江苏省盐城市东台市2020-2021学年上学期期末考试八年级 数学试卷 解析版

这是一份江苏省盐城市东台市2020-2021学年上学期期末考试八年级 数学试卷 解析版，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列实数中，是无理数的为（ ）
A．B．C．0D．3.1
2．在下列四个图案的设计中，没有运用轴对称知识的是（ ）
A．B．C．D．
3．等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．16B．18C．20D．16或20
4．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（ ）
A．AB垂直平分CDB．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB
5．如图，点E、F在AC上，AD＝BC，DF＝BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加一个条件是（ ）
A．AD∥BCB．DF∥BEC．∠A＝∠CD．∠D＝∠B
6．如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，根据图象可知，关于x的方程x+5＝ax+b的解是（ ）
A．x＝20B．x＝25C．x＝20或25D．x＝﹣20
7．新龟兔赛跑的故事：龟兔从同一地点同时出发后，兔子很快把乌龟远远甩在后头．骄傲自满的兔子觉得自己遥遥领先，就躺在路边呼呼大睡起来．当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追，最后同时到达终点．用S1、S2分别表示乌龟和兔子赛跑的路程，t为赛跑时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（ ）
A．B．
C．D．
8．如图是由8个全等的小矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上，如果点P是某个小矩形的顶点，连接PA、PB，那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，清将答案写在答题纸相应位置上）
9．点M（﹣2，3）到x轴的距离是 ．
10．4是 的算术平方根．
11．比较大小： 3．
12．2020年12月17日，我国发射的“嫦娥5号”月球探测器首次实现了地外天体采样返回，成就举世瞩目．地球到月球的平均距离约是384400千米，数据384400用四舍五入法精确到千位、并用科学记数法表示为 ．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则△ABC的外角∠BCD＝ 度．
14．一次函数y＝（k+5）x﹣2中y随x的增大而减小，则k的取值范围是 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，点M（﹣1，3）、N（a，3），若直线y＝﹣2x与线段MN有公共点，则a的值可以为 ．（写出一个即可）
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，点O是AB边的中点，点P是射线AC上的一个动点，BQ∥CA交PO的延长线于点Q，OM⊥PQ交BC边于点M．当CP＝1时，BM的长为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共72分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）
17．计算：+﹣20210．
18．求下列各式中x的值．
（1）2x2＝72；
（2）（x+1）3+3＝﹣61．
19．已知某正数的两个平方根分别是a﹣3和2a+15，b的立方根是﹣3，求a﹣b的值．
20．如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度．我们将小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点均在格点上．
（1）将△ABC先向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到△A1B1C1，画出平移后的△A1B1C1；
（2）建立适当的平面直角坐标系，使得点A的坐标为（﹣4，3）；
（3）在（2）的条件下，直接写出点A1的坐标．
21．如图，在△ABE中，AB＝AE，AD＝AC，∠BAD＝∠EAC，BC、DE交于点O．求证：
（1）△ABC≌△AED；
（2）OB＝OE．
22．一艘轮船从A港向南偏西48°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km．
（1）若轮船速度为25km/小时，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间．
（2）C岛在A港的什么方向？
23．“五一节”期间，申老师一家自驾游去了离家170千米的某地，下面是他们离家的距离y（千米）与汽车行驶时间x（小时）之间的函数图象．
