江苏省宿迁市泗阳县2020-2021学年九年级上学期 期末数学试卷 解析版

这是一份初中苏科版本册综合测试题，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江苏省宿迁市泗阳县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置）
1．一元二次方程2x2+5x＝6的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）
A．2，5，6 B．5，2，6 C．2，5，﹣6 D．5，2，﹣6
2．一个质地均匀的骰子，其六面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，投掷一次，朝上的面数字小于4的概率为（　　）
A． B． C． D．
3．已知⊙O的半径为4，点O到直线l的距离为2，则直线l与⊙O的位置关系是（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断
4．13名同学参加歌咏比赛，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前6名参加决赛，小红同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的（　　）
A．方差 B．众数 C．平均数 D．中位数
5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝125°，则∠C的度数为（　　）

A．45° B．55° C．65° D．75°
6．如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线y＝ax2+bx+c的大致图象为（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽为x米，则下列方程正确的是（　　）

A．32×20﹣20x﹣30x＝540
B．32×20﹣20x﹣30x﹣x2＝540
C．（32﹣x）（20﹣x）＝540
D．32×20﹣20x﹣30x+2x2＝540
8．如图，△ABC内接于⊙O，连接OA、OB，若∠ABO＝35°，则∠C的度数为（　　）

A．70° B．65° C．55° D．45°
9．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的最大值为3，一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）

A．m≥3 B．m≥﹣3 C．m≤3 D．m≤﹣3
10．如图，在扇形铁皮AOB中，OA＝5，∠AOB＝36°，OB在直线l上．将此扇形沿l按顺时针方向旋转（旋转过程中无滑动），当OA第一次落在l上时，停止旋转，则点O所经过的路线与直线l所围成的面积为（　　）

A．π B．π C．6π D．π
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．方程x2﹣4＝0的解是　 　．
12．已知⊙O的半径为5cm，点P在⊙O内，则OP　 　5cm（填“＞”、“＜”或“＝”）
13．某招聘考试分笔试和面试两种，小明笔试成绩90分，面试成绩80分，如果笔试成绩、面试成绩按6：4计算，那么小明的最终成绩应是　 　分．
14．抛物线y＝ax2﹣2ax+1（a≠0）的对称轴为　 　．
15．已知圆锥的母线长为4，底面半径为3，则圆锥的侧面积等于　 　．
16．若m是方程x2﹣x﹣5＝0的一个实数根，则代数式（m2﹣m）（m﹣+1）的值为　 　．
17．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，已知其对称轴为直线x＝1，则方程ax2+bx+c＝0的两根之和为　 　．

18．如图，已知半圆O的直径为2，AP与半圆O相切于点A，长度为1的线段CD在半圆上滑动，E是射线AP上一动点，则BC+DE的最小值　 　．

三、解答题（共10小题，共96分.解答时应写出必要的步骤、过程或文字说明.）
19．（8分）解下列方程：
（1）x2+2x﹣3＝0；
（2）2（x﹣3）＝3x（x﹣3）．
20．（8分）已知y1＝x2﹣9，y2＝3﹣x，当x为何值时，y1＝y2？
21．（8分）动画片《小猪佩奇》风靡全球，受到孩子们的喜爱，现有4张（小猪佩奇）角色卡片，分别是A佩奇，B乔治，C佩奇妈妈，D佩奇爸爸（四张卡片除字母和内容外，其余完全相同）姐弟两人做游戏，他们将这四张卡片混在一起，背面朝上放好．
（1）姐姐从中随机抽取一张卡片，恰好抽到A佩奇的概率为　 　．
（2）若两人分别随机抽取一张卡片（不放回），请用列表或画树状图的方法求出恰好姐姐抽到A佩奇，弟弟抽到B乔治的概率．

