江苏省连云港市灌云县2019-2020学年九年级（上）期末数学试卷 解析版

这是一份数学九年级上册本册综合练习题，共25页。试卷主要包含了方程x2﹣3x＝0的根是，某篮球队14名队员的年龄如表，已知2x＝3y等内容，欢迎下载使用。
2019-2020学年九年级（上）期末数学试卷
一．选择题（共8小题）
1．方程x2﹣3x＝0的根是（　　）
A．x＝0 B．x＝3
C．x1＝0 x2＝﹣3 D．x1＝0 x2＝3
2．一枚质地匀均的骰子，其六个面上分别标有数字：1，2，3，4，5，6，投掷一次，朝上面的数字大于4的概率是（　　）
A． B． C． D．
3．某篮球队14名队员的年龄如表：
年龄（岁）
18
19
20
21
人数
5
4
3
2
则这14名队员年龄的众数和中位数分别是（　　）
A．18，19 B．19，19 C．18，4 D．5，4
4．如图，AB是⊙O的弦，∠BAC＝30°，BC＝2，则⊙O的直径等于（　　）

A．2 B．3 C．4 D．6
5．已知2x＝3y（x≠0，y≠0），则下面结论成立的是（　　）
A． B． C． D．
6．把二次函数y＝2x2的图象向右平移3个单位，再向上平移2个单位后的函数关系式是（　　）
A．y＝2（x﹣3）2+2 B．y＝2（x+3）2+2
C．y＝2（x﹣3）2﹣2 D．y＝2（x+3）2﹣2
7．如图，点A、B、C、D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（　　）

A．（4，2） B．（6，0） C．（6，3） D．（6，5）
8．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，下列结论：
①b2＞4ac；
②2a+b＝0；
③a+b+c＞0；
④若B（﹣5，y1）、C（﹣1，y2 ）为函数图象上的两点，则y1＜y2．
其中正确结论是（　　）

A．②④ B．①③④ C．①④ D．②③
二．填空题（共8小题）
9．抛物线y＝（x﹣1）2+3的顶点坐标为　 　．
10．已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a＝2cm，b＝8cm，则线段c＝　 　cm．
11．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解的范围是　 　．
x
6.17
6.18
6.19
6.20
y
﹣0.03
﹣0.01
0.02
0.04
12．经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是　 　．
13．某校五个绿化小组一天的植树的棵数如下：9，10，12，x，8．已知这组数据的平均数是10，那么这组数据的方差是　 　．
14．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝2cm，扇形的圆心角θ＝120°，则该圆锥的母线长l为　 　cm．

15．如图，直线AB经过圆O的圆心，与圆O交于A、B两点，点C在圆O上，且∠AOC＝30°，点P是直线AB上的一个动点（与点O不重合），直线PC与圆O相交于点Q．如果QP＝QO，则∠OCP的度数是　 　．

16．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，点E、F分别在BC、CD上，若AE＝，∠EAF＝45°，则AF的长为　 　．

三．解答题（共10小题）
17．解方程：
（1）（x+1）2﹣9＝0
（2）x2﹣4x﹣45＝0
18．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，求a的取值范围．
19．某鱼塘中养了某种鱼5000条，为了估计该鱼塘中该种鱼的总质量，从鱼塘中捕捞了3次，取得的数据如下：

