北师大版九年级上册第二章 一元二次方程6 应用一元二次方程学案

这是一份北师大版九年级上册第二章 一元二次方程6 应用一元二次方程学案，共30页。学案主要包含了内容分析，课堂练习，典型例题等内容，欢迎下载使用。
1、一元二次方程的一般式：，为二次项系数，为一次项系数，为常数项。
2、一元二次方程的解法
（1） 直接开平方法 （也可以使用因式分解法）
① 解为：
② 解为：
③ 解为：
④ 解为：
（2） 因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法
如： 此类方程适合用提供因此，而且其中一个根为0


注意：提取整个因式的方法非常常见，解题的过程中一定要认真观察。


十字相乘法非常实用，注意在解题的过程中多考虑。
（3） 配方法
①二次项的系数为“1”的时候：直接将一次项的系数除于2进行配方，如下所示：

示例：
②二次项的系数不为“1”的时候：先提取二次项的系数，之后的方法同上：


示例：
备注：实际在解方程的过程中，一般也只是针对且为偶数时，才使用配方法，否则可以考虑使用公式法来更加简单。
（4）公式法：一元二次方程，用配方法将其变形为：
①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：
② 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：
③ 当时，右端是负数．因此，方程没有实根。
注意：虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。
备注：公式法解方程的步骤：
①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：，并确定出、、
②求出，并判断方程解的情况。
③代公式：（要注意符号）
备注：一元二次方程的解题步骤：
①首先看方程中是否可以同时除以或者乘以一个非零的数，使得方程更加方便计算：
如：（同除于10）这样更加方便计算。
（同乘于，这样二次项的系数为正整数，更方便计算）
②四种求方程方法的一定要合理选用，依次按直接开平方、因式分解，配方法和公式法的顺序考虑选用。
③可以考虑选用根与系数的关系对方程的根进行适当的检验，同时对于应用题中，一定要考虑根的实际意义，是否所有的根都是方程的解。
3、一元二次方程的根与系数的关系
法1：一元二次方程的两个根为：

所以：，

定理：如果一元二次方程定的两个根为，那么：

法2：如果一元二次方程定的两个根为；那么
两边同时除于，展开后可得：
；
法3：如果一元二次方程定的两个根为；那么
②
①
①②得：（余下略）
常用变形：
， ， ，
， ，
等
练习：
【练习1】若是方程的两个根，试求下列各式的值：
(1) ； (2) ； (3) ； (4) ．
【练习2】已知关于的方程，根据下列条件，分别求出的值．
(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根满足．
【练习3】已知是一元二次方程的两个实数根．
(1) 是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，
请您说明理由．
(2) 求使的值为整数的实数的整数值．
4、韦达定理相关知识
（1）若一元二次方程有两个实数根，那么 ， 。我们把这两个结论称为一元二次方程根与系数的关系，简称韦达定理。
（2）如果一元二次方程的两个根是，则 ， 。
（3）以为根的一元二次方程（二次项系数为1）是
（4）在一元二次方程中，有一根为0，则 ；有一根为1，则 ；有一根为，则 ；若两根互为倒数,则 ；若两根互为相反数，则 。
（5）二次三项式的因式分解(公式法)
在分解二次三项式的因式时，如果可用公式求出方程的两个根，那么．如果方程无根,则此二次三项式不能分解。
5、一类特殊的二元一次方程的求解方法再探讨
的两个根为，那么：
（1）的两个根为：，（原因留给大家自行思考）
例1： 先求出方程：的两根为：
，故原方程的根为：
（2）的两个根为：，
例2：
先解得方程：的两根为：，所以原方程的两个解为：

