初中数学北师大版九年级上册6 应用一元二次方程导学案

这是一份初中数学北师大版九年级上册6 应用一元二次方程导学案，共25页。学案主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一元二次方程
一、选择题
1. （ 天津市3分）若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x1,x2，且x1≠x2，有下列结论：
①x1=2，x2=3； ②；
③二次函数y=（x－x1）（x－x2）＋m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．
其中，正确结论的个数是【 】
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
【答案】C。
【考点】抛物线与x轴的交点，一元二次方程的解，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。
【分析】①∵一元二次方程实数根分别为x1、x2，
∴x1=2，x2=3，只有在m=0时才能成立，故结论①错误。
②一元二次方程（x－2）（x－3）=m化为一般形式得：x2－5x＋6－m=0，
∵方程有两个不相等的实数根x1、x2，∴△=b2－4ac=（－5）2－4（6－m）=4m＋1＞0，
解得：。故结论②正确。
③∵一元二次方程x2－5x＋6－m=0实数根分别为x1、x2，∴x1＋x2=5，x1x2=6－m。
∴二次函数y=（x－x1）（x－x2）+m=x2－（x1＋x2）x＋x1x2＋m=x2－5x＋（6－m）＋m
=x2－5x＋6=（x－2）（x－3）。
令y=0，即（x－2）（x－3）=0，解得：x=2或3。
∴抛物线与x轴的交点为（2，0）或（3，0），故结论③正确。
综上所述，正确的结论有2个：②③。故选C。
2. （ 广东佛山3分）用配方法解一元二次方程x2－2x－3=0时，方程变形正确的是【 】　　　　
A．（x－1）2=2 B．（x－1）2=4 C．（x－1）2=1 D．（x－1）2=7
【答案】B。
【考点】用配方法解一元二次方程。
【分析】由x2－2x－3=0移项得：x2－2x=3，两边都加上1得：x2－2x＋1=3＋1，即（x－1）2=4。
则用配方法解一元二次方程x2－2x－3=0时，方程变形正确的是（x－1）2=4。故选B。
3. （ 江苏淮安3分）方程的解为【 】
A、 B、 C、 D、
【答案】D。
【考点】方程的解，因式分解法解一元二次方程。
【分析】解出方程与所给选项比较即可：
。故选D。
4. （ 福建莆田4分）方程的两根分别为【 】
A．＝－1，＝2 B．＝1，＝2 C．＝―l，＝－2 D．＝1，＝－2
【答案】D。
【考点】因式分解法解一元二次方程。
【分析】（x－1）（x＋2）=0，可化为：x－1=0或x＋2=0，解得：x1=1，x2=－2。故选D。
5. （ 湖北武汉3分）若x1、x2是一元二次方程x2－3x＋2＝0的两根，则x1＋x2的值是【 】
A．－2 B．2 C．3 D．1
【答案】C。
【考点】一元二次方程根与系数的关系。
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝3。故选C。
6. （ 湖北荆门3分）用配方法解关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3=0，配方后的方程可以是【 】
A．（x﹣1）2=4 B．（x+1）2=4 C．（x﹣1）2=16 D．（x+1）2=16
【答案】A。
【考点】配方法。
【分析】把方程x2﹣2x﹣3=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣2x=3，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣2x+1=3+1，
即（x﹣1）2=4。故选A。
7. （ 湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分）如果关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根x1，x2满足x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=0，那么a的值为【 】
A．3 B．﹣3 C．13 D．﹣13
【答案】B。
【考点】一元二次方程根与系数的关系。
【分析】∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根，
∴x1+x2=﹣4，x1x2=a。
∴x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=x1x2﹣2（x1+x2）﹣5=a﹣2×（﹣4）﹣5=0，即a+3=0，
解得，a=﹣3。故选B。
8. （ 湖北荆州3分）用配方法解关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3=0，配方后的方程可以是【 】
A．（x﹣1）2=4 B．（x+1）2=4 C．（x﹣1）2=16 D．（x+1）2=16
【答案】A。
【考点】配方法。
【分析】把方程x2﹣2x﹣3=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣2x=3，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣2x+1=3+1，
即（x﹣1）2=4。故选A。
9. （ 湖北襄阳3分）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是【 】
A．k＜ B．k＜且k≠0 C．﹣≤k＜ D．﹣≤k＜且k≠0
【答案】D。
【考点】一元二次方程定义和根的判别式，二次根式有意义的条件。
【分析】由题意，根据一元二次方程二次项系数不为0定义知： k≠0；根据二次根式被开方数非负数的条件得：2k+1≥0；根据方程有两个不相等的实数根，得△=2k+1﹣4k＞0。三者联立，解得﹣≤k＜且k≠0。
