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江苏省南京市玄武区2020-2021学年八年级（上）期末数学试卷 解析版
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这是一份江苏省南京市玄武区2020-2021学年八年级（上）期末数学试卷 解析版，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江苏省南京市玄武区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下列各数中，无理数的是（ ）
A． B．
C．0.121221222 D．π
2．若△ABC≌△DEF，且∠A＝60°，∠B＝70°，则∠F的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
3．在平面直角坐标系中，下列点中位于第二象限的是（ ）
A．（0，3） B．（﹣2，1） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣1）
4．已知一次函数y＝3x﹣2，下列说法错误的是（ ）
A．图象经过第一、三、四象限
B．图象与y轴的交点坐标为（0，﹣2）
C．y随x增大而减小
D．该图象可以由y＝3x平移得到
5．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，BC＝10，CD＝6，则点D到AC的距离为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
6．如图，函数y＝kx+b经过点A（﹣3，2），则关于x的不等式kx+b＜2解集为（ ）
A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．x＞2 D．x＜2
7．若方程（x﹣1）2＝5的解分别为a，b，且a＞b，下列说法正确的是（ ）
A．a是5的平方根 B．b是5的平方根
C．a﹣1是5的算术平方根 D．b﹣1是5的算术平方根
8．如图，等边△ABC的顶点A（1，1），B（3，1），规定把等边△ABC“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2021次变换后，△ABC顶点C的坐标为（ ）
A．（﹣2020，1+） B．（﹣2020，﹣1﹣）
C．（﹣2019，1+） D．（﹣2019，﹣1﹣）
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．点（2，﹣3）关于y轴对称的点的坐标是 ．
10．用四舍五入法把3.1415取近似数（精确到百分位）为 ．
11．4的立方根是 ．
12．已知点P（﹣2，a）在一次函数y＝3x+1的图象上，则a＝ ．
13．比较大小：﹣ ﹣1.5．
14．如图，数轴上点A表示的数是 ．
15．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，BC＝10，把△ABC沿直线AD折叠，点C落在点C′处，那么BC′的长为 ．
16．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE分别与AB、BC交于点D、E，AC的垂直平分线FG分别与BC、AC交于点F、G，BC＝10，EF＝3，则△AEF的周长是 ．
17．已知一次函数y＝kx﹣b（k、b为常数，且k≠0，b≠0）与y＝x的图象相交于点M（a，1），则关于x的方程（k﹣）x＝b的解为x＝ ．
18．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的顶点B在x轴上，∠ABO＝90°，AB＝OB，点C（10，8）在AB边上，D为OB的中点，P为边OA上的动点（不与O，A重合）．下列说法正确的是 （填写所有正确的序号）．
①当点P运动到OA中点时，点P到OB和AB的距离相等；
②当点P运动到OA中点时，∠APC＝∠DPO；
③当点P从点O运动到点A时，四边形PCBD的面积先变大再变小；
④四边形PCBD的周长最小时，点P的坐标为（，）．
三、解答题（本大题共9小题，共64分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）（1）求x的值：4x2﹣9＝0；
（2）计算：+﹣．
20．（6分）如图，AC、BD交于点O，∠ABC＝∠DCB，∠1＝∠2，求证：AB＝DC．
21．（6分）如图是一个滑梯示意图，左边是楼梯，右边是滑道，已知滑道AC与AE的长度一样，滑梯的高度BC＝4m，BE＝1m．求滑道AC的长度．
22．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，FE是AC的垂直平分线，交AD于点F，连接BF．求证：AF＝BF．
23．（8分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象经过点（2，1），（4，﹣2）．
（1）求该一次函数的表达式；
（2）若点A（2m，y1），B（m+1，y2）在该一次函数的图象上，且y1＞y2，求实数m的取值范围．
24．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知点P在第四象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，点Q的坐标为（﹣2，3）．
（1）写出点P的坐标 ；
（2）要使点P与点Q重合，下列方式正确的有 ；（填上所有正确的序号）
①将点P向左平移5个单位，再向上平移5个单位；
②将点P沿直线y＝x翻折；
③将点P绕原点逆时针旋转90°，再向左平移4个单位．
（3）△OPQ的面积为 ．
25．（6分）在△ABC中，AB＝AC，直线l经过点A，且与BC平行．仅用圆规完成下列画图．（保留画图痕迹，不写作法）
（1）如图①，在直线l上画出一点P，使得∠APC＝∠ACB；
（2）如图②，在直线l上画出所有的点Q，使得∠AQC＝∠ACB．
26．（10分）数学兴趣小组的同学们受《乌鸦喝水》故事的启发，在数学实验室中，利用带刻度的容器和匀速流水的水龙头进行数学实验．
（1）如图，有三种不同形状的容器，现向三种容器匀速注水，恰好注满时停止．已知注水前图①的容器中有200ml的水，图②容器中有100ml的水，图③容器中没有水，是空的．图①和图②的注水速度均为5ml/s，图③的注水速度为10ml/s．设容器中水的体积为y（单位：ml），注水时间为x（单位：s）．请分别写出三个容器中y关于x的函数表达式．
（2）如图④，同学们自己制作了一个特殊的容器，这个特殊容器有上、下两个高度相同的圆柱体组合而成，且上圆柱体底面圆的半径是下圆柱体底面圆的半径的一半．已知这个特殊容器的高为20cm，注水前，容器内的水面高度是4cm，现向容器匀速注水，直至容器恰好注满时停止，每5s记录一次水面的高度h（单位：cm），前5次数据如下表所示．