6、应用题
（1）平均增长率的问题： 其中：为基数，为增长率，表示连续增长的次数，
表示增长后的数量。 （2）面积问题：注意平移思想的使用
7、换元法 例：
解：令 则原方程可化为： 解得：
①当时，求得：
②当时，求得：（原方程共有4个解） 练习：
考点精析
考点一、概念
(1)定义：①只含有一个未知数，并且②未知数的最高次数是2，这样的③整式方程就是一元二次方程。
(2)一般表达式：
⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”：
①该项系数不为“0”；
②未知数指数为“2”；
③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
典型例题：
例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A B
C D
变式：当k 时，关于x的方程是一元二次方程。
例2、方程是关于x的一元二次方程，则m的值为 。
针对练习：
★1、方程的一次项系数是 ，常数项是 。
★2、若方程是关于x的一元一次方程，
⑴求m的值；⑵写出关于x的一元一次方程。
★★3、若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 。
★★★4、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ）
A.m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1
考点二、方程的解
⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
⑵应用：利用根的概念求代数式的值；
典型例题：
例1、已知的值为2，则的值为 。
例2、关于x的一元二次方程的一个根为0，则a的值为 。
说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制.
例3、已知关于x的一元二次方程的系数满足，则此方程
必有一根为 。
说明：本题的关键点在于对 “代数式形式”的观察，再利用特殊根“-1”巧解代数
式的值。
例4、已知是方程的两个根，是方程的两个根，
则m的值为 。
针对练习：
★1、已知方程的一根是2，则k为 ，另一根是 。
★2、已知关于x的方程的一个解与方程的解相同。
⑴求k的值；
⑵方程的另一个解。
★3、已知m是方程的一个根，则代数式 。
★★4、已知是的根，则 。
★★5、方程的一个根为（ ）
A B 1 C D
★★★6、若 。
考点三、解法
⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法
⑵关键点：降次
类型一、直接开方法：
※※对于，等形式均适用直接开方法
典型例题：
例1、解方程： =0;
例2、解关于x的方程：
例3、若，则x的值为 。
针对练习：下列方程无解的是（ ）
A. B. C. D.

类型二、因式分解法:
※方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，
※方程形式：如， ，

典型例题：
例1、的根为（ ）
A B C D
例2、若，则4x+y的值为 。
变式1： 。
变式2：若，则x+y的值为 。
变式3：若，，则x+y的值为 。
例3、方程的解为（ ）
A. B. C. D.
例4、解方程：
例5、已知,则的值为 。
变式：已知,且,则的值为 。
针对练习：
★1、下列说法中：
①方程的二根为，，则
② .
③
④
⑤方程可变形为
正确的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
★2、以与为根的一元二次方程是（）
A． B．
C． D．
★★3、⑴写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为倒数：
⑵写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为相反数：
★★4、若实数x、y满足，则x+y的值为（ ）
A、-1或-2 B、-1或2 C、1或-2 D、1或2
5、方程：的解是 。
★★★6、已知，且，，求的值。
★★★7、方程的较大根为r，方程
的较小根为s，则s-r的值为 。
类型三、配方法
※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式
的值或极值之类的问题。
典型例题：
例1、试用配方法说明的值恒大于0。
例2、已知x、y为实数，求代数式的最小值。
例3、已知为实数，求的值。
例4、分解因式：
针对练习：
★★1、试用配方法说明的值恒小于0。
★★2、已知，则 .
★★★3、若，则t的最大值为 ，最小值为 。
★★★4、如果,那么的值为 。
类型四、公式法
⑴条件：
⑵公式： ,
典型例题：
例1、选择适当方法解下列方程：
⑴ ⑵ ⑶
⑷ ⑸
说明：解一元二次方程时，首选方法是因式分解法和直接开方法、其次选用求根公式
法；一般不选择配方法。
例2、在实数范围内分解因式：
（1）； （2）. ⑶
说明：①对于二次三项式的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，
一般情况要用求根公式，这种方法首先令=0，求出两根，再写成
=.
②分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.

类型五、 “降次思想”的应用
⑴求代数式的值； ⑵解二元二次方程组。
典型例题：
例1、已知，求代数式的值。
例2、如果，那么代数式的值。
例3、已知是一元二次方程的一根，求的值。
说明：在运用降次思想求代数式的值的时候，要注意两方面的问题：①能对已知式进
行灵活的变形；②能利用已知条件或变形条件，逐步把所求代数式的高次幂化为低次
幂，最后求解。
例4、用两种不同的方法解方程组

