江苏省宿迁市宿豫区2019-2020学年九年级（上）期末数学试卷 解析版

这是一份初中苏科版本册综合同步测试题，共25页。试卷主要包含了二次函数y＝3，有一组数据等内容，欢迎下载使用。
2019-2020学年江苏省宿迁市宿豫区九年级（上）期末数学试卷一．选择题（共8小题）
1．二次函数y＝3（x+4）2﹣5的图象的顶点坐标为（　　）
A．（4，5） B．（﹣4，5） C．（4，﹣5） D．（﹣4，﹣5）
2．有一组数据：4，6，6，6，8，9，12，13，这组数据的中位数为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
3．如图，∠1＝∠2，要使△ABC∽△ADE，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是（　　）

A．∠B＝∠D B．∠C＝∠E C． D．
4．在4张相同的小纸条上分别写上数字﹣2、0、1、2，做成4支签，放在一个盒子中，搅匀后从中任意抽出1支签（不放回），再从余下的3支签中任意抽出1支签，则2次抽出的签上的数字的和为正数的概率为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，连接AB，若∠B＝25°，则∠P的度数为（　　）

A．25° B．40° C．45° D．50°
6．某同学在解关于x的方程ax2+bx+c＝0时，只抄对了a＝1，b＝﹣8，解出其中一个根是x＝﹣1．他核对时发现所抄的c是原方程的c的相反数，则原方程的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有一个根是x＝1 D．不存在实数根
7．如图，AC是⊙O的内接正四边形的一边，点B在弧AC上，且BC是⊙O的内接正六边形的一边．若AB是⊙O的内接正n边形的一边，则n的值为（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12
8．关于二次函数y＝x2+2x+3的图象有以下说法：其中正确的个数是（　　）
①它开口向下；
②它的对称轴是过点（﹣1，3）且平行于y轴的直线；
③它与x轴没有公共点；
④它与y轴的交点坐标为（3，0）．
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共10小题）
9．某公园平面图上有一条长12cm的绿化带．如果比例尺为1：2000，那么这条绿化带的实际长度为　 　．
10．有4根细木棒，它们的长度分别是2cm、4cm、6cm、8cm．从中任取3根恰好能搭成一个三角形的概率是　 　．
11．若圆弧所在圆的半径为12，所对的圆心角为60°，则这条弧的长为　 　．
12．若函数y＝（m+1）x2﹣x+m（m+1）的图象经过原点，则m的值为　 　．
13．顶点在原点的二次函数图象先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得的抛物线经过点（0，﹣3），则平移后抛物线相应的函数表达式为　 　．
14．若把一根长200cm的铁丝分成两部分，分别围成两个正方形，则这两个正方形的面积的和最小值为　 　．
15．如图，C、D是线段AB的两个黄金分割点，且CD＝1，则线段AB的长为　 　．

16．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+5a＝0有两个正的相等的实数根，则这两个相等实数根的和为　 　．
17．已知二次函数y＝3x2+2x，当﹣1≤x≤0时，函数值y的取值范围是　 　．
18．如图，在△ABC中，AC：BC：AB＝3：4：5，⊙O沿着△ABC的内部边缘滚动一圈，若⊙O的半径为1，且圆心O运动的路径长为18，则△ABC的周长为　 　．

三．解答题（共10小题）
19．解方程：3x2﹣4x+1＝0．（用配方法解）
20．表是2019年天气预报显示宿迁市连续5天的天气气温情况．利用方差判断这5天的日最高气温波动大还是日最低气温波动大．

12月17日
12月18日
12月19日
12月20日
12月21日
最高气温（℃）
10
6
7
8
9
最低气温（℃）
1
0
﹣1
0
3
21．如图，AD、A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线，且．判断△ABC和△A′B′C′是否相似，并说明理由．

22．一只不透明的袋子中装有1个红球和1个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，这样连续共计摸3次．
（1）用树状图列出所有可能出现的结果；
（2）求3次摸到的球颜色相同的概率．
23．已知二次函数y＝ax2+bx﹣16的图象经过点（﹣2，﹣40）和点（6，8）．
（1）求这个二次函数图象与x轴的交点坐标；
（2）当y＞0时，直接写出自变量x的取值范围．
24．如图，转盘A中的6个扇形的面积相等，转盘B中的3个扇形的面积相等．分别任意转动转盘A、B各1次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的2个数字分别作为平面直角坐标系中一个点的横坐标、纵坐标．
（1）用表格列出这样的点所有可能的坐标；
（2）求这些点落在二次函数y＝x2﹣5x+6的图象上的概率．