注水时间t/s
0
5
10
15
20
…
水面高度h/cm
4
5
6
7
8
…
①在平面直角坐标系中，请画出水面高度h关于注水时间t的函数图象，并标注相关数据；
②在水面高度h满足6≤h≤16时，则注水时间t的取值范围是 ．
27．（10分）【基础模型】
（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E．求证：△ACD≌△ABE．
【模型拓展】
（2）在平面直角坐标系中，两条互相垂直的直线l1与l2都经过点M（4，3），直线l1与x轴的正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，直线l2与x轴交于点C，与y轴交于点D．
①如图2，点M是线段AB的中点，求线段AC的长度；
②连接AD，如果△ABD是等腰三角形，直接写出点B的坐标．
2020-2021学年江苏省南京市玄武区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下列各数中，无理数的是（ ）
A． B．
C．0.121221222 D．π
【分析】无理数就是无限不循环小数，依据定义即可判断．
【解答】解：A、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意；
B、＝2，2是有理数，故此选项不符合题意；
C、0.121221222是有限小数，属于有理数，故此选项不符合题意；
D、π是无理数，故此选项符合题意．
故选：D．
2．若△ABC≌△DEF，且∠A＝60°，∠B＝70°，则∠F的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠C，根据全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵∠A＝60°，∠B＝70°，
∴∠C＝180°﹣60°﹣70°＝50°，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠F＝∠C＝50°，
故选：A．
3．在平面直角坐标系中，下列点中位于第二象限的是（ ）
A．（0，3） B．（﹣2，1） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣1）
【分析】点在第二象限的条件是：横坐标是负数，纵坐标是正数，直接得出答案即可．
【解答】解：∵点在第二象限，
∴点的横坐标是负数，纵坐标是正数，
∴只有B符合要求．
故选：B．
4．已知一次函数y＝3x﹣2，下列说法错误的是（ ）
A．图象经过第一、三、四象限
B．图象与y轴的交点坐标为（0，﹣2）
C．y随x增大而减小
D．该图象可以由y＝3x平移得到
【分析】根据一次函数的性质以及平移的规律进行判断即可．
【解答】解：A、∵k＝3，b＝﹣2，
∴一次函数y＝3x﹣2图像经过第一、三、四象限，正确，不合题意；
B、令x＝0，则y＝﹣2，
∴图象与y轴的交点坐标为（0，﹣2），正确，不合题意；
C、∵k＝3＞0，
∴y随x增大而减小，错误，符合题意；
D、一次函数y＝3x﹣2的图像可由y＝3x向下平移2个得到，正确，不合题意；
故选：C．
5．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，BC＝10，CD＝6，则点D到AC的距离为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】由条件可先求得BD的长，再根据角平分线的性质可知D到AC的距离等于BD，可得到答案．
【解答】解：∵BC＝10，CD＝6，
∴BD＝BC﹣CD＝10﹣6＝4，
△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，
∴点D到AC的距离＝BD＝4．
故选：A．
6．如图，函数y＝kx+b经过点A（﹣3，2），则关于x的不等式kx+b＜2解集为（ ）
A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．x＞2 D．x＜2
【分析】一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值小于2的自变量x的取值范围．
【解答】解：由图中可以看出，当x＞﹣3时，kx+b＜2，
故选：A．
7．若方程（x﹣1）2＝5的解分别为a，b，且a＞b，下列说法正确的是（ ）
A．a是5的平方根 B．b是5的平方根
C．a﹣1是5的算术平方根 D．b﹣1是5的算术平方根
【分析】根据平方根和算术平方根的定义逐一判断即可．
【解答】解：若方程（x﹣1）2＝5的解分别为a，b，且a＞b，
则a﹣1是5的算术平方根．
故选：C．
8．如图，等边△ABC的顶点A（1，1），B（3，1），规定把等边△ABC“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2021次变换后，△ABC顶点C的坐标为（ ）
A．（﹣2020，1+） B．（﹣2020，﹣1﹣）
C．（﹣2019，1+） D．（﹣2019，﹣1﹣）
【分析】据轴对称判断出点A变换后在x轴下方，然后求出点A纵坐标，再根据平移的距离求出点A变换后的横坐标，最后写出即可．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形AB＝3﹣1＝2，
∴点C到x轴的距离为1+2×＝+1，
横坐标为2，
∴C（2，+1），
∵第2021次变换后的三角形在x轴下方，
∴点C的纵坐标为﹣﹣1，
∵横坐标为2﹣2021×1＝﹣2019，
所以，点C的对应点C′的坐标是（﹣2019，﹣1﹣），
故选：D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．点（2，﹣3）关于y轴对称的点的坐标是 （﹣2，﹣3） ．
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于y轴的对称点的坐标是（﹣x，y），即关于纵轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数．
【解答】解：点（2，﹣3）关于y轴对称的点的坐标是（﹣2，﹣3），
故答案为（﹣2，﹣3）．
10．用四舍五入法把3.1415取近似数（精确到百分位）为 3.14 ．
【分析】根据近似数的精确度，把3.1415中的千分位上的数字1进行四舍五入即可．
【解答】解：用四舍五入法把3.1415取近似数（精确到百分位）为3.14．
故答案为：3.14．
11．4的立方根是 ．
【分析】根据立方根的定义即可得．
【解答】解：4的立方根是，
故答案为：．
12．已知点P（﹣2，a）在一次函数y＝3x+1的图象上，则a＝ ﹣5 ．
【分析】把点P的坐标代入函数解析式，列出关于a的方程，通过解方程可以求得a的值．
【解答】解：∵点P（﹣2，a）在一次函数y＝3x+1的图象上，