22．（8分）已知关于x的方程mx2﹣2x+1＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m取最大值时，求方程mx2﹣2x+1＝0的根．
23．（10分）某球队对甲、乙两名运动员进行3分球投篮测试，测试共五组，每组投10次，进球的个数统计结果如下：
甲：9，9，9，6，7；
乙：4，9，8，9，10；
列表进行数据分析：
选手
平均成绩
中位数
众数
方差
甲
8
b
9
d
乙
a
9
c
4.4
（1）b＝　 　，c＝　 　；
（2）试计算乙的平均成绩a和甲的方差d；（计算方差的公式：s2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]）
（3）根据以上数据分析，如果你是教练，你会选择哪名队员参加3分球大赛？请说明理由．
24．（10分）如图，二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）用配方法将二次函数y＝x2﹣2x﹣3化为y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）观察图象，当0≤x≤4时，y的取值范围为　 　；
（3）设二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象的顶点为M，求四边形OBMC的面积．

25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，且∠A＝2∠BDE，点C在AB的延长线上．
（1）若∠C＝∠ABD，求证：CE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径长为5，DB＝6，求AF的长．

26．（10分）河上有一座拋物线形的石拱桥，水面宽6m时，水面离桥拱顶部3m．
（1）如图建立平面直角坐标系，试求抛物线的解析式；
（2）一艘装满货物的小船，露出水面部分的高为0.5m，宽为4m．现因暴雨河水水位上升了1m，这艘小船能从这座石拱桥下通过吗？请说明理由．

27．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点D为BC边上的一个动点，以CD为直径的⊙O交AD于点E，过点C作CF∥AB，交⊙O于点F，连接CE、CF、EF．
（1）当∠CFE＝45°时，求CD的长；
（2）求证：∠BAC＝∠CEF；
（3）是否存在点D，使得△CFE是以EF为腰的等腰三角形，若存在，求出此时CD的长；若不存在，试说明理由．

28．（12分）如图，抛物线M：y＝x2+bx+c交y轴于点A（0，﹣1），且过点P（﹣1，﹣），点B是抛物线M上一个动点，过B作BC∥OA，以B为圆心，2为半径的圆交直线BC于D、E两点（点E位于点D下方）．
（1）求抛物线M的解析式；
（2）连接AB交⊙B于点F，连接EF，AD．若△ABD是以BD为直角边的直角三角形，求∠BEF的度数；
（3）取AD的中点Q，连接PQ，求线段PQ的最小值．（直接写出答案）


2020-2021学年江苏省宿迁市泗阳县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置）
1．一元二次方程2x2+5x＝6的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）
A．2，5，6 B．5，2，6 C．2，5，﹣6 D．5，2，﹣6
【分析】方程整理为一般形式，找出所求即可．
【解答】解：方程整理得：2x2+5x﹣6＝0，
则方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，5，﹣6，
故选：C．
2．一个质地均匀的骰子，其六面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，投掷一次，朝上的面数字小于4的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】直接得出朝上的面数字小于4的个数，再利用概率公式求出答案．
【解答】解：∵一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，投掷一次，
∴朝上的面数字小于4的概率为：，
故选：C．
3．已知⊙O的半径为4，点O到直线l的距离为2，则直线l与⊙O的位置关系是（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断
【分析】要判定直线与圆的位置关系，需要比较圆心到直线的距离d与半径的大小r的关系，本题d＝2＜r＝4，可得结论．
【解答】解：∵点O到直线l的距离为2，⊙O的半径为4，
且2＜4，
∴直线l与⊙O的位置关系是相交．
故选：A．
4．13名同学参加歌咏比赛，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前6名参加决赛，小红同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的（　　）
A．方差 B．众数 C．平均数 D．中位数
【分析】由于有13名同学参加歌咏比赛，要取前6名参加决赛，故应考虑中位数的大小．
【解答】解：共有13名学生参加比赛，取前6名，所以小红需要知道自己的成绩是否进入前六．
我们把所有同学的成绩按大小顺序排列，第7名学生的成绩是这组数据的中位数，
所以小红知道这组数据的中位数，才能知道自己是否进入决赛．
故选：D．
5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝125°，则∠C的度数为（　　）