（1）求他们出发半小时时，离家多少千米？
（2）求出AB段图象的函数表达式；
（3）他们出发2小时时，离目的地还有多少千米？
24．通过折纸活动，可以探索图形的性质，也可以得到一些特殊的图形．如图，取一张正方形纸片ABCD，第一次先将其对折，展开后进行第二次折叠，使正方形右下角的顶点C落在第一次的折痕EF上点G处，折痕为BH
试探究∠CBH、∠GBH、∠GBA三个角之间的数量关系，并说明理由．
25．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数，y＝﹣x+m的图象经过点A（4，1），点B在y轴的负半轴上，AB交x轴于点C，C为线段AB的中点．
（1）m＝ ；
（2）求直线AB的函数解析式；
（3）直线y＝x与y＝﹣x+m交于点D，P为线段OD上的一点，过点P作EF∥y轴，交直线AB、AD于点E、F．若点P将线段EF分成1：2的两部分，求点P的坐标．
26．如图①，直线AB与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点．OA、OB的长度分别为m和n，且满足m2+n2＝2mn．
（1）判断△AOB的形状．
（2）如图②，正比例函数y＝kx（k＜0）的图象与直线AB交于点Q，过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM＝13，MN＝6，求BN的长．
（3）如图③，E为线段AB上一动点，以AE为斜边作等腰直角△ADE，P为BE的中点，连接PD、PO．试问：线段PD、PO是否存在某种确定的数量关系和位置关系？写出你的结论并证明．
2020-2021学年江苏省盐城市东台市八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．下列实数中，是无理数的为（ ）
A．B．C．0D．3.1
【分析】无理数就是无限不循环小数，依据定义即可判断．
【解答】解：A、是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
B、是无理数，故本选项符合题意；
C、0是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
D、3.1是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
故选：B．
2．在下列四个图案的设计中，没有运用轴对称知识的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接利用轴对称图形的定义得出符合题意的答案．
【解答】解：A、，是轴对称图形，故此选项错误；
B、，是轴对称图形，故此选项错误；
C、，不是轴对称图形，故此选项正确；
D、，是轴对称图形，故此选项错误；
故选：C．
3．等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．16B．18C．20D．16或20
【分析】由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析．
【解答】解：①当4为腰时，4+4＝8，故此种情况不存在；
②当8为腰时，8﹣4＜8＜8+4，符合题意．
故此三角形的周长＝8+8+4＝20．
故选：C．
4．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（ ）
A．AB垂直平分CDB．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB
【分析】由AC＝AD，BC＝BD，可得点A在CD的垂直平分线上，点B在CD的垂直平分线上，即可得AB垂直平分CD．
【解答】解：∵AC＝AD，BC＝BD，
∴点A在CD的垂直平分线上，点B在CD的垂直平分线上，
∴AB垂直平分CD．
故选：A．
5．如图，点E、F在AC上，AD＝BC，DF＝BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加一个条件是（ ）
A．AD∥BCB．DF∥BEC．∠A＝∠CD．∠D＝∠B
【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据以上定理逐个进行判断即可．
【解答】解：∠D＝∠B，
理由是：∵在△ADF和△CBE中
，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
即选项D正确；
具备选项A、选项B，选项C的条件都不能推出两三角形全等，
故选：D．
6．如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，根据图象可知，关于x的方程x+5＝ax+b的解是（ ）
A．x＝20B．x＝25C．x＝20或25D．x＝﹣20
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以得到方程x+5＝ax+b的解，本题得以解决．
【解答】解：∵直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25），
∴x+5＝ax+b的解是x＝20，
即方程x+5＝ax+b的解是x＝20，