数量/条
平均每条鱼的质量/kg
第1次捕捞
20
1.6
第2次捕捞
15
2.0
第3次捕捞
15
1.8
（1）求样本中平均每条鱼的质量；
（2）估计鱼塘中该种鱼的总质量；
（3）设该种鱼每千克的售价为14元，求出售该种鱼的收入y（元）与出售该种鱼的质量x（kg）之间的函数关系，并估计自变量x的取值范围．
20．4张相同的卡片分别写有数字﹣1、﹣3、4、6，将这些卡片的背面朝上，并洗匀．
（1）从中任意抽取1张，抽到的数字大于0的概率是　 　．
（2）从中任意抽取1张，并将卡片上的数字记作二次函数y＝ax2+bx中的a，再从余下的卡片中任意抽取1张，并将卡片上的数字记作二次函数y＝ax2+bx中的b，利用树状图或表格的方法，求出这个二次函数图象的对称轴在y轴右侧的概率．
21．已知二次函数y＝2x2+bx﹣6的图象经过点（2，﹣6），若这个二次函数与x轴交于A．B两点，与y轴交于点C，求出△ABC的面积．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE．
（1）求证：直线DF与⊙O相切；
（2）求证：BF＝EF；

23．市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x＝45时，y＝10；x＝55时，y＝90．在销售过程中，每天还要支付其他费用500元．
（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？
24．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AC于点D、E，BE交AD于点F，AB＝AD．
（1）判断△FDB与△ABC是否相似，并说明理由；
（2）BC＝6，DE＝2，求△BFD的面积．

25．如图①，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC垂足为D，弧AE＝弧AB，BE分别交AD、AC于点F、G．

（1）判断△FAG的形状，并说明理由；
（2）如图②若点E与点A在直径BC的两侧，BE、AC的延长线交于点G，AD的延长线交BE于点F，其余条件不变（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若BG＝26，DF＝5，求⊙O的直径BC．
26．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（0，﹣2），C（1，0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝﹣x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．


参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．方程x2﹣3x＝0的根是（　　）
A．x＝0 B．x＝3
C．x1＝0 x2＝﹣3 D．x1＝0 x2＝3
【分析】先将方程左边提公因式x，可解方程．
【解答】解：x2﹣3x＝0，
x（x﹣3）＝0，
x1＝0，x2＝3，
故选：D．
2．一枚质地匀均的骰子，其六个面上分别标有数字：1，2，3，4，5，6，投掷一次，朝上面的数字大于4的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】直接得出朝上面的数字大于4的个数，再利用概率公式求出答案．
【解答】解：∵一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，投掷一次，
∴朝上一面的数字是朝上面的数字大于4的概率为：＝．
故选：B．
3．某篮球队14名队员的年龄如表：
年龄（岁）
18
19
20
21
人数
5
4
3
2
则这14名队员年龄的众数和中位数分别是（　　）
A．18，19 B．19，19 C．18，4 D．5，4
【分析】根据众数和中位数的定义求解可得．
【解答】解：这14名队员年龄的众数是18岁，
中位数是＝19（岁），
故选：A．
4．如图，AB是⊙O的弦，∠BAC＝30°，BC＝2，则⊙O的直径等于（　　）

A．2 B．3 C．4 D．6
【分析】作直径BD，连接CD，根据圆周角定理得到∠D＝∠BAC＝30°，∠BCD＝90°，根据直角三角形的性质解答．
【解答】解：作直径BD，连接CD，

由圆周角定理得，∠D＝∠BAC＝30°，∠BCD＝90°，
∴BD＝2BC＝4，
故选：C．
5．已知2x＝3y（x≠0，y≠0），则下面结论成立的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据比例的性质，把比例式写成等积式即可得出结论．
【解答】解：A、由内项之积等于外项之积，得3x＝2y，故A不符合题意；
B、由内项之积等于外项之积，得6＝xy，故B不符合题意；
C、由内项之积等于外项之积，得3x＝2y，故C不符合题意；
D、由内项之积等于外项之积，得2x＝3y，故D符合题意；
故选：D．
6．把二次函数y＝2x2的图象向右平移3个单位，再向上平移2个单位后的函数关系式是（　　）
A．y＝2（x﹣3）2+2 B．y＝2（x+3）2+2
C．y＝2（x﹣3）2﹣2 D．y＝2（x+3）2﹣2
【分析】直接根据函数图象平移的法则即可得出结论．
【解答】解：把二次函数y＝2x2的图象向右平移3个单位，再向上平移2个单位后的函数关系式是：y＝2（x﹣3）2+2．
故选：A．
7．如图，点A、B、C、D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（　　）