A．45° B．55° C．65° D．75°
【分析】根据圆内接四边形的性质计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠A＝125°，
∴∠C＝55°，
故选：B．
6．如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线y＝ax2+bx+c的大致图象为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：∵a＜0，
∴抛物线的开口方向向下，
故第三个选项错误；
∵c＜0，
∴抛物线与y轴的交点为在y轴的负半轴上，
故第一个选项错误；
∵a＜0、b＞0，对称轴为x＝＞0，
∴对称轴在y轴右侧，
故第四个选项错误．
故选：B．
7．如图，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽为x米，则下列方程正确的是（　　）

A．32×20﹣20x﹣30x＝540
B．32×20﹣20x﹣30x﹣x2＝540
C．（32﹣x）（20﹣x）＝540
D．32×20﹣20x﹣30x+2x2＝540
【分析】设道路的宽为x，利用“道路的面积”作为相等关系可列方程解答即可．
【解答】解：设道路的宽为x，根据题意得（32﹣x）（20﹣x）＝540，
故选：C．
8．如图，△ABC内接于⊙O，连接OA、OB，若∠ABO＝35°，则∠C的度数为（　　）

A．70° B．65° C．55° D．45°
【分析】根据三角形的内角和定理求得∠O的度数，再进一步根据圆周角定理求解．
【解答】解：∵OA＝OB，∠ABO＝35°，
∴∠AOB＝180°﹣35°×2＝110°，
∴∠C＝∠AOB＝55°．
故选：C．
9．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的最大值为3，一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）

A．m≥3 B．m≥﹣3 C．m≤3 D．m≤﹣3
【分析】方程ax2+bx+c﹣m＝0有实数相当于y＝ax2+bx+c（a≠0）平移m个单位与x轴有交点，结合图象可得出m的范围．
【解答】解：方程ax2+bx+c﹣m＝0有实数根，相当于y＝ax2+bx+c（a≠0）平移m个单位与x轴有交点，
又∵图象最高点y＝3，
∴二次函数最多可以向下平移三个单位，
∴m≤3，
故选：C．
10．如图，在扇形铁皮AOB中，OA＝5，∠AOB＝36°，OB在直线l上．将此扇形沿l按顺时针方向旋转（旋转过程中无滑动），当OA第一次落在l上时，停止旋转，则点O所经过的路线与直线l所围成的面积为（　　）

A．π B．π C．6π D．π
【分析】点O所经过的路线是2段弧和一条线段，一段是以点B为圆心，5为半径，圆心角为90°的弧，另一段是一条线段，和弧AB一样长的线段，最后一段是以点A为圆心，5为半径，圆心角为90°的弧，从而得出答案．
【解答】解：如图，当OA第1次落在l上时：点O所经过的路线与直线l所围成的面积为＝2×+5•＝π．