故选：A．
7．新龟兔赛跑的故事：龟兔从同一地点同时出发后，兔子很快把乌龟远远甩在后头．骄傲自满的兔子觉得自己遥遥领先，就躺在路边呼呼大睡起来．当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追，最后同时到达终点．用S1、S2分别表示乌龟和兔子赛跑的路程，t为赛跑时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】乌龟是匀速行走的，图象为线段．兔子是：跑﹣停﹣急跑，图象由三条折线组成；最后同时到达终点，即到达终点的时间相同．
【解答】解：A．此函数图象中，S2先达到最大值，即兔子先到终点，不符合题意；
B．此函数图象中，S2第2段随时间增加其路程一直保持不变，与“当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追”不符，不符合题意；
C．此函数图象中，乌龟和兔子同时到达终点，符合题意；
D．此函数图象中，S1先达到最大值，即乌龟先到终点，不符合题意．
故选：C．
8．如图是由8个全等的小矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上，如果点P是某个小矩形的顶点，连接PA、PB，那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】根据等腰直角三角形的判定即可得到结论．
【解答】解：如图所示，使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是3，
故选：B．
二．填空题（共8小题）
9．点M（﹣2，3）到x轴的距离是 3 ．
【分析】根据点的坐标与其到x轴的距离的关系进行解答．
【解答】解：M（﹣2，3）到x轴的距离是其纵坐标的绝对值，即为3．
故答案为3．
10．4是 16 的算术平方根．
【分析】如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，由此即可求出结果．
【解答】解：∵42＝16，
∴4是16的算术平方根．
故答案为：16．
11．比较大小： ＜ 3．
【分析】因为两个数均大于0，将二者平方后比较大小，平方大的数就大．
【解答】解：∵＝5，32＝9，5＜9，
又∵＞0，3＞0，
∴＜3．
故答案为：＜．
12．2020年12月17日，我国发射的“嫦娥5号”月球探测器首次实现了地外天体采样返回，成就举世瞩目．地球到月球的平均距离约是384400千米，数据384400用四舍五入法精确到千位、并用科学记数法表示为 3.84×105 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，且比原数的整数位少一位；取精确度时，需要精确到哪位就数到哪位，然后根据四舍五入的原理进行取舍．
【解答】解：数据384400用四舍五入法精确到千位是384000，用科学记数法表示为3.84×105．
故答案为：3.84×105．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则△ABC的外角∠BCD＝ 110 度．
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠ACB，根据三角形的内角和定理求出∠B，∠根据三角形的外角性质即可求出答案．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵∠A＝40°，
∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝70°，
∴∠BCD＝∠A+∠B＝40°+70°＝110°，
故答案为：110．
14．一次函数y＝（k+5）x﹣2中y随x的增大而减小，则k的取值范围是 k＜﹣5 ．
【分析】利用一次函数的性质可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．
【解答】解：∵y随x的增大而减小，
∴k+5＜0，
∴k＜﹣5．
故答案为：k＜﹣5．
15．如图，在平面直角坐标系中，点M（﹣1，3）、N（a，3），若直线y＝﹣2x与线段MN有公共点，则a的值可以为 ﹣1.6 ．（写出一个即可）
【分析】把y＝3代入y＝﹣2x得到x＝﹣1.5，根据已知可得N点应该在直线y＝﹣2x的左侧，从而分析出a的取值范围，依此判断即可．
【解答】解：当y＝3时，x＝﹣1.5．
若直线y＝﹣2x与线段MN有公共点，
则N点应该在直线y＝﹣2x的左侧，即a≤﹣1.5．
∴a的值可以为﹣1.6．（不唯一，a≤﹣1.5即可）．
故答案为：﹣1.6．
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，点O是AB边的中点，点P是射线AC上的一个动点，BQ∥CA交PO的延长线于点Q，OM⊥PQ交BC边于点M．当CP＝1时，BM的长为 2.5或1 ．
【分析】如图，设BM＝x，首先证明BQ＝AP，分两种情形，利用勾股定理，构建方程求解即可．
【解答】解：如图，设BM＝x，
在Rt△ABC中，AB＝10，AC＝6，
∴BC＝＝＝8，
∵QB∥AP，
∴∠A＝∠OBQ，
∵O是AB的中点，
