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_江苏省南京市秦淮区2020-2021学年八年级上学期期末数学试卷 解析版
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这是一份_江苏省南京市秦淮区2020-2021学年八年级上学期期末数学试卷 解析版，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列四个常见的手机APP图标中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，△ABC≌△ADE，若∠B＝40°，∠E＝30°，则∠DAE的度数为（ ）
A．70°B．110°C．120°D．130°
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2．以AB为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（ ）
A．8B．12C．18D．20
4．下列整数中，最接近的是（ ）
A．2B．3C．4D．5
5．如图，平面直角坐标系中，点A在第一象限，点B、C的坐标分别为（，0）、（﹣，0）．若△ABC是等边三角形，则点A的坐标为（ ）
A．（，）B．（，2）C．（，）D．（1，）
6．在某次比赛中，甲、乙两支龙舟队的行进路程y1（m）、y2（m）都是行进时间x（min）的函数，它们的图象如图所示．下列结论：
①乙龙舟队先到达终点；
②1.5min时，甲龙舟队处于领先位置；
③当2＜x＜时，甲龙舟队的速度比乙龙舟队的速度快；
④在比赛过程中，甲、乙两支龙舟队恰有3次相距105m，
其中正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①③④
二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共22分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．）
7．16的平方根是 ．
8．结合图，用符号语言表达定理“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”的推理形式：
在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，
AC＝DF
∴Rt△ABC≌Rt△DEF．
9．实数3.14159，，π，，中，无理数的是 ．
10．请写出一个符合下列要求的一次函数的表达式： ．
①函数值y随自变量x增大而增大； ②函数的图象经过第二象限．
11．平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（m，3）．若将点A先向下平移2个单位，再向左平移1个单位后得到点B（1，n），则m+n＝ ．
12．已知二元一次方程组的解为，则在同一平面直角坐标系中，函数y＝x+4与y＝﹣x+1的图象的交点坐标为 ．
13．等腰三角形ABC中，∠A＝4∠B．若∠A为底角，则∠C＝ °．
14．如图，将长方形纸片ABCD沿着对角线BD翻折，点C落在点C'处，BC'与AD交于点E．若AD＝20cm，AB＝5cm，则DE＝ cm．
15．如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O．若∠B＝39°，则∠AOC＝ °．
16．（4分）已知一次函数y1＝kx﹣2k（k是常数）和y2＝﹣x+1．
（1）无论k取何值，y1＝kx﹣2k（k是常数）的图象都经过同一个点，则这个点的坐标是 ；
（2）若无论x取何值，y1＞y2，则k的值是 ．
三、解答题（本大题共10小题，共66分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（4分）计算：+|﹣|﹣．
18．（6分）求下列各式中的x．
（1）9x2＝4；
（2）（x﹣1）3﹣8＝0．
19．（6分）如图，AD＝CB，AB＝CD．求证：∠ABC＝∠CDA．
20．（6分）已知一次函数y＝x+b的图象经过点A（﹣1，3）．
（1）求该函数的表达式；
（2）x取何值时，y＞0？
21．（6分）用一张面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一个长宽之比为3：2的长方形纸片（裁剪方式见示意图），该长方形纸片的面积可能是300cm2吗？请通过计算说明．
22．（6分）已知：如图，线段AC和射线AB有公共端点A．
求作：点P，使点P在射线AB上，且△ACP为等腰三角形．（利用无刻度的直尺和圆规作出所有符合条件的点P，不写作法，保留作图痕迹）
23．（7分）如图，平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，1），点B的坐标为（4，3）．作点A关于x轴的对称点A'，连接A'B，与x轴相交于点P．
（1）点A'的坐标是 ；
（2）求点P的坐标．
24．（8分）如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．已知A、B、C都是格点．
（1）小明发现∠ABC是直角，请补全他的思路；
（2）请用一种不同于小明的方法说明∠ABC是直角．
25．（9分）小明和小丽先后从A地出发沿同一直道去B地，设小丽出发第x分钟时，小明、小丽两人离B地的距离分别为y1m，y2m．y1与x之间的函数表达式是y1＝﹣100x+1200，y2与x之间的函数表达式是y2＝﹣180x+2700．
（1）A、B两地之间的距离是 m．
（2）求小明比小丽早出发多长时间？
（3）小丽出发至小明到达B地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？
26．（8分）【方法总结】
以下是某同学对一道《学习与评价》习题的分析与反思．
根据上述解题经验，解决下列问题．
【变式迁移】
（1）如图1，四边形ABCD中，CB＝CD，∠B+∠D＝180°求证：AC平分∠DAB．
【问题解决】
（2）如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，将△CBD沿CD翻折后得到△CED，连接AE．若AC＝4，BC＝3，直接写出AE的长．