说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：①先消元，再降次；②先降次，再
消元。但都体现了一种共同的数学思想——化归思想，即把新问题转化归结为我们已
知的问题.
考点四、根的判别式
根的判别式的作用：
①定根的个数；
②求待定系数的值；
③应用于其它。
典型例题：
例1、若关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 。
例2、关于x的方程有实数根，则m的取值范围是( )
A. B. C. D.
例3、已知关于x的方程
(1)求证：无论k取何值时，方程总有实数根；
(2)若等腰ABC的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求ABC的周长。
例4、已知二次三项式是一个完全平方式，试求的值.
说明：若二次三项式为一个完全平方式，则其相应方程的判别式
即：若，则二次三项式为完全平方式；反之，若
为完全平方式，则.
例5、为何值时，方程组
有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？
针对练习：
★1、当k 时，关于x的二次三项式是完全平方式。
★2、当取何值时，多项式是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？
★3、已知方程有两个不相等的实数根，则m的值是 .
★★4、为何值时，方程组
（1）有两组相等的实数解，并求此解；
（2）有两组不相等的实数解；
（3）没有实数解.
★★★5、当取何值时，方程的根与均为有理数？
考点五、方程类问题中的“分类讨论”
典型例题：
例1、关于x的方程
⑴有两个实数根，则m为 ,
⑵只有一个根，则m为 。
例2、不解方程，判断关于x的方程根的情况。
例3、如果关于x的方程及方程均有实数根，问这两方程
是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及k的值；若没有，请说明理由。


考点六、应用解答题
⑴“碰面”问题；⑵“复利率”问题；⑶“几何”问题；
⑷“最值”型问题；⑸“图表”类问题
典型例题：
1、五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯990次，问晚宴共有多少人出席？
2、某小组每人送他人一张照片，全组共送了90张，那么这个小组共多少人？
3、北京申奥成功，促进了一批产业的迅速发展，某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放
市场，根据计划，第一年投入资金600万元，第二年比第一年减少，第三年比第二
年减少，该产品第一年收入资金约400万元，公司计划三年内不仅要将投入的总资
金全部收回，还要盈利，要实现这一目标，该产品收入的年平均增长率约为多少？（结
果精确到0.1，）
4、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对此回答：
（1）当销售价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润。
（2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，
销售单价应定为多少？
5、将一条长20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。
（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这两段铁丝的长度分别为多少？
（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不
能，请说明理由。
（3）两个正方形的面积之和最小为多少？
6、A、B两地间的路程为36千米.甲从A地，乙从B地同时出发相向而行，两人相遇后，
甲再走2小时30分到达B地，乙再走1小时36分到达A地，求两人的速度.
考点七、根与系数的关系
⑴前提：对于而言，当满足①、②时，
才能用韦达定理。
⑵主要内容：
⑶应用：整体代入求值。
典型例题：
例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程的两根，则这个直角三
角形的斜边是（ ）
A. B.3 C.6 D.
说明：要能较好地理解、运用一元二次方程根与系数的关系，必须熟练掌握、
、、之间的运算关系.
例2、解方程组：

说明：一些含有、、的二元二次方程组，除可以且代入法来解外，
往往还可以利用根与系数的关系，将解二元二次方程组化为解一元二次方程的问题.
有时，后者显得更为简便.
例3、已知关于x的方程有两个不相等的实数根，
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k的值；若不
存在，请说明理由。
例4、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为1）时，小明因看错
常数项，而得到解为8和2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。你知道
原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？
例5、已知，，，求
变式：若，，则的值为 。
例6、已知是方程的两个根，那么 .
针对练习：
1、解方程组
2．已知，，求的值。
3、已知是方程的两实数根，求的值。