∴OA＝OB，
在△OAP和△OBQ中，
，
∴△OAP≌△OBQ（ASA），
∴PA＝BQ＝6﹣1＝5，OQ＝OP，
∵OM⊥PQ，
∴MQ＝MP，
∴52+x2＝12+（8﹣x）2，
解得x＝2.5．
当点P在AC的延长线上时，同法可得72+x2＝12+（8﹣x）2，
解得x＝1，
综上所述，满足条件的BM的值为2.5或1．
故答案为：2.5或1．
三．解答题
17．计算：+﹣20210．
【分析】直接利用立方根以及二次根式的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣2+3﹣1
＝0．
18．求下列各式中x的值．
（1）2x2＝72；
（2）（x+1）3+3＝﹣61．
【分析】（1）直接利用平方根的定义计算得出答案；
（2）直接利用立方根的定义计算得出答案．
【解答】解：（1）x 2＝36，
故x＝±6，
则x＝6或x＝﹣6；
（2）（x+1）3＝﹣64，
x+1＝﹣4
∴x＝﹣5．
19．已知某正数的两个平方根分别是a﹣3和2a+15，b的立方根是﹣3，求a﹣b的值．
【分析】直接利用平方根、立方根的定义计算得出答案．
【解答】解：∵正数的两个平方根分别是a﹣3和2a+15，
∴（a﹣3）+（2a+15）＝0，
解得：a＝﹣4，
∵b的立方根是﹣3，
∴b＝﹣27，
∴a﹣b＝﹣4﹣（﹣27）＝23．
20．如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度．我们将小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点均在格点上．
（1）将△ABC先向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到△A1B1C1，画出平移后的△A1B1C1；
（2）建立适当的平面直角坐标系，使得点A的坐标为（﹣4，3）；
（3）在（2）的条件下，直接写出点A1的坐标．
【分析】（1）利用网格特点和平移的性质画出A、B、C的对应点A1、B1、C1，从而得到△A1B1C1；
（2）利用A点坐标画出直角坐标系；
（3）利用第二象限点的坐标特征写出点A1的坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，
（3）点A1的坐标为（2，6）．
21．如图，在△ABE中，AB＝AE，AD＝AC，∠BAD＝∠EAC，BC、DE交于点O．求证：
（1）△ABC≌△AED；
（2）OB＝OE．
【分析】（1）利用SAS定理证明△ABC≌△AED；
（2）根据全等三角形的性质得到∠ABC＝∠AED，根据等腰三角形的性质得到∠ABE＝∠AEB，得到∠OBE＝∠OEB，根据等腰三角形的判定定理证明．
【解答】证明：（1）∵∠BAD＝∠EAC，
∴∠BAD+∠DAC＝∠EAC+∠DAC，即∠BAC＝∠EAD，
在△BAC和△EAD中，
，
∴△BAC和≌EAD；
（2）∵△BAC≌△EAD，
∴∠ABC＝∠AED，
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴∠OBE＝∠OEB，
∴OB＝OE．
22．一艘轮船从A港向南偏西48°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km．
（1）若轮船速度为25km/小时，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间．
（2）C岛在A港的什么方向？
【分析】（1）Rt△ABC中，利用勾股定理求得BD的长度，则CD＝BC﹣BD；然后在Rt△ACD中，利用勾股定理来求AC的长度，则时间＝路程÷速度；
（2）由勾股定理的逆定理推知∠BAC＝90°．由方向角的定义作答．
【解答】解：（1）由题意AD＝60km，
Rt△ABC中，AD2+BD2＝AB2，得602+BD2＝1002．
∴BD＝80（km）．
∴CD＝BC﹣BD＝125﹣80＝45（km）．
∴AC＝＝75（km）．
75÷25＝3（小时）．
答：从C岛返回A港所需的时间为3小时．
（2）∵AB2+AC2＝1002+752＝15625，BC2＝1252＝15625，
∴AB2+AC2＝BC2．
∴∠BAC＝90°．
∴∠NAC＝180°﹣90°﹣48°＝42°．
∴C岛在A港的北偏西42°．
23．“五一节”期间，申老师一家自驾游去了离家170千米的某地，下面是他们离家的距离y（千米）与汽车行驶时间x（小时）之间的函数图象．
（1）求他们出发半小时时，离家多少千米？
（2）求出AB段图象的函数表达式；
（3）他们出发2小时时，离目的地还有多少千米？
【分析】（1）先运用待定系数法求出OA的解析式，再将x＝0.5代入，求出y的值即可；
（2）设AB段图象的函数表达式为y＝k′x+b，将A、B两点的坐标代入，运用待定系数法即可求解；
（3）先将x＝2代入AB段图象的函数表达式，求出对应的y值，再用170减去y即可求解．
【解答】解：（1）设OA段图象的函数表达式为y＝kx．
∵当x＝1.5时，y＝90，
∴1.5k＝90，
∴k＝60．
∴y＝60x（0≤x≤1.5），
∴当x＝0.5时，y＝60×0.5＝30．
故他们出发半小时时，离家30千米；