2020-2021学年江苏省南京市秦淮区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下列四个常见的手机APP图标中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
2．如图，△ABC≌△ADE，若∠B＝40°，∠E＝30°，则∠DAE的度数为（ ）
A．70°B．110°C．120°D．130°
【分析】直接利用全等三角形的性质得出答案．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠B＝∠D＝40°，
∴∠DAE＝180°﹣∠D﹣∠E＝180°﹣40°﹣30°＝110°．
故选：B．
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2．以AB为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（ ）
A．8B．12C．18D．20
【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，
∴AB＝＝＝2，
∴正方形的面积＝AB2＝（2）2＝20，
故选：D．
4．下列整数中，最接近的是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】首先确定19在哪两个整数的平方之间，从而确定的范围，从而求解．
【解答】解：∵4＜＜5，且4.52＝20.25，
∴最接近的是4．
故选：C．
5．如图，平面直角坐标系中，点A在第一象限，点B、C的坐标分别为（，0）、（﹣，0）．若△ABC是等边三角形，则点A的坐标为（ ）
A．（，）B．（，2）C．（，）D．（1，）
【分析】如图，过A作AD⊥BC于D，根据两点的距离可得AB的长，由等边三角形的性质和勾股定理可得OD和AD的长，根据坐标特征可得结论．
【解答】解：如图，过A作AD⊥BC于D，
∵点B、C的坐标分别为（，0）、（﹣，0），
∴AB＝+＝2，
∵△ABC是等边三角形，
∴CD＝BD＝1，AB＝BC＝2，
∴OD＝1﹣＝，
由勾股定理得：AD＝＝，
∴A（，）．
故选：A．
6．在某次比赛中，甲、乙两支龙舟队的行进路程y1（m）、y2（m）都是行进时间x（min）的函数，它们的图象如图所示．下列结论：
①乙龙舟队先到达终点；
②1.5min时，甲龙舟队处于领先位置；
③当2＜x＜时，甲龙舟队的速度比乙龙舟队的速度快；
④在比赛过程中，甲、乙两支龙舟队恰有3次相距105m，
其中正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①③④
【分析】解决图象类问题，首先需要理解x轴，y轴所表示的含义，再根据图象解决问题即可．
【解答】解：如图，甲、乙两支龙舟队的行进路程y1（m）、y2（m）都是行进时间x（min）的函数，
①由图可知，甲队到达终点用时5min，乙队到达终点用时4.5min，故乙队比甲队先到达终点，故①符合题意；
②由图可知，当时，甲队的图象在乙队上方，即甲队处于领先位置，故②符合题意；
③由图可设y1＝k1x，已知y1＝k1x过点（5，1050），
∴5k1＝1050，解得，k1＝210，
∴y1＝210x（0≤x≤5）；
当0≤x≤2时，y2＝k2x，过点（2，300），
∴2k2＝300，解得k2＝150，
∴y2＝150x；
当2＜x≤4.5时，设y2＝kx+b，过点（2，300），（4.5，1050），
∴，解得，
∴y2＝300x﹣300；
∴．
则当时，甲队的速度为210m/min，乙队的速度为300m/min，即乙队的速度比甲队的速度快，故③不符合题意；
④当0≤x≤2时，210x﹣150x＝105，解得x＝1；
当时，210x﹣（300x﹣300）＝105，解得；
当时，300x﹣300﹣210x＝105，解得x＝4.5．
综上，在比赛过程中，甲、乙两支龙舟队恰有3次相距105m，故④符合题意．
故选：C．
二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共22分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．）
7．16的平方根是 ±4 ．
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
【解答】解：∵（±4）2＝16，
∴16的平方根是±4．
故答案为：±4．
8．结合图，用符号语言表达定理“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”的推理形式：
在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，
AC＝DF
AB＝DE
∴Rt△ABC≌Rt△DEF．
【分析】根据条件可知，少一组斜边，所以可添加为：AB＝DE．
【解答】解：∵∠C＝∠F＝90°，
∴在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
故答案为：AB＝DE．
9．实数3.14159，，π，，中，无理数的是 ，π ．
【分析】根据无理数的概念求解即可．
【解答】解：＝2，
无理数是，π．
故答案为：，π．
10．请写出一个符合下列要求的一次函数的表达式： y＝x+1（答案不唯一） ．
①函数值y随自变量x增大而增大； ②函数的图象经过第二象限．
【分析】根据题意和一次函数的性质，可以写出符合要求的一个一次函数，本题得以解决．
【解答】解：∵一次函数的函数值y随自变量x增大而增大，
∴k＞0，
∵函数的图象经过第二象限，
∴b＞0，
∴符合下列要求的一次函数的表达式可以是y＝x+1，
故答案为：y＝x+1（答案不唯一）．
11．平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（m，3）．若将点A先向下平移2个单位，再向左平移1个单位后得到点B（1，n），则m+n＝ 3 ．
【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
【解答】解：∵点A（m，3）向下平移2个单位，向左平移1个单位后得到点B（1，n），
∴m﹣1＝1，3﹣2＝n，
∴m＝2，n＝1，
∴m+n＝3，
故答案为：3．
12．已知二元一次方程组的解为，则在同一平面直角坐标系中，函数y＝x+4与y＝﹣x+1的图象的交点坐标为 （﹣2，2） ．
