专题02 中点模型巩固练习（提优）-2021年中考几何专项复习（含答案）

这是一份专题02 中点模型巩固练习（提优）-2021年中考几何专项复习（含答案），共11页。
【解答】见解析
【解析】如图，连接CF.
∵AC＝CE，F为AE的中点，∴CF⊥AE，∴∠AFD＋∠DFC＝90º，
∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD，AB⊥CE，∠ABC＝∠BAD＝90º，
在Rt△ABE中，∵F为AE的中点，∴BF＝AF，∴∠FBA＝∠FAB，
∴∠FAB＋∠BAD＝∠FBA＋∠ABC，即∠FBC＝∠FAD，
又∵AD＝BC，FA＝FB，∴△FBC≌△FAD，∴∠AFD＝∠BFC，
∴∠BFD＝∠BFC＋∠DFC＝∠AFD＋∠DFC＝90º，∴BF⊥FD.
2.如图，在梯形ABCD中，∠B＋∠C＝90º，EF是两底中点的连线，求证：BC－AD＝2EF.
【解答】见解析
【解析】如图，过点E作EM∥AB交BC于点M，EN∥DC交NC于点N.
∵四边形ABCD是梯形，∴AD∥BC，∴四边形ABME和四边形DCNE为平行四边形，∴BM＝AE，CN＝DE，
∵E、F分别为AD、BC的中点，∴AE＝ED，BF＝CF，∴FM＝FN，
∵EM∥AB，EN∥DC，∴∠EMN＋∠B，∠ENM＝∠C，
又∵∠B＋∠C＝90º，∴∠EMN＋∠ENM＝90º，即∠MEN＝90º，∴EF＝MN，
∴EF＝[BC－（BM＋NC）]＝（BC－AD），即BC－AD＝2EF.
3.如图，在△ABC中，∠BAC＝90º，AB＝AC，AD＝CD，AF⊥BD于点E交BC于点F，求证：BF＝2FC.
【解答】见解析
【解析】如图，过点C作CN⊥BD交BD的延长线于点N.
∵AE⊥BD，∴∠AED＝∠N，
∵AD＝CD，∠ADE＝∠CDN，∴△ADE≌△CDN（AAS），∴DE＝DN，
∵AF⊥BD，CN⊥BD，∴AF∥CN，∴，
∵∠BAC＝90º，AE⊥BD，∴△ABE∽△DBA，∴，即，
同理可证，∴，
∵AB＝AC＝2AD，，又∵DN＝DE，，
∴，∴BF＝2FC.
4.如图，在四边形ABCD中，E为AB上的一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，试判断四边形PQMN的形状.
【解答】四边形PQMN为菱形
【解析】如图，连接AC、BD.
∵△ADE和△BCE都是等边三角形，∴∠AEC＝120º，∠BED＝120º，∴∠AEC＝∠BED，
又∵EA＝ED，EC＝EB，∴△AEC≌△DEB，∴AC＝BD，
又∵P、Q、M、N分别是AB、BC、CD、DA的中点，∴PNBD，QMBD，
∴PNQM，∴四边形PQMN是平行四边形，
又∵PN＝BD，MN＝AC，∴MN＝PN，∴四边形PQMN是菱形.
5.如图，P是圆O外的一点，过P点引两条割线PAB、PCD，点M、N分别是、的中点，连接MN分别交AB、CD于点E、F.
（1）求证：△PEF是等腰三角形；
（2）若点P在圆上或圆内，其他条件不变，结论还能成立吗？
【解答】（1）见解析；（2）结论依然成立，理由见解析
【解析】（1）如图，证明：连接OM、ON，分别交AB、CD于点G、H.
∵点M、N分别是、的中点，∴OM⊥AB，ON⊥CD，即∠MGE＝∠NHF＝90º，
又∵OM＝ON，∴∠M＝∠N，∴∠MEG＝∠NFH，
∵∠MEG＝∠PEF，∠NFH＝∠PFE，∴∠PEF＝∠PFE，∴PE＝PF，即△PEF是等腰三角形；
（2）如图1，当点P在圆上时，连接OM、ON，分别交AB、CD于点G、H.
∵OM＝ON，∴∠OMN＝∠ONM，
又∵点M、N分别是、的中点，∴∠MGE＝∠NHF＝90º，∴∠MEG＝∠NFH，
∵∠MEG＝∠PEF，∠NFH＝∠PFE，∴∠PEF＝∠PFE，∴PE＝PF，即△PEF是等腰三角形；
如图2，当点P在圆内时，连接OM、ON，分别交AB、CD于点G、H.
∵OM＝ON，∴∠OMN＝∠ONM，
又∵点M、N分别是、的中点，∴∠MGE＝∠NHF＝90º，∴∠MEG＝∠NFH，
∵∠MEG＝∠PEF，∠NFH＝∠PFE，∴∠PEF＝∠PFE，∴PE＝PF，即△PEF是等腰三角形；
6.半径为1的半圆形纸片，按如图方式沿AB折叠，使折叠后半圆弧的中点M与圆心O重合，求图中阴影部分面积？
【解答】
【解析】如图，连接OM交AB于点C，连接OA、OB.
由题意可得OM⊥AB，且OC＝MC＝，
在Rt△AOC中，∵OA＝1，OC＝，，
∴∠AOC＝60º，AB＝2AC＝，∴∠AOB＝2∠AOC＝120º，
则，
.