故选D。　
10. （ 湖南常德3分）若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是【 】
A. B. C. D.
【答案】B。
【考点】一元二次方程根的判别式。
【分析】由一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的取值范围：
∵一元二次方程有实数解，
∴△=b2－4ac=22－4m≥0，解得：m≤1。
∴m的取值范围是m≤1。故选B。
11. （ 湖南株洲3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=﹣2，则b与c的值分别为【 】
　　A．b=﹣1，c=2　　B．b=1，c=﹣2　　C．b=1，c=2　　D．b=﹣1，c=﹣2
【答案】D。
【考点】一元二次方程根与系数的关系。
【分析】∵关于x的一元二次方程x2﹣bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=﹣2，
∴x1+x2=b=1+（﹣2）=﹣1，x1•x2=c=1×（﹣2）=﹣2。
∴b=﹣1，c=﹣2。故选D。
12. （ 四川攀枝花3分）已知一元二次方程：x2﹣3x﹣1=0的两个根分别是x1、x2，则x12x2+x1x22的值为【 】
　 A． ﹣3 B． 3 C． ﹣6 D． 6
【答案】A。
【考点】一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值。
【分析】由一元二次方程：x2﹣3x﹣1=0的两个根分别是x1、x2，
根据一元二次方程根与系数的关系得，x1+x2=3，x1x2=―1，
∴x12x2＋x1x22=x1x2（x1＋x2）=（－1）·3=－3。故选A。
13. （ 四川广安3分）已知关于x的一元二次方程（a﹣l）x2﹣2x+l=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是【 】
A．a＞2 B．a＜2 C．a＜2且a≠l D．a＜﹣2
【答案】C。
【考点】一元二次方程根的判别式，一元二次方程定义。
【分析】利用一元二次方程根的判别式列不等式，解不等式求出a的取值范围，结合一元二次方程定义作出判断：
∵由△=4﹣4（a﹣1）=8﹣4a＞0解得：a＜2。
又根据一元二次方程二次顶系数不为0的定义，a﹣1≠0，∴a＜2且a≠1。故选C。
14. （ 四川泸州2分）若关于x的一元二次方程x2 －4x + 2k = 0有两个实数根，则k的取值范围是【 】
A、k≥2 B、k≤2 C、k＞-2 D、k＜-2
【答案】B。
【考点】一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式。
【分析】由于已知方程有两个实数根，根据一元二次方程的根与判别式的关系，建立关于k的不等式，解不等式即可求出k的取值范围：
∵a＝1，b＝－4，c＝2k，且方程有两个实数根，
∴△＝b2－4ac＝16－8k≥0，解得，k≤2。故选B。
15. （ 四川南充3分）方程x（x-2）+x-2=0的解是【 】
（A）2　　（B）-2,1　　（C）－1　（D）2,－1
【答案】D。
【考点】因式分解法解一元二次方程。
【分析】先利用提公因式因式分解，再化为两个一元一次方程，解方程即可：
由x（x﹣2）+（x-2）=0，得（x-2）（x+1）=0，∴x-2=0或x+1=0，
∴x1=2，x2=-1。故选D。
16. （ 贵州安顺3分）已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0的一个根，则m的值是【 】
　 A． 1 B． ﹣1 C． 0 D． 无法确定
【答案】B。
【考点】一元二次方程的解，一元二次方程的定义。
【分析】根据题意得：（m﹣1）+1+1=0，解得：m=﹣1。故选B。