【分析】函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，据此即可求解．
【解答】解：∵二元一次方程组的解为，
∴函数y＝x+4与y＝﹣x+1的图象的交点坐标为（﹣2，2）．
故答案为（﹣2，2）．
13．等腰三角形ABC中，∠A＝4∠B．若∠A为底角，则∠C＝ 80 °．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理计算即可．
【解答】解：设∠B＝x°，
当∠A是底角时，∠A＝∠C＝4∠B＝4x°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴4x+x+4x＝180，
解得x＝20，
∴∠C＝80°
故答案为：80．
14．如图，将长方形纸片ABCD沿着对角线BD翻折，点C落在点C'处，BC'与AD交于点E．若AD＝20cm，AB＝5cm，则DE＝ cm．
【分析】利用等角对等边得出EB＝ED，设BE＝DE＝x，在Rt△ABE中，利用勾股定理构建方程即可解决问题
【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
由翻折的性质可知∠DBE＝∠DBC，
∴∠DBE＝∠ADB，
∴EB＝ED，
设BE＝DE＝x（cm），AD＝20（cm），AB＝5（cm），则AE＝（20﹣x）（cm），
在Rt△ABE中，∵∠A＝90°，
∴BE2＝AB2+AE2，
∴52+（20﹣x）2＝x2，
解得x＝，
∴BE＝DE＝（cm），
故答案为：．
15．如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O．若∠B＝39°，则∠AOC＝ 78 °．
【分析】连接BO并延长至D，根据线段垂直平分线的性质得到OA＝OB，OC＝OB，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质计算，得到答案．
【解答】解：连接BO并延长至D，
∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，
∴OA＝OB，OC＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC，
∴∠AOD＝2∠OBA，∠COD＝2∠OBC，
∴∠AOC＝2（∠OBA+∠OBC）＝2∠ABC＝78°，
故答案为：78．
16．（4分）已知一次函数y1＝kx﹣2k（k是常数）和y2＝﹣x+1．
（1）无论k取何值，y1＝kx﹣2k（k是常数）的图象都经过同一个点，则这个点的坐标是 （2，0） ；
（2）若无论x取何值，y1＞y2，则k的值是 ﹣1 ．
【分析】（1）解析式变形为y＝k（x﹣2），即可得到无论k取何值，y1＝kx﹣2k（k是常数）的图象都经过点（2，0）；
（2）由题意可知，y1的图象始终在y2上方，得到两函数不相交，平行，即可得出k＝﹣1．
【解答】解：（1）∵y＝kx﹣2k＝k（x﹣2），
∴当x＝2时，y＝0，
∴这个点的坐标是（2，0），
故答案为（2，0）；
（2）∵无论x取何值，y1＞y2，
∴y1的图象始终在y2上方，
∴两个函数平行，
∴k＝﹣1，
故答案为﹣1．
三、解答题（本大题共10小题，共66分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（4分）计算：+|﹣|﹣．
【分析】直接利用绝对值的性质、二次根式的性质、立方根的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝3+﹣3
＝．
18．（6分）求下列各式中的x．
（1）9x2＝4；
（2）（x﹣1）3﹣8＝0．
【分析】（1）利用平方根的定义可得答案；
（2）利用立方根的定义求出x﹣1，再求x即可．
【解答】解：（1）9x2＝4，
x2＝，
x＝±，
x＝±；
（2）（x﹣1）3﹣8＝0，
（x﹣1）3＝8，
x﹣1＝，
x﹣1＝2，
x＝3．
19．（6分）如图，AD＝CB，AB＝CD．求证：∠ABC＝∠CDA．
【分析】根据SSS可证明△ABD≌△CDB，即可得∠ABD＝∠CDB，∠ADB＝∠CBD，进而可证明结论．
【解答】证明：在△ABD和△CDB中，
，
∴△ABD≌△CDB（SSS），
∴∠ABD＝∠CDB，∠ADB＝∠CBD，
∵∠ABC＝∠ABD﹣∠CBD，∠CDA＝∠CDB﹣∠ADB，
∴∠ABC＝∠CDA．
20．（6分）已知一次函数y＝x+b的图象经过点A（﹣1，3）．
（1）求该函数的表达式；
（2）x取何值时，y＞0？
【分析】（1）根据待定系数法求得即可；
（2）求得直线与x轴的交点，然后根据一次函数的性质即可求得．
【解答】解：（1）一次函数y＝x+b的图象经过点A（﹣1，3）．
∴3＝﹣1+b，
∴b＝4，
∴该一次函数的解析式为y＝x+4；
（2）令y＝0，则x+4＝0，解得x＝﹣4，
∵k＝1，
∴y随x的增大而增大，
∴x＞﹣4时，y＞0．
21．（6分）用一张面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一个长宽之比为3：2的长方形纸片（裁剪方式见示意图），该长方形纸片的面积可能是300cm2吗？请通过计算说明．
【分析】设出长方形的长和宽，根据长方形的面积列不等式组确定x的取值范围，再确定长方形面积的取值范围即可得出答案．
【解答】解：不可能，理由如下：
因为正方形的面积400cm2，所以正方形的边长为20cm，
设长方形的长为3xcm，宽为2xcm，根据题意得，
，
解得x≤，
所以S长方形＝3x•2x＝6x2≤6×（）2＝＜300，
即：长方形纸片的面积不可能是300cm2．
22．（6分）已知：如图，线段AC和射线AB有公共端点A．
求作：点P，使点P在射线AB上，且△ACP为等腰三角形．（利用无刻度的直尺和圆规作出所有符合条件的点P，不写作法，保留作图痕迹）
【分析】根据等腰三角形的性质分三种情况画出图形即可．
【解答】解：如图，点P1，P2，P3 即为所求．
23．（7分）如图，平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，1），点B的坐标为（4，3）．作点A关于x轴的对称点A'，连接A'B，与x轴相交于点P．
（1）点A'的坐标是 （2，﹣1） ；
（2）求点P的坐标．
【分析】（1）依据轴对称的性质即可得出点A'的坐标；