25．如图，某农户计划用长12m的篱笆围成一个“日”字形的生物园饲养两种不同的家禽，生物园的一面靠墙，且墙的可利用长度最长为7m．
（1）若生物园的面积为9m2，则这个生物园垂直于墙的一边长为多少？
（2）若要使生物园的面积最大，该怎样围？

26．如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，点A在x轴的正半轴上，B为⊙O上一点，过点A、B的直线与y轴交于点C，且OA2＝AB•AC．
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）若AB＝，求直线AB对应的函数表达式．

27．（1）如图①，AB为⊙O的直径，点P在⊙O上，过点P作PQ⊥AB，垂足为点Q．说明△APQ∽△ABP；
（2）如图②，⊙O的半径为7，点P在⊙O上，点Q在⊙O内，且PQ＝4，过点Q作PQ的垂线交⊙O于点A、B．设PA＝x，PB＝y，求y与x的函数表达式．

28．如图①，抛物线y＝x2﹣（a+1）x+a与x轴交于A、B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．已知△ABC的面积为6．
（1）求这条抛物线相应的函数表达式；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使得∠POB＝∠CBO，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图②，M是抛物线上一点，N是射线CA上的一点，且M、N两点均在第二象限内，A、N是位于直线BM同侧的不同两点．若点M到x轴的距离为d，△MNB的面积为2d，且∠MAN＝∠ANB，求点N的坐标．


参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．二次函数y＝3（x+4）2﹣5的图象的顶点坐标为（　　）
A．（4，5） B．（﹣4，5） C．（4，﹣5） D．（﹣4，﹣5）
【分析】根据题目中函数的顶点式，可以直接写出该函数的顶点坐标，本题得以解决．
【解答】解：∵二次函数y＝3（x+4）2﹣5，
∴该函数图象的顶点坐标为（﹣4，﹣5），
故选：D．
2．有一组数据：4，6，6，6，8，9，12，13，这组数据的中位数为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】根据题目中的数据和中位数的定义，可以求得这组数据的中位数．
【解答】解：∵一组数据：4，6，6，6，8，9，12，13，
∴这组数据的中位数是（6+8）÷2＝14÷2＝7，
故选：B．
3．如图，∠1＝∠2，要使△ABC∽△ADE，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是（　　）

A．∠B＝∠D B．∠C＝∠E C． D．
【分析】根据∠1＝∠2可得∠DAE＝∠BAC，再结合相似三角形的判定方法进行分析即可．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，
∴∠DAE＝∠BAC，
A、添加∠B＝∠D可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ABC∽△ADE，故此选项不合题意；
B、添加∠C＝∠E可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ABC∽△ADE，故此选项不合题意；
C、添加可利用，故此选项不合题意；
D、添加不能证明△ABC∽△ADE，故此选项符合题意；
故选：D．
4．在4张相同的小纸条上分别写上数字﹣2、0、1、2，做成4支签，放在一个盒子中，搅匀后从中任意抽出1支签（不放回），再从余下的3支签中任意抽出1支签，则2次抽出的签上的数字的和为正数的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据题意列出树状图得出所有等可能的结果和2次抽出的签上的数字的和为正数的情况数，然后利用概率公式求解即可．
【解答】解：根据题意画图如下：

共有12种等情况数，其中2次抽出的签上的数字的和为正数的有6种，
则2次抽出的签上的数字的和为正数的概率为＝；
故选：C．
5．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，连接AB，若∠B＝25°，则∠P的度数为（　　）

A．25° B．40° C．45° D．50°
【分析】连接OA，根据圆周角定理求出∠AOP，根据切线的性质得到∠OAP＝90°，根据直角三角形的性质计算，得到答案．
【解答】解：连接OA，
由圆周角定理得，∠AOP＝2∠B＝50°，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°，
∴∠P＝90°﹣50°＝40°，
故选：B．