一元二次方程根的判别式专题
知识考点：
理解一元二次方程根的判别式，并能根据方程的判别式判断一元二次方程根的情况。
精典赏析：
【例1】当取什么值时，关于的方程。
（1）有两个相等实根；[来源:Zxxk.Com]
（2）有两个不相等的实根；
（3）没有实根。
分析：用判别式△列出方程或不等式解题。
答案：（1）；（2）；（3）
【例2】求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实根。
分析：列出△的代数式，证其恒大于零。
【例3】当为什么值时，关于的方程有实根。
分析：题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分＝0和≠0两种情形讨论。
略解：当＝0即时，≠0，方程为一元一次方程，总有实根；当≠0即时，方程有根的条件是：
△＝≥0，解得≥
∴当≥且时，方程有实根。
综上所述：当≥时，方程有实根。
探索与创新：
【问题一】已知关于的方程有两个不相等的实数根、，问是否存在实数，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由。
略解： 化简得
∴不存在。
【问题一】如图，某校广场有一段25米长的旧围栏，现打算利用该围栏的一部分（或全部）为一边，围成一块100平方米的长方形草坪（如图CDEF，CD＜CF）已知整修旧围栏的价格是每米1.75元，建新围栏的价格是每米4.5元。
（1）若计划修建费为150元，能否完成该草坪围栏修造任务？
（2）若计划修建费为120元，能否完成该草坪围栏修建任务？若能完成，请算出利用旧围栏多少米；若不能完成，请说明理由。



略解：设CF＝DE＝，则CD＝EF＝
修建总费用为：＝条件是：10＜≤25
（1）＝12 ∴能完成[来源:Zxxk.Com]
（2）
∵△＜0此方程元实根 ∴不能完成
跟踪训练：
一、填空题：
1、下列方程①；②；③；④中，无实根的方程是 。
2、已知关于的方程有两个相等的实数根，那么的值是 。
3、如果二次三项式在实数范围内总能分解成两个一次因式的积，则的取值范围是 。
4、在一元二次方程中，若系数、可在1、2、3、4、5中取值，则其中有实数解的方程的个数是 。
二、选择题：
1、下列方程中，无实数根的是（ ）
A、 B、[来源:学科网]
C、 D、
2、若关于的一元二次方程有两个不相等的实根，则的取值范围是（ ）
A、 B、≤ C、且≠2 D、≥且≠2
3、在方程（≠0）中，若与异号，则方程（ ）
A、有两个不等实根 B、有两个相等实根
C、没有实根 D、无法确定
三、试证：关于的方程必有实根。
四、已知关于的方程的根的判别式为零，方程的一个根为1，求、的值。
五、已知关于的方程有两个不等实根，试判断直线能否通过A（－2，4），并说明理由。
六、已知关于的方程，问：是否存在实数，使方程的两个实数根的平方和等于56？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。
七、已知＞0，关于的方程有两个相等的正实根，求的值。



一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）专题
知识框图
求代数式的值
求待定系数
一元二次 韦达定理 应用 构造方程
方程的求 解特殊的二元二次方程组
根公式 二次三项式的因式分解
【内容分析】
韦达定理：对于一元二次方程，如果方程有两个实数根，那么

说明：（1）定理成立的条件
（2）注意公式重的负号与b的符号的区别
根系关系的三大用处
（1）计算对称式的值
例 若是方程的两个根，试求下列各式的值：
(1) ； (2) ； (3) ； (4) ．
解：由题意，根据根与系数的关系得：
(1)
(2)
(3)
(4)
说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：
，，，
，，
等等．韦达定理体现了整体思想．
【课堂练习】
1．设x1，x2是方程2x2－6x＋3＝0的两根，则x12＋x22的值为_________
2．已知x1，x2是方程2x2－7x＋4＝0的两根，则x1＋x2＝ ，x1·x2＝ ，
（x1－x2）2＝
3．已知方程2x2－3x+k=0的两根之差为2，则k= ;
4．若方程x2+(a2－2)x－3=0的两根是1和－3，则a= ;
5．若关于x的方程x2+2(m－1)x+4m2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m的值为 ;
6． 设x1,x2是方程2x2－6x+3=0的两个根，求下列各式的值：
(1)x12x2+x1x22 (2) －
7．已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：


（2）构造新方程
理论：以两个数为根的一元二次方程是。
例 解方程组   
解：显然，x，y是方程z2-5z+6＝0 ① 的两根
由方程①解得 z1=2,z2=3
∴原方程组的解为 x1=2,y1=3
                 x2=3,y2=2
显然，此法比代入法要简单得多。
（3）定性判断字母系数的取值范围
例 一个三角形的两边长是方程的两根，第三边长为2，求k的取值范围。
解：设此三角形的三边长分别为a、b、c，且a、b为的两根，则c=2
由题意知
△＝k2-4×2×2≥0，k≥4或k≤-4