（2）利用待定系数法求得线段A'B所在直线解析式，即可得出点P的坐标．
【解答】解：（1）∵点A的坐标为（2，1），
∴点A关于x轴的对称点A'的坐标为（2，﹣1），
故答案为：（2，﹣1）；
（2）设线段A'B所在直线解析式为y＝kx+b（k≠0），
把（2，﹣1）和（4，3）代入得：
，
解得，
∴y＝2x﹣5，
令y＝0，则x＝，
∴点P的坐标为（，0）．
24．（8分）如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．已知A、B、C都是格点．
（1）小明发现∠ABC是直角，请补全他的思路；
（2）请用一种不同于小明的方法说明∠ABC是直角．
【分析】（1）根据勾股定理和勾股定理的逆定理解答即可；
（2）根据全等三角形的判定和性质解答即可．
【解答】解：（1）∵AB＝，BC＝，AC＝，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ABC＝90°；
（2）过A点作AD⊥BE于D，过C作CE⊥DB于E，
由图可知：AD＝BE，BD＝CE，∠ADB＝∠BEC＝90°，
在△ADB和△BEC中，
，
∴△ADB≌△BEC（SAS），
∴∠ABD＝∠BCE，
在△BEC中，∠BEC+∠BCE+∠EBC＝180°，
∴∠BCE+∠EBC＝180°﹣∠BEC＝90°，
∴∠ABD+∠EBC＝90°，
∵D，B，E三点共线，
∴∠ABD+∠EBC+∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣（∠ABD+∠EBC）＝90°．
25．（9分）小明和小丽先后从A地出发沿同一直道去B地，设小丽出发第x分钟时，小明、小丽两人离B地的距离分别为y1m，y2m．y1与x之间的函数表达式是y1＝﹣100x+1200，y2与x之间的函数表达式是y2＝﹣180x+2700．
（1）A、B两地之间的距离是 2700 m．
（2）求小明比小丽早出发多长时间？
（3）小丽出发至小明到达B地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？
【分析】（1）根据题意和y2与x之间的函数表达式是y2＝﹣180x+2700，可以求得A、B两地之间的距离；
（2）根据题意和题目中的函数解析式，可以求得小明的速度，然后即可得到小明比小丽早出发多长时间；
（3）根据题意和一次函数的性质、不等式的性质，可以求得小丽出发至小明到达B地这段时间内，两人何时相距最近，最近距离是多少．
【解答】解：（1）由题意可得，
当x＝0时，y2＝2700，
即A、B两地之间的距离是2700m，
故答案为：2700；
（2）当x＝0时，y1＝1200，当y1＝0时，x＝12，
故小明的速度为1200÷12＝100（m/min），
（2700﹣1200）÷100＝1500÷100＝15（min），
即小明比小丽早出发15min；
（3）设小丽出发至小明到达B地这段时间内，两人的距离为dm，
由题意可得，d＝（﹣180x+2700）﹣（﹣100x+1200）＝﹣80x+1500，
∴d随x的增大而减小，
∵当y1＝0时，x＝12，
∴0≤x≤12，
∴当x＝12时，d取得最小值，此时d＝540，
即小丽出发至小明到达B地这段时间内，小丽出发12分钟时两人相距最近，最近距离是540m．
26．（8分）【方法总结】
以下是某同学对一道《学习与评价》习题的分析与反思．
根据上述解题经验，解决下列问题．
【变式迁移】
（1）如图1，四边形ABCD中，CB＝CD，∠B+∠D＝180°求证：AC平分∠DAB．
【问题解决】
（2）如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，将△CBD沿CD翻折后得到△CED，连接AE．若AC＝4，BC＝3，直接写出AE的长．
【分析】（1）过点C作CE⊥AB于E，过点C作CF⊥AD，由“AAS”可证△CDF≌△CBE，可得CE＝CF，由角平分线的性质可得结论；
（2）由勾股定理可求AB的长，由面积法可求CH的长，由“AAS”可证△ACG≌△ACH，可得AG＝AH＝，CG＝CH，由“HL”可证Rt△CEG≌Rt△CBH，可得EG＝BH＝，即可求解．
【解答】证明：（1）如图1，过点C作CE⊥AB于E，过点C作CF⊥AD，交AD的延长线于F，
∵∠B+∠ADC＝180°，∠FDC+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠FDC，
又∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠CEB＝∠CFD＝90°，
在△CDF和△CBE中，
，
∴△CDF≌△CBE（AAS），
∴CE＝CF，
又∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴AC平分∠DAB；
（2）如图2，过点C作CH⊥AB于H，过点C作CG⊥AE，交AE的延长线于G，连接BE，
∵AC＝4，CB＝3，∠ACB＝90°，
∴AB＝＝＝5，
∵S△ABC＝×AC×BC＝×AB×CH，
∴3×4＝5CH，
∴CH＝，
∴AH＝＝＝，
∴BH＝，
∵将△CBD沿CD翻折后得到△CED，
∴EC＝BC，∠B＝∠DEC，BE⊥CD，
∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，
∴BD＝AD＝CD＝DE，
∴∠AEB＝90°，∠DAC＝∠DCA，
∴AE∥CD，
∴∠GAC＝∠ACD＝∠DAC，
又∵∠G＝∠AHC＝90°，AC＝AC，
∴△ACG≌△ACH（AAS），
∴AG＝AH＝，CG＝CH，
又∵CE＝CB，
∴Rt△CEG≌Rt△CBH（HL），
∴EG＝BH＝，
∴AE＝AG﹣EG＝．
题目：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，点E、F分别在边AB、AC上，∠AED＝∠CFD．
求证：ED＝DF．
分析：作DG⊥AB，DH⊥AC，垂足分别为G、H．根据角平分线的性质，得DG＝DH．
再证明△EGD≌△FHD，得DE＝DF．
反思：遇到和角平分线有关的题目，可以尝试向角的两边作垂线段来寻求解题思路．
题目：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，点E、F分别在边AB、AC上，∠AED＝∠CFD．
求证：ED＝DF．