17. （ 山东东营3分）方程有两个实数根，则k的取值范围是【 】．
A． k≥1 B． k≤1 C． k>1 D． k且k≠2 (B)k≥且k≠2 (C) k >且k≠2 (D)k≥且k≠2
【答案】C。
【考点】一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义。
【分析】∵方程为一元二次方程，∴k－2≠0，即k≠2。
∵方程有两个不相等的实数根，∴△＞0，
∴（2k＋1）2－4（k－2）2＞0，即（2k＋1－2k＋4）（2k＋1＋2k－4）＞0，
∴5（4k－3）＞0，k＞。
∴k的取值范围是k＞且k≠2。故选C。
21. （ 山东烟台3分）下列一元二次方程两实数根和为﹣4的是【 】
　　A．x2+2x﹣4=0　　B．x2﹣4x+4=0　　C．x2+4x+10=0　　D．x2+4x﹣5=0
【答案】D。
【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。
【分析】根据一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，要使方程的两实数根和为﹣4，必须方程根的判别式△=b2﹣4ac≥0，且x1+x2=﹣=﹣4。据此逐一作出判断：
　 A．x2+2x﹣4=0：△=b2﹣4ac=20＞0，x1+x2=﹣=﹣2，所以本选项不合题意；
B．x2﹣4x+4=0：△=b2﹣4ac=0，x1+x2=﹣=4，所以本选项不合题意；
C．x2+4x+10=0：△=b2﹣4ac=﹣28＜0，方程无实数根，所以本选项不合题意；
D．x2+4x﹣5=0：b2﹣4ac=36＞0，，x1+x2=﹣=﹣4，所以本选项符号题意。
故选D。
22. （ 广西桂林3分）关于x的方程x2－2x＋k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是【 】
A．k＜1 B．k＞1 C．k＜－1 D．k＞－1
【答案】A。
【考点】一元二次方程根的判别式。
【分析】∵关于x的方程x2-2x+k=0有两个不相等的实数根，∴△＞0，即4－4k＞0，k＜1。故选A。
23. （ 广西河池3分）一元二次方程的根的情况是【 】
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．无实数根
【答案】D。
【考点】一元二次方程根的判别式。
【分析】∵中，a=1，b=2，c=2，
∴△。
∴无实数根。故选D。
24. （ 广西来宾3分）已知关于x的一元二次方程x2+x+m=0的一个实数根为1，那么它的另一个实数根是【 】
A．－2 B．0 C．1 D．2
【答案】A。
【考点】一元二次方程要挟与系数的关系。
【分析】设方程的另一个实数根为x，则根据一元二次方程要挟与系数的关系，得x＋1=－1，解得x=－2。
故选A。
25. （ 广西柳州3分）你认为方程x2＋2x－3=0的解应该是【 】
A．1 　　　　　　B．-3 　　　　　　C．3 　　　　　　D．1或-3
【答案】D。
【考点】因式分解法解一元二次方程。
【分析】利用因式分解法，原方程可变为（x+3）（x-1）=0，即可得x+3=0或x-1=0，解得：x1=-3，x2=1。
故选D。
26. （ 河北省3分）用配方法解方程x2+4x+1=0，配方后的方程是【 】
A．（x＋2）2=3 B．（x－2）2=3 C．（x－2）2=5 D．（x+2）2=5
【答案】A。
【考点】配方法解一元二次方程。
【分析】把方程x2+4x+1=0的常数项移到等号的右边，得到x2＋4x=－1，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2＋4x＋4=－1＋4，
∴（x＋2）2=3 。故选A。
27. （ 江西南昌3分）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根，则a的值是【 】