7．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AC平分∠DAB，E、F分别为对角线AC、DB的中点，且EF＝4．求这个梯形的面积．
【解答】483
【解析】∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠DAB＝∠ABC＝60°，DC∥AB，
∴∠DCA＝∠CAB，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB=12∠DAB＝30°，∠DCA＝∠DAC，
∴∠ACB＝90°，AD＝DC＝BC，
∴AB＝2BC＝2CD，
设CD＝a，则AB＝2a，
连接DE，并延长DE交AB于M，
∵在△DEC和△MEA中
∠DCE=∠MAECE=AE∠DEC=∠MEA，
∴△DEC≌△MEA（ASA），
∴DC＝AM＝a，DE＝EM，
∵DF＝BF，
∴EF=12BM=12（AB﹣AM），
∵EF＝4，
∴4=12（2a﹣a），
a＝8，
即BC＝AD＝DC＝8，AB＝16，
过C作CN⊥AB于N，
∵BC＝8，∠ABC＝60°，
∴∠BCN＝30°，
∴BN=12BC＝4，由勾股定理得：CN＝43，
∴梯形的面积=12（DC+AB）×CN=12×（8+16）×43=483．
8．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D为斜边BC中点，DE⊥DF，求证：EF2＝BE2+CF2．
【解答】见解析
【解析】证明：延长ED到G，使DG＝DE，连接EF、FG、CG，如图所示：
在△EDF和△GDF中
DF=DF∠EDF=∠FDG=90°DG=DE，
∴△EDF≌△GDF（SAS），
∴EF＝FG
又∵D为斜边BC中点
∴BD＝DC
在△BDE和△CDG中，
BD=DC∠BDE=∠CDGDE=DG，
∴△BDE≌△CDG（SAS）
∴BE＝CG，∠B＝∠BCG
∴AB∥CG
∴∠GCA＝180°﹣∠A＝180°﹣90°＝90°
在Rt△FCG中，由勾股定理得：
FG2＝CF2+CG2＝CF2+BE2
∴EF2＝FG2＝BE2+CF2．
9．半径为2.5的⊙O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P．已知BC：CA＝4：3，点P在AB上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q．
（1）当点P与点C关于AB对称时，求CQ的长；
（2）当点P运动到AB的中点时，求CQ的长；
（3）当点P运动到什么位置时，CQ取到最大值？求此时CQ的长．
【解答】（1）325；（2）1423；（3）当PC过圆心O，即PC取最大值5时，CQ最大值为203．
【解析】（1）当点P与点C关于AB对称时，CP⊥AB，设垂足为D．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°．
∴AB＝5，又∵BC：CA＝4：3，
∴BC＝4，AC＝3．
又∵12AC•BC=12AB•CD
∴CD=125，PC=245
在Rt△ACB和Rt△PCQ中，
∠ACB＝∠PCQ＝90°，∠CAB＝∠CPQ，
Rt△ACB∽Rt△PCQ
∴ACBC=PCCQ，
∴CQ=BC⋅PCAC=43PC=325．
（2）当点P运动到弧AB的中点时，过点B作BE⊥PC于点E（如图）．
∵P是弧AB的中点，
∴∠PCB＝45°，CE＝BE=22BC＝22
又∠CPB＝∠CAB
∴tan∠CPB＝tan∠CAB=43
∴PE=BEtan∠CPB=34BE=322，PC=722
而从（1）中得，CQ=43PC=1423．
（3）点P在弧AB上运动时，恒有CQ=BC⋅PCAC=43PC；
故PC最大时，CQ取到最大值．
当PC过圆心O，即PC取最大值5时，CQ最大值为203．
10．如图已知▱ABCD中，E为AD的中点，CE的延长线交BA的延长线于点F
（1）CD与FA相等吗？为什么？
（2）若使∠F＝∠BCF，▱ABCD的边长之间还需要再添加一个什么条件？请你补上这个条件并说明理由．
【解答】（1）见解析；（2）见解析
【解析】（1）CD＝FA．
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∵∠D＝∠EAF，
∵E为AD的中点，
即DE＝AE，
∴在△CDE和△FAE中，
∠D=∠EAFDE=AE∠CED=∠FEA，
∴△CDE≌△FAE（ASA），
∴CD＝FA．
（2）要使∠F＝∠BCF，需平行四边形ABCD的边长之间是2倍的关系，即BC＝2AB，
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，
∵CD＝AF，
∴AB＝AF，
∴BF＝AB+AF＝2AB，
∵BC＝2AB，
∴BC＝BF，
∴∠F＝∠BCF．
11．如图，在直角△ABC中，D为斜边AB的中点，DE⊥DF，而E、F分别在AC和BC上，连结EF．观察AE、EF、BF能不能组成直角三角形．写出你的结论并说明理由．
【解答】能组成直角三角形，斜边为EF
【解析】如图，延长FD到F′，使DF′＝DF，连接AF′、EF′，
∵D为斜边AB的中点，
∴AD＝BD，
在△ADF′和△BDF中，
AD=BD∠ADF'=∠BDFDF'=DF，
∴△ADF′≌△BDF（SAS），
∴AF′＝BF，∠B＝∠DAF′，
∵∠BAC+∠B＝90°，
∴∠BAC+∠DAF′＝∠BAC+∠B＝90°，
即∠EAF′＝90°，
又∵DE⊥DF，
∴EF′＝EF，
∴△EAF′是以EF′为斜边的直角三角形，
故AE、EF、BF能组成直角三角形，斜边为EF．