A．（4，2） B．（6，0） C．（6，3） D．（6，5）
【分析】利用A、B、C的坐标得到AB＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，然后利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似对各选项进行判断．
【解答】解：∵点A、B、C的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），
∴AB＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，
当E点坐标为（4，2），而D（6，1），则CE＝1，CD＝2，∠ECD＝90°，
∵＝＝3，∠ABC＝∠ECD，
∴△ABC∽△DCE；
当E点坐标为（6，0），而D（6，1），则ED＝1，CD＝2，∠EDC＝90°，
∵＝＝3，∠ABC＝∠EDC，
∴△ABC∽△EDC；
当E点坐标为（6，3），而D（6，1），则ED＝2，CD＝2，∠EDC＝90°，
∵≠，∠ABC＝∠EDC，
∴△ABC与△ECD不相似；
当E点坐标为（6，5），而D（6，1），则ED＝4，CD＝2，∠EDC＝90°，
∵＝＝，∠ABC＝∠EDC，
∴△ABC∽△EDC．
故选：C．
8．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，下列结论：
①b2＞4ac；
②2a+b＝0；
③a+b+c＞0；
④若B（﹣5，y1）、C（﹣1，y2 ）为函数图象上的两点，则y1＜y2．
其中正确结论是（　　）

A．②④ B．①③④ C．①④ D．②③
【分析】根据抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴x＝﹣、△＝b2﹣4ac的取值与抛物线与x轴的交点的个数关系、抛物线与x轴的交点与对称轴的关系及抛物线的特征进行分析判断．
【解答】解：①由函数的图形可知，抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即：b2＞4ac，故结论①正确；
②∵二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1
∴2a＝b，即：2a﹣b＝0，故结论②错误．
③∵二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，
∴二次函数与x轴的另一个交点的坐标为（1，0），
∴当x＝1时，有a+b+c＝0，故结论③错误；
④∵抛物线的开口向下，对称轴x＝﹣1，
∴当x＜﹣1时，函数值y随着x的增大而增大，
∵﹣5＜﹣1则y1＜y2，则结论④正确
故选：C．
二．填空题（共8小题）
9．抛物线y＝（x﹣1）2+3的顶点坐标为　（1，3）　．
【分析】直接利用顶点式的特点可知顶点坐标．
【解答】解：顶点坐标是（1，3）．
10．已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a＝2cm，b＝8cm，则线段c＝　4　cm．
【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可求解．
【解答】解：线段a＝2cm，b＝8cm，线段c是a、b的比例中项，
∴＝，
∴c2＝ab＝2×8＝16，
∴c1＝4，c2＝﹣4（舍去），
∴线段c＝4cm．
故答案为：4．
11．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解的范围是　6.18＜x＜6.19　．
x
6.17
6.18
6.19
6.20
y
﹣0.03
﹣0.01
0.02
0.04
【分析】根据表格中自变量、函数的值的变化情况，得出当y＝0时，相应的自变量的取值范围即可．
【解答】解：由表格数据可得，当x＝6.18时，y＝﹣0.01，当x＝6.19时，y＝0.02，
于是可得，当y＝0时，相应的自变量x的取值范围为6.18＜x＜6.19，
故答案为：6.18＜x＜6.19．
12．经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是　50（1﹣x）2＝32　．
【分析】根据某药品经过连续两次降价，销售单价由原来50元降到32元，平均每次降价的百分率为x，可以列出相应的方程即可．
【解答】解：由题意可得，
50（1﹣x）2＝32，
故答案为：50（1﹣x）2＝32．
13．某校五个绿化小组一天的植树的棵数如下：9，10，12，x，8．已知这组数据的平均数是10，那么这组数据的方差是　2　．
【分析】首先确定x的值，再利用方差公式S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，计算方差即可．
【解答】解：由题意得：9+10+12+x+8＝10×5，
解得：x＝11，
S2＝[[（9﹣10）2+（10﹣10）2+（12﹣10）2+（11﹣10）2+（8﹣10）2]，
＝×（1+0+4+1+4），
＝2．
故答案为：2．
14．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝2cm，扇形的圆心角θ＝120°，则该圆锥的母线长l为　6　cm．