　 A． 1 B． ﹣1 C． D． ﹣
【答案】B。
【考点】一元二次方程根的判别式。
【分析】∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根，∴△=22+4a=0，解得a=﹣1。故选B。28. （ 江西南昌3分）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根，则a的值是【 】
　 A． 1 B． ﹣1 C． D． ﹣
【答案】B。
【考点】一元二次方程根的判别式。
【分析】∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根，∴△=22+4a=0，解得a=﹣1。故选B。29. （ 内蒙古呼和浩特3分）已知：x1，x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，且x1+x2=3，x1x2=1，则a、b的值分别是【 】
A．a=﹣3，b=1 B．a=3，b=1 C．，b=﹣1 D．，b=1
【答案】D。
【考点】一元二次方程根与系数的关系。
【分析】∵x1，x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，∴x1+x2=﹣2a，x1x2=b，
∵x1+x2=3，x1x2=1，∴﹣2a=3，b=1，解得，b=1。故选D。　
30. （ 内蒙古包头3分）关于x的一元二次方程的两个正实数根分别为x1，x2，且2x1+x2=7，则m的值是【 】
A.2 B. 6 C. 2或6 D . 7
【答案】B。
【考点】一元二次方程根与系数的关系，解不等式和一元二次方程。
【分析】∵方程有两个正实数根，
∴。
又∵2x1+x2=7，∴x1=7－m。
将x1=7－m代入方程，得。
解得m=2或m=6。
∵，∴m=6。故选B。
二、填空题
1. （ 北京市4分）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是 ▲ ．
【答案】－1。
【考点】一元二次方程根的判别
【分析】根据方程有两个相等的实数根，判断出根的判别式为0，据此求出m的值即可：
∵关于x的方程x2-2x-m=0有两个相等的实数根，∴△=0，
∴（－2）2－4×1×（－m）=0，解得m=－1。
2. （ 上海市4分）如果关于x的一元二次方程x2﹣6x+c=0（c是常数）没有实根，那么c的取值范围是 ▲ ．
【答案】c＞9。
【考点】一元二次方程根的判别式。
【分析】∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+c=0（c是常数）没有实根，
∴△=（﹣6）2﹣4c＜0，即36﹣4c＜0，c＞9。
3. （ 广东广州3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个相等的实数根，则k值为
　 ▲ 　．
【答案】3。
【考点】一元二次方程根的判别式。
【分析】∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个相等的实数根，
∴△=（﹣2）2﹣4k=0，解得k=3。
4. （ 江苏镇江2分）若，则x= ▲ 。
【答案】±3。
【考点】解一元二次方程。
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的一个平方根：
∵（±3）2=9，∴x=±3。
5. （ 江苏常州2分）已知关于x的方程的一个根是2，则m= ▲ ，另一根为
▲ 。
7. （ 湖北随州4分）设，且1－ab2≠0，则= ▲ .
【答案】。
【考点】解一元二次方程，求代数式的值。
【分析】解得，
解得。
∵，∴。
又∵1－ab2≠0，∴。∴。∴。
∴。
8. （ 湖北鄂州3分）设x1、x2是一元二次方程x2＋5x－3=0的两个实根，且，则a= ▲ .
