初中数学北师大版九年级上册第二章 一元二次方程6 应用一元二次方程导学案

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2、已知，则.
3、若，且，，则.
4、已知方程没有实数根，则代数式.
5、已知，则y的最大值为 .
6、已知，，，则（ ）
A、 B、 C、 D、
7、已知，，则.
8、已知，则.
9、已知，，则.
10、若方程的二根为，，且，，则 ( )
A、小于1 B、等于1 C、大于1 D、不能确定
11、已知是方程的一个根，则的值为 .
12、若，则（ ）
A、2011 B、2010 C、2009 D、2008
13、方程的解为 .
14、已知，则的最大值是（ ）
A、14 B、15 C、16 D、18
15、方程恰有3个实根，则（ ）
A、1 B、1.5 C、2 D、2.5
16、方程的全体实数根之积为（ ）
A、60 B、 C、10 D、
17、关于x的一元二次方程（a为常数）的两根之比，则（ ）
A、1 B、2 C、 D、
18、已知是、方程的两个实根，则.
19、若关于x的方程只有一解，求a的值。
中考真题
1、若，则的值为（ ）
2、已知实数、满足，，且，则的值为（ ）
A、1 B、3 C、－3 D、10
3、实数x、y满足方程，则y最大值为（ ）
A、 B、 C、 D、不存在
4、方程的所有整数解的个数是（ ）
A、2 B、3 C、4 D、5
5、已知关于x的方程的两根分别为和1，则方程的两根为（ ）
A、和1 B、和1 C、和 D、和
6、实数x、y满足，记，则u的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
7、已知实数m，n满足，，则.
9、已知方程的两实根的平方和等于11，k的取值是（ ）
A、或1 B、 C、1 D、3
10、设a，b是整数，方程有一个实数根是，则.
13、已知方程的一根小于，另外三根皆大于，求a的取值范围。
14、已知关于x的方程有实数根，且，试问：y值是否有最大值或最小值，若有，试求出其值，若没有，请说明理由。
15、求所有有理数q，使得方程的所有根都是整数。
一元二次方程培优题及参考答案
1、已知，则的值是（ D ）
A、2001 B、2002 C、2003 D、2004
答案：D
解析：由得：
归纳：本题解决的方法是通过降次达到化简的目的。
2、已知，则.
答案：2002
解析：由得：，，
原式
归纳：本题解决的方法是通过降次达到化简的目的。
3、若，且，，则.
答案：
解析：由得：
∵，即 ∴把a和作为一元二次方程的两根
∴
归纳：本题是通过构造一元二次方程的两根，利用根与系数的关系解决问题。
4、已知方程没有实数根，则代数式.
答案：2
考点：根的判别式。
分析：由方程没有实数根，得，求的a的范围，然后根据此范围化简代数式。
解答：解：∵已知方程没有实数根
∴，即，，得
则代数式
归纳：本题考查了一元二次方程根的判别式。当时，方程没有实数根。同时考查了一元二次不等式的解法、二次根式的性质和绝对值的意义。
5、已知，则y的最大值为 .
答案：
考点：二次函数的最值。
专题：计算题；换元法．
分析：此题只需先令，用x表示t，代入求y关于t的二次函数的最值即可。
解答：令，
则
又，且y关于t的二次函数开口向下，则在处取得最大值
即y最大值为，即
归纳：本题考查了二次函数的最值，关键是采用换元法，将用t来表示进行解题比较简便。
6、已知，，，则（ ）
A、 B、 C、 D、
答案：B
考点：根的判别式。
专题：综合题。
分析：由，，，得到a，b两个负数，再由，，这样可以把a，b看作方程的两根，根据根的判别式得到，解得，然后由得到.
解答：∵，， ∴，，
∴，
∴可以把a，b看作方程
∴，解得 ∴，即
点评：本题考查了一元二次方程根的判别式：如方程有两个实数根，则．也考查了一元二次方程根与系数的关系以及绝对值的含义。
7、已知，，则.