6．某同学在解关于x的方程ax2+bx+c＝0时，只抄对了a＝1，b＝﹣8，解出其中一个根是x＝﹣1．他核对时发现所抄的c是原方程的c的相反数，则原方程的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有一个根是x＝1 D．不存在实数根
【分析】利用题意得x＝﹣1为方程x2﹣8x﹣c＝0的根，则可求出c＝9，所以原方程为x2﹣8x+9＝0，然后计算判别式的值判断方程根的情况．
【解答】解：x＝﹣1为方程x2﹣8x﹣c＝0的根，
1+8﹣c＝0，解得c＝9，
所以原方程为x2﹣8x+9＝0，
因为△＝（﹣8）2﹣4×9＞0，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
7．如图，AC是⊙O的内接正四边形的一边，点B在弧AC上，且BC是⊙O的内接正六边形的一边．若AB是⊙O的内接正n边形的一边，则n的值为（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】根据中心角的度数＝360°÷边数，列式计算分别求出∠AOB，∠BOC的度数，则∠AOC＝30°，则边数n＝360°÷中心角．
【解答】解：连接AO、BO、CO，
∵AC是⊙O内接正四边形的一边，
∴∠AOC＝360°÷6＝90°，
∵BC是⊙O内接正六边形的一边，
∴∠BOC＝360°÷6＝60°，
∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°，
∴n＝360°÷30°＝12；
故选：D．

8．关于二次函数y＝x2+2x+3的图象有以下说法：其中正确的个数是（　　）
①它开口向下；
②它的对称轴是过点（﹣1，3）且平行于y轴的直线；
③它与x轴没有公共点；
④它与y轴的交点坐标为（3，0）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据a＝1＞0即可判断①，求出抛物线的对称轴，即可判断②，求出b2﹣4ac的值，即可判断③，求出与y轴的交点坐标，即可判断④．
【解答】解：①y＝x2+2x+3，
a＝1＞0，函数的图象的开口向上，故①错误；
②y＝x2+2x+3的对称轴是直线x＝﹣＝﹣1，
即函数的对称轴是过点（﹣1，3）且平行于y轴的直线，故②正确；
③y＝x2+2x+3，
△＝22﹣4×1×3＝﹣8＜0，即函数的图象与x轴没有交点，故③正确；
④y＝x2+2x+3，
当x＝0时，y＝3，
即函数的图象与y轴的交点是（0，3），故④错误；
即正确的个数是2个，
故选：B．
二．填空题（共10小题）
9．某公园平面图上有一条长12cm的绿化带．如果比例尺为1：2000，那么这条绿化带的实际长度为　240m　．
【分析】已知比例尺、图上距离，求实际距离，根据图上距离：比例尺＝实际距离，列式求得实际距离．
【解答】解：设这条公路的实际长度为xcm，则：
1：2000＝12：x，
解得x＝24000，
24000cm＝240m．
故答案为240m．
10．有4根细木棒，它们的长度分别是2cm、4cm、6cm、8cm．从中任取3根恰好能搭成一个三角形的概率是　　．
【分析】利用完全列举法展示所有等可能的结果数，再根据三角形三边的关系确定恰好能搭成一个三角形的结果数，然后根据概率公式计算．
【解答】解：从中任取3根共有4种等可能的结果数，它们为2、4、6；、2、4、8；2、6、8；、4、6、8，
其中恰好能搭成一个三角形为4、6、8，
所以恰好能搭成一个三角形的概率＝．
故答案为．
11．若圆弧所在圆的半径为12，所对的圆心角为60°，则这条弧的长为　4π　．
【分析】利用弧长的计算公式计算即可．
【解答】解：l＝＝4π，
故答案为：4π．
12．若函数y＝（m+1）x2﹣x+m（m+1）的图象经过原点，则m的值为　0或﹣1　．
【分析】将点（0，0）代入函数解析式得到m（m+1）＝0，即可求出m的值．
【解答】解：∵函数经过原点，
∴m（m+1）＝0，
∴m＝0或m＝﹣1，
故答案为0或﹣1．
13．顶点在原点的二次函数图象先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得的抛物线经过点（0，﹣3），则平移后抛物线相应的函数表达式为　y＝﹣（x+1）2﹣2　．
【分析】根据题意平移后的顶点为（﹣1，﹣2），设出函数解析式，代入（0，﹣3）即可求得解析式．
【解答】解：由题意可知，平移后的函数的顶点为（﹣1，﹣2），
设平移后函数的解析式为y＝a（x+1）2﹣2，
∵所得的抛物线经过点（0，﹣3），
∴﹣3＝a﹣2，解得a＝﹣1，
∴平移后函数的解析式为y＝﹣（x+1）2﹣2，
故答案为y＝﹣（x+1）2﹣2．
14．若把一根长200cm的铁丝分成两部分，分别围成两个正方形，则这两个正方形的面积的和最小值为　1250cm2　．
【分析】先将铁丝分成xcm和（200﹣x）cm两部分，再列出二次函数，求其最小值．
【解答】解：如图，设将铁丝分成xcm和（200﹣x）cm两部分，列方程得：
y＝（）2+（）2＝（x﹣100）2+1250，
由于＞0，故其最小值为1250cm2，
故答案为：1250cm2．