【答案】10。
【考点】一元二次方程的解和根与系数的关系。
【分析】∵x1、x2是一元二次方程x2＋5x－3=0的两个实根，∴x22＋5x2－3=0，x1x2=－3。
又∵，即，即。
∴，即，解得a=10。
9. （ 湖南张家界3分）已知m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根，则= ▲ ．
【答案】。
【考点】一元二次方程根与系数的关系，代数式化简。
【分析】∵m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根， ∴。
∴。
2. （ 湖南岳阳3分）若关于x的一元二次方程kx2+2（k+1）x+k﹣1=0有两个实数根，则k的取值范围是 　 ▲ 　．
【答案】k≥，且k≠0。
【考点】一元二次方程根的判别式。
【分析】若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．还要注意二次项系数不为0：
∵a=k，b=2（k+1），c=k﹣1，
∴△=[2（k+1）]2﹣4×k×（k﹣1）=8k+6≥0，解得：k≥。
∵原方程是一元二次方程，∴k≠0。
∴k的取值范围是：k≥，且k≠0。
10. （ 四川资阳3分）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ▲ ．
【答案】k＜且k≠0。
【考点】一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义。
【分析】根据一元二次方程kx2-x+1=0有两个不相等的实数根，知△=b2－4ac＞0，然后据此列出关于k的方程，解方程，结合一元二次方程的定义即可求解：
∵有两个不相等的实数根，
∴△=1－4k＞0，且k≠0，解得，k＜且k≠0。
11. （ 四川泸州3分）设x1,x2是一元二次方程x2 – 3x – 1 =0的两个实数根，则的值为 ▲
【答案】7。
【考点】一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值。
【分析】∵x1,x2是一元二次方程x2 – 3x – 1 =0的两个实数根，∴x1＋x2=3，x1•x2=－1。
∴。
12. （ 辽宁朝阳3分）一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围为
▲ 。
【答案】a＜且a≠0。
【考点】一元二次方程根的判别式，一元二次方程定义。
【分析】∵方程有两个不相等的实数根，∴△＞0，即4－16a＞0，解得a＜。 ∵程是一元二次方程，∴a≠0。
∴a的取值范围为a＜且a≠0。
13. （ 辽宁大连3分）如果关于x的方程x2+kx+9=0有两个相等的实数根，那么k的值为 ▲ 。
 【答案】±6。
【考点】一元二次方程根的判别式，解一元二次方程。
【分析】∵关于x的方程x2+kx+9=0有两个相等的实数根，∴△=k2－4·1·9=0。解得k=±6。
14. （ 贵州铜仁4分）一元二次方程的解是 ▲ ．
【答案】x1=3，x2=﹣1。
【考点】因式分解法解一元二次方程。
【分析】原方程可化为：（x﹣3）（x+1）=0，得x﹣3=0或x+1=0，∴x1=3，x2=﹣1。
15. （ 山东滨州4分）方程x（x﹣2）=x的根是 ▲ ．
【答案】0，3。
【考点】因式分解法解一元二次方程。
【分析】原方程可化为x（x﹣2）﹣x=0，
x（x﹣2﹣1）=0，
x=0或x﹣3=0，
解得：x1=0，x2=3。
16. （ 山东德州4分）若关于x的方程ax2＋2（a＋2）x＋a=0有实数解，那么实数a的取值范围是　 ▲ 　．
【答案】a≥－1。
【考点】一元一次方程和一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式。
【分析】当a=0时，方程是一元一次方程，有实数根，
当a≠0时，方程是一元二次方程，
若关于x的方程ax2＋2（a＋2）x＋a=0有实数解，则△=[2（a+2）]2－4a•a≥0，解得：a≥－1。
∴若关于x的方程ax2＋2（a＋2）x＋a=0有实数解，那么实数a的取值范围是a≥－1。
17. （ 山东聊城3分）一元二次方程x2﹣2x=0的解是　 ▲ 　．
【答案】x1=0，x2=2。
【考点】因式分解法解一元二次方程。
【分析】对方程左边进行变形，提取公因式x，可得x（x﹣2）=0，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0．”，即可求得方程的解：x1=0，x2=2。
18. （ 山东日照4分）已知x1、x2是方程2x2+14x－16=0的两实数根，那么的值为 ▲ .