（2）设AB段图象的函数表达式为y＝k′x+b．
∵A（1.5，90），B（2.5，170）在AB上，
∴，
解得，
∴y＝80x﹣30（1.5≤x≤2.5）；
（3）∵当x＝2时，y＝80×2﹣30＝130，
∴170﹣130＝40．
故他们出发2小时，离目的地还有40千米．
24．通过折纸活动，可以探索图形的性质，也可以得到一些特殊的图形．如图，取一张正方形纸片ABCD，第一次先将其对折，展开后进行第二次折叠，使正方形右下角的顶点C落在第一次的折痕EF上点G处，折痕为BH
试探究∠CBH、∠GBH、∠GBA三个角之间的数量关系，并说明理由．
【分析】连接CG，由折叠的性质得出EF垂直平分BC，则BG＝CG，证明△BCG是等边三角形，由等边三角形的性质得出∠CBG＝60°，则可得出答案．
【解答】解：∠CBH＝∠GBH＝∠GBA．
理由：连接CG，
由第一次折叠知点B、C关于EF对称，
∴EF垂直平分BC，
∴BG＝CG，
由第二次折叠知△BCH≌△BGH，
∴BG＝BC；
∴BG＝CG＝BC，
∴△BCG是等边三角形，
∴∠CBG＝60°，
∵△BCH≌△BGH，
∴∠CBH＝∠GBH＝30°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠GBA＝90°﹣60°＝30°，
∴∠CBH＝∠GBH＝∠GBA．
25．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数，y＝﹣x+m的图象经过点A（4，1），点B在y轴的负半轴上，AB交x轴于点C，C为线段AB的中点．
（1）m＝ 5 ；
（2）求直线AB的函数解析式；
（3）直线y＝x与y＝﹣x+m交于点D，P为线段OD上的一点，过点P作EF∥y轴，交直线AB、AD于点E、F．若点P将线段EF分成1：2的两部分，求点P的坐标．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得m的值；
（2）根据题意求得B点的坐标，然后根据待定系数法即可求得；
（3）设P点的横坐标是n，则P（n，n），E（n，n﹣1），F（n，﹣n+5），求得PE＝n﹣（n﹣1）＝n+1，PF＝（﹣n+5）﹣n＝﹣2n+5，根据题意得到关于n的方程，解方程即可求得n的值，即可求得P的坐标．
【解答】解：（1）∵一次函数，y＝﹣x+m的图象经过点A（4，1），
∴1＝﹣4+m，
∴m＝5，
故答案为5；
（2）∵A（4，1），C为线段AB的中点，
∴，
∴yB＝﹣1，
∴B（0，﹣1），
设AB的解析式为y＝kx+b
把A（4，1）、B（0，﹣1）代入得，解得，
∴AB的解析式为y＝x﹣1；
（3）设P点的横坐标是n，则P（n，n），E（n，n﹣1），F（n，﹣n+5），
∴PE＝n﹣（n﹣1）＝n+1，PF＝（﹣n+5）﹣n＝﹣2n+5，
点P将线段EF分成1：2的两部分：
当PF＝2PE时，﹣2n+5＝2（n+1），n＝1，P（1，1）；
当PE＝2PF时，n+1＝2（﹣2n+5），n＝2，P （2，2）．
∴P（1，1）或（2，2）．
26．如图①，直线AB与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点．OA、OB的长度分别为m和n，且满足m2+n2＝2mn．
（1）判断△AOB的形状．
（2）如图②，正比例函数y＝kx（k＜0）的图象与直线AB交于点Q，过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM＝13，MN＝6，求BN的长．
（3）如图③，E为线段AB上一动点，以AE为斜边作等腰直角△ADE，P为BE的中点，连接PD、PO．试问：线段PD、PO是否存在某种确定的数量关系和位置关系？写出你的结论并证明．
【分析】（1）已知m2+n2＝2mn，化简可得m＝n，然后可得△AOB为等腰直角三角形；
（2）证明△MAO≌△NOB，求出OM＝BN，AM＝ON，OM＝BN，然后求出BN的值；
（3）本题要靠辅助线的帮助．证明与之有关的三角形全等之后方可解答．
【解答】解：（1）△AOB是等腰直角三角形，
理由：
∵m2+n2＝2mn，
∴m2+n2﹣2mn＝0，
∴（m﹣n）2＝0，
∴m＝n，即OA＝OB，
∵∠AOB＝90°，
∴△AOB为等腰直角三角形；
（2）∵AM⊥ON，BN⊥ON，
∴∠AMO＝∠BNO＝90°，
∴∠MOA+∠MAO＝90°，
∵∠MOA+∠NOB＝90°，
∴∠MAO＝∠NOB，
在△MAO和△NOB中，
，
∴△MAO≌△NOB（AAS），
∴OM＝BN，AM＝ON＝13，
∵MN＝ON﹣OM，MN＝6，
∴6＝13﹣OM，
∴OM＝7，
∴BN＝7；
（3）PO＝PD且PO⊥PD，
如图3，延长DP到点C，使PC＝DP，连接CB、OD、OC，
在△DEP和△CBP，
，
∴△DEP≌△CBP（SAS），
∴CB＝DE＝DA，∠DEP＝∠CBP＝135°，
则∠CBO＝∠CBP﹣∠ABO＝135°﹣45°＝90°，
又∵∠BAO＝45°，∠DAE＝45°，
∴∠DAO＝90°，
在△OAD和△OBC，
，
∴△OAD≌△OBC（SAS），
∴OD＝OC，∠AOD＝∠COB，
∴∠DOC＝∠AOB＝90°，
∴△DOC为等腰直角三角形，
∵PC＝DP，
∴PO＝DC＝PD，PO⊥PD．