初中数学冀教版八年级上册14.1 平方根教学设计

【教学目标】

1.能说出平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根.

2.知道开平方与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的平方根.

3.知道±表示的是非负数a的平方根.

4.在学习开平方运算求一个数的平方根的过程中，体会开平方运算与平方运算之间的互逆关系.

【重点难点】

重点：平方根的概念和求法.

难点：弄清平方根的意义.

【板书设计】

平方根

一、平方根的概念

二、一个正数有两个平方根，它们互为相反数.0只有一个平方根，是0本身.

负数没有平方根.

【教学目标】

1.了解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根.

2.理解算术平方根与平方根的联系和区别.

3.通过教学过程的参与，培养学生学习的主动性，提高数学表达和运算能力.

4.通过举例使学生明确平方根与算术平方根的区别和联系，发展学生学习数学的能力.

5.通过积极参与获取新知，从中渗透从特殊到一般的观点.在小组活动中发展学生的独立思考能力和竞争意识.

6.通过主动参与使学生勇于面对困难并能够解决困难，发展合作交流意识.

【重点难点】

重点：算术平方根的概念和性质.

难点：对算术平方根意义的理解.

教学过程

设计意图

一、设置问题，导入新课

问：(1)625的平方根是多少？这两个平方根的和是多少？

(2)－7和7是哪个数的平方根？

(3)正数m的平方根怎样表示？

(4)下列各数的平方根各是什么？

①64；②0；③(－0.4)2；④；⑤－16；⑥(－4)3.

让学习成绩下游的同学回答.

答：(1)625的平方根是25和－25.这两个数平方根的和是0.

(2)－7和7是49的平方根.

(3)正数m的平方根表示为±.

(4)①64的平方根是±＝±8.

②0的平方根是0.

③因为(－0.4)2＝0.16，所以它的平方根是±＝±0.4.

④因为＝＝，所以的平方根是±＝±.

⑤因为－16<0，所以－16没有平方根.

⑥因为(－4)3＝－64<0，所以(－4)3没有平方根.

问：已知正方形的面积等于a，那么它的一条边的长等于多少？

答：设正方形一条边的长为x，则x2＝a，根据平方根的定义，x＝±.

因为正方形的边长是正数，所以正方形一条边的长为.

复习巩固平方根知识，为学习算术平方根做准备.

让成绩下游的同学回答，提高他们的学习积极性.

二、师生互动，探究新知

(一)探究平方根与算术平方根的概念

正数a有两个平方根(表示为±)，我们把其中正的平方根，叫做a的算术平方根，表示为.

0的平方根也叫做0的算术平方根，因此0的算术平方根是0，即＝0.

用几何图形可以直观地表示算术平方根的意义，如图所示，面积为a(a应是非负数)、边长为的正方形，边长就表示a的算术平方根.

“”是算术平方根的符号，就表示a的算术平方根.

的意义有两点：

(1)被开方数a表示非负数，即a≥0；

(2)也表示非负数，即≥0.

也就是说，非负数的“算术”平方根是非负数，负数不存在算术平方根，即a<0时，无意义.

如：＝3,8是64的算术平方根，无意义.

这里需要说明的是，算术平方根的符号“”不仅是一个运算符号，如a≥0时，表示对非负数a进行开平方运算，另一方面也是一个性质符号，即表示非负数a的正的开方根.

例如，既表示对9进行开平方运算，也表示9的正的平方根.

通过具体问题引导学生进一步明晰平方根与算术平方根的联系与区别.

让学生在小组间进行必要的合作与交流，以加深学生对平方根及算术平方根意义的理解.

(二)例题精讲

例1　求下列各数的算术平方根：

(1)36；(2)0.01；(3)；(4)(－16)2.

解：(1)因为62＝36，所以36的算术平方根是6，即＝6.

(2)因为(0.1)2＝0.01，所以0.01的算术平方根是0.1，即 ＝0.1.

(3)因为＝，所以的算术平方根是，即＝.

(4)因为(－16)2＝162，所以(－16)2的算术平方根是16，即 ＝16.

注意：100的平方根是10和－10，而其算术平方根是10.

例2　(教材63页例2)计算下列各式：

(1)；(2)－；(3)± ；(4)－.

分析：只要求得一个正数的算术平方根，那么这个数的负的平方根就是它的算术平方根的相反数.

解：(1)因为1.32＝1.69，所以＝1.3.

(2)因为152＝225，所以－＝－15.

(3)因为＝，所以± ＝±.

(4)因为(－17)2＝172，所以－＝－17.

注意：由于正数的算术平方根是正数，零的算术平方根是零，可将它们概括成：非负数的算术平方根是非负数，即当a≥0时，≥0(当a<0时，无意义).

例3　(教材64页例3)

分析：(1)如果设所需篱笆的总长度为xm，怎样列方程？

(2)怎样求出x的值？

例题解的过程主要是给学生提供书写的一般格式，在以后的学习中，可以进一步简化.

明确化简的方法：巩固算术平方根和平方根的有关知识.

体会平方根在应用题中的实际应用，理解实际情境中值的取舍.

三、运用新知，解决问题

1.教材64页“练习”1、2、3.

2.求下列各式的值：

(1)；(2)－；(3)；(4)

学生独立完成，教师统计易出错题目，当堂纠正.

四、课堂小结，提炼观点

平方根和算术平方根是初中代数中的两个重要概念，全面掌握它，就必须分清它们的区别，认清它们之间的联系.

1.平方根和算术平方根的区别

(1)定义不同.

如果x2＝a，那么x叫做a的平方根.

一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根.

如果x2＝a，并且x≥0，那么x叫做a的算术平方根.

一个正数的算术平方根只有一个，非负数的算术平方根一定是非负数.

(2)表示方法不同.

正数a的平方根，表示为±.正数a的算术平方根为.

(3)平方根等于本身的数是0，算术平方根等于本身的数是0和1.

2.平方根和算术平方根的联系

(1)二者有包含关系：平方根中包含算术平方根，算术平方根是平方根中的非负的那一个.

(2)存在条件相同，非负数才有平方根和算术平方根.

(3)零的平方根和零的算术平方根都是零.

五、布置作业，巩固提升

必做题：教材65页“习题”A组.

选做题：教材65页“习题”B组.

分层布置作业，易于提高全体同学的学习积极性.

　【板书设计】

算术平方根

一个正数的两个平方根互为相反数，我们把一个正数a的正的平方根叫做a的算术平方根.