【答案】。
【考点】一元二次方程根与系数的关系，代数式化简。
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求得x1＋x2和x1•x2的值，然后将所求的代数式转化为含有x1＋x2和x1•x2形式，并将其代入求值即可：
∵x1、x2是方程2x2+14x－16=0的两实数根，∴x1＋x2=－7，x1•x2=－8。
∴。
19. （ 山东威海3分）若关于x的方程的两根互为倒数，则a= ▲ .
【答案】－1。
【考点】一元二次方程根与系数的关系，倒数。
【分析】∵关于x的方程的两根互为倒数，∴设两根为x和。
则根据一元二次方程根与系数的关系，得。
由得。
但当时，无意义。
∴a=－1。
20. （ 山东枣庄4分）已知关于x的方程的一个根为2，则这个方程的另一个根是
　　▲　　．
【答案】－3。
【考点】一元二次方程根与系数的关系。
【分析】∵方程的一个根为2，设另一个为a，∴2a=－6，解得：a=－3。
21. （ 广西柳州3分）一元二次方程3x2＋2x－5=0的一次项系数是 ▲ ．
【答案】2。
【考点】一元二次方程的一般形式。
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），其中a，b，c分别叫二次项
系数，一次项系数，常数项。因此，一元二次方程3x2＋2x－5=0的一次项系数是2。
22. （ 江西省3分）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根，则m的值是　 ▲ 　
【答案】﹣1。
【考点】一元二次方程根的判别式。
【分析】∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根，∴△=22+4m=0，解得m=﹣1。
23. （ 吉林省3分）若方程，的两个根为，则=_ ▲____.
【答案】1。
【考点】解一元二次方程，求代数式的值。
【分析】∵，
∴。
24. （ 黑龙江绥化3分）设a，b是方程x2＋x－2013=0的两个不相等的实数根，则a2＋2a＋b的值为
▲
【答案】 。
【考点】一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解。
【分析】∵a，b是方程x2＋x－2013=0的两个不相等的实数根，∴a2＋a－2013=0，即a2＋a=2013
又∵a＋b=－1，∴a2＋2a＋b=（a2＋a）＋（a＋b）=2013－1= 。
三、解答题
1. （ 安徽省8分）解方程：
【答案】解：原方程化为：x2－4x=1
配方，得x2－4x+4=1+4
整理，得（x－2）2=5
∴x－2=,即，。
【考点】解一元二次方程
【分析】根据一元二次方程的几种解法，本题不能直接开平方，也不可用因式分解法.先将方程整理一下，可以考虑用配方法或公式法。
2. （ 广东珠海6分）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0．
（1）当m=3时，判断方程的根的情况；
（2）当m=﹣3时，求方程的根．
【答案】解：（1）∵当m=3时，△=b2﹣4ac=22﹣4×3=﹣8＜0，
∴原方程无实数根。
（2）当m=﹣3时，原方程变为x2+2x﹣3=0，
∵（x﹣1）（x+3）=0，∴x﹣1=0，x+3=0。
∴x1=1，x2=﹣3。
【考点】一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程。
【分析】（1）判断一元二次方程根的情况，只要看根的判别式△=b2－4ac的值的符号即可判断：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根。
（2）把m的值代入方程，用因式分解法求解即可。
3. （ 浙江温州5分）解方程：x²－2x=5
【答案】解：配方得（x－1）2=6
∴x－1=± 。
∴x1=1＋，x2=1－。
【考点】配方法解一元二次方程。
【分析】方程两边同时加上1，左边即可化成完全平方式的形式，然后进行开方运算，转化成两个一元一次方程，即可求解。
4. （ 江苏无锡4分）解方程：x2﹣4x+2=0
【答案】解：∵△=42﹣4×1×2=8，∴，
∴原方程的解为。
【考点】公式法解一元二次方程。
【分析】首先找出方程中得a、b、c，再根据公式法求出b2﹣4ac的值，用公式计算，即可得到答案。
5. （ 湖北孝感12分）已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0．
(1)求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
(2)若x1、x2是原方程的两根，且|x1－x2|＝2，求m的值和此时方程的两根．
【答案】解：（1）证明：由关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0得
△=（m+3）2－4（m+1）=（m+1）2+4，
∵无论m取何值，（m+1）2＋4恒大于0，