分析：作DG⊥AB，DH⊥AC，垂足分别为G、H．根据角平分线的性质，得DG＝DH．
再证明△EGD≌△FHD，得DE＝DF．
反思：遇到和角平分线有关的题目，可以尝试向角的两边作垂线段来寻求解题思路．
1．下列四个常见的手机APP图标中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，△ABC≌△ADE，若∠B＝40°，∠E＝30°，则∠DAE的度数为（ ）
A．70°B．110°C．120°D．130°
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2．以AB为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（ ）
A．8B．12C．18D．20
4．下列整数中，最接近的是（ ）
A．2B．3C．4D．5
5．如图，平面直角坐标系中，点A在第一象限，点B、C的坐标分别为（，0）、（﹣，0）．若△ABC是等边三角形，则点A的坐标为（ ）
A．（，）B．（，2）C．（，）D．（1，）
6．在某次比赛中，甲、乙两支龙舟队的行进路程y1（m）、y2（m）都是行进时间x（min）的函数，它们的图象如图所示．下列结论：
①乙龙舟队先到达终点；
②1.5min时，甲龙舟队处于领先位置；
③当2＜x＜时，甲龙舟队的速度比乙龙舟队的速度快；
④在比赛过程中，甲、乙两支龙舟队恰有3次相距105m，
其中正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①③④
二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共22分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．）
7．16的平方根是 ．
8．结合图，用符号语言表达定理“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”的推理形式：
在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，
AC＝DF
∴Rt△ABC≌Rt△DEF．
9．实数3.14159，，π，，中，无理数的是 ．
10．请写出一个符合下列要求的一次函数的表达式： ．
①函数值y随自变量x增大而增大； ②函数的图象经过第二象限．
11．平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（m，3）．若将点A先向下平移2个单位，再向左平移1个单位后得到点B（1，n），则m+n＝ ．
12．已知二元一次方程组的解为，则在同一平面直角坐标系中，函数y＝x+4与y＝﹣x+1的图象的交点坐标为 ．
13．等腰三角形ABC中，∠A＝4∠B．若∠A为底角，则∠C＝ °．
14．如图，将长方形纸片ABCD沿着对角线BD翻折，点C落在点C'处，BC'与AD交于点E．若AD＝20cm，AB＝5cm，则DE＝ cm．
15．如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O．若∠B＝39°，则∠AOC＝ °．
16．（4分）已知一次函数y1＝kx﹣2k（k是常数）和y2＝﹣x+1．
（1）无论k取何值，y1＝kx﹣2k（k是常数）的图象都经过同一个点，则这个点的坐标是 ；
（2）若无论x取何值，y1＞y2，则k的值是 ．
三、解答题（本大题共10小题，共66分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（4分）计算：+|﹣|﹣．
18．（6分）求下列各式中的x．
（1）9x2＝4；
（2）（x﹣1）3﹣8＝0．
19．（6分）如图，AD＝CB，AB＝CD．求证：∠ABC＝∠CDA．
20．（6分）已知一次函数y＝x+b的图象经过点A（﹣1，3）．
（1）求该函数的表达式；
（2）x取何值时，y＞0？
21．（6分）用一张面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一个长宽之比为3：2的长方形纸片（裁剪方式见示意图），该长方形纸片的面积可能是300cm2吗？请通过计算说明．
22．（6分）已知：如图，线段AC和射线AB有公共端点A．
求作：点P，使点P在射线AB上，且△ACP为等腰三角形．（利用无刻度的直尺和圆规作出所有符合条件的点P，不写作法，保留作图痕迹）
23．（7分）如图，平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，1），点B的坐标为（4，3）．作点A关于x轴的对称点A'，连接A'B，与x轴相交于点P．
（1）点A'的坐标是 ；
（2）求点P的坐标．
24．（8分）如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．已知A、B、C都是格点．
（1）小明发现∠ABC是直角，请补全他的思路；
（2）请用一种不同于小明的方法说明∠ABC是直角．
25．（9分）小明和小丽先后从A地出发沿同一直道去B地，设小丽出发第x分钟时，小明、小丽两人离B地的距离分别为y1m，y2m．y1与x之间的函数表达式是y1＝﹣100x+1200，y2与x之间的函数表达式是y2＝﹣180x+2700．
（1）A、B两地之间的距离是 m．
（2）求小明比小丽早出发多长时间？
（3）小丽出发至小明到达B地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？
26．（8分）【方法总结】
以下是某同学对一道《学习与评价》习题的分析与反思．
根据上述解题经验，解决下列问题．
【变式迁移】
（1）如图1，四边形ABCD中，CB＝CD，∠B+∠D＝180°求证：AC平分∠DAB．
【问题解决】
（2）如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，将△CBD沿CD翻折后得到△CED，连接AE．若AC＝4，BC＝3，直接写出AE的长．
2020-2021学年江苏省南京市秦淮区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下列四个常见的手机APP图标中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
2．如图，△ABC≌△ADE，若∠B＝40°，∠E＝30°，则∠DAE的度数为（ ）