∴a＝3×（﹣2）+1＝﹣5．
故答案是：﹣5．
13．比较大小：﹣ ＜ ﹣1.5．
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【解答】解：＝3，（﹣1.5）2＝2.25，
∵3＞2.25，
∴﹣＜﹣1.5．
故答案为：＜．
14．如图，数轴上点A表示的数是 ．
【分析】根据勾股定理和实数的意义即可得到结论．
【解答】解：∵＝，
∴数轴上点A表示的数是，
故答案为：．
15．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，BC＝10，把△ABC沿直线AD折叠，点C落在点C′处，那么BC′的长为 5 ．
【分析】由题意可得BD＝CD＝5，根据折叠的性质可得CD＝C'D＝5，∠ADC＝∠ADC'＝45°，根据勾股定理可求BC'的长．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，BC＝10，
∴BD＝CD＝5，
∵把△ABC沿直线AD折叠，
∴CD＝C'D，∠ADC＝∠ADC'＝45°，
∴BD＝C'D＝5，∠BDC'＝90°，
∴BC'＝＝＝＝5，
故答案为：．
16．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE分别与AB、BC交于点D、E，AC的垂直平分线FG分别与BC、AC交于点F、G，BC＝10，EF＝3，则△AEF的周长是 16 ．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，FA＝FC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
同理，FA＝FC，
∴△AEF的周长＝FA+EF+EA＝EB+EF+FC＝BC+EF+EF＝16，
故答案为：16．
17．已知一次函数y＝kx﹣b（k、b为常数，且k≠0，b≠0）与y＝x的图象相交于点M（a，1），则关于x的方程（k﹣）x＝b的解为x＝ 3 ．
【分析】把A（a，1）代入y＝x求出a，根据A点的横坐标，即可求出答案．
【解答】解：把A（a，1）代入y＝x得：1＝a，
解得a＝3，
∴A（3，1），
∴根据图象信息可得关于x的方程kx﹣b＝x的解为3，
∴关于x的方程（k﹣）x＝b的解为x＝3．
故答案为：3．
18．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的顶点B在x轴上，∠ABO＝90°，AB＝OB，点C（10，8）在AB边上，D为OB的中点，P为边OA上的动点（不与O，A重合）．下列说法正确的是 ①④ （填写所有正确的序号）．
①当点P运动到OA中点时，点P到OB和AB的距离相等；
②当点P运动到OA中点时，∠APC＝∠DPO；
③当点P从点O运动到点A时，四边形PCBD的面积先变大再变小；
④四边形PCBD的周长最小时，点P的坐标为（，）．
【分析】过点P作PE⊥AB于E，判断出PD，PE是△AOB的中位线，进而判断出①正确，②错误，连接BP，过点P作PF⊥OB于F，设PF＝m，则OF＝m，BF＝10﹣m，进而利用三角形的面积公式求出S四边形PCBD＝﹣m+40，判断出③错误，先判断出四边形PCBD周长最小，得出PD+PC最小，作点D关于OA的对称点，求出点G坐标，求出直线CG，OA解析式，联立解方程组，即可得出结论．
【解答】解：如图1，
当点P是OA的中点时，
∵点D是OB的中点，
∴OD＝BD，DP是△AOB的中位线，
∴PD＝AB，
∵AB＝OB，
∴PD＝OB，
过点P作PE⊥AB于E，则PE∥OB，
∴PE是△AOB的中位线，
∴PE＝OB＝PD，故①正确；
∵C（10，8），
∴OB＝10，BC＝8，
∴AB＝10，
∴点C在线段AE上，
∴∠APC＜∠APE，
∵PE是△AOB的中位线，
∴PE∥OB，
∴∠POD＝∠APE，
∴∠APC＜∠POD，故②错误；
如图2，
连接BP，过点P作PF⊥OB于F，
∵OB＝AB，
∴∠AOB＝45°，
∴PF＝OF，
设PF＝m，则OF＝m，
∴BF＝OB﹣OF＝10﹣m，
∴S四边形PCBD
＝S△AOB﹣S△POD﹣S△PAC
＝OB•AB﹣OD•PF﹣AC•BF
＝[10×10﹣5m﹣2（10﹣m）]
＝（﹣3m+80）
＝﹣m+40，
∴m越大，四边形PCBD的面积越小，故③错误；
如图3，
∵BC＝8，BD＝5，
∴l四边形BCPD＝BD+BC+PC+PD＝13+PC+PD，
要使四边形PCBD的周长最小，则PC+PD最小，
过点D作OA的对称点G，
∴OG＝OD，DG⊥OA，
∵∠AOB＝45°，
∴∠AOG＝45°，
∴点G在y轴上，且G（0，5），
∵C（10，8），
∴CG的解析式为y＝x+5，
∵C（10，10），
∴OC的解析式为y＝x，
联立直线CG与OC的解析式解得，，
∴P（，），故④正确，
即正确的有①④，
故答案为：①④．
三、解答题（本大题共9小题，共64分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）（1）求x的值：4x2﹣9＝0；
（2）计算：+﹣．
【分析】（1）先移项，再系数化1，然后开平方可得答案；
（2）直接利用立方根以及二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：（1）∵4x2﹣9＝0，
∴4x2＝9，
∴x2＝，
∴x＝±；
（2）原式＝5+2﹣3
＝4．
20．（6分）如图，AC、BD交于点O，∠ABC＝∠DCB，∠1＝∠2，求证：AB＝DC．
【分析】由“ASA”可证△ABO≌△DCO，可得结论．
【解答】证明：∵∠ABC＝∠DCB，∠1＝∠2，
又∵∠OBC＝∠ABC﹣∠1，∠OCB＝∠DCB﹣∠2，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴OB＝OC，
在△ABO和△DCO中，
，
∴△ABO≌△DCO（ASA），
∴AB＝DC．
21．（6分）如图是一个滑梯示意图，左边是楼梯，右边是滑道，已知滑道AC与AE的长度一样，滑梯的高度BC＝4m，BE＝1m．求滑道AC的长度．
【分析】设AC＝xm，则AE＝AC＝xm，AB＝AE﹣BE＝（x﹣1）m，在在Rt△ABC中利用勾股定理列出方程，通过解方程即可求得答案．
【解答】解：设AC＝xm，则AE＝AC＝xm，AB＝AE﹣BE＝（x﹣1）m，
由题意得：∠ABC＝90°，
在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2（x﹣1）2+42＝x2
解得x＝8.5
∴AC＝8.5m．
22．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，FE是AC的垂直平分线，交AD于点F，连接BF．求证：AF＝BF．
【分析】由等腰三角形的性质可得BD＝CD，AD⊥BC，由线段垂直平分线的性质可得BF＝CF＝AF．