故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．方程x2﹣4＝0的解是　±2　．
【分析】首先移项可得x2＝4，再两边直接开平方即可．
【解答】解：x2﹣4＝0，
移项得：x2＝4，
两边直接开平方得：x＝±2，
故答案为：±2．
12．已知⊙O的半径为5cm，点P在⊙O内，则OP　＜　5cm（填“＞”、“＜”或“＝”）
【分析】根据点与圆的三种位置关系的判定方法，直接判断，即可解决问题．
【解答】解：∵⊙O的半径为5cm，
点P在⊙O内，
∴OP＜5cm．
故答案为：＜．
13．某招聘考试分笔试和面试两种，小明笔试成绩90分，面试成绩80分，如果笔试成绩、面试成绩按6：4计算，那么小明的最终成绩应是　86　分．
【分析】根据题目中的数据，可以计算出小明的最终成绩．
【解答】解：由题意可得，
小明的最终成绩应是：＝86（分），
故答案为：86．
14．抛物线y＝ax2﹣2ax+1（a≠0）的对称轴为　直线x＝1　．
【分析】依据抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝﹣可求．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝﹣，
∴抛物线y＝ax2﹣2ax+1（a≠0）的对称轴为：x＝﹣＝1．
即直线x＝1．
故答案为：直线x＝1．
15．已知圆锥的母线长为4，底面半径为3，则圆锥的侧面积等于　12π　．
【分析】圆锥的侧面积就等于经母线长乘底面周长的一半．依此公式计算即可．
【解答】解：∵底面半径为3，
∴圆锥的底面周长为2×3π＝6π，
∴侧面积＝4×6π÷2＝12π，
故答案为12π．
16．若m是方程x2﹣x﹣5＝0的一个实数根，则代数式（m2﹣m）（m﹣+1）的值为　10　．
【分析】根据一元二次方程解的意义将m代入求出m2﹣m＝5，进而将方程两边同时除以m进而得出答案．
【解答】解：∵m是方程x2﹣x﹣5＝0的一个实数根，
∴m2﹣m＝5，
m﹣1﹣＝0，
故m﹣＝1，
则（m2﹣m）（m﹣+1）
＝5×2
＝10．
故答案为：10．
17．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，已知其对称轴为直线x＝1，则方程ax2+bx+c＝0的两根之和为　2　．

【分析】由抛物线的对称轴为x＝1＝（x1+x2），即可求解．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为x＝1＝（x1+x2），
即x1+x2＝2，
故答案为：2．
18．如图，已知半圆O的直径为2，AP与半圆O相切于点A，长度为1的线段CD在半圆上滑动，E是射线AP上一动点，则BC+DE的最小值　　．

【分析】连接OD，OC，作线段OB的垂直平分线交OB于H，交⊙O于G，连接OG，GB，过点G作GT⊥AP于T．利用全等三角形的性质证明DG＝BC，推出DE+BC＝DE+DG≥GT，求出GH的长可得结论．
【解答】解：连接OD，OC，作线段OB的垂直平分线交OB于H，交⊙O于G，连接OG，GB，过点G作GT⊥AP于T．

∵GH垂直平分线段OB，
∴GO＝GB，
∵OG＝OB，
∴OG＝OB＝GB，
∴△GOB是等边三角形，
∴CD＝OD＝OC＝1，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠DOC＝∠GOB，
∴∠DOG＝∠COB，
∵OD＝OC，OG＝OB，
∴△DOG≌△COB（SAS），
∴BC＝DG，
∴DE+BC＝DE+DG≥GT，
∵∠TAH＝∠GTA＝∠AHG＝90°，
∴四边形AHGT是矩形，
∴GT＝AH＝OA+OH＝1+＝，
∴DE+BC≥，
∴DE+BC的最小值为．
故答案为：．
三、解答题（共10小题，共96分.解答时应写出必要的步骤、过程或文字说明.）
19．（8分）解下列方程：
（1）x2+2x﹣3＝0；
（2）2（x﹣3）＝3x（x﹣3）．
【分析】利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）∵x2+2x﹣3＝0，
∴（x﹣1）（x+3）＝0，
则x﹣1＝0或x+3＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣3；

