一轮复习大题专练21—解三角形（中线、角平分线、高线）-2022届高三数学一轮复习

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1．的内角，，的对边分别为，，．已知．
（1）求；
（2）已知，，求边上的中线的长．
解：（1）因为，
由正弦定理得，
因为，
所以，
所以，
因为，
所以，，
所以，
所以．
（2）由余弦定理，．
解法一：，
在中，，
故．
解法二：，
则，
故．
2．已知的内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求；
（2）若，且边上的中线长为，求．
解：（1）因为，由正弦定理可得，
因为，
所以，
可得，因为，所以，可得，
又因为，可得．
（2）由余弦定理可得，①
又在中，，设的中点为，
在中，，可得，可得，②
由①②可得，解得．
3．已知在中，角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若，为的中点，的面积为，求的长．
解：（1）因为，
所以，
又，
所以，可得：，
因为，
所以，即，
因为，
所以．
（2）因为，，的面积为，
所以，
由余弦定理，可得，
可得，
因为，可得：，解得，
可得的长为．
4．在中，角，，的对边分别为，，，且．
（1）求；
（2）若点在上，满足为的平分线，且，求的长．
解：（1）由正弦定理及得，，
由余弦定理可得，
因为，所以．
（2）由（1）得角，
又因为为的平分线，点在上，所以，
又因为，且，所以，
所以，
在中，由正弦定理得，
即，解得．
5．已知的内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角；
（2）若角的角平分线交于点，，，求和的长度．
解：（1）由及正弦定理得，
因为，
所以，
由为三角形内角得；
（2）因为平分，则到，的距离相等，设为，
因为，
所以，
由角平分线性质得，
所以，
因为，，
由余弦定理得，
解得
所以，
因为，，
解得．
6．的内角，，的对边分别为，，，已知函数的一条对称轴为，且（A）．
（1）求的值；
（2）若，求边上的高的最大值．
解：（1）函数一条对称轴为，
，，，，
，，，
（A），，
，．
（2）由余弦定理得：，当且仅当时取等号，
，又，
的面积最大值为．
故对应高的最大值为：．
7．在中，，，，求：
（1）角；
（2）边上的高．
解：（1）在中，，，，所以角为钝角，由，解得．
利用正弦定理的应用，解得，所以．
（2）根据（1）的结论，．
所以，
由于，解得，
故边上的高为．