【分析】易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．
【解答】解：圆锥的底面周长＝2π×2＝4πcm，
设圆锥的母线长为R，则：＝4π，
解得R＝6．
故答案为：6．
15．如图，直线AB经过圆O的圆心，与圆O交于A、B两点，点C在圆O上，且∠AOC＝30°，点P是直线AB上的一个动点（与点O不重合），直线PC与圆O相交于点Q．如果QP＝QO，则∠OCP的度数是　20°、40°或100°　．

【分析】分类讨论：如图1，设∠QOC＝x，则∠QOP＝x+30°，由QO＝QP得到∠QPO＝∠QOP＝x+30°，再根据三角形外角性质得∠QCO＝∠COP+∠CPO＝x+60°，而OQ＝OC，所以∠OQC＝∠OCQ＝x+60°，然后根据三角形内角和定理得x+x+60°+x+60°＝180°，解得x＝20°，再利用∠OCP＝∠QOC+∠OQC进行计算即可；利用同样的方法，解决如图2，如图3的情况．
【解答】解：如图1，

设∠QOC＝x，则∠QOP＝x+30°，
∵QO＝QP，
∴∠QPO＝∠QOP＝x+30°，
∴∠QCO＝∠COP+∠CPO＝30°+x+30°＝x+60°，
∵OQ＝OC，
∴∠OQC＝∠OCQ＝x+60°，
∴x+x+60°+x+60°＝180°，解得x＝20°，
∴∠OCP＝∠QOC+∠OQC＝20°+20°+60°＝100°；
如图2，

设∠QPO＝x，
∵PQ＝QO，
∴∠QOP＝∠QPO＝x，
∴∠CQO＝2x，
而OC＝OQ，
∴∠C＝2x，
∵∠AOC＝∠APC+∠C，
∴x+2x＝30°，解得x＝10°，
∴∠OCP＝2x＝20°；
如图3，

设∠QPO＝x，
∵PQ＝QO，
∴∠QOP＝∠QPO＝x，
∴∠Q＝180°﹣2x，
∵OQ＝OC，
∴∠C＝180°﹣2x，
∵∠OPQ＝∠C+∠POC，
∴180°﹣2x+30°＝x，解得x＝70°，
∴∠OCP＝180°﹣2×70°＝40°，
综上所述，∠OCP的度数为20°、40°或100°．
故答案为：20°、40°或100°°．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，点E、F分别在BC、CD上，若AE＝，∠EAF＝45°，则AF的长为　2　．

【分析】取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND＝DF，设DF＝DN＝x，则NF＝x，再利用矩形的性质和已知条件证明△AME∽△FNA，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出x的值，在直角三角形ADF中利用勾股定理即可求出AF的长．
【解答】解：取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND＝DF，设DF＝DN＝x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠BAD＝∠B＝90°，AD＝BC＝4，
∴NF＝x，AN＝6﹣x，
∵AB＝2，
∴AM＝BM＝1，
∵AE＝，AB＝2，
∴BE＝1，
∴ME＝＝＝，
∵∠EAF＝45°，
∴∠MAE+∠NAF＝45°，
∵∠MAE+∠AEM＝45°，
∴∠MEA＝∠NAF，
∴△AME∽△FNA，
∴，
∴，
解得x＝2．
∴＝＝2．
故答案为：2．