（2）∵2（x﹣3）＝3x（x﹣3），
∴2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）＝0，
则（x﹣3）（2﹣3x）＝0，
∴x﹣3＝0或2﹣3x＝0，
解得x1＝，x2＝3．
20．（8分）已知y1＝x2﹣9，y2＝3﹣x，当x为何值时，y1＝y2？
【分析】根据题意得出方程，求出方程的解，即可得出答案．
【解答】解：x2﹣9＝3﹣x，
x2+x﹣12＝0，
（x+4）（x﹣3）＝0，
x+4＝0，x﹣3＝0，
x1＝﹣4，x2＝3，
即当x为﹣4或3时，y1＝y2．
21．（8分）动画片《小猪佩奇》风靡全球，受到孩子们的喜爱，现有4张（小猪佩奇）角色卡片，分别是A佩奇，B乔治，C佩奇妈妈，D佩奇爸爸（四张卡片除字母和内容外，其余完全相同）姐弟两人做游戏，他们将这四张卡片混在一起，背面朝上放好．
（1）姐姐从中随机抽取一张卡片，恰好抽到A佩奇的概率为　　．
（2）若两人分别随机抽取一张卡片（不放回），请用列表或画树状图的方法求出恰好姐姐抽到A佩奇，弟弟抽到B乔治的概率．

【分析】（1）直接利用求概率公式计算即可；
（2）画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式求解可得．
【解答】解：（1）∵姐姐从4张卡片中随机抽取一张卡片，
∴恰好抽到A佩奇的概率＝，
故答案为：；
（2）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中姐姐抽到A佩奇，弟弟抽到B乔治的结果数为1，
所以姐姐抽到A佩奇，弟弟抽到B乔治的概率＝．
22．（8分）已知关于x的方程mx2﹣2x+1＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m取最大值时，求方程mx2﹣2x+1＝0的根．
【分析】（1）由关于x的方程mx2﹣2x+1＝0有实数根，分两种情况：①m＝0时，为一元一次方程，必有实数根；②m≠0时，为一元二次方程，由判别式△≥0，解不等式即可求得答案；
（2）求出m的值，解方程即可得出答案．
【解答】解：（1）①m＝0时，方程为﹣2x+1＝0，有实数根，
②m≠0时，△＝4﹣4m≥0，
得m≤1．
综上：m的取值范围是m≤1．
（2）∵m≤1，
∴m的最大值为1，
则方程为x2﹣2x+1＝0，
∴x1＝x2＝1．
23．（10分）某球队对甲、乙两名运动员进行3分球投篮测试，测试共五组，每组投10次，进球的个数统计结果如下：
甲：9，9，9，6，7；
乙：4，9，8，9，10；
列表进行数据分析：
选手
平均成绩
中位数
众数
方差
甲
8
b
9
d
乙
a
9
c
4.4
（1）b＝　9　，c＝　9　；
（2）试计算乙的平均成绩a和甲的方差d；（计算方差的公式：s2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]）
（3）根据以上数据分析，如果你是教练，你会选择哪名队员参加3分球大赛？请说明理由．
【分析】（1）利用中位数和众数的概念很容易求出b．c的值；
（2）利用平均数的计算公式可得乙的平均数，再利用方差的计算公式计算甲的方差；
（3）通过比较以上四个数量指标，在平均数，中位数，众数相同的情况下，选择方差较小的参加．
【解答】解：∵将甲的5个数据按照由小到大的顺序排列：6，7，9，9，9，
位置在最中间的是9，
∴这组数据的中位数为9．
∴b＝9．
∵乙的5个数据中9出现了两次，出现次数最多，
∴乙组数据的众数为：9．
∴c＝9．
故答案为：9；9．
（2）甲的平均数a＝＝8．
∵方差的公式：s2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，
∴d＝[（9﹣8）2+（9﹣8）2+（9﹣8）2+（6﹣8）2+（7﹣8）2]＝1.6．
（3）选择甲选手参加比赛．
理由：∵甲，乙的平均成绩都为8，中位数都为9，众数都为9，
但甲的方差d＝1.6＜乙的方差4.4
∴在平均数、中位数、众数都相同的情况下，甲的方差比乙小，
故甲比乙稳定，选择甲．
24．（10分）如图，二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）用配方法将二次函数y＝x2﹣2x﹣3化为y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）观察图象，当0≤x≤4时，y的取值范围为　﹣4≤y≤5　；
（3）设二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象的顶点为M，求四边形OBMC的面积．