答案：0
考点：因式分解的应用；非负数的性质：偶次方。
分析：本题乍看下无法代数求值，也无法进行因式分解；但是将已知的两个式子进行适当变形后，即可找到本题的突破口。由可得；将其代入得：；此时可发现正好符合完全平方公式，因此可用非负数的性质求出b、c的值，进而可求得a的值；然后代值运算即可。
解答：∵ ∴
又∵ ∴，即
∴， ∴ ∴
归纳：本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了非负数的性质以及代数式求值的方法．
8、已知，则.
答案：
考点：因式分解的应用。
专题：整体思想。
分析：根据已知条件可得到，然后整体代入代数式求值计算即可。
解答：∵ ∴
∴原式
点评：这里注意把要求的代数式进行局部因式分解，根据已知条件，整体代值计算。
9、已知，，则.
答案：0
考点：拆项、添项、配方、待定系数法。
专题：计算题．
分析：先将字母b表示字母a，代入，转化为非负数和的形式，根据非负数的性质求出a、b、c的值，从而得到的值。
解答：∵ ∴
代入，可得（，即
∴， ∴ ∴
归纳：本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了非负数的性质以及代数式求值的方法。解题关键是将代数式转化为非负数和的形式。
10、若方程的二根为，，且，，则 ( )
A、小于1 B、等于1 C、大于1 D、不能确定
答案：A
考点：根与系数的关系．
专题：计算题．
分析：方程的二根为，，根据根与系数的关系及已知条件即可求解。
解答：∵方程的二根为， ∴，
∵， ∴
∴ ∴
∵ ∴
归纳：本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键掌握，是方程的两根时，，．
11、已知是方程的一个根，则的值为 .
答案：
考点：因式分解的应用。
专题：整体思想。
分析：根据已知条件可得到，即然后整体代入代数式求值计算即可。
解答：∵是方程的一个根 ∴，即
∴原式
点评：这里注意把要求的代数式进行局部因式分解，根据已知条件，整体代值计算。
12、若，则（ ）
A、2011 B、2010 C、2009 D、2008
答案：B
考点：因式分解的应用．
专题：计算题；整体思想．
分析：将化简为，整体代入变形的式子，计算即可求解．
解答：∵，即 ∴
归纳：本题考查因式分解的运用，注意运用整体代入法求解。
13、方程的解为 .
答案：
考点：利用方程的同解原理解答。
专题：计算题。
解答：
两边同时平方得：
整理得： 再平方得： 解得：
归纳：本题考查将无理方程通过平方的方式转化为有理方程解答。
14、已知，则的最大值是（ ）
A、14 B、15 C、16 D、18
答案：B
考点：完全平方公式。
分析：由得代入，通过二次函数的最值，求出它的最大值。
解答：化为，， 故
二次函数开口向下，当时表达式取得最大值
由于 所以时此时，表达式取得最大值：15
点评：本题是中档题，考查曲线与方程的关系，直接利用圆锥曲线解答比较麻烦，利用转化思想使本题的解答比较简洁，注意二次函数闭区间是的最大值的求法。
15、方程恰有3个实根，则（ ）
A、1 B、1.5 C、2 D、2.5
答案：C
考点：解一元二次方程-公式法；绝对值；一元二次方程的解。
专题：解题方法。
分析：因为方程中带有绝对值符号，所以讨论方程的根分两种情况：当时，原方程为；当时，原方程为．
解答：当时，原方程为：，化为一般形式为：
用求根公式得：
当时，原方程为：，化为一般形式为：
用求根公式得：
∵方程的根恰为3个，而当时，方程的3个根分别是，，．
归纳：本题考查未知数的取值范围，以确定字母系数m的值。
16、方程的全体实数根之积为（ ）
A、60 B、 C、10 D、
答案：A
考点：换元法解分式方程。
专题：换元法。
分析：设，原方程化成，再整理成整式方程求解即可。
解答：设，则 ∴，解得，
当时，，解得
当时，，解得或
∴
归纳：本题考查了用换元法解分式方程，解次题的关键是把看成一个整体来计算，即换元法思想。
17、关于x的一元二次方程（a为常数）的两根之比，则（ ）
A、1 B、2 C、 D、
答案：C
考点：一元二次方程根与系数的关系及求解。
解答：设的两根分别为，，由根与系数的关系得：
，
∴， ∴
归纳：本题考查了用根与系数的关系解决问题，关键是利用公式巧妙变形。
18、已知是、方程的两个实根，则.