∴ 为所求。


【典型例题】
例1 已知关于的方程，根据下列条件，分别求出的值．
(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根满足．
分析：(1) 由韦达定理即可求之；(2) 有两种可能，一是，二是，所以要分类讨论．
解：(1) ∵方程两实根的积为5
∴
所以，当时，方程两实根的积为5．
(2) 由得知：
①当时，，所以方程有两相等实数根，故；
②当时，，由于
，故不合题意，舍去．
综上可得，时，方程的两实根满足．
说明：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足．
例2 已知是一元二次方程的两个实数根．
(1) 是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请您说明理由．
(2) 求使的值为整数的实数的整数值．
解：(1) 假设存在实数，使成立．
∵ 一元二次方程的两个实数根
∴ ，
又是一元二次方程的两个实数根
∴
∴
，但．
∴不存在实数，使成立．
(2) ∵
∴ 要使其值是整数，只需能被4整除，故，注意到，
要使的值为整数的实数的整数值为．
说明：(1) 存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在，否则即不存在．
(2) 本题综合性较强，要学会对为整数的分析方法．

一元二次方程根与系数的关系练习题

A 组
1．一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
2．若是方程的两个根，则的值为( )
A． B． C． D．
3．已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于的方程的根，则等于( )
A． B． C． D．
4．若是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是( )
A． B． C． D．大小关系不能确定
5．若实数，且满足，则代数式的值为( )
A． B． C． D．
6．如果方程的两根相等，则之间的关系是 ______
7．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 _______ ．
8．若方程的两根之差为1，则的值是 _____ ．
9．设是方程的两实根，是关于的方程的两实根，则= _____ ，= _____ ．
10．已知实数满足，则= _____ ，= _____ ，= _____ ．
11．对于二次三项式，小明得出如下结论：无论取什么实数，其值都不可能等于10．您是否同意他的看法？请您说明理由．


12．若，关于的方程有两个相等的正实数根，求的值．




13．已知关于的一元二次方程．
(1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
(2) 若方程的两根为，且满足，求的值．



14．已知关于的方程的两根是一个矩形两边的长．
(1) 取何值时，方程存在两个正实数根？
(2) 当矩形的对角线长是时，求的值．



B 组
1．已知关于的方程有两个不相等的实数根．
(1) 求的取值范围；
(2) 是否存在实数，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出的值；如果不存在，请您说明理由．


2．已知关于的方程的两个实数根的平方和等于11．求证：关于的方程有实数根．


3．若是关于的方程的两个实数根，且都大于1．
(1) 求实数的取值范围；
(2) 若，求的值．


一元二次方程测试题
一、选择题：
1、关于x的方程是一元二次方程，则（ ）
A、 B、 C、a>0 D、
2、方程的根是（ ）
A、x=2 B、x=1 C、x,x D、x,x
3、对于任意实数x，多项式x-5x+8的值是一个（ ）
A、非负数 B、正数 C、负数 D、无法确定
4、一个多边形有9条对角线，则这个多边形有边（ ）
A、6条 B、7条 C、8条 D、9条
5、下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A、 B、
C、 D、
6、某商品连续两次降价20%后价格为a元，则原价为（ ）元。
A、1.2a B、 C、0.64a D、
7、若实数x、y满足，则x+y的值为（ ）
A、-1或-2 B、-1或2 C、1或-2 D、1或2
8、若的左边是完全平方式，则a的值为（ ）
A、9 B、 C、 D、
9、用换元法解分式方程，若设，则原方程可化为关于y的整式方程是（ ）
A、 B、 C、 D、
10、已知m、n是方程的两个根，则（ ）
A、1990 B、1992 C、-1992 D、1999
二、填空：
11、 =
12、当x= 时，最简二次根式与是同类二次根式。
13、已知a、b、c为的三边，且关于x的一元二次方程
有两个相等的实数根，那么这个三解形是 。
14、已知，则= 。
15、一元二次方程与的所有实数根的和等于 。
16、把一根长为22cm的铁丝围成一个斜边长是10cm的直角三角形，则这个三角形的面
积为 。
17、若一个三角形的三边长均满足方程，则此三角形的周长为 。
18、已知，则= 。
三、解方程
19、 20、 21、