15．如图，C、D是线段AB的两个黄金分割点，且CD＝1，则线段AB的长为　　．

【分析】根据黄金分割点的定义，知较短的线段＝原线段的倍，可得BC的长，同理求得AD的长，则AB即可求得．
【解答】解：∵线段AB＝x，点C是AB黄金分割点，
∴较小线段AD＝BC＝，
则CD＝AB﹣AD﹣BC＝x﹣2×＝1，
解得：x＝2+．
故答案为：2+
16．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+5a＝0有两个正的相等的实数根，则这两个相等实数根的和为　　．
【分析】根据根的判别式，令△＝0，建立关于a和b的方程，据此求出a和b的关系，进一步求出两个相等实数根的和．
【解答】解：当关于x的一元二次方程ax2+bx+5a＝0有两个正的相等的实数根时，
△＝0，即b2﹣20a2＝0，
解得b＝﹣2a或b＝2a（舍去），
原方程可化为ax2﹣2ax+5a＝0，
则这两个相等实数根的和为．
故答案为：2．
17．已知二次函数y＝3x2+2x，当﹣1≤x≤0时，函数值y的取值范围是　≤y≤1　．
【分析】由于对称轴为x＝﹣，则当﹣1≤x≤0时，函数有最小值﹣，当x＝﹣1时，有最大值1，即可求y的取值范围．
【解答】解：∵y＝3x2+2x＝3（x+）2﹣，
∴函数的对称轴为x＝﹣，
∴当﹣1≤x≤0时，函数有最小值﹣，当x＝﹣1时，有最大值1，
∴y的取值范围是﹣≤y≤1，
故答案为﹣≤y≤1．
18．如图，在△ABC中，AC：BC：AB＝3：4：5，⊙O沿着△ABC的内部边缘滚动一圈，若⊙O的半径为1，且圆心O运动的路径长为18，则△ABC的周长为　30　．

【分析】根据⊙O沿着△ABC的内部边缘滚动一圈，得矩形DEPG、矩形EQNF、矩形DEMH，正方形CPEQ，根据DE∥AC，DF∥AB，EF∥BC，证明△DEF∽△ABC，得DE：EF：DF＝AC：BC：AB＝3：4：5，根据圆心O运动的路径长为18，可得DE+EF+DF＝18，进而可求得DE、EF、DF的长，根据切线长定理即可求得AB、AC、BC的长，从而求出三角形ABC的周长．
【解答】解：设⊙O沿着△ABC的内部边缘滚动一圈，如图所示，
连接DE、EF、DF，
设切点分别为G、H、P、Q、M、N，
连接DH、DG、EP、EQ、FM、FN，
得矩形DEPG、矩形EQNF、矩形DEMH，
∴DE＝GP，EF＝QN，DF＝HM，
根据切线长定理四边形CPEQ是正方形，
∴PC＝PE＝EQ＝CQ＝1，