∴原方程总有两个不相等的实数根。
（2）∵x1，x2是原方程的两根，∴x1+x2=－（m+3），x1•x2=m+1。
∵|x1－x2|＝2， ∴（x1－x2）2=8，即（x1＋x2）2－4x1x2=8。
∴[－（m+3）]2－4（m+1）=8，即m2＋2m－3=0。
解得：m1=－3，m2=1。
当m=－3时，原方程化为：x2－2=0，解得：x1= ，x2=－。
当m=1时，原方程化为：x2＋4x＋2=0，解得：x1=－2+ ，x2=－2－。
【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。
【分析】（1）根据关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0的根的判别式△=b2－4ac的符号来判定该方程的根的情况。
（2）根据根与系数的关系求得x1＋x2和x1•x2，由已知条件|x1－x2|＝2平方后可以得到关于x1＋x2和x1•x2的等式，从而列出关于m的方程，通过解该方程即可求得m的值，最后将m值代入原方程并解方程。
6. （ 湖北鄂州8分）关于x的一元二次方程.
（1）证明：方程总有两个不相等的实数根；
（2）设这个方程的两个实数根为x1，x2，且｜x1｜=｜x2｜－2，求m的值及方程的根。
【答案】解：（1）证明：∵关于x的一元二次方程中，

∴方程总有两个不相等的实数根。
（2）∵这个方程的两个实数根为x1，x2，∴x1＋x2=m－3，x1x2= 。
∵｜x1｜=｜x2｜－2，∴｜x2｜－｜x1｜=2。
两边平方，得，即。
∴，即，解得或。
当时，方程为，解得。
当时，方程为，解得。
【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解一元二次方程。
【分析】（1）只要证得即可。
（2）由根与系数的关系，得x1＋x2=m－3，x1x2= 。将｜x1｜=｜x2｜－2变形，平方，求出m的值。根据m的不同值得方程求解即可。
7. （ 湖南永州6分）解方程：（x﹣3）2﹣9=0．
【答案】解：移项得：（x﹣3）2=9，
开平方得：x﹣3=±3，
则x﹣3=3或x﹣3=﹣3，
解得：x1=6，x2=0。
【考点】直接开平方法解一元二次方程。
【分析】这个式子先移项，变成（x﹣3）2=9，从而把问题转化为求9的平方根（也可用因式分解法求解）。　
8. （ 湖南怀化10分）已知是一元二次方程的两个实数根.
（1）是否存在实数a，使成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；
（2）求使为负整数的实数a的整数值.
【答案】解：（1）成立。
∵是一元二次方程的两个实数根，
∴由根与系数的关系可知，；
∵一元二次方程有两个实数根，
∴△=4a2－4（a－6）•a≥0，且a-6≠0，解得，a≥0，且a≠6。
由得，即。
解得，a=24＞0，且a－6≠0。
∴存在实数a，使成立，a的值是24。
（2）∵，
∴当为负整数时，a－6＞0，且a－6是6的约数。
∴a－6=6，a－6=3，a－6=2，a－6=1。∴a=12，9，8，7。
∴使为负整数的实数a的整数值有12，9，8，7。
【考点】一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，解分式方程。
【分析】根据根与系数的关系求得；根据一元二次方程的根的判别式求得a的取值范围。
（1）将已知等式变形为x1x2=4+（x2+x1），即，通过解该关于a的方程即可求得a的值；
（2）根据限制性条件“（x1+1）（x2+1）为负整数”求得a的取值范围，然后在取值范围内取a的整数值。
9. （ 四川内江12分）如果方程的两个根是，那么请根据以上结论，解决下列问题：
（1） 已知关于的方程求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；
（2） 已知满足,求；
（3） 已知满足求正数的最小值。
【答案】解：（1）设关于的方程的两根为，则有：
，且由已知所求方程的两根为
∴，。
∴所求方程为，即。
（2）∵满足，
∴是方程的两根。∴ 。
∴。
（3）∵且 ∴。
∴是一元二次方程的两个根，
代简，得 。
又∵此方程必有实数根，∴此方程的，即，。
又∵ ∴。 ∴。
∴正数的最小值为4。．
【考点】一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，代数式化简。
【分析】（1）设方程的两根为，得出，，再根据这个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，即可求出答案。
（2）根据满足，得出是一元二次方程的两个根，由，即可求出的值。
（3）根据，得出，是一元二次方程的两个根，再根据，即可求出c的最小值。
10. （ 四川巴中5分）解方程：

11. （ 四川南充8分）关于x的一元二次方程x2＋3x＋m－1=0的两个实数根分别为x1,x2．
（1）求m的取值范围．
（2）若2（x1+x2）+ x1x2+10=0．求m的值.