四、解答题
22、阅读下面的例题：请参照例题解方程
例：
解：（1）当时，原方程化为
解得，（不合题意，舍去）
（2）当时，原方程化为
解得（不合题意，舍去），
原方程的根是，



23、百货商店服装柜在销售中发现，某品牌童装平均每天可售20件，每件盈利40元，为
了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，
减少库存。经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件。
要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装降价多少元？





24、一张桌子的桌面长为6米，宽为4米，台布面积是桌面面积的2倍。如果将台布铺在
桌子上，各边垂下的长度相同，求这块台布的长和宽。






25、某人将2000元按一年定期存入银行，到期后支取1000元购物，剩下的1000元及
应得的利息又全部按一年定期存入银行。若银行存款的利息不变，到期后得本金和利息共1320元，求这种存款的年利率。（不计算利息税）




一元二次方程培优练习题

一、选择题：（每小题2分，共30分）
1、下列方程是一元二次方程的是（ ）
A、 B、
C、 D、
2、关于的方程是一元二次方程的条件是（ ）
A、≠1 B、≠－2 C、≠1且≠－2 D、≠1或≠－2
3、方程的解为（ ）
A、5 B、－2 C、5或－2 D、以上都不对
4、方程的较小根为（ ）
A、 B、 C、 D、
5、方程的解为（ ）
A、＝，＝ B、＝，＝
C、＝，＝ D、＝，＝
6、方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A、＞9 B、＜9且≠0 C、＜9 D、≤9且≠0
7、为有理数，且方程的根为有理数，则的值为（ ）
A、4 B、1 C、－2 D、－6
8、已知、、是一个三角形的三边，且方程有两个相等的实数根，则该三角形是（ ）
A、等腰三角形 B、等边三角形 C、直角三角形 D、等腰直角三角形
9、以、为根的一元二次方程是（ ）
A、 B、
C、 D、
10、已知、是一元二次方程的两根，且判别式△＝≥0，则－的值为（ ）
A、 B、 C、± D、±
11、关于的方程有实数根，则的非负整数值是（ ）
A、0、1 B、0、1、2 C、1、2、3 D、0、1、2、3
12、已知关于的一元二次方程的一个根是另一个根的2倍，则的取值为（ ）
A、≤ B、9≤≤ C、＝9 D、＝－9或＝9


13、下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A、 B、
C、 D、
14、关于的一元二次方程的一个根是0，则的值是（ ）
A、1 B、－1 C、±1 D、
15、若实数、满足，，则的值是（ ）
A、－20 B、2 C、2或－20 D、
二、填空题：（每小题3分，共36分）
1、方程的两个根，一个是－1，另一个是1，则＝ ，＝ 。
2、若关于的一元二次方程有实数根，则 。
3、 ＝
4、方程中，、均为有理数，且方程有一个根是，则 ＝ ，＝ 。
5、方程的一个根为3，则＝ ，另一个根是 。
6、已知方程的两根的平均数为0，则的值为 ，这个方程的根为 。
7、方程与有一个根相同，则＝ 。
8、某汽车制造厂2000年1月份生产汽车25000辆，若3月份产量要达到30250辆，则这两个月的平均增长率为 。
9、等腰三角形边的长是方程的两根，则它的周长为 。
10、关于的方程只有一个实数根，则＝ 。
11、若一元二次方程有两个相等的实数根，则＝ 。
12、已知关于的方程的两根互为相反数，则＝ 。
三、解方程（组）：（每小题5分，共20分）
1、用直接开平方法解方程： 2、用配方法解方程：







3、解关于的方程： 4、解方程组：






四、解答下列各题（每小题10分，共50分）
1、已知方程的两实数根的平方和比两根之积大15，求的值。





2、求证：无论取何值，方程一定有两个不同的实根




3、若＞0，关于的方程有两个相等的正实数根。求的值。






4、已知整数满足6＜＜20，如果关于的一元二次方程－＋＝0有有理根，求的值及方程的根。




5.小李和小张各自加工15个玩具,小李每小时比小张多加工1个,结果比小张少小时完成任务.问两个每小时各加工多少个玩具?