∵⊙O的半径为1，且圆心O运动的路径长为18，
∴DE+EF+DF＝18，
∵DE∥AC，DF∥AB，EF∥BC，
∴∠DEF＝∠ACB，∠DFE＝∠ABC，
∴△DEF∽△ABC，
∴DE：EF：DF＝AC：BC：AB＝3：4：5，
设DE＝3k（k＞0），则EF＝4k，DF＝5k，
∵DE+EF+DF＝18，
∴3k+4k+5k＝18，
解得k＝，
∴DE＝3k＝，EF＝4k＝6，DF＝5k＝，
根据切线长定理，
设AG＝AH＝x，BN＝BM＝y，
则AC＝AG+GP+CP＝x++1＝x+5.5，
BC＝CQ+QN+BN＝1+6+y＝y+7，
AB＝AH+HM+BM＝x++y＝x+y+7.5，
∵AC：BC：AB＝3：4：5，
∴（x+5.5）：（y+7）：（x+y+7.5）＝3：4：5，
解得x＝2，y＝3，
∴AC＝7.5，BC＝10，AB＝12.5，
∴AC+BC+AB＝30．
所以△ABC的周长为30．
故答案为30．
三．解答题（共10小题）
19．解方程：3x2﹣4x+1＝0．（用配方法解）
【分析】用配方法解，首先把系数化为1，移项，把常数项移到等号的右边，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数的一半，即可使左边是完全平方式，右边是常数，即可求解．
【解答】解：3x2﹣4x+1＝0
3（x2﹣x）+1＝0
（x﹣）2＝
∴x﹣＝±
∴x1＝1，x2＝
20．表是2019年天气预报显示宿迁市连续5天的天气气温情况．利用方差判断这5天的日最高气温波动大还是日最低气温波动大．

12月17日
12月18日
12月19日
12月20日
12月21日
最高气温（℃）
10
6
7
8
9
最低气温（℃）
1
0
﹣1
0
3
【分析】根据方差的公式求解即可．
【解答】解：∵＝，

＝2（℃2）
＝1.84（℃2）
∴
∴这5天的日最高气温波动大．
21．如图，AD、A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线，且．判断△ABC和△A′B′C′是否相似，并说明理由．

【分析】根据相似三角形的判定解答即可．
【解答】解：△ABC∽△A'B'C'，
理由：∵
∴△ABD∽△A'B'D'，
∴∠B＝∠B'，
∵AD、A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线
∴，，
∴，
在△ABC和△A'B'C'中
∵，且∠B＝∠B'
∴△ABC∽△A'B'C'．
22．一只不透明的袋子中装有1个红球和1个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，这样连续共计摸3次．
（1）用树状图列出所有可能出现的结果；
（2）求3次摸到的球颜色相同的概率．
【分析】（1）画树状图展示所有8种等可能的结果数；
（2）找出3次摸到的球颜色相同的结果数为2，然后根据概率公式计算．
【解答】解：（1）画树状图为：

共有8种等可能的结果数；
（2）3次摸到的球颜色相同的结果数为2，
3次摸到的球颜色相同的概率＝＝．
23．已知二次函数y＝ax2+bx﹣16的图象经过点（﹣2，﹣40）和点（6，8）．
（1）求这个二次函数图象与x轴的交点坐标；
（2）当y＞0时，直接写出自变量x的取值范围．
【分析】（1）把两点的坐标代入函数解析式，能求出a、b，即可求出函数的解析式，再求出与x轴的交点坐标即可；
（2）根据二次函数的性质和与x轴的交点坐标得出即可．
【解答】解：（1）由题意，得，
解得：，
所以这个二次函数的解析式为：y＝﹣x2+10x﹣16，
当y＝0时，﹣x2+10x﹣16＝0，
解之得：x1＝2，x2＝8，
∴这个二次函数图象与x轴的交点坐标为（2，0）和（8，0）；

（2）当y＞0时，直接写出自变量x的取值范围是2＜x＜8．
24．如图，转盘A中的6个扇形的面积相等，转盘B中的3个扇形的面积相等．分别任意转动转盘A、B各1次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的2个数字分别作为平面直角坐标系中一个点的横坐标、纵坐标．
（1）用表格列出这样的点所有可能的坐标；
（2）求这些点落在二次函数y＝x2﹣5x+6的图象上的概率．

【分析】（1）根据题意列出图表得出所有等情况数即可；
（2）先找出符合条件的坐标数，再根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意列表如下：
纵坐标
横坐标
3
1
2
﹣1
（﹣1，3）
（﹣1，1）
（﹣1，2）
0
（0，3）
（0，1）
（0，2）
1
（1，3）
（1，1）
（1，2）
2
（2，3）
（2，1）
（2，2）
3
（3，3）
（3，1）
（3，2）
4
（4，3）
（4，1）
（4，2）
由表可知，共有18种等情况数；