答案：5
考点：根与系数的关系；代数式求值；完全平方公式。
专题：计算题。
分析：由方程的根的定义，可知，移项，得，两边平方，整理得①；由一元二次方程根与系数的关系，可知②；将①②两式分别代入，即可求出其值。
解答：∵是方程的根 ∴
∴ ∴
又∵、方程的两个实根
∴ ∴
归纳：本题主要考查了方程的根的定义，一元二次方程根与系数的关系。难度中等。关键是利用方程根的定义及完全平方公式将所求代数式降次，再结合根与系数的关系求解。
19、若关于x的方程只有一解，求a的值。
答案：或
考点：解分式方程。
分析：先将分式方程转化为整式方程，把分式方程解的讨论转化为整式方程的解的讨论，“只有一个解”内涵丰富，在全面分析的基础上求出a的值。
解答：原方程化为①
（1）当时，原方程有一个解，
（2）当时，方程①，总有两个不同的实数根，由题意知必有一个根是原方程的增根，从原方程知增根只能是0或1，显然0不是①的根，故，得．
综上可知当时，原方程有一个解，，时，．
归纳：本题考查了解分式方程。注意：分式方程转化为整式方程不一定是等价转化，有可能产生增根，分式方程只有一个解，可能足转化后所得的整式方程只有一个解，也可能是转化后的整式方程有两个解，而其中一个是原方
20、已知二次函数满足且对一切实数恒成立，求的解析式。
考点：函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法；二次函数的性质。
专题：综合题。
分析：取，由，能够求出的值；由，知，所以，由，对一切实数恒成立，知，即对一切实数恒成立，由此能求出的表达式。
解答：解：（1）∵二次函数满足且
∴取，得 所以
∴ ∴
∵，对一切实数恒成立 ∴对一切实数恒成立
∴ ∴
∵， ∴
∵当且仅当时，等式成立 ∴
点评：本题考查二次函数的性质的综合应用，考查函数解析式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意函数恒成立条件的灵活运用。
21、已知.
（1）对任意，，当有，求证：两个不相等的实根且有一根在（，）内。
（2）若在（，）内有一根为m且.若的对称轴为.求证：.
考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系；二次函数的性质；等差数列的性质．
专题：计算题；转化思想．
分析：（1）通过计算一元二次方程的判别式大于0，可得方程有两个不相等的实数根；设方程对应的函数为，由，可得方程有一个根属于（，）．
（2）由题意可得，即，由于 ，故，由证得结论。
解答：证明：（1）∵ ∴
整理得：
∴
∵ ∴
∵ 故方程有两个不相等的实数根
令 则
又 则
故方程有一根在（，）内。
（2）∵方程在（，）内有一根为m ∴
∴
∵ ∴
故
点评：本题考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，等差数列的性质，体现了转化的数学思想。
一元二次方程成都四中考试真题
1、若，则的值为（ ）
A、3 B、4 C、5 D、6
答案：4
考点：因式分解的应用。
专题：整体思想。
解答：∵ ∴
归纳：本题关键是将作为整体，然后将进行因式分解变形解答。
2、已知实数、满足，，且，则的值为（ ）
A、1 B、3 C、－3 D、10
答案：D
解析：由得：，即，
∵，即 ∴把和作为一元二次方程的两根
∴，，即
∴
归纳：本题是通过构造一元二次方程的两根，利用根与系数的关系解决问题。
3、实数x、y满足方程，则y最大值为（ ）
A、 B、 C、 D、不存在
答案：B
考点：根的判别式。
专题：计算题；转化思想。
分析：先把方程变形为关于x的一元二次方程，由于此方程有解，所以，这样得到y的不等式，解此不等式，得到y的取值范围，然后找到最大值。
解答：把看作为关于x的，并且此方程有解，所以，即
∴，
∴ 故y的最大值是
点评：本题考查了一元二次方程（，a，b，c为常数）根的判别式。当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根。同时考查了转化思想的运用和一元二次不等式的解。