【解答】证明：连接CF，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴BD＝CD，AD⊥BC，
∴BF＝CF，
∵FE垂直平分AC，
∴AF＝CF，
∴AF＝BF．
23．（8分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象经过点（2，1），（4，﹣2）．
（1）求该一次函数的表达式；
（2）若点A（2m，y1），B（m+1，y2）在该一次函数的图象上，且y1＞y2，求实数m的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法求一次函数的解析式；
（2）利用一次函数的性质得到y1＞y2，则x1＜x2，即2m＜m+1，然后解关于m的不等式即可．
【解答】解：（1）设一次函数的表达式为y＝kx+b（k≠0），
把（2，1），（4，﹣2）代入得，解得，
∴一次函数的表达式为y＝﹣x+4；
（2）∵k＝﹣＜0，
∴y随x的增大而减少，
∵y1＞y2
∴x1＜x2，即2m＜m+1，
∴m＜1．
24．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知点P在第四象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，点Q的坐标为（﹣2，3）．
（1）写出点P的坐标 （3，﹣2） ；
（2）要使点P与点Q重合，下列方式正确的有 ①②③ ；（填上所有正确的序号）
①将点P向左平移5个单位，再向上平移5个单位；
②将点P沿直线y＝x翻折；
③将点P绕原点逆时针旋转90°，再向左平移4个单位．
（3）△OPQ的面积为 ．
【分析】（1）根据图形作出图形即可判断．
（2）根据平移，法则，旋转等知识一一判断即可．
（3）利用分割法求解即可．
【解答】解：（1）由题意P（3，﹣2），
故答案为：（3，﹣2）．
（2）由题意①②③度符合题意．
故答案为：①②③．
（3）S△POQ＝×1×3+×1×2＝，
故答案为：．
25．（6分）在△ABC中，AB＝AC，直线l经过点A，且与BC平行．仅用圆规完成下列画图．（保留画图痕迹，不写作法）
（1）如图①，在直线l上画出一点P，使得∠APC＝∠ACB；
（2）如图②，在直线l上画出所有的点Q，使得∠AQC＝∠ACB．
【分析】（1）以C点为圆心，CA为半径画弧交直线l于P，则∠APC＝∠CAP，而l∥BC，∠ACB＝∠CAP，所以∠APC＝∠ACB；
（2）以A点为圆心，AC为半径画弧交直线l于Q1，再以C点为圆心，CQ1为半径画弧交直线l于Q2，则∠CAQ2＝∠AQ1C+∠ACQ1，所以∠AQ1C＝∠ACB，易得∠AQ2C＝∠AQ1C＝∠ACB．
【解答】解：（1）如图①，点P为所作；
（2）如图②，点Q1、Q2即为所求，
26．（10分）数学兴趣小组的同学们受《乌鸦喝水》故事的启发，在数学实验室中，利用带刻度的容器和匀速流水的水龙头进行数学实验．
（1）如图，有三种不同形状的容器，现向三种容器匀速注水，恰好注满时停止．已知注水前图①的容器中有200ml的水，图②容器中有100ml的水，图③容器中没有水，是空的．图①和图②的注水速度均为5ml/s，图③的注水速度为10ml/s．设容器中水的体积为y（单位：ml），注水时间为x（单位：s）．请分别写出三个容器中y关于x的函数表达式．
（2）如图④，同学们自己制作了一个特殊的容器，这个特殊容器有上、下两个高度相同的圆柱体组合而成，且上圆柱体底面圆的半径是下圆柱体底面圆的半径的一半．已知这个特殊容器的高为20cm，注水前，容器内的水面高度是4cm，现向容器匀速注水，直至容器恰好注满时停止，每5s记录一次水面的高度h（单位：cm），前5次数据如下表所示．
注水时间t/s
0
5
10
15
20
…
水面高度h/cm
4
5
6
7
8
…
①在平面直角坐标系中，请画出水面高度h关于注水时间t的函数图象，并标注相关数据；
②在水面高度h满足6≤h≤16时，则注水时间t的取值范围是 10≤t≤37.5 ．
【分析】（1）根据题意直接得出结论；
（2）①先判断出注满下圆柱所用的时间，进而得出前半的函数关系式，再确定出上圆柱注水速度，即可得出结论，最后画出图象，即可得出结论；
②将h＝6和16代入对应的函数关系式中求解，即可得出结论．
【解答】（1）解：根据题意得，图①容器中，y＝5x+200；
图②容器中，y＝5x+100；
图③容器中，y＝10x；
（2）①由题意知，两个圆柱的高都为10cm，
由表知，时间每增加5秒，高度增加1cm，
当下圆柱注满水时，所用时间为：（10﹣4）×5＝30（秒），
∴当0≤t≤30时，h＝x+4，
由于下圆柱的底面圆的半径是上圆柱的底面的一半，
∴上圆柱的底面积是下圆柱的底面积的，
∴上圆柱每秒，h增加1cm，
∴上圆柱注满水时，t＝30+×10＝42.5（秒），
∴当30＜t≤42.5，h＝t﹣，
如图：
②将h＝6代入h＝x+4中，解得，t＝10，
将h＝16代入h＝t﹣中，解得，t＝37.5，
∴10≤t≤37.5，
故答案为：10≤t≤37.5．
27．（10分）【基础模型】
（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E．求证：△ACD≌△ABE．
【模型拓展】
（2）在平面直角坐标系中，两条互相垂直的直线l1与l2都经过点M（4，3），直线l1与x轴的正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，直线l2与x轴交于点C，与y轴交于点D．
①如图2，点M是线段AB的中点，求线段AC的长度；
②连接AD，如果△ABD是等腰三角形，直接写出点B的坐标．
【分析】（1）由“AAS”可证△ACD≌△ABE；
（2）①由中点坐标和直角三角形的性质可求OB＝6，OA＝8，由线段垂直平分线的性质可求AC＝BC，由勾股定理可求解；
②分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和全等三角形可求解．
【解答】证明：（1）∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ADC＝∠AEB＝90°，
在△ACD与△ABE中，
，
∴△ACD≌△ABE（AAS）；
（2）①如图2，连接OM、BC，
∵M为AB中点，∠AOB＝90°，M为（4，3），
∴OM＝AM＝BM＝5，
∴OB＝6，OA＝8，
又AB⊥CM，AM＝BM，
∴AC＝BC，
设AC＝BC＝x，
则OC＝8﹣x，
在Rt△OBC中，OC2+OB2＝BC2，
∴36+（8﹣x）2＝x2，
∴，
即AC的长为；
②如图3，连接AD，OM，
Ⅰ、当AD＝BD时，
∵DM⊥AB，
则M是AB中点，
由①知OB＝6，
∴B为（0，6），
Ⅱ、当AB＝BD时，
由（1）知，△BMD≌△BOA，
∴BM＝BO，
设BN＝x，
在Rt△BMN中，BN＝x，MN＝4，BM＝OB＝3+x，
由勾股定理可知（x+3）2＝x2+16，
∴，即，
∴B为，
Ⅲ、当AB＝AD时，
∵AO⊥BD，