（2）由上表可知，点（1，2）、（4，2）都在二次函数y＝x2﹣5x+6的图象上，
所以P（这些点落在二次函数y＝x2﹣5x+6的图象上）＝＝．
25．如图，某农户计划用长12m的篱笆围成一个“日”字形的生物园饲养两种不同的家禽，生物园的一面靠墙，且墙的可利用长度最长为7m．
（1）若生物园的面积为9m2，则这个生物园垂直于墙的一边长为多少？
（2）若要使生物园的面积最大，该怎样围？

【分析】（1）设这个生物园垂直于墙的一边长为xm，表示出另外的边长，利用矩形的面积公式列出方程求解即可；
（2）设围成生物园的面积为ym2，表示出有关x的二次函数即可求得最值．
【解答】解：设这个生物园垂直于墙的一边长为xm，
（1）由题意，得x（12﹣3x）＝9，
解得，x1＝1（不符合题意，舍去），x2＝3，
答：这个生物园垂直于墙的一边长为3m；

（2）设围成生物园的面积为ym2．
由题意，得y＝x（12﹣3x）＝﹣3（x﹣2）2+12，
∵
∴
∴当x＝2时，y最大值＝12，12﹣3x＝6，
答：生物园垂直于墙的一边长为2m．平行于墙的一边长为6m时，围成生物园的面积最大，且为12m2．
26．如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，点A在x轴的正半轴上，B为⊙O上一点，过点A、B的直线与y轴交于点C，且OA2＝AB•AC．
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）若AB＝，求直线AB对应的函数表达式．

【分析】（1）连接OB，证明△OAB∽△CAO，可得出∠ABO＝∠AOC，则∠ABO＝90°，结论得证；
（2）求出OA＝2，求出C点坐标，设直线AB对应的函数表达式为y＝kx+b，求出k，b，则解析式可求出；
【解答】（1）证明：连接OB．

∵OA2＝AB•AC
∴，
又∵∠OAB＝∠CAO，
∴△OAB∽△CAO，
∴∠ABO＝∠AOC，
又∵∠AOC＝90°，
∴∠ABO＝90°，
∴AB⊥OB；
∴直线AB是⊙O的切线；
（2）解：∵∠ABO＝90°，，OB＝1，
∴，
∴点A坐标为（2，0），
∵△OAB∽△CAO，
∴，
即，
∴，
∴点C坐标为；
设直线AB对应的函数表达式为y＝kx+b，
则，
∴
∴．
即直线AB对应的函数表达式为．
27．（1）如图①，AB为⊙O的直径，点P在⊙O上，过点P作PQ⊥AB，垂足为点Q．说明△APQ∽△ABP；
（2）如图②，⊙O的半径为7，点P在⊙O上，点Q在⊙O内，且PQ＝4，过点Q作PQ的垂线交⊙O于点A、B．设PA＝x，PB＝y，求y与x的函数表达式．

【分析】（1）如图①，由AB为⊙O的直径，得∠APB＝90°，结合PQ⊥AB可得∠AQP＝∠APB，再由一个公共角∠A，可得△APQ∽△ABP；
（2）如图②，连接PO，并延长PO交⊙O于点C，连接AC．先证∠PAC＝∠PQB，再由同弧所对的圆周角相等得∠C＝∠B，从而△PAC∽△PQB，然后根据相似三角形的性质得比例式，再将x，y和已知线段的长代入，化简即可得答案．
【解答】解：（1）如图①所示：

∵AB为⊙O的直径
∴∠APB＝90°
又∵PQ⊥AB
∴∠AQP＝90°
∴∠AQP＝∠APB
又∵∠PAQ＝∠BAP
∴△APQ∽△ABP．
（2）如图②，连接PO，并延长PO交⊙O于点C，连接AC．

