2021高三数学第一轮复习 导学案 第42讲 空间几何体的结构及其表面积、体积

第四十二讲：空间几何体的结构及其表面积、体积

【学习目标】

1. 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征；
2. 能画出简单空间图形的三视图，能识别三视图会用斜二测画法画出他们的直观图；
3. 了解球、棱柱、棱锥、台体的表面积和体积的计算公式。

【重点、难点】

重点：认知空间几何体的结构特征；

难点：了解球、棱柱、棱锥、台体的表面积和体积计算公式。

【知识梳理】 

1、简单多面体的结构特征

（1）棱柱的侧棱都                   ，上下底面是            的多边形；

（2）棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个                的三角形；

（3）棱台可由                        的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形.

2、旋转体的形成

3、直观图

斜二测画法：

（1）原图形中轴、轴、轴两两垂直，直观图中轴、轴的夹角为（或），轴与轴和轴所在平面           .

（2）原图形中平行于坐标轴的线段在直观图中仍                    ，平行于轴和轴的线段在直观图中保持原长度       ，平行于轴的线段在直观图中长度为           .

4、圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

5、柱体、椎体、台体和球的表面积和体积

【典题分析】  

题型1：空间几何体的结构特征

例1 给出下列命题：

（1）棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；

（2）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；

（3）在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；

（4）存在每个面都是直角三角形的四面体；

（5）棱台的侧棱延长后交于一点.

其中正确命题的个数为（  ） 

1. 2      B. 3      C. 4       D. 5

【方法规律】 （1）定义法：根据几何体定义进行判断。（2）反例法 .

【题组练习】

1、给出下列命题：

①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；

②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；

③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；

④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等。

其中正确命题的个数是(    )

A、0       B、1       C、2        D、3

2、如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是(   )

A．棱柱       B．棱台    C．棱柱与棱锥的组合体    D．不能确定

题型2：空间几何体的直观图、侧面展开图

例2 （1）已知正三角形的边长为，那么的平面直观图的面积为（   ）

1.      B.      C.      D.

（2）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图.圆柱表面上的点在正视图上对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（  ）

   A.      B.      C. 3      D.2

【方法规律】 1.直观图的面积问题常常有两种解法：一是利用斜二测画法求解；二是直接套用等量关系；2.解决空间几何体面积上两点距离的最短问题，常借助其侧面展开图。

【题组练习】

1、如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底长均为1的等腰梯形，那么这个平面图形的面积是(     )

2、如图，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形是（  ）

A．正方形          B．矩形

C．菱形           D．一般的平行四边形

3、如图是某圆锥的三视图，A，B为圆锥表面上两点在正视图中的位置，其中B为所在边中点，则在该圆锥侧面上A，B两点最短的路径长度为（    ）

A．    B．     C．    D．3

4、如图，底面半径为1，高为2的圆柱，在A点有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？

题型3：空间几何体的表面积

例3 （1）如图，直角梯形中，,,

，若将该直角梯形绕边旋转一周，则所得的几何体的表面积为          .

（2）若正四棱锥的底面边长和高都为2，其表面积为        .

（3）圆台的上、下底面半径分别是10 和20 ，它的侧面展开图的扇环的圆心角是，那么圆台的表面积为        （结果中保留）

【方法规律】 （1）旋转体的表面积分割为圆锥的侧面积与圆柱的侧面积及底面积之和；（2）多面体侧面积的问题关键是找到其特征几何图形；（3）圆台的侧面积问题，采用了还原成圆锥的思想.

【题组练习】

1、若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的全面积是(    )

A．       B．   C．    D．

2、已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________．

3、（多选题）已知四棱台的上下底面均为正方形，其中，，，则下述正确的是（    ）．

A．该四棱台的高为     B．

C．该四棱台的表面积为26 

D．该四棱台外接球的表面积为

题型4：空间几何体的体积

例4 （1）如图所示，正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，为中点，则三棱锥的体积为（   ）

1. 3        B.          C. 1         D.

（2）如图所示，已知多面体中，,,两两互相垂直，平面平面，平面平面，，，则该多面体的体积为      

【方法规律】 处理体积问题的思路：

（1）“转”：指的是转换底面与高，将原来不易求面积的底面转换为易求面积的底面，或将原来不易看出的高转换为易看出并易求解长度的高；

（2）“拆”：指的是将一个不规则的几何体拆成几个简单的几何体，便于计算；

（3）“拼”：指的是将小几何体嵌入一个大几何体中，如将一个三棱锥复原成一个三棱柱，将一个三棱柱复原成一个三棱柱，这些都是拼补的方法。

【题组练习】

1、如图长方体的体积是120，是的中点，则三棱锥的体积是          .

2、一个几何体的三视图如图，其正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是(    )

A．   B．    C．   D．

2、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（    ）

A.  B． 

C． D．

题型5：与球有关的切、接问题

例4 （1）已知一个圆锥底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内切球的表面积为（   ）

A.      B.      C.      D.

（2）已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且，，，则此三棱锥的外接球的体积为（  ）

    A.     B.      C.      D.

（3）已知直三棱柱的各顶点都在以为球心的球面上，且，，则球的体积为（    ）

  A.       B.       C.       D.

【方法规律】 与球有关的切、接问题的解法：

（1）旋转体的外接球：常用的解题方法是过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解.

（2）多面体的外接球：常用的解题方法是将多面体还原到正方体和长方体中再去求解.

①若球面上四点中两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体，利用求.

②一条侧棱垂直底面的三棱锥问题：可补形成直三棱锥.先借助几何体的几何特征确定球心位置，然后把半径放在直角三角形中求解.

【题组练习】

1、三棱锥中，，，平面，，则该三棱锥的外接球表面积为__________．

2、（多选题）己知正三棱锥的底面边长为1，点到底面的距离为，则（    ）

A．该三棱锥的内切球半径为 B．该三棱锥外接球半径为

C．该三棱锥体积为 D．与所成的角为

3、如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，且，，若在这个四棱锥内放一个球，则此球的最大半径是         .