三．解答题（共10小题）
17．解方程：
（1）（x+1）2﹣9＝0
（2）x2﹣4x﹣45＝0
【分析】（1）根据直接开方法即可求出答案．
（2）根据因式分解法即可求出答案．
【解答】解：（1）∵（x+1）2﹣9＝0，
∴x+1＝±3，
∴x＝2或x＝﹣4．
（2）∵x2﹣4x﹣45＝0，
∴（x﹣9）（x+5）＝0，
∴x＝9或x＝﹣5．
18．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，求a的取值范围．
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a﹣1≠0且△＝（﹣2）2﹣4（a﹣1）＞0，然后解两个不等式得到它们的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得a﹣1≠0且△＝（﹣2）2﹣4（a﹣1）＞0，
解得a＜2且a≠1．
19．某鱼塘中养了某种鱼5000条，为了估计该鱼塘中该种鱼的总质量，从鱼塘中捕捞了3次，取得的数据如下：

数量/条
平均每条鱼的质量/kg
第1次捕捞
20
1.6
第2次捕捞
15
2.0
第3次捕捞
15
1.8
（1）求样本中平均每条鱼的质量；
（2）估计鱼塘中该种鱼的总质量；
（3）设该种鱼每千克的售价为14元，求出售该种鱼的收入y（元）与出售该种鱼的质量x（kg）之间的函数关系，并估计自变量x的取值范围．
【分析】（1）根据平均数的公式求解，
（2）每条鱼的平均质量×总条数＝总质量，
（3）根据题意列出函数表达式即可．
【解答】解：（1）样本中平均每条鱼的质量为（kg）；

（2）估计鱼塘中该种鱼的总质量为1.78×5000＝8900（kg）；

（3）所求函数表达式为y＝14x，
估计自变量x的取值范围为0≤x≤8900．
20．4张相同的卡片分别写有数字﹣1、﹣3、4、6，将这些卡片的背面朝上，并洗匀．
（1）从中任意抽取1张，抽到的数字大于0的概率是　　．
（2）从中任意抽取1张，并将卡片上的数字记作二次函数y＝ax2+bx中的a，再从余下的卡片中任意抽取1张，并将卡片上的数字记作二次函数y＝ax2+bx中的b，利用树状图或表格的方法，求出这个二次函数图象的对称轴在y轴右侧的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，利用一次函数的性质，找出a、b异号的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）从中任意抽取1张，抽到的数字大于0的概率是，
故答案为：；

（2）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中a、b异号有8种结果，
所以这个二次函数的图象的对称轴在y轴右侧的概率为＝．
21．已知二次函数y＝2x2+bx﹣6的图象经过点（2，﹣6），若这个二次函数与x轴交于A．B两点，与y轴交于点C，求出△ABC的面积．
【分析】求出C（0，﹣6）、点A、B的坐标，利用△ABC的面积＝AB×OC，即可求解．
【解答】解：把（2，﹣6）代入函数抛物线表达式得：﹣6＝2×4+2b﹣6，
解得：b＝﹣4，
故抛物线的表达式为：y＝2x2﹣4x﹣6；
故点C（0，﹣6）；
令y＝0，则x＝﹣1或3，
故点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0），
∴△ABC的面积＝AB×OC＝＝12．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE．
（1）求证：直线DF与⊙O相切；
（2）求证：BF＝EF；

【分析】（1）连结OD，根据等腰三角形的性质、平行线的判定定理证明OD∥AB，得到DF⊥AB，得到DF⊥OD，根据切线的判定定理证明；
（2）连接AD，根据等腰三角形的三线合一证明．
【解答】证明：（1）连结OD，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠C，
∴∠ODC＝∠B，
∴OD∥AB，
∵DF⊥AB，
∴DF⊥OD，
∴直线DF与⊙O相切；
（2）连接AD．
∵AC是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，又AB＝AC，
∴BD＝DC，∠BAD＝∠CAD，
∴DE＝DC，
∴DE＝DB，又DF⊥AB，
∴BF＝EF．