6、今春以来，在党和政府的领导下，我国进行了一场抗击“非典”的战斗，为了控制疫情的蔓延，某卫生材料厂接到上级下达赶制19.2万只加浓抗病毒口罩的任务。为使抗病毒口罩早日到达防疫第一线，开工后每天比原计划多加工0.4万只，结果提前4天完成任务。求该厂原计划每天加工多少万只口罩？







7、某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数，且时，；时，．
（1）求一次函数的表达式；（2）若该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价的范围．






五、知识运用（14分）（请考生注意：任选其中的一个题目完成）
1、为何值时，方程与方程有一个公共根？并求出这个公共根。
2、关于的方程有两个不相等的实数根。
（1）求的取值范围；
（2）是否存在实数，使方程的两个实数根的倒数和等于0 ？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。




一元二次方程易错提高题
1关于x的方程的两根同为负数，则（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
练习：如果方程有两个同号的实数根，则的取值范围是            （    ）
A、    ＜1       B、    0＜≤1       C、    0≤＜1      D、   ＞0
2.若方程是关于x的一元二次方程，则（ ）
A． B．m=2 C．m= —2 D．
练习：一元二次方程（m-2）x-4mx+2m-6=0有两个相等的实数根，m=______.

3．如果关于x的方程ax 2+x–1= 0有实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a＞– B．a≥– C．a≥–且a≠0 D．a＞–且a≠0
4．方程x2+ax+1=0和x2－x－a=0有一个公共根，则a的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3

5.已知，是方程的两实数根，则的值为______　
练习：设x1、x2是方程3x2+4x–5=0的两根，则 .x12+x22= .


6. 关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根分别为1和2，则b＝______；c＝______．　

7.已知x是一元二次方程x2＋3x－1＝0的实数根，那么代数式的值为＿＿＿＿

8. 已知x1，x2 是关于x的方程（x－2）（x－m）=（p－2）（p－m）的两个实数根．
（1）求x1，x2 的值；


9．把一根长度为14cm的铁丝折成一个矩形，这个矩形的面积为12cm2，则这个矩形的对角线长是________________cm.

10. (8分)用一块长方形的铁片, 把它的四角各剪去一个边长为4cm的小方块, 然后把四边折起来, 做成一个没有盖的盒子, 已知铁片的长是宽的2 倍, 做成盒子的容积是 1536 cm3, 求这块铁片的长和宽.


11、若一个等腰三角形的三边长均满足方程x2-6x+8=0，则此三角形的周长为 .

12、已知三角形的两边长分别是3和8，第三边的数值是一元二次方程x2－17x＋66＝０的根。求此三角形的周长。

13．三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（ ）
A．24 B．24或 C．48 D．

如图，菱形ABCD的边长是5，两条对角线交于O点，且AO、BO的长分别是关于x的方程x2+(2m-1)x+m2+3=0的根，则m的值为 （ ）

A．-3 B．5 C．5 或-3 D．-5或3

14、如果二次三项式是一个完全平方式，那么的值是_______________.
15. 选用合适的方法① ②

③ ④

16. 当a _________时，方程 (a2－1)x2 + 3ax + 1＝0 是一元二次方程．

17．已知，则的值等于 。
18．已知，那么代数式的值为 。
19．当x= 时，既是最简二次根式，被开方数又相同。
20．用配方法证明的值不小于1。


21．已知a、b、c均为实数，且，求方程的根。

22．合肥百货大搂服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了迎接“十·一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存。经市场调查发现：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件。要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少？
练习：某商场销售某种商品,每台进价为2500元,当销售价为2900元时,平均每天能销售出8台,而当销售价每降低50元时,平均每天就能多销售4台,商场要想使这种商品的销售利润平均每天达到5000元,每台这种商品的定价应为多少元.

练习：南京经营户以2元/千克的价格购进一批西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克，为了促销，该经营户决定降价销售，经调查发现，这种西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克，另外每天的房租等固定成本为24元，该经营户要想每天盈利200元，应将每千克西瓜的售价降低多少元？

23．设m为整数，且4