∴O为BD中点，
∵DM⊥AB，
∴∠BMD＝90°，
在Rt△DMB中，OM＝OB＝OD＝5，
∴B为（0，5），
综上所述：B点坐标为（0，5）或（0，6）或．
2020-2021学年江苏省南京市玄武区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下列各数中，无理数的是（ ）
A． B．
C．0.121221222 D．π
2．若△ABC≌△DEF，且∠A＝60°，∠B＝70°，则∠F的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
3．在平面直角坐标系中，下列点中位于第二象限的是（ ）
A．（0，3） B．（﹣2，1） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣1）
4．已知一次函数y＝3x﹣2，下列说法错误的是（ ）
A．图象经过第一、三、四象限
B．图象与y轴的交点坐标为（0，﹣2）
C．y随x增大而减小
D．该图象可以由y＝3x平移得到
5．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，BC＝10，CD＝6，则点D到AC的距离为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
6．如图，函数y＝kx+b经过点A（﹣3，2），则关于x的不等式kx+b＜2解集为（ ）
A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．x＞2 D．x＜2
7．若方程（x﹣1）2＝5的解分别为a，b，且a＞b，下列说法正确的是（ ）
A．a是5的平方根 B．b是5的平方根
C．a﹣1是5的算术平方根 D．b﹣1是5的算术平方根
8．如图，等边△ABC的顶点A（1，1），B（3，1），规定把等边△ABC“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2021次变换后，△ABC顶点C的坐标为（ ）
A．（﹣2020，1+） B．（﹣2020，﹣1﹣）
C．（﹣2019，1+） D．（﹣2019，﹣1﹣）
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．点（2，﹣3）关于y轴对称的点的坐标是 ．
10．用四舍五入法把3.1415取近似数（精确到百分位）为 ．
11．4的立方根是 ．
12．已知点P（﹣2，a）在一次函数y＝3x+1的图象上，则a＝ ．
13．比较大小：﹣ ﹣1.5．
14．如图，数轴上点A表示的数是 ．
15．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，BC＝10，把△ABC沿直线AD折叠，点C落在点C′处，那么BC′的长为 ．
16．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE分别与AB、BC交于点D、E，AC的垂直平分线FG分别与BC、AC交于点F、G，BC＝10，EF＝3，则△AEF的周长是 ．
17．已知一次函数y＝kx﹣b（k、b为常数，且k≠0，b≠0）与y＝x的图象相交于点M（a，1），则关于x的方程（k﹣）x＝b的解为x＝ ．
18．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的顶点B在x轴上，∠ABO＝90°，AB＝OB，点C（10，8）在AB边上，D为OB的中点，P为边OA上的动点（不与O，A重合）．下列说法正确的是 （填写所有正确的序号）．
①当点P运动到OA中点时，点P到OB和AB的距离相等；
②当点P运动到OA中点时，∠APC＝∠DPO；
③当点P从点O运动到点A时，四边形PCBD的面积先变大再变小；
④四边形PCBD的周长最小时，点P的坐标为（，）．
三、解答题（本大题共9小题，共64分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）（1）求x的值：4x2﹣9＝0；
（2）计算：+﹣．
20．（6分）如图，AC、BD交于点O，∠ABC＝∠DCB，∠1＝∠2，求证：AB＝DC．
21．（6分）如图是一个滑梯示意图，左边是楼梯，右边是滑道，已知滑道AC与AE的长度一样，滑梯的高度BC＝4m，BE＝1m．求滑道AC的长度．
22．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，FE是AC的垂直平分线，交AD于点F，连接BF．求证：AF＝BF．
23．（8分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象经过点（2，1），（4，﹣2）．
（1）求该一次函数的表达式；
（2）若点A（2m，y1），B（m+1，y2）在该一次函数的图象上，且y1＞y2，求实数m的取值范围．
24．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知点P在第四象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，点Q的坐标为（﹣2，3）．
（1）写出点P的坐标 ；
（2）要使点P与点Q重合，下列方式正确的有 ；（填上所有正确的序号）
①将点P向左平移5个单位，再向上平移5个单位；
②将点P沿直线y＝x翻折；
③将点P绕原点逆时针旋转90°，再向左平移4个单位．
（3）△OPQ的面积为 ．
25．（6分）在△ABC中，AB＝AC，直线l经过点A，且与BC平行．仅用圆规完成下列画图．（保留画图痕迹，不写作法）
（1）如图①，在直线l上画出一点P，使得∠APC＝∠ACB；
（2）如图②，在直线l上画出所有的点Q，使得∠AQC＝∠ACB．
26．（10分）数学兴趣小组的同学们受《乌鸦喝水》故事的启发，在数学实验室中，利用带刻度的容器和匀速流水的水龙头进行数学实验．
（1）如图，有三种不同形状的容器，现向三种容器匀速注水，恰好注满时停止．已知注水前图①的容器中有200ml的水，图②容器中有100ml的水，图③容器中没有水，是空的．图①和图②的注水速度均为5ml/s，图③的注水速度为10ml/s．设容器中水的体积为y（单位：ml），注水时间为x（单位：s）．请分别写出三个容器中y关于x的函数表达式．
（2）如图④，同学们自己制作了一个特殊的容器，这个特殊容器有上、下两个高度相同的圆柱体组合而成，且上圆柱体底面圆的半径是下圆柱体底面圆的半径的一半．已知这个特殊容器的高为20cm，注水前，容器内的水面高度是4cm，现向容器匀速注水，直至容器恰好注满时停止，每5s记录一次水面的高度h（单位：cm），前5次数据如下表所示．
注水时间t/s
0
5
10
15
20
…
水面高度h/cm
4
5
6
7
8
…
①在平面直角坐标系中，请画出水面高度h关于注水时间t的函数图象，并标注相关数据；
②在水面高度h满足6≤h≤16时，则注水时间t的取值范围是 ．