A．70°B．110°C．120°D．130°
【分析】直接利用全等三角形的性质得出答案．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠B＝∠D＝40°，
∴∠DAE＝180°﹣∠D﹣∠E＝180°﹣40°﹣30°＝110°．
故选：B．
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2．以AB为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（ ）
A．8B．12C．18D．20
【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，
∴AB＝＝＝2，
∴正方形的面积＝AB2＝（2）2＝20，
故选：D．
4．下列整数中，最接近的是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】首先确定19在哪两个整数的平方之间，从而确定的范围，从而求解．
【解答】解：∵4＜＜5，且4.52＝20.25，
∴最接近的是4．
故选：C．
5．如图，平面直角坐标系中，点A在第一象限，点B、C的坐标分别为（，0）、（﹣，0）．若△ABC是等边三角形，则点A的坐标为（ ）
A．（，）B．（，2）C．（，）D．（1，）
【分析】如图，过A作AD⊥BC于D，根据两点的距离可得AB的长，由等边三角形的性质和勾股定理可得OD和AD的长，根据坐标特征可得结论．
【解答】解：如图，过A作AD⊥BC于D，
∵点B、C的坐标分别为（，0）、（﹣，0），
∴AB＝+＝2，
∵△ABC是等边三角形，
∴CD＝BD＝1，AB＝BC＝2，
∴OD＝1﹣＝，
由勾股定理得：AD＝＝，
∴A（，）．
故选：A．
6．在某次比赛中，甲、乙两支龙舟队的行进路程y1（m）、y2（m）都是行进时间x（min）的函数，它们的图象如图所示．下列结论：
①乙龙舟队先到达终点；
②1.5min时，甲龙舟队处于领先位置；
③当2＜x＜时，甲龙舟队的速度比乙龙舟队的速度快；
④在比赛过程中，甲、乙两支龙舟队恰有3次相距105m，
其中正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①③④
【分析】解决图象类问题，首先需要理解x轴，y轴所表示的含义，再根据图象解决问题即可．
【解答】解：如图，甲、乙两支龙舟队的行进路程y1（m）、y2（m）都是行进时间x（min）的函数，
①由图可知，甲队到达终点用时5min，乙队到达终点用时4.5min，故乙队比甲队先到达终点，故①符合题意；
②由图可知，当时，甲队的图象在乙队上方，即甲队处于领先位置，故②符合题意；
③由图可设y1＝k1x，已知y1＝k1x过点（5，1050），
∴5k1＝1050，解得，k1＝210，
∴y1＝210x（0≤x≤5）；
当0≤x≤2时，y2＝k2x，过点（2，300），
∴2k2＝300，解得k2＝150，
∴y2＝150x；
当2＜x≤4.5时，设y2＝kx+b，过点（2，300），（4.5，1050），
∴，解得，
∴y2＝300x﹣300；
∴．
则当时，甲队的速度为210m/min，乙队的速度为300m/min，即乙队的速度比甲队的速度快，故③不符合题意；
④当0≤x≤2时，210x﹣150x＝105，解得x＝1；
当时，210x﹣（300x﹣300）＝105，解得；
当时，300x﹣300﹣210x＝105，解得x＝4.5．
综上，在比赛过程中，甲、乙两支龙舟队恰有3次相距105m，故④符合题意．
故选：C．
二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共22分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．）
7．16的平方根是 ±4 ．
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
【解答】解：∵（±4）2＝16，
∴16的平方根是±4．
故答案为：±4．
8．结合图，用符号语言表达定理“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”的推理形式：
在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，
AC＝DF
AB＝DE
∴Rt△ABC≌Rt△DEF．
【分析】根据条件可知，少一组斜边，所以可添加为：AB＝DE．
【解答】解：∵∠C＝∠F＝90°，
∴在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
故答案为：AB＝DE．
9．实数3.14159，，π，，中，无理数的是 ，π ．
【分析】根据无理数的概念求解即可．
【解答】解：＝2，
无理数是，π．
故答案为：，π．
10．请写出一个符合下列要求的一次函数的表达式： y＝x+1（答案不唯一） ．
①函数值y随自变量x增大而增大； ②函数的图象经过第二象限．
【分析】根据题意和一次函数的性质，可以写出符合要求的一个一次函数，本题得以解决．
【解答】解：∵一次函数的函数值y随自变量x增大而增大，
∴k＞0，
∵函数的图象经过第二象限，
∴b＞0，
∴符合下列要求的一次函数的表达式可以是y＝x+1，
故答案为：y＝x+1（答案不唯一）．
11．平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（m，3）．若将点A先向下平移2个单位，再向左平移1个单位后得到点B（1，n），则m+n＝ 3 ．
【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
【解答】解：∵点A（m，3）向下平移2个单位，向左平移1个单位后得到点B（1，n），
∴m﹣1＝1，3﹣2＝n，
∴m＝2，n＝1，
∴m+n＝3，
故答案为：3．
12．已知二元一次方程组的解为，则在同一平面直角坐标系中，函数y＝x+4与y＝﹣x+1的图象的交点坐标为 （﹣2，2） ．
【分析】函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，据此即可求解．
【解答】解：∵二元一次方程组的解为，
∴函数y＝x+4与y＝﹣x+1的图象的交点坐标为（﹣2，2）．
故答案为（﹣2，2）．