【答案】解：（1）∵方程有两个实数根，∴△≥0。
∴9－4×1×（m－1）≥0，解得m≤。
（2）∵x1＋x2=－3，x1x2=m－1， 2（x1+x2）+ x1x2+10=0，
∴2×（－3）＋m－1＋10=0，解得m=－3。
【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解一元一次不等式和一元一次方程。
【分析】（1）因为方程有两个实数根，所以△≥0，据此即可求出m的取值范围。
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，将x1＋x2=－3，x1x2=m－1代入2（x1+x2）+ x1x2+10=0，解关于m的方程即可。
12. （ 四川内江12分）如果方程的两个根是，那么请根据以上结论，解决下列问题：
（4） 已知关于的方程求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；
（5） 已知满足,求；
（6） 已知满足求正数的最小值。
【答案】解：（1）设关于的方程的两根为，则有：
，且由已知所求方程的两根为
∴，。
∴所求方程为，即。
（2）∵满足，
∴是方程的两根。∴ 。
∴。
（3）∵且 ∴。
∴是一元二次方程的两个根，
代简，得 。
又∵此方程必有实数根，∴此方程的，即，。
又∵ ∴。 ∴。
∴正数的最小值为4。．
【考点】一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，代数式化简。
【分析】（1）设方程的两根为，得出，，再根据这个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，即可求出答案。
（2）根据满足，得出是一元二次方程的两个根，由，即可求出的值。
（3）根据，得出，是一元二次方程的两个根，再根据，即可求出c的最小值。
13. （ 山东菏泽6分）解方程：．
【答案】解：原方程可化为，即
解得。
【考点】因式分解法解一元二次方程。
【分析】把方程整理成标准形式，再运用因式分解法解方程。
14. （ 山东淄博9分）一元二次方程的某个根，也是一元二次方程的根，求k的值．
【答案】解：解得。
把代入得，解得k=8。
把代入得，解得k= 。
∴k的值为8或。
【考点】解一元二次方程和一元二次方程的根。
【分析】求出一元二次方程的两个根，分别代入求k即可。
15. （ 甘肃兰州6分）已知x是一元二次方程x2－2x＋1＝0的根，求代数式的值．
【答案】解：∵x2－2x＋1＝0，∴x1＝x2＝1，
原式＝。
∴当x＝1时，原式＝。
【考点】分式的化简求值，一元二次方程的解。
【分析】解一元二次方程，求出x的值，再将分式化简，将x的值代入分式即可求解。
16. （ 黑龙江大庆4分）若方程的两实根为、，求的值．
【答案】解：∵方程x2﹣x﹣1=0的两实根为a、b，∴a+b=1，ab=﹣1，
∴。
【考点】一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值。
【分析】由方程x2﹣x﹣1=0的两实根为a、b，根据一元二次方程根与系数的关系即可得a+b和ab的值，又由，即可求得答案。