2021高三数学第一轮复习 导学案 第29讲 平面向量基本概念及运算
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这是一份2021高三数学第一轮复习 导学案 第29讲 平面向量基本概念及运算,共4页。学案主要包含了学习目标,重点、难点,知识梳理,典题分析,变式迁移等内容,欢迎下载使用。
第二十九讲:平面向量的概念及其运算(共1课时)【学习目标】1. 了解向量的实际背景,理解向量和向量相等的含义,理解向量的几何表示。2. 掌握向量的加、减法的运算,并理解其几何意义。3. 掌握向量的数乘运算,并理解其几何意义以及两个向量共线(平行)的意义。【重点、难点】重点:平面向量基本概念与线性运算。难点:共线向量概念及数乘运算。【知识梳理】 1、向量的概念(1)向量的定义:既有 又有 的量叫做向量。(2)两个特殊向量 的向量叫做零向量,记作。 的向量叫做单位向量。(3)平行向量(或共线向量)① 的 向量叫做平行向量,因为任一组平行向量都可以平移到同一直线上,所以平行向量也叫做 向量。②规定与任一向量平行。③向量与非零向量平行(共线)的充要条件是: 。(4)相等向量: 且 的向量叫做相等向量。(5)相反向量: 且 的向量叫做相反向量。2、向量的表示法(1)几何表示法:用 表示,如.(2)字母表示法:用 表示,如,,等。3、向量的线性运算①向量的加法:定义:求两个向量和的运算运算法则(几何意义): ②向量的减法: 定义:向量加上向量的相反向量,叫做与的差,即。求两个向量差的运算叫做向量的减法。运算法则(几何意义): ③向量的数乘定义:实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作。运算法则(几何意义):的长度和方向规定如下:(1) ;(2)当时,与的方向 ; 当时,与的方向 ; 当时, ;④运算律为任意向量,为实数。 ; ; ; 【典题分析】 题型1:向量的概念例1.下面的命题正确的有( ). (多选题)A.方向相反的两个非零向量一定共线B.单位向量都相等C.若,满足且与同向,则D.“若、、、是不共线的四点,且”“四边形是平行四边形” 方法:准确辨别向量的基本概念;【变式迁移】1.判断下列命题:①两个有共同起点而且相等的非零向量,其终点必相同;②若,则与的方向相同或相反;③若且,则;④若,则.其中正确的命题个数为( )A.0 B.1 C.2 D.32.下列关于空间向量的命题中,正确命题的个数是( )①任一向量与它的相反向量都不相等;②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量;③平行且模相等的两个向量是相等向量;④若,则;⑤两个向量相等,则它们的起点与终点相同.A.0 B.1 C.2 D.3 题型2:向量的线性运算例2 在中,分别为边上的中点,为上的一点,且,设,,试用表示. 方法:未知向量由已知向量来表示,要注意寻找未知向量与已知向量的联系,一般要利用到平行四边形法则、三角形法则、平行(共线)向量的性质。【变式迁移】1、如图,平行四边形中,分别是、的中点,为的交点,若,,试以表示。 2.(2014新课标I,文6)设分别为的三边的中点,则( ) B. C. D. 3.设D为△ABC所在平面内一点,则( )(A) (B) (C) (D) 4.在中,、、分别是边、、的中点,、、交于点,则:①;②;③; ④.上述结论中,正确的是( )A.①② B.②③ C.②③④ D.①③④5.如图,在平行四边形ABCD中,下列计算错误的是( )A. B.C. D.6.已知和点满足.若存在实数使得成立,则( )A. B. C. D. 题型3:三点共线问题例3 设两个非零向量与不共线.(1)若,, 求证:A、B、D三点共线;(2)试确定实数k,使和共线. 方法:三点共线问题可转化为证明两向量平行,再说明两个向量由公共点,从而可得三点共线。 【变式迁移】1.已知向量,是两个不共线的向量,若与共线,则( )A.2 B.-2 C. D.2.设是平面内两个不共线的向量,(a>0,b>0),若A,B,C三点共线,则的最小值是( )A.2 B.4 C.6 D.83.如图,在中,,点,分别在,上,且,.若与相交于点,则的取值范围是__. 题型4:向量的综合问题例4 如图,在中,,是上的一点,若,则实数 【变式迁移】1.如图所示,在中,点是的中点,过点的直线分别交直线,于不同的两点,,若,,则的值为__________. 2.如图在中,,,与交于点.设,.(1)用,表示;(2)已知线段上取一点,在线段上取一点,使过点.设,,则是否为定值,如果是定值,求出这个定值.