4、方程的正根的个数为（ ）
A、3个 B、2个 C、1个 D、0个
答案：D
考点：二次函数的图象；反比例函数的图象。
分析：此题实质是求函数和函数的图象在一、四象限有没有交点，根据两个已知函数的图象的交点情况，直接判断。
解答：设函数，函数
∵函数的图象在一、三、四象限，开口向下，顶点坐标为（1，1），对称轴
函数的图象在一、三象限；而两函数在第一象限没有交点，交点在第三象限
即方程的正根的个数为0个。
归纳：此题用函数知识解答比较容易，主要涉及二次函数和反比例函数图象的有关性质，同学们应该熟记且灵活掌握。
5、方程的所有整数解的个数是（ ）
A、2 B、3 C、4 D、5
答案：C
考点：零指数幂。
专题：分类讨论。
分析：方程的右边是1，有三种可能，需要分类讨论。第1种可能：指数为0，底数不为0；第2种可能：底数为1；第3种可能：底数为，指数为偶数。
解答：（1）当，时，解得；（2）当时，解得或1；（3）当，为偶数时，解得
因而原方程所有整数解是，，1，共4个。
点评：本题考查了：（a是不为0的任意数）以及1的任何次方都等于1。本题容易遗漏第3种可能情况而导致误选B，需特别注意。
6、关于x的方程的两根分别为和1，则方程的两根为（ ）
A、和1 B、和1 C、和 D、和
答案：B
考点：解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解．
分析：因为方程的两个根为和1，所以方程可以方程因式为，用含a的式子表示b和c，代入后面的方程可以用因式分解求出方程的根。
解答：∵的两根为和1 ∴
整理得： ∴，
把b，c代入方程，得：
∴，
归纳：本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，把方程的两根代入方程，整理后用含a的式子表示b和c，然后把b，c代入后面的方程，用因式分解法可以求出方程的根。
7、实数x、y满足，记，则u的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
答案：A
考点：完全平方公式。
专题：综合题。
分析：把原式的xy变为，根据完全平方公式特点化简，然后由完全平方式恒大于等于0，得到xy的范围；再把原式中的xy变为，同理得到xy的另一个范围，求出两范围的公共部分，然后利用不等式的基本性质求出的范围，最后利用已知表示出，代入到u中得到，的范围即为u的范围。
解答：由得： 即，则
由得：
即，则 ∴
∴不等式两边同时乘以得：
两边同时加上2得：，即
∵ ∴ ∴
则u的取值范围是
点评：此题考查了完全平方公式，以及不等式的基本性质，解题时技巧性比较强，对已知的式子进行了三次恒等变形，前两次利用拆项法拼凑完全平方式，最后一次变形后整体代入确定出u关于xy的式子，从而求出u的范围。要求学生熟练掌握完全平方公式的结构特点：两数的平方和加上或减去它们乘积的2倍等于两数和或差的平方．
8、已知实数m，n满足，，则.
考点：一元二次方程根与系数的关系。
分析：根据题意：由得：；由得：，又因为，即，因此可以把，作为一元二次方程的两根，由根与系数的关系得：.
解答：∵，
∴，
∵ ∴
∴把，作为一元二次方程的两根 ∴
归纳：本题考查的是用构造一元二次方程，利用根与系数的关系解答问题，本题的关键是利用已知进行变形是关键所在，不要忽视了这个条件隐含的题意。
9、已知方程的两实根的平方和等于11，k的取值是（ ）
A、或1 B、 C、1 D、3
答案：C
考点：根与系数的关系；解一元二次方程-因式分解法；根的判别式。
分析：由题意设方程两根为，，得，，然后再根据两实根的平方和等于11，从而解出k值。
解答：设方程两根为，
得，， ∴
∵ ∴
∴ 解得或
∴
归纳：此题应用一元二次方程根与系数的关系解题，利用两根的和与两根的积表示两根的平方和，把求未知系数的问题转化为解方程的问题。
10、设a，b是整数，方程有一个实数根是，则.