27．（10分）【基础模型】
（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E．求证：△ACD≌△ABE．
【模型拓展】
（2）在平面直角坐标系中，两条互相垂直的直线l1与l2都经过点M（4，3），直线l1与x轴的正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，直线l2与x轴交于点C，与y轴交于点D．
①如图2，点M是线段AB的中点，求线段AC的长度；
②连接AD，如果△ABD是等腰三角形，直接写出点B的坐标．
2020-2021学年江苏省南京市玄武区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下列各数中，无理数的是（ ）
A． B．
C．0.121221222 D．π
【分析】无理数就是无限不循环小数，依据定义即可判断．
【解答】解：A、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意；
B、＝2，2是有理数，故此选项不符合题意；
C、0.121221222是有限小数，属于有理数，故此选项不符合题意；
D、π是无理数，故此选项符合题意．
故选：D．
2．若△ABC≌△DEF，且∠A＝60°，∠B＝70°，则∠F的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠C，根据全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵∠A＝60°，∠B＝70°，
∴∠C＝180°﹣60°﹣70°＝50°，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠F＝∠C＝50°，
故选：A．
3．在平面直角坐标系中，下列点中位于第二象限的是（ ）
A．（0，3） B．（﹣2，1） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣1）
【分析】点在第二象限的条件是：横坐标是负数，纵坐标是正数，直接得出答案即可．
【解答】解：∵点在第二象限，
∴点的横坐标是负数，纵坐标是正数，
∴只有B符合要求．
故选：B．
4．已知一次函数y＝3x﹣2，下列说法错误的是（ ）
A．图象经过第一、三、四象限
B．图象与y轴的交点坐标为（0，﹣2）
C．y随x增大而减小
D．该图象可以由y＝3x平移得到
【分析】根据一次函数的性质以及平移的规律进行判断即可．
【解答】解：A、∵k＝3，b＝﹣2，
∴一次函数y＝3x﹣2图像经过第一、三、四象限，正确，不合题意；
B、令x＝0，则y＝﹣2，
∴图象与y轴的交点坐标为（0，﹣2），正确，不合题意；
C、∵k＝3＞0，
∴y随x增大而减小，错误，符合题意；
D、一次函数y＝3x﹣2的图像可由y＝3x向下平移2个得到，正确，不合题意；
故选：C．
5．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，BC＝10，CD＝6，则点D到AC的距离为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】由条件可先求得BD的长，再根据角平分线的性质可知D到AC的距离等于BD，可得到答案．
【解答】解：∵BC＝10，CD＝6，
∴BD＝BC﹣CD＝10﹣6＝4，
△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，
∴点D到AC的距离＝BD＝4．
故选：A．
6．如图，函数y＝kx+b经过点A（﹣3，2），则关于x的不等式kx+b＜2解集为（ ）
A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．x＞2 D．x＜2
【分析】一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值小于2的自变量x的取值范围．
【解答】解：由图中可以看出，当x＞﹣3时，kx+b＜2，
故选：A．
7．若方程（x﹣1）2＝5的解分别为a，b，且a＞b，下列说法正确的是（ ）
A．a是5的平方根 B．b是5的平方根
C．a﹣1是5的算术平方根 D．b﹣1是5的算术平方根
【分析】根据平方根和算术平方根的定义逐一判断即可．
【解答】解：若方程（x﹣1）2＝5的解分别为a，b，且a＞b，
则a﹣1是5的算术平方根．
故选：C．
8．如图，等边△ABC的顶点A（1，1），B（3，1），规定把等边△ABC“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2021次变换后，△ABC顶点C的坐标为（ ）
A．（﹣2020，1+） B．（﹣2020，﹣1﹣）
C．（﹣2019，1+） D．（﹣2019，﹣1﹣）
【分析】据轴对称判断出点A变换后在x轴下方，然后求出点A纵坐标，再根据平移的距离求出点A变换后的横坐标，最后写出即可．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形AB＝3﹣1＝2，
∴点C到x轴的距离为1+2×＝+1，
横坐标为2，
∴C（2，+1），
∵第2021次变换后的三角形在x轴下方，
∴点C的纵坐标为﹣﹣1，
∵横坐标为2﹣2021×1＝﹣2019，
所以，点C的对应点C′的坐标是（﹣2019，﹣1﹣），
故选：D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．点（2，﹣3）关于y轴对称的点的坐标是 （﹣2，﹣3） ．
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于y轴的对称点的坐标是（﹣x，y），即关于纵轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数．
【解答】解：点（2，﹣3）关于y轴对称的点的坐标是（﹣2，﹣3），
故答案为（﹣2，﹣3）．
10．用四舍五入法把3.1415取近似数（精确到百分位）为 3.14 ．
【分析】根据近似数的精确度，把3.1415中的千分位上的数字1进行四舍五入即可．
【解答】解：用四舍五入法把3.1415取近似数（精确到百分位）为3.14．
故答案为：3.14．
11．4的立方根是 ．
【分析】根据立方根的定义即可得．
【解答】解：4的立方根是，
故答案为：．
12．已知点P（﹣2，a）在一次函数y＝3x+1的图象上，则a＝ ﹣5 ．
【分析】把点P的坐标代入函数解析式，列出关于a的方程，通过解方程可以求得a的值．
【解答】解：∵点P（﹣2，a）在一次函数y＝3x+1的图象上，
∴a＝3×（﹣2）+1＝﹣5．
故答案是：﹣5．
13．比较大小：﹣ ＜ ﹣1.5．
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【解答】解：＝3，（﹣1.5）2＝2.25，
∵3＞2.25，
∴﹣＜﹣1.5．
