足关系式;右侧曲线上任一点到的距离(米)与到的距离(米)之间满足关系式.己知点到的距离为米.
(1)求桥的长度;
(2)计划在谷底两侧建造平行于的桥墩和,且为米,其中,在上(不包括端点).桥墩每米造价(万元),桥墩每米造价(万元)(),问为多少米时,桥墩与的总造价最低?
【方法规律】利用导数解决优化问题的一般步骤:
(1)写出函数关系,一定要注意:定义域优先!
(2)求函数的导数,并研究导数符号.
(3)得到函数的单调性以及最值情况.
(4)根据数学问题解决回答实际问题中的优化问题.
【题组练习】
1.已知某生产厂家的年利润(单位:万元)与年产量(单位:万件)的函数关系为,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )
A. 13万件 B. 11万件 C. 9万件 D. 7万件
2、某工厂需要建一个面积为512的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,问堆料场的长和宽各为多少时,才能使砌墙所用的材料最省?
【课堂小结】 本节课你收获什么?