答案：
考点：一元二次方程的解；二次根式的化简求值。
专题：方程思想。
分析：一个根代入方程，得到a，b等式，再由a，b是整数，可以求出a，b的值。
解答：，把代入方程有：
∵a，b是整数 ∴ ∴ ∴
归纳：本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，由a，b是整数就可以求出a，b的值。
11、已知函数，（b，c为常数），这个函数的图象与 x轴交于两个不同的两点A（，0）和B（，0）且满足.
（1）求证：
（2）若，试比较与的大小，并加以证明。
考点：抛物线与x轴的交点。
专题：证明题；探究型。
分析：（1）首先利用求根公式求出x的值，再由求解；
（2）已知推出．根据推出答案。
解答：证明：（1）∵令中得到
∴
又 ∴ ∴ ∴
（2）由已知 ∴
∴
∴
∵ ∴
∵ ∴
∴ ∴ 即
归纳：综合考查了二次函数的求根公式、用函数的观点看不等式等知识。
12、已知关于x的方程有两个不相等的实数根和，并且抛物线与x轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁。
（1）求实数a的取值范围；
（2）当时，求a的值。
考点：抛物线与x轴的交点；根与系数的关系。.
分析：（1）由一元二次方程的二次项系数不为0和根的判别式求出a的取值范围。设抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为（，0）、（，0），且，∴、是的两个不相等的实数根，再利用的根的判别式求a的取值范围，又∵抛物线与x轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁，利用根与系数的关系确定；（2）把代数式变形后，利用根与系数的关系求出a的值。
解答：解：（1）∵关于x的方程有两个不相等的实数根
∴
解得：，且 ①
设抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为（，0）、（，0），且
∴、是的两个不相等的实数根
∵
∴a为任意实数②
由根与系数关系得：，
∵抛物线与x轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁
∴， ∴ ∴
∴ 解得：③
由①、②、③得a的取值范围是
（2）∵和是关于x的方程的两个不相等的实数根
∴，
∵ ∴ ∴
不妨设， ∴
∴，即
∴ 解这个方程，得：，
经检验，，都是方程的根
∵，舍去 ∴为所求。
归纳：本题综合性强，考查了一元二次方程中的根与系数的关系和根的判别式的综合利用。
13、已知方程的一根小于，另外三根皆大于，求a的取值范围。
解答：设的4个根分别为，，，，且，，即；，即
，为方程的两个根
，，解得：，
（1）若，，，
，解得
不符合题意，舍去。
（2）若，，，
，解得 即 故a的取值范围为：
14、已知关于x的方程有实数根，且，试问：y值是否有最大值或最小值，若有，试求出其值，若没有，请说明理由。
考点：根与系数的关系；根的判别式。
分析：若一元二次方程有实数根，则根的判别式，由此可求出k的取值范围；依据根与系数的关系，可求出及的表达式；然后将y的表达式化为含两根之和与两根之积的形式，即可得到关于y、k的关系式，联立k的取值范围，即可求得y的最小值。
解答：∵实数根 ∴∴
∵，
∴，即
∵ ∴ ∴
即y有最小值为2.
归纳：本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，能够正确得出关于y、k的关系式是解答此题的关键。
15、求所有有理数q，使得方程的所有根都是整数。
考点：一元二次方程的整数根与有理根。
专题：计算题；分类讨论。
分析：对和进行讨论。时，原方程是关于x的一次方程，可解得；时，原方程是关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系得到①，②，消变形得，利用整数的性质得到或，再由②即可求出q．
解答：解：当时，原方程变为：，解得；
当时，原方程是关于x的一元二次方程，设它的两个整数根为，，且，
∴①，②
②-①得： ∴ ∴或
∴或 ∴由②得，或1
综上所述，当，，1时，原方程的所有根是整数。
归纳：本题考查了一元二次方程整数根的问题：利用根与系数的关系消去未知系数直接得到两整数根的关系，然后利用整数的性质求解。也考查了分类讨论思想的运用。