【分析】（1）将抛物线利用配方法可以转化为顶点式，从而解出答案．
（2）由①知，顶点坐标为（1，﹣4），在将x＝4带入二次函数解析式中的y＝5，从而得出y的取值范围．
（3）由①知顶点M（1，﹣4），y＝x2﹣2x﹣3＝0求出点B（3，0），在将x＝0带入解析式中求出C（0，﹣3），在用割补法求出四边形OBMC的面积．
【解答】解：（1）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4．
（2）由（1）知，二次函数的顶点坐标为（1，﹣4），
在将x＝4带入二次函数解析式中的y＝5．
当0≤x≤4时，y 的取值范围为：﹣4≤y≤5．
故答案为：﹣4≤y≤5．
（3）由（1）知，二次函数的顶点坐标为M（1，﹣4），
由二次函数图像与x轴交与点B，
所以x2﹣2x﹣3＝0，得到点B（3，0），
由二次函数图像与y轴交与点C，
所以点C（0，﹣3），
所以四边形OBMC的面积＝（3+4）×1÷2+2×4÷2＝7.5．
25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，且∠A＝2∠BDE，点C在AB的延长线上．
（1）若∠C＝∠ABD，求证：CE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径长为5，DB＝6，求AF的长．

【分析】（1）连接OE，首先得出△ABD∽△OCE，进而推出∠OCE＝90°，即可得到结论；
（2）先判断出∠ADF＝∠DFA，得出AD＝AF，最后用勾股定理求出AD即可得出结论．
【解答】（1）证明：连接OE，
则∠BOE＝2∠BDE，又∠A＝2∠BDE，
∴∠BOE＝∠A，
∵∠C＝∠ABD，∠A＝∠BOE，
∴△ABD∽△OCE
∴∠ADB＝∠OEC，
又∵AB是直径，
∴∠OEC＝∠ADB＝90°
∴CE与⊙O相切；
（2）解：设∠BDE＝α，
∴∠ADF＝90°﹣α，∠A＝2α，∠DBA＝90°﹣2α，
在△ADF中，∠DFA＝180°﹣2α﹣（90°﹣α）＝90°﹣α，
∴∠ADF＝∠DFA，
∴AD＝AF，
在Rt△ADB中，AB＝10，DB＝6，
∴AD＝8，
∴AF＝8．

26．（10分）河上有一座拋物线形的石拱桥，水面宽6m时，水面离桥拱顶部3m．
（1）如图建立平面直角坐标系，试求抛物线的解析式；
（2）一艘装满货物的小船，露出水面部分的高为0.5m，宽为4m．现因暴雨河水水位上升了1m，这艘小船能从这座石拱桥下通过吗？请说明理由．

【分析】（1）根据题意可以知道A、B的坐标，在利用点C得坐标从而求出抛物线的解析式．
（2）代入x＝2求出y的值，用其减去1求出可通过船的做最高高度，与0.5比较大小从而得出答案．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
A（﹣3，0），B（3，0），C（0，3）．
y＝a（x+3）（x﹣3）．
在将点C（0，3）带入y＝a（x+3）（x﹣3）中的得a＝，
所以抛物线的解析式为，
（2）小船可以通过，
理由：当x＝2时，，
∵，
∴暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过．
27．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点D为BC边上的一个动点，以CD为直径的⊙O交AD于点E，过点C作CF∥AB，交⊙O于点F，连接CE、CF、EF．
（1）当∠CFE＝45°时，求CD的长；
（2）求证：∠BAC＝∠CEF；
（3）是否存在点D，使得△CFE是以EF为腰的等腰三角形，若存在，求出此时CD的长；若不存在，试说明理由．