23．市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x＝45时，y＝10；x＝55时，y＝90．在销售过程中，每天还要支付其他费用500元．
（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？
【分析】（1）根据y与x成一次函数解析式，设为y＝kx+b，把x与y的两对值代入求出k与b的值，即可确定出y与x的解析式，并求出x的范围即可；
（2）根据利润＝单价×销售量列出W关于x的二次函数解析式即可；
（3）利用二次函数的性质求出W的最大值，以及此时x的值即可．
【解答】解：（1）设y＝kx+b，根据题意得：
，
解得：k＝﹣2，b＝200，
∴y＝﹣2x+200（30≤x≤60）；

（2）W＝（x﹣30）（﹣2x+200）﹣500
＝﹣2x2+260x﹣6500；

（3）W＝﹣2（x﹣65）2+1950，
∵30≤x≤60，
∴x＝60时，w有最大值为1900元，
∴当销售单价为60元时，该公司日获利最大为1900元．
24．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AC于点D、E，BE交AD于点F，AB＝AD．
（1）判断△FDB与△ABC是否相似，并说明理由；
（2）BC＝6，DE＝2，求△BFD的面积．

【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得出BE＝CE，根据等腰三角形的性质得出∠EBC＝∠ECB，∠ABC＝∠ADB，根据相似三角形的判定得出即可；
（2）根据△FDB∽△ABC得出＝＝，求出AB＝2FD，求出AD＝2FD，DF＝AF，根据三角形的面积得出S△AFB＝S△BFD ，S△AEF＝S△EFD，求出△ABC的面积，再根据相似三角形的性质求出答案即可．
【解答】解：（1）相似，
理由是：∵DE是BC垂直平分线，
∴BE＝CE，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵AB＝AD，
∴∠ABC＝∠ADB，
∴△FDB∽△ABC；

（2）∵△FDB∽△ABC，
∴＝＝，
∴AB＝2FD，
∵AB＝AD，
∴AD＝2FD，
∴DF＝AF，
∴S△AFB＝S△BFD ，S△AEF＝S△EFD，
∴S△ABC＝3S△BDE＝3××3×2＝9，
∵△FDB∽△ABC，
∴＝（）2＝（）2＝，
∴S△BFD＝S△ABC＝×9＝．
25．如图①，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC垂足为D，弧AE＝弧AB，BE分别交AD、AC于点F、G．

（1）判断△FAG的形状，并说明理由；
（2）如图②若点E与点A在直径BC的两侧，BE、AC的延长线交于点G，AD的延长线交BE于点F，其余条件不变（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若BG＝26，DF＝5，求⊙O的直径BC．
【分析】（1）首先根据圆周角定理及垂直的定义得到∠BAD+∠CAD＝90°，∠C+∠CAD＝90°，从而得到∠BAD＝∠C，然后利用等弧对等角等知识得到AF＝BF，从而证得FA＝FG，判定等腰三角形；
（2）成立，证明方法同（1）；
（3）由（2）知∠DAC＝∠AGB，推出∠BAD＝∠ABG，得到F为BG的中点根据直角三角形的性质得到AF＝BF＝BG＝13，求得AD＝AF﹣DF＝13﹣5＝8，根据勾股定理得到BD＝＝12，AB＝＝4，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）△FAG等腰三角形；
理由：∵BC为直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠ABE+∠AGB＝90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∵弧AE＝弧AB，
∴∠ABE＝∠ACD，
∴∠DAC＝∠AGB，
∴FA＝FG，
∴△FAG是等腰三角形；
（2）成立；
∵BC为直径，
∴∠BAC＝90°
∴∠ABE+∠AGB＝90°
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∵弧AE＝弧AB，
∴∠ABE＝∠ACD，
∴∠DAC＝∠AGB，
∴FA＝FG，
∴△FAG是等腰三角形；
（3）由（2）知∠DAC＝∠AGB，
且∠BAD+∠DAC＝90°，∠ABG+∠AGB＝90°，
∴∠BAD＝∠ABG，
∴AF＝BF，
又∵AF＝FG，
∴F为BG的中点
∵△BAG为直角三角形，
∴AF＝BF＝BG＝13，
∵DF＝5，
∴AD＝AF﹣DF＝13﹣5＝8，
∴在Rt△BDF中，BD＝＝12，
∴在Rt△BDA中，AB＝＝4，
∵∠ABC＝∠DBA，∠BAC＝∠ADB＝90°
∴△ABC∽△DBA，
∴＝，
∴＝，
∴BC＝，
∴⊙O的直径BC＝．
26．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（0，﹣2），C（1，0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝﹣x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．