13．等腰三角形ABC中，∠A＝4∠B．若∠A为底角，则∠C＝ 80 °．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理计算即可．
【解答】解：设∠B＝x°，
当∠A是底角时，∠A＝∠C＝4∠B＝4x°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴4x+x+4x＝180，
解得x＝20，
∴∠C＝80°
故答案为：80．
14．如图，将长方形纸片ABCD沿着对角线BD翻折，点C落在点C'处，BC'与AD交于点E．若AD＝20cm，AB＝5cm，则DE＝ cm．
【分析】利用等角对等边得出EB＝ED，设BE＝DE＝x，在Rt△ABE中，利用勾股定理构建方程即可解决问题
【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
由翻折的性质可知∠DBE＝∠DBC，
∴∠DBE＝∠ADB，
∴EB＝ED，
设BE＝DE＝x（cm），AD＝20（cm），AB＝5（cm），则AE＝（20﹣x）（cm），
在Rt△ABE中，∵∠A＝90°，
∴BE2＝AB2+AE2，
∴52+（20﹣x）2＝x2，
解得x＝，
∴BE＝DE＝（cm），
故答案为：．
15．如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O．若∠B＝39°，则∠AOC＝ 78 °．
【分析】连接BO并延长至D，根据线段垂直平分线的性质得到OA＝OB，OC＝OB，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质计算，得到答案．
【解答】解：连接BO并延长至D，
∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，
∴OA＝OB，OC＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC，
∴∠AOD＝2∠OBA，∠COD＝2∠OBC，
∴∠AOC＝2（∠OBA+∠OBC）＝2∠ABC＝78°，
故答案为：78．
16．（4分）已知一次函数y1＝kx﹣2k（k是常数）和y2＝﹣x+1．
（1）无论k取何值，y1＝kx﹣2k（k是常数）的图象都经过同一个点，则这个点的坐标是 （2，0） ；
（2）若无论x取何值，y1＞y2，则k的值是 ﹣1 ．
【分析】（1）解析式变形为y＝k（x﹣2），即可得到无论k取何值，y1＝kx﹣2k（k是常数）的图象都经过点（2，0）；
（2）由题意可知，y1的图象始终在y2上方，得到两函数不相交，平行，即可得出k＝﹣1．
【解答】解：（1）∵y＝kx﹣2k＝k（x﹣2），
∴当x＝2时，y＝0，
∴这个点的坐标是（2，0），
故答案为（2，0）；
（2）∵无论x取何值，y1＞y2，
∴y1的图象始终在y2上方，
∴两个函数平行，
∴k＝﹣1，
故答案为﹣1．
三、解答题（本大题共10小题，共66分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（4分）计算：+|﹣|﹣．
【分析】直接利用绝对值的性质、二次根式的性质、立方根的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝3+﹣3
＝．
18．（6分）求下列各式中的x．
（1）9x2＝4；
（2）（x﹣1）3﹣8＝0．
【分析】（1）利用平方根的定义可得答案；
（2）利用立方根的定义求出x﹣1，再求x即可．
【解答】解：（1）9x2＝4，
x2＝，
x＝±，
x＝±；
（2）（x﹣1）3﹣8＝0，
（x﹣1）3＝8，
x﹣1＝，
x﹣1＝2，
x＝3．
19．（6分）如图，AD＝CB，AB＝CD．求证：∠ABC＝∠CDA．
【分析】根据SSS可证明△ABD≌△CDB，即可得∠ABD＝∠CDB，∠ADB＝∠CBD，进而可证明结论．
【解答】证明：在△ABD和△CDB中，
，
∴△ABD≌△CDB（SSS），
∴∠ABD＝∠CDB，∠ADB＝∠CBD，
∵∠ABC＝∠ABD﹣∠CBD，∠CDA＝∠CDB﹣∠ADB，
∴∠ABC＝∠CDA．
20．（6分）已知一次函数y＝x+b的图象经过点A（﹣1，3）．
（1）求该函数的表达式；
（2）x取何值时，y＞0？
【分析】（1）根据待定系数法求得即可；
（2）求得直线与x轴的交点，然后根据一次函数的性质即可求得．
【解答】解：（1）一次函数y＝x+b的图象经过点A（﹣1，3）．
∴3＝﹣1+b，
∴b＝4，
∴该一次函数的解析式为y＝x+4；
（2）令y＝0，则x+4＝0，解得x＝﹣4，
∵k＝1，
∴y随x的增大而增大，
∴x＞﹣4时，y＞0．
21．（6分）用一张面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一个长宽之比为3：2的长方形纸片（裁剪方式见示意图），该长方形纸片的面积可能是300cm2吗？请通过计算说明．
【分析】设出长方形的长和宽，根据长方形的面积列不等式组确定x的取值范围，再确定长方形面积的取值范围即可得出答案．
【解答】解：不可能，理由如下：
因为正方形的面积400cm2，所以正方形的边长为20cm，
设长方形的长为3xcm，宽为2xcm，根据题意得，
，
解得x≤，
所以S长方形＝3x•2x＝6x2≤6×（）2＝＜300，
即：长方形纸片的面积不可能是300cm2．
22．（6分）已知：如图，线段AC和射线AB有公共端点A．
求作：点P，使点P在射线AB上，且△ACP为等腰三角形．（利用无刻度的直尺和圆规作出所有符合条件的点P，不写作法，保留作图痕迹）
【分析】根据等腰三角形的性质分三种情况画出图形即可．
【解答】解：如图，点P1，P2，P3 即为所求．
23．（7分）如图，平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，1），点B的坐标为（4，3）．作点A关于x轴的对称点A'，连接A'B，与x轴相交于点P．
（1）点A'的坐标是 （2，﹣1） ；
（2）求点P的坐标．
【分析】（1）依据轴对称的性质即可得出点A'的坐标；
（2）利用待定系数法求得线段A'B所在直线解析式，即可得出点P的坐标．
【解答】解：（1）∵点A的坐标为（2，1），
∴点A关于x轴的对称点A'的坐标为（2，﹣1），
故答案为：（2，﹣1）；
（2）设线段A'B所在直线解析式为y＝kx+b（k≠0），
把（2，﹣1）和（4，3）代入得：
，
解得，