故答案为：＜．
14．如图，数轴上点A表示的数是 ．
【分析】根据勾股定理和实数的意义即可得到结论．
【解答】解：∵＝，
∴数轴上点A表示的数是，
故答案为：．
15．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，BC＝10，把△ABC沿直线AD折叠，点C落在点C′处，那么BC′的长为 5 ．
【分析】由题意可得BD＝CD＝5，根据折叠的性质可得CD＝C'D＝5，∠ADC＝∠ADC'＝45°，根据勾股定理可求BC'的长．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，BC＝10，
∴BD＝CD＝5，
∵把△ABC沿直线AD折叠，
∴CD＝C'D，∠ADC＝∠ADC'＝45°，
∴BD＝C'D＝5，∠BDC'＝90°，
∴BC'＝＝＝＝5，
故答案为：．
16．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE分别与AB、BC交于点D、E，AC的垂直平分线FG分别与BC、AC交于点F、G，BC＝10，EF＝3，则△AEF的周长是 16 ．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，FA＝FC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
同理，FA＝FC，
∴△AEF的周长＝FA+EF+EA＝EB+EF+FC＝BC+EF+EF＝16，
故答案为：16．
17．已知一次函数y＝kx﹣b（k、b为常数，且k≠0，b≠0）与y＝x的图象相交于点M（a，1），则关于x的方程（k﹣）x＝b的解为x＝ 3 ．
【分析】把A（a，1）代入y＝x求出a，根据A点的横坐标，即可求出答案．
【解答】解：把A（a，1）代入y＝x得：1＝a，
解得a＝3，
∴A（3，1），
∴根据图象信息可得关于x的方程kx﹣b＝x的解为3，
∴关于x的方程（k﹣）x＝b的解为x＝3．
故答案为：3．
18．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的顶点B在x轴上，∠ABO＝90°，AB＝OB，点C（10，8）在AB边上，D为OB的中点，P为边OA上的动点（不与O，A重合）．下列说法正确的是 ①④ （填写所有正确的序号）．
①当点P运动到OA中点时，点P到OB和AB的距离相等；
②当点P运动到OA中点时，∠APC＝∠DPO；
③当点P从点O运动到点A时，四边形PCBD的面积先变大再变小；
④四边形PCBD的周长最小时，点P的坐标为（，）．
【分析】过点P作PE⊥AB于E，判断出PD，PE是△AOB的中位线，进而判断出①正确，②错误，连接BP，过点P作PF⊥OB于F，设PF＝m，则OF＝m，BF＝10﹣m，进而利用三角形的面积公式求出S四边形PCBD＝﹣m+40，判断出③错误，先判断出四边形PCBD周长最小，得出PD+PC最小，作点D关于OA的对称点，求出点G坐标，求出直线CG，OA解析式，联立解方程组，即可得出结论．
【解答】解：如图1，
当点P是OA的中点时，
∵点D是OB的中点，
∴OD＝BD，DP是△AOB的中位线，
∴PD＝AB，
∵AB＝OB，
∴PD＝OB，
过点P作PE⊥AB于E，则PE∥OB，
∴PE是△AOB的中位线，
∴PE＝OB＝PD，故①正确；
∵C（10，8），
∴OB＝10，BC＝8，
∴AB＝10，
∴点C在线段AE上，
∴∠APC＜∠APE，
∵PE是△AOB的中位线，
∴PE∥OB，
∴∠POD＝∠APE，
∴∠APC＜∠POD，故②错误；
如图2，
连接BP，过点P作PF⊥OB于F，
∵OB＝AB，
∴∠AOB＝45°，
∴PF＝OF，
设PF＝m，则OF＝m，
∴BF＝OB﹣OF＝10﹣m，
∴S四边形PCBD
＝S△AOB﹣S△POD﹣S△PAC
＝OB•AB﹣OD•PF﹣AC•BF
＝[10×10﹣5m﹣2（10﹣m）]
＝（﹣3m+80）
＝﹣m+40，
∴m越大，四边形PCBD的面积越小，故③错误；
如图3，
∵BC＝8，BD＝5，
∴l四边形BCPD＝BD+BC+PC+PD＝13+PC+PD，
要使四边形PCBD的周长最小，则PC+PD最小，
过点D作OA的对称点G，
∴OG＝OD，DG⊥OA，
∵∠AOB＝45°，
∴∠AOG＝45°，
∴点G在y轴上，且G（0，5），
∵C（10，8），
∴CG的解析式为y＝x+5，
∵C（10，10），
∴OC的解析式为y＝x，
联立直线CG与OC的解析式解得，，
∴P（，），故④正确，
即正确的有①④，
故答案为：①④．
三、解答题（本大题共9小题，共64分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）（1）求x的值：4x2﹣9＝0；
（2）计算：+﹣．
【分析】（1）先移项，再系数化1，然后开平方可得答案；
（2）直接利用立方根以及二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：（1）∵4x2﹣9＝0，
∴4x2＝9，
∴x2＝，
∴x＝±；
（2）原式＝5+2﹣3
＝4．
20．（6分）如图，AC、BD交于点O，∠ABC＝∠DCB，∠1＝∠2，求证：AB＝DC．
【分析】由“ASA”可证△ABO≌△DCO，可得结论．
【解答】证明：∵∠ABC＝∠DCB，∠1＝∠2，
又∵∠OBC＝∠ABC﹣∠1，∠OCB＝∠DCB﹣∠2，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴OB＝OC，
在△ABO和△DCO中，
，
∴△ABO≌△DCO（ASA），
∴AB＝DC．
21．（6分）如图是一个滑梯示意图，左边是楼梯，右边是滑道，已知滑道AC与AE的长度一样，滑梯的高度BC＝4m，BE＝1m．求滑道AC的长度．
【分析】设AC＝xm，则AE＝AC＝xm，AB＝AE﹣BE＝（x﹣1）m，在在Rt△ABC中利用勾股定理列出方程，通过解方程即可求得答案．
【解答】解：设AC＝xm，则AE＝AC＝xm，AB＝AE﹣BE＝（x﹣1）m，
由题意得：∠ABC＝90°，
在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2（x﹣1）2+42＝x2
解得x＝8.5
∴AC＝8.5m．
22．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，FE是AC的垂直平分线，交AD于点F，连接BF．求证：AF＝BF．
【分析】由等腰三角形的性质可得BD＝CD，AD⊥BC，由线段垂直平分线的性质可得BF＝CF＝AF．
【解答】证明：连接CF，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴BD＝CD，AD⊥BC，
∴BF＝CF，
∵FE垂直平分AC，
∴AF＝CF，
∴AF＝BF．
23．（8分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象经过点（2，1），（4，﹣2）．