【分析】（1）将A，B，C三点代入y＝ax2+bx+c即可；
（2）如图1，过点M作y轴的平行线交AB于点D，M点的横坐标为m，且点M在第三象限的抛物线上，设M点的坐标为（m，m2+m﹣2），﹣2＜m＜0，求出直线AB的解析式，则点D的坐标为（m，﹣m﹣2），即可求出MD的长度，进一步求出△MAB的面积S关于m的函数关系式，由函数的思想即可求出其最大值；
（3）设P（x，x2+x﹣2），分情况讨论，①当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQ∥OB，且PQ＝OB，则Q（x，﹣x），可列出关于x的方程，即可求出点Q的坐标；②当BO为对角线时，OQ∥BP，A与P应该重合，OP＝2，四边形PBQO为平行四边形，则BQ＝OP＝2，Q横坐标为2，即可写出点Q的坐标．
【解答】解：（1）设此抛物线的函数解析式为：y＝ax2+bx+c，
将A（﹣2，0），B（0，﹣2），C（1，0）三点代入，
得，，
解得，，
∴此函数解析式为：y＝x2+x﹣2；

（2）如图1，过点M作y轴的平行线交AB于点D，
∵M点的横坐标为m，且点M在第三象限的抛物线上，
∴设M点的坐标为（m，m2+m﹣2），﹣2＜m＜0，
设直线AB的解析式为y＝kx﹣2，
把A（﹣2，0）代入，
得，k＝﹣1，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x﹣2，
∵MD∥y轴，
∴点D的坐标为（m，﹣m﹣2），
∴MD＝﹣m﹣2﹣（m2+m﹣2）＝﹣m2﹣2m，
∴S△MAB＝S△MDA+S△MDB
＝MD•OA
＝×2（m2﹣2m）
＝﹣m2﹣2m
＝﹣（m+1）2+1，
∵﹣2＜m＜0，
∴当m＝﹣1时，S△MAB有最大值1，
综上所述，S关于m的函数关系式是S＝﹣m2﹣2m（﹣2＜m＜0），S的最大值为1；

（3）设P（x，x2+x﹣2），
①当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQ∥OB，且PQ＝OB，
∴Q的横坐标等于P的横坐标，
又∵直线的解析式为y＝﹣x，
则Q（x，﹣x），
由PQ＝OB，得|﹣x﹣（x2+x﹣2）|＝2，
即|﹣x2﹣2x+2|＝2，
当﹣x2﹣2x+2＝2时，x1＝0（不合题意，舍去），x2＝﹣2，
∴Q（﹣2，2）；
当﹣x2﹣2x+2＝﹣2时，x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣，
∴Q（﹣1+，1﹣）或（﹣1﹣，1+）；
②当BO为对角线时，OQ∥BP，A与P应该重合，OP＝2，四边形PBQO为平行四边形，
则BQ＝OP＝2，Q横坐标为2，
代入y＝﹣x，
得Q（2，﹣2），
综上所述，点Q的坐标为（﹣2，2）或（﹣1+，1﹣）或（﹣1﹣，1+）或（2，﹣2）．