∴y＝2x﹣5，
令y＝0，则x＝，
∴点P的坐标为（，0）．
24．（8分）如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．已知A、B、C都是格点．
（1）小明发现∠ABC是直角，请补全他的思路；
（2）请用一种不同于小明的方法说明∠ABC是直角．
【分析】（1）根据勾股定理和勾股定理的逆定理解答即可；
（2）根据全等三角形的判定和性质解答即可．
【解答】解：（1）∵AB＝，BC＝，AC＝，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ABC＝90°；
（2）过A点作AD⊥BE于D，过C作CE⊥DB于E，
由图可知：AD＝BE，BD＝CE，∠ADB＝∠BEC＝90°，
在△ADB和△BEC中，
，
∴△ADB≌△BEC（SAS），
∴∠ABD＝∠BCE，
在△BEC中，∠BEC+∠BCE+∠EBC＝180°，
∴∠BCE+∠EBC＝180°﹣∠BEC＝90°，
∴∠ABD+∠EBC＝90°，
∵D，B，E三点共线，
∴∠ABD+∠EBC+∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣（∠ABD+∠EBC）＝90°．
25．（9分）小明和小丽先后从A地出发沿同一直道去B地，设小丽出发第x分钟时，小明、小丽两人离B地的距离分别为y1m，y2m．y1与x之间的函数表达式是y1＝﹣100x+1200，y2与x之间的函数表达式是y2＝﹣180x+2700．
（1）A、B两地之间的距离是 2700 m．
（2）求小明比小丽早出发多长时间？
（3）小丽出发至小明到达B地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？
【分析】（1）根据题意和y2与x之间的函数表达式是y2＝﹣180x+2700，可以求得A、B两地之间的距离；
（2）根据题意和题目中的函数解析式，可以求得小明的速度，然后即可得到小明比小丽早出发多长时间；
（3）根据题意和一次函数的性质、不等式的性质，可以求得小丽出发至小明到达B地这段时间内，两人何时相距最近，最近距离是多少．
【解答】解：（1）由题意可得，
当x＝0时，y2＝2700，
即A、B两地之间的距离是2700m，
故答案为：2700；
（2）当x＝0时，y1＝1200，当y1＝0时，x＝12，
故小明的速度为1200÷12＝100（m/min），
（2700﹣1200）÷100＝1500÷100＝15（min），
即小明比小丽早出发15min；
（3）设小丽出发至小明到达B地这段时间内，两人的距离为dm，
由题意可得，d＝（﹣180x+2700）﹣（﹣100x+1200）＝﹣80x+1500，
∴d随x的增大而减小，
∵当y1＝0时，x＝12，
∴0≤x≤12，
∴当x＝12时，d取得最小值，此时d＝540，
即小丽出发至小明到达B地这段时间内，小丽出发12分钟时两人相距最近，最近距离是540m．
26．（8分）【方法总结】
以下是某同学对一道《学习与评价》习题的分析与反思．
根据上述解题经验，解决下列问题．
【变式迁移】
（1）如图1，四边形ABCD中，CB＝CD，∠B+∠D＝180°求证：AC平分∠DAB．
【问题解决】
（2）如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，将△CBD沿CD翻折后得到△CED，连接AE．若AC＝4，BC＝3，直接写出AE的长．
【分析】（1）过点C作CE⊥AB于E，过点C作CF⊥AD，由“AAS”可证△CDF≌△CBE，可得CE＝CF，由角平分线的性质可得结论；
（2）由勾股定理可求AB的长，由面积法可求CH的长，由“AAS”可证△ACG≌△ACH，可得AG＝AH＝，CG＝CH，由“HL”可证Rt△CEG≌Rt△CBH，可得EG＝BH＝，即可求解．
【解答】证明：（1）如图1，过点C作CE⊥AB于E，过点C作CF⊥AD，交AD的延长线于F，
∵∠B+∠ADC＝180°，∠FDC+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠FDC，
又∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠CEB＝∠CFD＝90°，
在△CDF和△CBE中，
，
∴△CDF≌△CBE（AAS），
∴CE＝CF，
又∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴AC平分∠DAB；
（2）如图2，过点C作CH⊥AB于H，过点C作CG⊥AE，交AE的延长线于G，连接BE，
∵AC＝4，CB＝3，∠ACB＝90°，
∴AB＝＝＝5，
∵S△ABC＝×AC×BC＝×AB×CH，
∴3×4＝5CH，
∴CH＝，
∴AH＝＝＝，
∴BH＝，
∵将△CBD沿CD翻折后得到△CED，
∴EC＝BC，∠B＝∠DEC，BE⊥CD，
∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，
∴BD＝AD＝CD＝DE，
∴∠AEB＝90°，∠DAC＝∠DCA，
∴AE∥CD，
∴∠GAC＝∠ACD＝∠DAC，
又∵∠G＝∠AHC＝90°，AC＝AC，
∴△ACG≌△ACH（AAS），
∴AG＝AH＝，CG＝CH，
又∵CE＝CB，
∴Rt△CEG≌Rt△CBH（HL），
∴EG＝BH＝，
∴AE＝AG﹣EG＝．
题目：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，点E、F分别在边AB、AC上，∠AED＝∠CFD．
求证：ED＝DF．
分析：作DG⊥AB，DH⊥AC，垂足分别为G、H．根据角平分线的性质，得DG＝DH．
再证明△EGD≌△FHD，得DE＝DF．
反思：遇到和角平分线有关的题目，可以尝试向角的两边作垂线段来寻求解题思路．
题目：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，点E、F分别在边AB、AC上，∠AED＝∠CFD．
求证：ED＝DF．
分析：作DG⊥AB，DH⊥AC，垂足分别为G、H．根据角平分线的性质，得DG＝DH．
再证明△EGD≌△FHD，得DE＝DF．
反思：遇到和角平分线有关的题目，可以尝试向角的两边作垂线段来寻求解题思路．
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