2021高三数学第一轮复习 导学案 第46讲 空间向量的运算及应用
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这是一份2021高三数学第一轮复习 导学案 第46讲 空间向量的运算及应用,共6页。学案主要包含了学习目标,重点、难点,知识梳理,常用结论,典题分析,方法规律,题组练习等内容,欢迎下载使用。
第四十六讲:空间向量的运算及应用【学习目标】了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示;掌握空间向量的线性运算及其坐标表示;掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直;理解直线的方向向量及平面的法向量;能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系;能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理。【重点、难点】重点:利用空间向量的解决立体几何中的一些简单问题;难点:立体几何中空间向量的应用。【知识梳理】 1、空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中,具有 和 的量.相等向量方向 且模 的向量.相反向量方向 且模 的向量.共线向量(或平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线互相 的向量.共面向量平行于 的向量. 2、空间向量的有关定理(1)共线向量定理:对空间任意两个向量(),的充要条件是存在实数,使得 .(2)共面向量定理:如果两个向量不共线,那么向量与向量共面的充要条件是存在 的有序实数对,使 . (3)空间向量基本定理:如果三个向量不共面,那么对空间任一向量,存在有序实数组,使得 ,其中叫做空间的一个基底。3、两个向量的数量积(1)非零向量的数量积.(2)空间向量数量积的运算律: ①结合律:;②交换律:;③分配律:4、空间向量的坐标表示及其应用设, 向量表示坐标表示数量积 共线() 垂直() 模 夹角 5、空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线的方向向量分别为 直线的方向向量为,平面的法向量为 平面的法向量分别为 【常用结论】 1、对空间任一点,若(),则三点共线.2、对空间任一点,若(),则四点共面.3、平面的法向量的确定:设是平面内两不共线向量,为平面的法向量,则求法向量的方程组为.【典题分析】 题型1:空间向量的线性运算例1 如图所示,已知空间四边形,其对角线为,分别为的中点,点在线段上,且,若,则 . 【方法规律】 空间向量的线性运算类似于平面向量的线性运算 .【题组练习】1、在平行六面体中,为与的交点,若,,,则下列向量中与相等的向量是( ) A. B. C. D.2、如图,在四面体中,是的中点,是的中点,则等于( )A. B.C. D. 题型2:共线(共面)向量定理的应用例2 (1)已知,,若,则与的值可以是( ) A. B. C. D. (2)已知,,,若三向量共面,则实数 . 【方法规律】 共线共面定理的应用. 【题组练习】1、如果三点,,在同一条直线上,则( )A. B.C. D. 2、O为空间中任意一点,A,B,C三点不共线,且,若P,A,B,C四点共面,则实数t=______.3、在空间直角坐标系中,,,,,(),若四点共面,则 . 题型3:空间向量数量积的应用例3 如图,已知直三棱柱,在底面中,,,棱,分别是的中点.(1)求的模;(2)求的值;(3)求证:. 【方法规律】 对于不方便建立空间直角坐标系的题目,常常借助基向量及数量积的定义求解;倘若建系方便,则通过坐标法求解。 【题组练习】1、如图,一块矿石晶体的形状为四棱柱,底面是正方形,,,且.(1)设,,,试用、、表示;(2)已知为四棱柱的中心(体对角线中点),求的长. 2、在正方体中,分别为棱和的中点,则的值为 . 3、如图所示,已知空间四边形的每条边和对角线长都等于1,点分别是的中点,计算:(1);(2). 题型4:利用向量证明平行与垂直例4 如图所示,在四棱锥中,平面,,在四边形中,,,,点在上,,与平面成角.求证:(1)平面;(2)平面平面. 【方法规律】 利用空间向量解决有关平行垂直问题.【题组练习】1、如图所示,四棱锥的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的倍,点为侧棱上的点.(1)求证:;(2)若平面,则侧棱上是否存在一点,使得平面,若存在,求的值;若不存在,试说明理由. 2、如图,在四棱锥中,平面,,且,,,,,为的中点. (1)求证:平面;(2)在线段上是否存在一点,使得直线与平面所成角的正弦值为,若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
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