（1）求该一次函数的表达式；
（2）若点A（2m，y1），B（m+1，y2）在该一次函数的图象上，且y1＞y2，求实数m的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法求一次函数的解析式；
（2）利用一次函数的性质得到y1＞y2，则x1＜x2，即2m＜m+1，然后解关于m的不等式即可．
【解答】解：（1）设一次函数的表达式为y＝kx+b（k≠0），
把（2，1），（4，﹣2）代入得，解得，
∴一次函数的表达式为y＝﹣x+4；
（2）∵k＝﹣＜0，
∴y随x的增大而减少，
∵y1＞y2
∴x1＜x2，即2m＜m+1，
∴m＜1．
24．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知点P在第四象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，点Q的坐标为（﹣2，3）．
（1）写出点P的坐标 （3，﹣2） ；
（2）要使点P与点Q重合，下列方式正确的有 ①②③ ；（填上所有正确的序号）
①将点P向左平移5个单位，再向上平移5个单位；
②将点P沿直线y＝x翻折；
③将点P绕原点逆时针旋转90°，再向左平移4个单位．
（3）△OPQ的面积为 ．
【分析】（1）根据图形作出图形即可判断．
（2）根据平移，法则，旋转等知识一一判断即可．
（3）利用分割法求解即可．
【解答】解：（1）由题意P（3，﹣2），
故答案为：（3，﹣2）．
（2）由题意①②③度符合题意．
故答案为：①②③．
（3）S△POQ＝×1×3+×1×2＝，
故答案为：．
25．（6分）在△ABC中，AB＝AC，直线l经过点A，且与BC平行．仅用圆规完成下列画图．（保留画图痕迹，不写作法）
（1）如图①，在直线l上画出一点P，使得∠APC＝∠ACB；
（2）如图②，在直线l上画出所有的点Q，使得∠AQC＝∠ACB．
【分析】（1）以C点为圆心，CA为半径画弧交直线l于P，则∠APC＝∠CAP，而l∥BC，∠ACB＝∠CAP，所以∠APC＝∠ACB；
（2）以A点为圆心，AC为半径画弧交直线l于Q1，再以C点为圆心，CQ1为半径画弧交直线l于Q2，则∠CAQ2＝∠AQ1C+∠ACQ1，所以∠AQ1C＝∠ACB，易得∠AQ2C＝∠AQ1C＝∠ACB．
【解答】解：（1）如图①，点P为所作；
（2）如图②，点Q1、Q2即为所求，
26．（10分）数学兴趣小组的同学们受《乌鸦喝水》故事的启发，在数学实验室中，利用带刻度的容器和匀速流水的水龙头进行数学实验．
（1）如图，有三种不同形状的容器，现向三种容器匀速注水，恰好注满时停止．已知注水前图①的容器中有200ml的水，图②容器中有100ml的水，图③容器中没有水，是空的．图①和图②的注水速度均为5ml/s，图③的注水速度为10ml/s．设容器中水的体积为y（单位：ml），注水时间为x（单位：s）．请分别写出三个容器中y关于x的函数表达式．
（2）如图④，同学们自己制作了一个特殊的容器，这个特殊容器有上、下两个高度相同的圆柱体组合而成，且上圆柱体底面圆的半径是下圆柱体底面圆的半径的一半．已知这个特殊容器的高为20cm，注水前，容器内的水面高度是4cm，现向容器匀速注水，直至容器恰好注满时停止，每5s记录一次水面的高度h（单位：cm），前5次数据如下表所示．
注水时间t/s
0
5
10
15
20
…
水面高度h/cm
4
5
6
7
8
…
①在平面直角坐标系中，请画出水面高度h关于注水时间t的函数图象，并标注相关数据；
②在水面高度h满足6≤h≤16时，则注水时间t的取值范围是 10≤t≤37.5 ．
【分析】（1）根据题意直接得出结论；
（2）①先判断出注满下圆柱所用的时间，进而得出前半的函数关系式，再确定出上圆柱注水速度，即可得出结论，最后画出图象，即可得出结论；
②将h＝6和16代入对应的函数关系式中求解，即可得出结论．
【解答】（1）解：根据题意得，图①容器中，y＝5x+200；
图②容器中，y＝5x+100；
图③容器中，y＝10x；
（2）①由题意知，两个圆柱的高都为10cm，
由表知，时间每增加5秒，高度增加1cm，
当下圆柱注满水时，所用时间为：（10﹣4）×5＝30（秒），
∴当0≤t≤30时，h＝x+4，
由于下圆柱的底面圆的半径是上圆柱的底面的一半，
∴上圆柱的底面积是下圆柱的底面积的，
∴上圆柱每秒，h增加1cm，
∴上圆柱注满水时，t＝30+×10＝42.5（秒），
∴当30＜t≤42.5，h＝t﹣，
如图：
②将h＝6代入h＝x+4中，解得，t＝10，
将h＝16代入h＝t﹣中，解得，t＝37.5，
∴10≤t≤37.5，
故答案为：10≤t≤37.5．
27．（10分）【基础模型】
（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E．求证：△ACD≌△ABE．
【模型拓展】
（2）在平面直角坐标系中，两条互相垂直的直线l1与l2都经过点M（4，3），直线l1与x轴的正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，直线l2与x轴交于点C，与y轴交于点D．
①如图2，点M是线段AB的中点，求线段AC的长度；
②连接AD，如果△ABD是等腰三角形，直接写出点B的坐标．
【分析】（1）由“AAS”可证△ACD≌△ABE；
（2）①由中点坐标和直角三角形的性质可求OB＝6，OA＝8，由线段垂直平分线的性质可求AC＝BC，由勾股定理可求解；
②分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和全等三角形可求解．
【解答】证明：（1）∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ADC＝∠AEB＝90°，
在△ACD与△ABE中，
，
∴△ACD≌△ABE（AAS）；
（2）①如图2，连接OM、BC，
∵M为AB中点，∠AOB＝90°，M为（4，3），
∴OM＝AM＝BM＝5，
∴OB＝6，OA＝8，
又AB⊥CM，AM＝BM，
∴AC＝BC，
设AC＝BC＝x，
则OC＝8﹣x，
在Rt△OBC中，OC2+OB2＝BC2，
∴36+（8﹣x）2＝x2，
∴，
即AC的长为；
②如图3，连接AD，OM，
Ⅰ、当AD＝BD时，
∵DM⊥AB，
则M是AB中点，
由①知OB＝6，
∴B为（0，6），
Ⅱ、当AB＝BD时，
由（1）知，△BMD≌△BOA，
∴BM＝BO，
设BN＝x，
在Rt△BMN中，BN＝x，MN＝4，BM＝OB＝3+x，
由勾股定理可知（x+3）2＝x2+16，
∴，即，
∴B为，
Ⅲ、当AB＝AD时，
∵AO⊥BD，
∴O为BD中点，
∵DM⊥AB，
∴∠BMD＝90°，
在Rt△DMB中，OM＝OB＝OD＝5，
∴B为（0，5），
综上所述：B点坐标为（0，5）或（0，6）或．
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