【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出∠DAC＝∠ADC，则可得出AC＝CD＝6；
（2）由平行线的性质得出∠B＝∠FCB，由圆周角定理可得出答案；
（3）分两种情况：①当EF＝CE时，②当EF＝CF时，由全等三角形的性质及勾股定理可得出答案．
【解答】解：（1）∵∠CFE＝90°，∠CFE＝∠CDE，
∴∠CDE＝45°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DAC＝45°，
∴∠DAC＝∠ADC，
∴AC＝CD＝6；
（2）证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠B＝90°，
∵CF∥AB，
∴∠B＝∠FCB，
又∵∠FCB＝∠DEF，
∴∠BAC+∠DEF＝90°，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠CED＝90°，
∴∠DEF+∠CEF＝90°，
∴∠BAC＝∠CEF；
（3）①如图1，当EF＝CE时，则∠EFC＝∠ECF，

∵四边形CEDF为圆内接四边形，
∴∠ADG＝∠ECF，
又∵∠CDE＝∠CFE，
∴∠ADG＝∠CDE，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠DFC＝90°，
∵FC∥AB，
∴∠FGA＝90°，
∴∠FGA＝∠ACD，
∵AD＝AD，
∴△AGD≌△ACD（AAS），
∴DG＝CD，
在Rt△BDG中，设CD＝x，
∵BG2+DG2＝BD2，
∴42+x2＝（8﹣x）2，
∴x＝3，
即CD＝3；
②如图2，当EF＝CF时，则∠CEF＝∠ECF，

∵四边形CEDF为圆内接四边形，
∴∠ADG＝∠ECF，
又∵∠CEF＝∠CDF＝∠BDG，
∴∠ADG＝∠BDG，
∵FC∥AB，∠DFC＝90°，
∴∠FGA＝90°，
∴∠FGA＝∠ACD，
∵GD＝GD，
∴△BGD≌△AGD（ASA），
∴BD＝AD，
在Rt△ACD中，设CD＝x，
∵CD2+AC2＝AD2，
∴x2+62＝（8﹣x）2，
∴x＝，
即CD＝；
综合以上可得CD的长为3或．
28．（12分）如图，抛物线M：y＝x2+bx+c交y轴于点A（0，﹣1），且过点P（﹣1，﹣），点B是抛物线M上一个动点，过B作BC∥OA，以B为圆心，2为半径的圆交直线BC于D、E两点（点E位于点D下方）．
（1）求抛物线M的解析式；
（2）连接AB交⊙B于点F，连接EF，AD．若△ABD是以BD为直角边的直角三角形，求∠BEF的度数；
（3）取AD的中点Q，连接PQ，求线段PQ的最小值．（直接写出答案）

【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式．
（2）分两种情况：①当∠ABD＝90°时，如图1，可得△BEF是等腰直角三角形，可得结论．
②当∠ADB＝90°时，如图2，根据△ADB是等腰直角三角形，可得结论．
（3）设B（m，m2+2m﹣1），则D（m，m2+2m+1），求出点Q的坐标，利用勾股定理求出PQ，利用配方法解决问题即可．
【解答】解：（1）∵y＝x2+bx+c交y轴于点A（0，﹣1），且过点P（﹣1，﹣），
∴，
∴，
∴．

（2）①∠ABD＝90°时，如图1，

∵BE＝BF，∠EBF＝90°，
∴∠BEF＝45°．
②∠ADB＝90°时，如图2，

∵AD∥x轴，
∴点D的纵坐标为﹣1，
∵BD＝2，
∴点B的纵坐标为﹣3，
将y＝﹣3代入，解得x1＝x2＝﹣2，
所以AD＝BD＝2，△ABD为等腰直角三角形，
∠BEF＝＝22.5°．
综上所述，∠BEF的度数为45°或22.5°．

（3）设B（m，m2+2m﹣1），则D（m，m2+2m+1），

∵A（0，﹣1），DQ＝AQ，
∴Q（，m2+m），
∵P（﹣1，﹣），
∴PQ＝＝＝，
∴当m+1＝0时，PQ有最小值，最小值为．