∵PC为⊙O的直径
∴∠PAC＝90°
又∵PQ⊥AB
∴∠PQB＝90°
∴∠PAC＝∠PQB
又∵∠C＝∠B（同弧所对的圆周角相等）
∴△PAC∽△PQB
∴
又∵⊙O的半径为7，即AC＝14，且PQ＝4，PA＝x，PB＝y
∴
∴．
28．如图①，抛物线y＝x2﹣（a+1）x+a与x轴交于A、B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．已知△ABC的面积为6．
（1）求这条抛物线相应的函数表达式；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使得∠POB＝∠CBO，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图②，M是抛物线上一点，N是射线CA上的一点，且M、N两点均在第二象限内，A、N是位于直线BM同侧的不同两点．若点M到x轴的距离为d，△MNB的面积为2d，且∠MAN＝∠ANB，求点N的坐标．

【分析】（1）令y＝0求出点A坐标为（a，0），点B坐标为（1，0），令x＝0，求出点C坐标为（0，a），再由△ABC的面积得到即可求a的值；
（2）①当点P在x轴上方时，直线OP的函数表达式为y＝3x，则直线与抛物线的交点为P；②当点P在x轴下方时，直线OP的函数表达式为y＝﹣3x，则直线与抛物线的交点为P；
（3）过点A作AE⊥BM于点E，过点N作NF⊥BM于点F，设AM与BN交于点G，延长MN与x轴交于点H；由S△AMB＝S△MNB，得到AE＝NF，可以证明四边形AEFN是矩形，再证明△AMB≌△NBM（SAS），进而证明M、N、H三点的横坐标相同，且BH＝MH，设点M的坐标为（t，t2+2t﹣3），则有1﹣t＝t2+2t﹣3，能求出点N的横坐标为﹣4，再设直线AC：y＝kx﹣3，则0＝﹣3k﹣3，得到y＝﹣x﹣3，可求N点坐标．
【解答】解：（1）当y＝0时，x2﹣（a+1）x+a＝0，
解得x1＝1，x2＝a，
∵点A位于点B的左侧，
∴点A坐标为（a，0），点B坐标为（1，0），
当x＝0时，y＝a，
∴点C坐标为（0，a），
∴AB＝1﹣a，OC＝﹣a，
∵△ABC的面积为6，
∴，
∴a1＝﹣3，a2＝4，
∵a＜0，
∴a＝﹣3，
∴y＝x2+2x﹣3；
（2）设直线BC：y＝kx﹣3，则0＝k﹣3，
∴k＝3；
①当点P在x轴上方时，直线OP的函数表达式为y＝3x，
则，
∴，，
∴点P坐标为；
②当点P在x轴下方时，直线OP的函数表达式为y＝﹣3x，
则
∴，，
∴点P坐标为，
综上可得 点P坐标为或；
（3）过点A作AE⊥BM于点E，过点N作NF⊥BM于点F，设AM与BN交于点G，延长MN与x轴交于点H；
∵AB＝4，点M到x轴的距离为d，
∴，
∵S△MNB＝2d，
∴S△AMB＝S△MNB，
∴，
∴AE＝NF，
∵AE⊥BM，NF⊥BM，
∴四边形AEFN是矩形，
∴AN∥BM，
∵∠MAN＝∠ANB，
∴GN＝GA，
∵AN∥BM，
∴∠MAN＝∠AMB，∠ANB＝∠NBM，
∴∠AMB＝∠NBM，
∴GB＝GM，
∴GN+GB＝GA+GM即BN＝MA，
在△AMB和△NBM中
∴△AMB≌△NBM（SAS），
∴∠ABM＝∠NMB，
∵OA＝OC＝3，∠AOC＝90°，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
又∵AN∥BM，
∴∠ABM＝∠OAC＝45°，
∴∠NMB＝45°，
∴∠ABM+∠NMB＝90°，
∴∠BHM＝90°，
∴M、N、H三点的横坐标相同，且BH＝MH，
∵M是抛物线上一点，
∴可设点M的坐标为（t，t2+2t﹣3），
∴1﹣t＝t2+2t﹣3，
∴t1＝﹣4，t2＝1（舍去），
∴点N的横坐标为﹣4，
可设直线AC：y＝kx﹣3，则0＝﹣3k﹣3，
∴k＝﹣1，
∴y＝﹣x﹣3，
当x＝﹣4时，y＝﹣（﹣4）﹣3＝1，
∴点N的坐标为（﹣4，1）．